구조 다양체

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요
2. 정의
- 2.1. 호환 접속
3. 구조군의 축소
- 3.1. 분류 공간을 이용한 정의
- 3.2. 성질 및 예시
4. G-구조
- 4.1. 예시
- 4.2. 주다발
5. 적분 가능성 조건과 평탄한 G-구조
- 5.1. 평탄한 G-구조
6. G-구조의 동형 사상
- 6.1. 국소 동형 사상
7. G-구조 위의 접속
- 7.1. 이동 틀을 이용한 설명
- 7.2. G-구조의 꼬임
  - 7.2.1. 예시: 거의 복소 구조의 꼬임
8. 고차 G-구조
참조

1. 개요

구조 다양체는 리 군 G와 G의 충실한 유한 차원 실수 표현 ρ가 주어졌을 때, 접다발이 (G, ρ)-구조를 갖는 매끄러운 다양체를 의미한다. G-구조는 틀다발의 구조군을 G로 축소시킨 것이며, 다양한 미분기하학적 구조는 G-구조 다양체의 특수한 경우이다. 구조군의 축소는 주 다발이 G의 부분군 H에서 유래하는지 질문하는 것이며, G-구조는 G-구조를 보존하는 미분 동형 사상의 집합인 자기 동형 사상군을 갖는다. G-구조 위에는 호환되는 접속이 존재하며, G-구조의 꼬임은 적합한 접속의 꼬임으로 정의된다.

더 읽어볼만한 페이지

리만 기하학 - 등각 사상
등각 사상은 각도를 보존하는 사상으로, 2차원에서는 도함수가 0이 아닌 정칙 함수인 복소 함수가 해당되며, 3차원 이상에서는 상사 변환, 등거리 변환, 특수 등각 변환 등으로 분류되어 지도 제작, 항공우주 공학 등 다양한 분야에 응용된다.
리만 기하학 - 편평도
편평도는 아직 내용이 없어 정의를 내릴 수 없는 위키백과 페이지이다.
미분기하학 - 가우스 곡률
가우스 곡률은 3차원 유클리드 공간에 놓인 곡면의 두 주곡률의 곱으로, 곡면의 형태를 나타내는 지표이며 곡면 자체의 길이 측정만으로 결정되는 내재적인 값이다.
미분기하학 - 가우스의 빼어난 정리
가우스의 빼어난 정리는 곡면의 가우스 곡률이 외부 공간이 아닌 곡면 자체의 리만 계량만으로 결정된다는 정리로, 곡면의 변형 시 가우스 곡률이 보존됨을 의미하며, 지도 제작의 불가능성 증명과 고차원 리만 다양체 일반화에 응용되어 미분기하학과 일반 상대성 이론의 기초가 된다.

구조 다양체

2. 정의

리 군 $G$ 와 그 $G$ 의 충실한 유한 차원 실수 표현

: $\rho\colon G\to\operatorname{GL}(n;\mathbb R)$

이 주어졌다고 하자.

$(G,\rho)$ -'''구조 다발'''은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

$V$ 와 같은 차원의 매끄러운 벡터 다발 $E\twoheadrightarrow M$
$E$ 의 틀다발 $\operatorname F(E)$ 의 부분 다발인 $G$ -주다발 $P\subseteq\operatorname F(E)$

즉, 각 점

x\in M

에서 특별한 틀

:

\mathbb R^n\to\mathbb E_x

들의 집합이 존재하며, 이 틀들의 집합에는 추이적 오른쪽

G

-작용이 존재한다. 이는

E

와

P\times_G\mathbb R^n

사이의 벡터 다발 동형 사상과 동치이다.

접다발이

(G,\rho)

-구조를 갖는 매끄러운 다양체를 '''

(G,\rho)

-구조 다양체'''라고 한다. 이 경우,

(G,\rho)

-구조는 어떤 1차 미분 형식

:

\Omega^1(M;P\times_G\mathbb R^n)

에 의하여 주어지는데, 이를 '''접착 형식'''(solder form^영어)이라고 한다.

2. 1. 호환 접속

리 군

G

-구조 벡터 다발

E\twoheadrightarrow M

의 '''호환 접속'''(compatible connection^영어)은 다음 조건을 만족시키는 코쥘 접속이다.

:

\nabla \colon \Gamma^\infty(E)\to\Gamma^\infty(\mathrm T^*M\otimes E)

임의의 폐곡선 $\gamma\colon [0,1]\to M$ ( $\gamma(0)=\gamma(1)$ )에 대하여, $\gamma$ 에 대한 홀로노미 $\operatorname{Hol}_\gamma \in \operatorname{GL}(n;\mathbb R)$ 는 $G$ 에 속한다.

(E,P)

위의

G

-호환 접속들의 공간은

:

\Omega^1(M;P\times_G\mathfrak g)

위의 아핀 공간을 이룬다.

이 경우, 접속

\nabla

의 곡률

:

F_\nabla(X,Y) \in \mathfrak{gl}(E)

은 다음과 같은 2차 미분 형식을 이룬다.

:

F \in \Omega^2(M;P\times_G\mathfrak g)

3. 구조군의 축소

주어진 G-다발이 G의 부분군 H "에서 유래"하는지 확인할 수 있다. 이를 H로의 '''구조군의 축소'''라고 부르며, (용어에도 불구하고) 포함 사상이 아니어도 $H \to G$ 의 모든 사상에 대해 의미가 있다.^[1]

위상 공간 X, 위상군 G, H, 군 준동형사상 $\phi\colon H \to G$ 가 주어졌을 때, X 위에 있는 주 G-다발 P의 ''구조군의 축소''(G에서 H로)는 ''H''-다발 Q와 원래 다발에 대한 연관 다발의 동형사상 $\phi_Q\colon Q \times_H G \to P$ 이다.

3. 1. 분류 공간을 이용한 정의

주어진 G-다발이 G의 부분군 H "에서 유래"하는지 질문할 수 있다. 이를 H로의 '''구조군의 축소'''라고 부르며, (용어에도 불구하고) 포함 사상이 아니어도

H \to G

의 모든 사상에 대해 의미가 있다.^[1]

BG가 G-다발의 분류 공간일 때, 사상

\pi\colon X \to BG

가 주어지면, ''구조군의 축소''는 사상

\pi_Q\colon X \to BH

와 호모토피

\phi_Q\colon B\phi \circ \pi_Q \to \pi

이다.^[1]

3. 2. 성질 및 예시

부분군

H \to G

가 주어졌을 때, 주어진

G

위의 주 다발이

G

의 부분군

H

에서 유래하는지, 즉 '''구조군의 축소'''가 가능한지 확인할 수 있다. 구조군의 축소는 포함 사상이 아니어도

H \to G

의 모든 사상에 대해 의미가 있다. 주

G

-다발

P

가

X

위에 있을 때, 구조군의 축소는 ''

H

''-다발

Q

와 원래 다발에 대한 연관 다발의 동형사상

\phi_Q\colon Q \times_H G \to P

이다.

구조군의 축소는 항상 존재하는 것은 아니며, 존재하더라도 유일하지 않은 경우가 많다. 예를 들어, 모든 짝수 차원 실수 벡터 공간은 복소 벡터 공간의 기저가 되는 실수 공간과 동형이지만, 실수 벡터 다발은 복소 벡터 다발의 기저가 되는 실수 다발과 동형인 경우에만 거의 복소 구조를 허용한다.

천이 함수의 관점에서 보면, ''G''-다발은 천이 함수가 ''H''의 값을 갖도록 취할 수 있는 경우에만 구조군이 축소될 수 있다.

만약 ''H''가 ''G''의 닫힌 부분군이라면, ''G''-다발 ''B''를 ''H''로 축소하는 것과 ''H''의 오른쪽 작용으로 ''B''를 나눈 섬유 다발 ''B''/''H''의 전역 단면 사이에는 자연스러운 일대일 대응이 존재한다.^[3]

4. G-구조

리 군 $G$ 및 $G$ 의 충실한 유한 차원 실수 표현

: $\rho\colon G\to\operatorname{GL}(n;\mathbb R)$

이 주어졌다고 하자. $(G,\rho)$ -'''구조 다발'''은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

$V$ 와 같은 차원의 매끄러운 벡터 다발 $E\twoheadrightarrow M$
$E$ 의 틀다발 $\operatorname F(E)$ 의 부분 다발인 $G$ -주다발 $P\subseteq\operatorname F(E)$

즉, 각 점

x\in M

에서, 특별한 틀

:

\mathbb R^n\to\mathbb E_x

들의 집합이 존재하며, 이 틀들의 집합에는 추이적 오른쪽

G

-작용이 존재한다. 이는 사실

E

와

P\times_G\mathbb R^n

사이의 벡터 다발 동형 사상과 동치이다.

그 접다발이

(G,\rho)

-구조를 갖는 매끄러운 다양체를 '''

(G,\rho)

-구조 다양체'''라고 한다. 이 경우,

(G,\rho)

-구조는 어떤 1차 미분 형식

:

\Omega^1(M;P\times_G\mathbb R^n)

에 의하여 주어지는데, 이를 '''접착 형식'''(solder form^영어)이라고 한다.

G

-구조 벡터 다발

E\twoheadrightarrow M

의 '''호환 접속'''(compatible connection^영어)은 코쥘 접속

:

\nabla \colon \Gamma^\infty(E)\to\Gamma^\infty(\mathrm T^*M\otimes E)

가운데, 다음 조건을 만족시키는 것이다.

임의의 폐곡선 $\gamma\colon [0,1]\to M$ ( $\gamma(0)=\gamma(1)$ )에 대하여, $\gamma$ 에 대한 홀로노미 $\operatorname{Hol}_\gamma \in \operatorname{GL}(n;\mathbb R)$ 는 $G$ 에 속한다.

(E,P)

위의

G

-호환 접속들의 공간은

:

\Omega^1(M;P\times_G\mathfrak g)

위의 아핀 공간을 이룬다.

이 경우, 접속

\nabla

의 곡률

:

F_\nabla(X,Y) \in \mathfrak{gl}(E)

은 다음과 같은 2차 미분 형식을 이룬다.

:

F \in \Omega^2(M;P\times_G\mathfrak g)

n

차원 벡터 다발은 모두 표준적인

GL(n)

-다발인 틀다발을 갖는다. 특히, 모든 미분 가능 다양체는 표준적인 벡터 다발인 접다발을 갖는다. 리 군

G

와 군 준동형 사상

\phi\colon G \to GL(n)

에 대해,

G

-구조는 틀다발의 구조군을

G

로 축소시킨 것이다.

4. 1. 예시

G-구조의 예시
G	다양체
$\operatorname{GL}(n;\mathbb R)$	매끄러운 다양체
$\operatorname{GL}^+(n;\mathbb R)$	유향 다양체
$\operatorname{GL}(n/2;\mathbb C)$	개복소다양체
$\operatorname O(n;\mathbb R)$	리만 다양체
$\operatorname{SO}(n;\mathbb R)$	유향 리만 다양체
$\operatorname O(p,n-p;\mathbb R)$	부호수 $(p,n-p)$의 준 리만 다양체
$\operatorname{Sp}(n;\mathbb R)$	준 심플렉틱 다양체
$\mathsf G_2\le\operatorname{GL}(7;\mathbb R)$	G₂ 다양체

위 표는 다양한 미분기하학적 구조들이 $G$-구조 다양체의 특수한 경우임을 보여준다. 구조군의 축소는 항상 가능한 것은 아니며, 가능한 경우에도 유일하지 않을 수 있다.

실수 벡터 다발은 복소 벡터 다발의 기저가 되는 실수 다발과 동형인 경우에만 거의 복소 구조를 허용한다.

몇몇 $G$-구조는 다른 구조를 사용하여 정의되기도 한다. 예를 들어, 유향 다양체에 리만 계량이 주어지면, 2배 덮개 $\mbox{Spin}(n) \to \mbox{SO}(n)$에 대한 $G$-구조는 스핀 구조이다.

4. 2. 주다발

주 주다발 이론은 ''G''-구조 연구에서 중요한 역할을 하지만, 두 개념은 다르다. ''G''-구조는 접선 틀다발의 주 부분다발이지만, ''G''-구조 다발이 '접선 틀로 구성'되어 있다는 사실은 데이터의 일부로 간주된다.

두 이론 사이의 이러한 근본적인 차이는 ''G''-구조의 기본 ''G''-다발에 추가적인 데이터를 제공하여 포착할 수 있는데, 이것이 바로 '''땜납 형식'''이다. 땜납 형식은 ''M''의 접다발과 연관 벡터 다발 간의 표준 동형 사상을 지정하여 ''G''-구조의 기본 주 다발을 다양체의 국소 기하학 자체와 연결한다. 땜납 형식은 접속 형식은 아니지만, 때때로 접속 형식의 전조로 간주될 수 있다.

자세히 말해서, ''Q''가 ''G''-구조의 주 다발이라고 가정하자. ''Q''가 ''M''의 틀 다발의 축소로 실현되는 경우, 땜납 형식은 포함을 따라 당김된 틀 다발의 자명 형식으로 주어진다. 추상적으로, ''Q''를 틀 다발의 축소로 실현되는 것과는 독립적인 주 다발로 간주하는 경우, 땜납 형식은 '''R'''ⁿ에 대한 ''G''의 표현 ρ와 다발의 동형 사상 θ : ''TM'' → ''Q'' ×_ρ '''R'''ⁿ으로 구성된다.

5. 적분 가능성 조건과 평탄한 G-구조

복소 구조, 심플렉틱 구조, 켈러 구조 등 다양한 구조는 ''G''-구조이지만, 추가적인 적분 가능 조건을 만족해야 한다. 이 조건이 없으면 almost complex structure, almost symplectic structure, almost Kähler structure와 같이 "almost" 구조라고 불린다.

심플렉틱 다양체 구조는 심플렉틱 군에 대한 ''G''-구조보다 더 강력한 개념이다. 다양체의 심플렉틱 구조는 비퇴화인 ''M''에 대한 2-form ''ω'' (이는 $Sp$ -구조 또는 almost 심플렉틱 구조임)와 d''ω'' = 0이라는 추가 조건(적분 가능 조건)을 함께 갖는다.

엽층 구조는 블록 행렬에서 파생된 ''G''-구조에 해당하며, 프로베니우스 정리가 적용되도록 적분 가능 조건이 있다.

5. 1. 평탄한 G-구조

'''평탄한 ''G''-구조'''는 교환하는 벡터장으로 구성된 전역 단면(''V''₁, ..., ''V''_n)을 갖는 ''G''-구조 ''P''이다. ''G''-구조는 평탄한 ''G''-구조에 국소적으로 동형이면 '''적분 가능'''(또는 ''국소적으로 평탄'')하다.

6. G-구조의 동형 사상

''G''-구조를 보존하는 ''M''의 미분 동형 사상 집합은 해당 구조의 자기 동형 사상군이라고 불린다. 예를 들어, O(''n'')-구조는 등거리 변환 군이며, SL(''n'',''R'')-구조는 부피를 보존하는 사상이다.

''G''-구조의 자기 동형 사상은 ''G''-구조 ''P''를 자기 자신과 동형 사상하는 것이다. 이는 다양체의 여러 기하학적 구조가 ''G''-구조로 나타낼 수 있기 때문에, 기하학적 구조의 변환군 연구에서 자주 등장한다.^[6]

동치 문제의 다양한 부류는 ''G''-구조의 언어로 표현될 수 있다. 예를 들어, 두 리만 다양체는 정규 직교 틀의 다발이 (국소적으로) 동형인 ''G''-구조일 때 (국소적으로) 동치이다. 이러한 관점에서, 동치 문제 해결의 일반적인 절차는 두 ''G''-구조가 국소적으로 동형인지 판별하기에 충분한 ''G''-구조의 불변량 시스템을 구성하는 것이다.

6. 1. 국소 동형 사상

''P''를 다양체 ''M'' 위의 ''G''-구조, ''Q''를 다양체 ''N'' 위의 ''G''-구조라고 하자. 그러면 ''G''-구조의 '''동형 사상'''은 푸시포워드 선형 틀 ''f''_* : ''FM'' → ''FN''이 ''P''를 ''Q''로 사상하도록 제한되는 미분 동형 사상 ''f'' : ''M'' → ''N''이다. (''Q''가 ''f''_*의 이미지 내에 포함되기만 하면 충분하다.) ''G''-구조 ''P''와 ''Q''가 국소 동형이려면, ''M''이 열린 집합 ''U''로 덮이고, ''f''_U : ''U'' → ''f''(''U'') ⊂ ''N''과 같은 미분 동형 사상족이 존재하여 ''f''_U가 ''P''|_U → ''Q''|_''f''(''U'')의 동형 사상을 유도하면 된다.^[6]

7. G-구조 위의 접속

$G$ -구조 벡터 다발 $E \twoheadrightarrow M$ 의 '''호환 접속'''은 다음 조건을 만족시키는 코쥘 접속 $\nabla \colon \Gamma^\infty(E) \to \Gamma^\infty(T^*M \otimes E)$ 이다.

임의의 폐곡선 $\gamma \colon [0,1] \to M$ ( $\gamma(0) = \gamma(1)$ )에 대하여, $\gamma$ 에 대한 홀로노미 $\operatorname{Hol}_\gamma \in \operatorname{GL}(n; \mathbb R)$ 는 $G$ 에 속한다.

(E, P)

위의

G

-호환 접속들의 공간은

\Omega^1(M; P \times_G \mathfrak{g})

위의 아핀 공간을 이룬다.

이 경우, 접속

\nabla

의 곡률

F_\nabla (X, Y) \in \mathfrak{gl}(E)

은 2차 미분 형식

F \in \Omega^2(M; P \times_G \mathfrak{g})

을 이룬다.

''M'' 위의 ''G''-구조를 ''Q''라 할 때, 주다발 ''Q'' 위의 주접속은 임의의 연관 벡터 다발, 특히 접다발 위에 접속을 유도한다. 이렇게 유도된 ''TM'' 위의 선형 접속 ∇는 ''Q''와 '''호환'''된다고 하며, '''적응된 접속'''이라고도 부른다.

7. 1. 이동 틀을 이용한 설명

이동 틀을 사용하여 적응된 접속을 구체적으로 설명할 수 있다.^[7] ''V''_i가 ''TM''의 국소 단면의 기저(즉, ''M'' 위의 틀)이고, 이는 ''Q''의 단면을 정의한다고 가정하자. 임의의 접속 ∇는 다음과 같은 기저에 의존하는 일차 미분 형식(1-형식, one-form^영어)계 ω를 결정한다.

:∇_X V_i = ω_i^j(X)V_j

여기서 1-형식의 행렬로서, ω ∈ Ω¹(M)⊗'''gl'''(''n'')이다. 적응된 접속은 ω가 그 값을 ''G''의 리 대수 '''g'''에 취하는 접속이다.

7. 2. G-구조의 꼬임

G-구조의 꼬임은 여러 적합한 접속에 의해 정의될 수 있지만, 대수적 꼬임 사상을 통해 독립적인 개념으로 정의할 수 있다.^[8]

두 개의 적합한 접속의 차이는 adjoint 번들 Ad_''Q''을 값으로 가지는 ''M'' 위의 1-형식이다. 적합한 접속의 공간 ''A''^''Q''는 Ω¹(Ad_''Q'')에 대한 아핀 공간이다.

적합한 접속의 꼬임은 다음 사상을 정의한다.

:

A^Q \to \Omega^2 (TM)\,

이는 ''TM''의 계수를 가진 2-형식으로의 사상이며, 선형화는 다음과 같다.

:

\tau:\Omega^1(\mathrm{Ad}_Q)\to \Omega^2(TM)\,

이를 '''대수적 꼬임 사상'''이라고 한다. 두 적합한 접속 ∇와 ∇′의 꼬임 텐서 ''T''_∇, ''T''_∇′는 τ(∇−∇′)만큼 다르다. 따라서 coker(τ)에서의 ''T''_∇의 이미지는 ∇의 선택과 무관하다.

어떤 적합한 접속 ∇에 대한 coker(τ)에서의 ''T''_∇의 이미지를 ''G''-구조의 '''꼬임'''이라고 한다. ''G''-구조의 꼬임이 사라질 때 '''꼬임이 없다'''고 하며, 이는 ''Q''가 꼬임이 없는 적합한 접속을 허용할 때 발생한다.

7. 2. 1. 예시: 거의 복소 구조의 꼬임

G-구조의 한 예로 거의 복소 구조가 있는데, 이는 짝수 차원 다양체의 구조군을 GL(''n'','''C''')로 축소한 것이다. 이러한 축소는 ''J''² = −1을 만족하는 ''C''^∞-선형 자기사상 ''J'' ∈ End(''TM'')에 의해 고유하게 결정된다.

간단한 차원 계산은 다음을 보여준다.

:

\Omega^2(TM)= \Omega^{2,0}(TM)\oplus \mathrm{im}(\tau)

여기서 Ω^2,0(''TM'')는 다음을 만족하는 형식 ''B'' ∈ Ω²(''TM'')의 공간이다.

:

B(JX,Y) = B(X, JY) = - J B(X,Y).\,

따라서 거의 복소 구조의 비틀림은 Ω^2,0(''TM'')의 원소로 간주될 수 있다. 거의 복소 구조의 비틀림이 니엔하위스 텐서와 같다는 것은 쉽게 확인할 수 있다.

8. 고차 G-구조

연장 과정을 통해 특정 ''G''-구조(예: 심플렉틱 형식)에 대한 적분 가능 조건을 부과할 수 있다. 이 경우, 연장된 ''G''-구조는 선형 틀 번들의 ''G''-부분 번들과 동일시될 수 없다. 그러나 많은 경우 연장은 그 자체로 주 번들이며, 그 구조군은 고차 제트 군의 부분군과 동일시될 수 있는데, 이 경우 고차 ''G''-구조라고 불린다.^[1] 일반적으로, 카르탕의 등가 방법은 이러한 경우에 적용된다.^[1]

참조

_[1] 문서 Lie group
_[2] 문서 bifunctor
_[3] 논문 Geometry of Classical Higgs Fields
_[4] 논문 Gauge gravitation theory from the geometric viewpoint
_[5] 서적
_[6] 서적
_[7] 서적
_[8] 서적

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com

G	다양체
\(\operatorname{GL}(n;\mathbb R)\)	매끄러운 다양체
\(\operatorname{GL}^+(n;\mathbb R)\)	유향 다양체
\(\operatorname{GL}(n/2;\mathbb C)\)	개복소다양체
\(\operatorname O(n;\mathbb R)\)	리만 다양체
\(\operatorname{SO}(n;\mathbb R)\)	유향 리만 다양체
\(\operatorname O(p,n-p;\mathbb R)\)	부호수 \((p,n-p)\)의 준 리만 다양체
\(\operatorname{Sp}(n;\mathbb R)\)	준 심플렉틱 다양체
\(\mathsf G_2\le\operatorname{GL}(7;\mathbb R)\)	G₂ 다양체