고유 길이

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1. 개요
2. 고유 길이 또는 정지 길이
3. 평평한 공간에서 두 이벤트 사이의 고유 거리
4. 경로를 따른 고유 거리
참조

1. 개요

고유 길이는 정지해 있는 관찰자가 측정하는 물체의 길이로, 물체의 양 끝점 측정은 동시일 필요가 없다. 물체에 대해 상대적으로 움직이는 프레임에서는 길이 수축이 발생하여 정지 길이보다 짧아진다. 평평한 공간에서 두 사건 사이의 고유 거리는 사건이 동시에 발생하는 관성 기준 프레임에서 측정된 두 사건 사이의 거리이며, 휘어진 시공간에서는 경로를 따라 고유 거리를 정의한다.

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고유 길이
정의
고유 길이	어떤 물체의 정지 좌표계에서 측정한 그 물체의 길이
관련 개념
로렌츠 수축	관찰자의 운동 방향으로 물체의 길이가 짧아지는 현상

2. 고유 길이 또는 정지 길이

물체의 고유 길이^[5]^[6] 또는 정지 길이^[5]^[6]는 정지해 있는 관찰자가 표준 측정 막대를 어떤 물체에 적용하여 측정하는 길이이다. 물체의 양 끝점 측정은 동시에 이루어질 필요가 없다. 끝점은 물체의 정지 프레임에서 항상 같은 위치에 정지해 있으므로 Δ''t''와 무관하다. 따라서 이때의 길이는 다음과 같다.

: $L_{0} = \Delta x.$

그러나 물체에 상대적으로 움직이는 프레임에서는 물체의 끝점이 계속 위치를 바꾸기 때문에 양 끝점을 동시에 측정해야 한다. 그 결과 길이는 정지 길이보다 짧아지며, 길이 수축 공식으로 나타낼 수 있다(여기서 ''γ''는 로런츠 계수이다).

: $L = \frac{L_0}{\gamma}.$

이에 비해 동일한 물체의 끝점에서 발생하는 임의의 두 사건 사이의 불변 고유 거리는 다음과 같다.

: $\Delta\sigma = \sqrt{\Delta x^2 - c^2 \Delta t^2}.$

Δ''σ''는 Δ''t''에 의존하지만, 위에서 설명한 것처럼 물체의 정지 길이 ''L''₀는 Δ''t''와 독립적으로 측정할 수 있다. 따라서 동일한 물체의 끝점에서 측정한 Δ''σ''와 ''L''₀는 측정 사건이 물체의 정지 프레임에서 동시에 발생하여 Δt가 0일 때만 일치한다. 파인골드(Fayngold)는 다음과 같이 설명한다.^[5]

: "두 사건 사이의 고유 거리는 보통 끝점이 이 사건들과 각각 일치하는 물체의 고유 길이와 같지 않다. 일정한 고유 길이 ''l''₀인 막대를 생각해 보자. 막대의 정지 프레임 ''K''₀에서 길이를 측정하려면, 먼저 끝점을 표시하면 된다. 이 끝점들을 ''K''₀에서 동시에 표시할 필요는 없다. ''K''₀에서 한쪽 끝(순간 ''t''₁)과 나중에 다른 쪽 끝(순간 ''t''₂)을 표시한 다음, 표시 사이의 거리를 측정할 수 있다. 이러한 측정을 고유 길이의 가능한 조작적 정의로 고려할 수도 있다. 실험 물리학의 관점에서 보면, 마크를 동시에 만들어야 한다는 요구는 모양과 크기가 일정한 고정된 물체에 대해서는 중복되므로, 이 정의에서 제외할 수 있다. 막대는 ''K''₀에 고정되어 있으므로, 두 표시 사이의 시간 경과에 관계없이 표시 사이의 거리는 막대의 고유 길이이다. 반면, ''K''₀에서 마크가 동시에 이루어지지 않으면 마킹 이벤트 사이의 고유 거리가 아니다."

3. 평평한 공간에서 두 이벤트 사이의 고유 거리

특수 상대성이론에서 공간처럼 분리된 두 사건 사이의 고유 거리는 사건이 동시에 발생하는 관성 기준 프레임에서 측정된 두 사건 사이의 거리이다.^[7]^[8] 이러한 특정 프레임에서 거리는 다음과 같이 주어지며,

:Δσ = √Δx² + Δy² + Δz²

여기서,

Δ ''x'', Δ ''y'', Δ ''z''는 두 이벤트의 선형, 직교, 공간 좌표의 차이이다.

이 정의는 이벤트가 해당 프레임에서 동시에 발생하지 않아도, 모든 관성 참조 프레임에 대해 다음과 같이 동일하게 제공될 수 있다.

:Δσ = √Δx² + Δy² + Δz² - c²Δt²

여기서,

''Δt''는 두 이벤트의 시간 좌표의 차이이고,
''c''는 빛의 속도이다.

두 공식은 시공간 간격의 불변성 때문에 동일한데, 이는 이벤트가 주어진 프레임에서 동시일 때 정확히 ''Δt'' = 0이기 때문이다.

위의 공식이 Δ ''σ'' 에 대해 0이 아닌 실제 값을 제공하는 경우에만 두 이벤트가 공간적으로 분리된다.

4. 경로를 따른 고유 거리

두 사건 사이의 고유 거리에 대한 공식은 두 사건이 발생하는 시공간이 평평하다고 가정한다. 따라서 이 공식은 휘어진 시공간을 고려하는 일반 상대성이론에서는 일반적으로 사용할 수 없다. 그러나 곡선이든 평면이든 모든 시공간에서 경로를 따라 고유 거리를 정의하는 것은 가능하다. 평평한 시공간에서 두 사건 사이의 고유 거리는 두 사건 사이의 직선 경로를 따른 고유 거리이다. 휘어진 시공간에서는 두 사건 사이에 하나 이상의 직선 경로(측지선)가 있을 수 있으므로, 두 사건 사이의 직선 경로를 따른 고유 거리는 두 사건 사이의 고유 거리를 유일하게 정의하지 않는다.

임의의 공간과 같은 경로 ''P''를 따라 고유 거리는 선적분에 의해 텐서 구문으로 다음과 같이 주어진다.

: $L = c \int_P \sqrt{-g_{\mu\nu} dx^\mu dx^\nu} ,$

여기서,

''g _μν''는 현재 시공간 및 좌표 매핑에 대한 메트릭 텐서이고,
''dx ^μ''는 경로 ''P'' 를 따라 인접한 이벤트 사이의 좌표 분리이다.

위 방정식에서 메트릭 텐서는 '''+−−−''' 메트릭 부호를 사용하는 것으로 가정하고 거리 대신 시간을 반환하도록 정규화되었다고 가정하고 있다. 방정식의 − 기호는 대신 '''−+++''' 메트릭 부호를 사용하는 메트릭 텐서와 함께 삭제되어야 한다. 또한 광속

c

는, 거리를 사용하도록 정규화되거나 또는 기하 단위를 사용하는 미터법 텐서와 함께 삭제해야 한다.

참조

_[1] 서적 Special Relativity and How it Works
_[2] 논문 Lorentz contraction, Bell's spaceships, and rigid body motion in special relativity
_[3] 서적 Gravity: Newtonian, Post-Newtonian, Relativistic https://books.google[...] Cambridge University Press
_[4] 서적 Relativistic Celestial Mechanics of the Solar System https://books.google[...] John Wiley & Sons
_[5] 서적 Special Relativity and How it Works
_[6] 논문 Lorentz contraction, Bell's spaceships, and rigid body motion in special relativity
_[7] 서적 Gravity: Newtonian, Post-Newtonian, Relativistic https://books.google[...] Cambridge University Press
_[8] 서적 Relativistic Celestial Mechanics of the Solar System https://books.google[...] John Wiley & Sons

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