기묘수
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1. 개요
기묘수는 진약수의 합이 자기 자신보다 크지만, 진약수의 일부를 더해서 자기 자신을 만들 수 없는 과잉수를 의미한다. 가장 작은 기묘수는 70이며, 836, 4030 등도 기묘수에 해당한다. 기묘수들은 반완전수가 아니며, 짝수이다. 원시 기묘수는 다른 기묘수의 배수가 아닌 기묘수를 뜻하며, 100만 이하의 수 중 24개가 존재한다. 홀수 기묘수의 존재 여부는 아직 밝혀지지 않았다.
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| 기묘수 | |
|---|---|
| 개요 | |
 | |
| 정의 | 자신을 제외한 약수들의 합이 자기 자신보다 크지만, 그 약수들의 일부 합으로는 자기 자신을 만들 수 없는 자연수 |
| 성질 | |
| 최소 기묘수 | 70 |
| 기묘수의 개수 | 무한히 많음 (증명됨) |
| 기묘수의 종류 | 홀수 기묘수 (존재하는지 아직 밝혀지지 않음) 짝수 기묘수 (무한히 많이 존재) |
| 기묘수 판별법 | 아직 알려진 효과적인 방법 없음 |
| 모든 기묘수 | 풍부수임 |
| 예시 | |
| 처음 몇 개의 기묘수 | 70, 836, 4030, 5830, 7192, 7912, 9272, 10430, 10570, 10792, 10990, 11440, 12530, 13856, 14770, 15610, 15890, 16004, 16430, 16672, 17710, 18530, 19192, 19256, 20074, 20240, 20570, 21070, 21190, 21334, 21394, 21730, 21952, 22190, 22420, 22952, 23090, 23210, 23810, 24760, 24970, 25030, 25690, 26200, 26470, 27350, 28490, 28690, 28790, 29090, 29440, 29570, 29774, 30074, 30230, 30290, 30494, 30590, 30730, 31130, 31214, 31250, 32146, 32290, 32690, 32930, 33190, 33770, 34130, 34490, 34544, 34580, 35030, 35272, 35290, 35330, 35390, 35750, 35990, 36170, 36430, 36530, 36590, 36674, 36770, 36910, 37010, 37130, 37190, 37250, 37514, 37570, 37690, 37970, 38210, 38630, 38690, 38870, 39230, 39530, 39614, 39650, 39730, 39830, 40310, 40370, 40610, 40670, 41030, 41330, 41390, 41414, 41530, 41690, 41750, 41894, 42134, 42230, 42370, 42470, 42554, 42650, 42674, 42770, 42914, 42950, 43310, 43430, 43514, 43670, 43730, 43910, 43970, 44030, 44234, 44270, 44530, 44630, 44690, 44774, 44870, 44930, 45170, 45494, 45650, 45730, 46070, 46310, 46370, 46490, 46550, 46630, 46790, 46850, 47014, 47150, 47270, 47354, 47390, 47450, 47594, 47630, 47810, 48050, 48170, 48230, 48290, 48470, 48530, 48734, 49190, 49370, 49430, 49490, 49550, 49610, 49754, 49850, 49970, 50030, 50054, 50390, 50534, 50690, 50830, 50930, 50954, 50990, 51134, 51170, 51310, 51410, 51530, 51590, 51734, 51890, 51970, 52130, 52370, 52550, 52730, 52790, 52850, 53030, 53090, 53210, 53270, 53330, 53510, 53570, 53630, 53690, 53774, 53830, 53870, 53930, 53990, 54050, 54170, 54230, 54350, 54430, 54470, 54530, 54590, 54710, 54770, 54830, 54890, 55010, 55070, 55190, 55250, 55370, 55430, 55490, 55550, 55610, 55670, 55730, 55790, 55850, 55910, 56030, 56090, 56210, 56270, 56330, 56390, 56450, 56510, 56570, 56630, 56690, 56750, 56810, 56870, 56930, 56990, 57050, 57110, 57170, 57230, 57290, 57350, 57410, 57470, 57530, 57590, 57650, 57710, 57770, 57830, 57890, 57950, 58010, 58070, 58130, 58190, 58250, 58310, 58370, 58430, 58490, 58550, 58610, 58670, 58730, 58790, 58850, 58910, 58970, 59030, 59090, 59150, 59210, 59270, 59330, 59390, 59450, 59510, 59570, 59630, 59690, 59750, 59810, 59870, 59930, 59990, 60050, 60110, 60170, 60230, 60290, 60350, 60410, 60470, 60530, 60590, 60650, 60710, 60770, 60830, 60890, 60950, 61010, 61070, 61130, 61190, 61250, 61310, 61370, 61430, 61490, 61550, 61610, 61670, 61730, 61790, 61850, 61910, 61970, 62030, 62090, 62150, 62210, 62270, 62330, 62390, 62450, 62510, 62570, 62630, 62690, 62750, 62810, 62870, 62930, 62990, 63050, 63110, 63170, 63230, 63290, 63350, 63410, 63470, 63530, 63590, 63650, 63710, 63770, 63830, 63890, 63950, 64010, 64070, 64130, 64190, 64250, 64310, 64370, 64430, 64490, 64550, 64610, 64670, 64730, 64790, 64850, 64910, 64970, 65030, 65090, 65150, 65210, 65270, 65330, 65390, 65450, 65510, 65570, 65630, 65690, 65750, 65810, 65870, 65930, 65990, 66050, 66110, 66170, 66230, 66290, 66350, 66410, 66470, 66530, 66590, 66650, 66710, 66770, 66830, 66890, 66950, 67010, 67070, 67130, 67190, 67250, 67310, 67370, 67430, 67490, 67550, 67610, 67670, 67730, 67790, 67850, 67910, 67970, 68030, 68090, 68150, 68210, 68270, 68330, 68390, 68450, 68510, 68570, 68630, 68690, 68750, 68810, 68870, 68930, 68990, 69050, 69110, 69170, 69230, 69290, 69350, 69410, 69470, 69530, 69590, 69650, 69710, 69770, 69830, 69890, 69950, 70010, 70070, 70130, 70190, 70250, 70310, 70370, 70430, 70490, 70550, 70610, 70670, 70730, 70790, 70850, 70910, 70970, 71030, 71090, 71150, 71210, 71270, 71330, 71390, 71450, 71510, 71570, 71630, 71690, 71750, 71810, 71870, 71930, 71990, 72050, 72110, 72170, 72230, 72290, 72350, 72410, 72470, 72530, 72590, 72650, 72710, 72770, 72830, 72890, 72950, 73010, 73070, 73130, 73190, 73250, 73310, 73370, 73430, 73490, 73550, 73610, 73670, 73730, 73790, 73850, 73910, 73970, 74030, 74090, 74150, 74210, 74270, 74330, 74390, 74450, 74510, 74570, 74630, 74690, 74750, 74810, 74870, 74930, 74990, 75050, 75110, 75170, 75230, 75290, 75350, 75410, 75470, 75530, 75590, 75650, 75710, 75770, 75830, 75890, 75950, 76010, 76070, 76130, 76190, 76250, 76310, 76370, 76430, 76490, 76550, 76610, 76670, 76730, 76790, 76850, 76910, 76970, 77030, 77090, 77150, 77210, 77270, 77330, 77390, 77450, 77510, 77570, 77630, 77690, 77750, 77810, 77870, 77930, 77990, 78050, 78110, 78170, 78230, 78290, 78350, 78410, 78470, 78530, 78590, 78650, 78710, 78770, 78830, 78890, 78950, 79010, 79070, 79130, 79190, 79250, 79310, 79370, 79430, 79490, 79550, 79610, 79670, 79730, 79790, 79850, 79910, 79970, 80030, 80090, 80150, 80210, 80270, 80330, 80390, 80450, 80510, 80570, 80630, 80690, 80750, 80810, 80870, 80930, 80990, 81050, 81110, 81170, 81230, 81290, 81350, 81410, 81470, 81530, 81590, 81650, 81710, 81770, 81830, 81890, 81950, 82010, 82070, 82130, 82190, 82250, 82310, 82370, 82430, 82490, 82550, 82610, 82670, 82730, 82790, 82850, 82910, 82970, 83030, 83090, 83150, 83210, 83270, 83330, 83390, 83450, 83510, 83570, 83630, 83690, 83750, 83810, 83870, 83930, 83990, 84050, 84110, 84170, 84230, 84290, 84350, 84410, 84470, 84530, 84590, 84650, 84710, 84770, 84830, 84890, 84950, 85010, 85070, 85130, 85190, 85250, 85310, 85370, 85430, 85490, 85550, 85610, 85670, 85730, 85790, 85850, 85910, 85970, 86030, 86090, 86150, 86210, 86270, 86330, 86390, 86450, 86510, 86570, 86630, 86690, 86750, 86810, 86870, 86930, 86990, 87050, 87110, 87170, 87230, 87290, 87350, 87410, 87470, 87530, 87590, 87650, 87710, 87770, 87830, 87890, 87950, 88010, 88070, 88130, 88190, 88250, 88310, 88370, 88430, 88490, 88550, 88610, 88670, 88730, 88790, 88850, 88910, 88970, 89030, 89090, 89150, 89210, 89270, 89330, 89390, 89450, 89510, 89570, 89630, 89690, 89750, 89810, 89870, 89930, 89990, ... (이하 생략) |
| 관련 용어 | |
| 관련 용어 | 완전수 부족수 과잉수 준완전수 |
2. 기묘수의 예
기묘수의 가장 작은 예로는 70이 있다. 70의 진약수는 1, 2, 5, 7, 10, 14, 35이며, 모두 더하면 74로, 원래 수인 70보다 커서 과잉수다. 그러나 그 수들의 일부를 취해 어떤 방식으로 더하더라도 70을 만들 수 없으므로 기묘수다. 왜냐하면 반완전수가 되려면 진약수의 합에서 자기 자신을 제외한 값과 제외할 진약수의 합이 동일해야 하는데 이는 그렇지 못하기 때문이다. 그 외에 836, 4030, 5830, 7192, 7912 등등도 기묘수이며, 이 수들도 역시나 진약수의 일부의 합으로 자기 자신을 나타낼 수 없기 때문에 반완전수가 아니다. 또한 기묘수와 특정 기묘수의 약수의 합보다 큰 소수를 곱한 값이 항상 기묘수가 된다는 성질이 있으므로 10000 이상에서는 갑자기 149 이상의 소수와 기묘수 70의 곱으로 인해 기묘수가 나타나는 빈도가 높아진다. 반대로 반완전수의 경우 과잉수의 대부분을 차지하는데, 기묘수의 진약수들도 기묘수 또는 부족수다. 과잉수 문서에도 나와 있듯이 다른 기묘수의 자기 자신 이외의 배수들로 표기될 수 없는 기묘수는 ‘원시 기묘수’ (영어로는 ‘primitive weird number’)라고 하며, 1000000 이하의 수 중 24개가 존재한다. 물론 그렇다 하더라도 전체 자연수 중에서은 빈도가 1%를 넘지는 않고, 이는 과잉수 중에서도 과잉수의 최대 비율인 25%에 한참 못 미친다. 또한 현재까지 알려진 기묘수들은 모두 짝수이고, 홀수 과잉수 중에서는 아직 기묘수가 존재하는지는 알 수 없다.
기묘수는 과잉수이지만, 진약수(자기 자신을 제외한 약수)의 일부를 더하여 자기 자신을 만들 수 없는 수이다. 가장 작은 기묘수는 70이다. 70의 진약수는 1, 2, 5, 7, 10, 14, 35이며, 이들을 모두 더하면 74로 70보다 크다. 그러나 이 진약수들을 아무리 조합해도 70을 만들 수는 없다. 836, 4030, 5830, 7192, 7912 등도 기묘수이다.
처음 몇 개의 기묘수는 다음과 같다.
: 70, 836, 4030, 5830, 7192, 7912, 9272, 10430, 10570, 10792, 10990, 11410, 11690, 12110, 12530, 12670, 13370, 13510, 13790, 13930, 14770, ...
3. 기묘수의 성질
기묘수는 반완전수가 될 수 없다. 반완전수가 되려면 진약수의 합에서 자기 자신을 제외하고 남은 일부 진약수들의 합이 원래 수와 같아야 하는데, 기묘수는 그렇지 않기 때문이다.
10000 이상에서는 149 이상의 소수와 기묘수 70의 곱으로 인해 기묘수가 나타나는 빈도가 높아진다. 기묘수의 진약수들은 기묘수 또는 부족수이며, 반완전수는 과잉수의 대부분을 차지한다.
다른 기묘수의 배수가 아닌 기묘수를 '원시 기묘수'(primitive weird number)라고 한다. 100만 이하의 수 중에는 24개의 원시 기묘수가 존재한다. 전체 자연수 중에서 기묘수의 빈도는 1%를 넘지 않으며, 이는 과잉수 최대 비율인 25%에 한참 못 미친다.
3. 1. 홀수 기묘수
무한히 많은 기묘수가 존재한다.[3] 예를 들어, 모든 소수 ''p'' ≥ 149에 대해 70''p''는 기묘수이다. 사실, 기묘수의 집합은 양의 점근 밀도를 갖는다.[4]
홀수 기묘수가 존재하는지는 알려져 있지 않다. 만약 존재한다면, 1021보다 커야 한다.[5]
시드니 크라비츠는 양의 정수 ''k'', 2''k''보다 큰 소수 ''Q''에 대해,
:
또한 소수이고 2''k''보다 크면,
:
는 기묘수임을 보였다.[6]
이 공식을 사용하여 그는 다음과 같은 큰 기묘수를 발견했다.
:
3. 2. 원시 기묘수
기묘수는 진약수의 합이 원래 수보다 큰 과잉수이지만, 진약수의 일부를 더해서 원래 수를 만들 수 없는 수이다. 가장 작은 기묘수는 70이다. 70의 진약수(1, 2, 5, 7, 10, 14, 35)를 모두 더하면 74로 70보다 크지만, 이들 중 일부를 어떻게 조합해도 70을 만들 수 없다. 836, 4030, 5830, 7192, 7912 등도 기묘수이다.
기묘수는 반완전수가 될 수 없는데, 이는 반완전수가 되려면 진약수의 합에서 자기 자신을 제외한 일부 진약수의 합이 원래 수와 같아야 하기 때문이다.
10000 이상에서는 149 이상의 소수와 기묘수 70의 곱으로 인해 기묘수가 나타나는 빈도가 높아진다. 기묘수의 진약수들은 기묘수 또는 부족수이며, 반완전수는 과잉수의 대부분을 차지한다.
다른 기묘수의 배수가 아닌 기묘수를 '원시 기묘수'(primitive weird number)라고 하며, 100만 이하의 수 중 24개가 존재한다. 전체 자연수 중에서 기묘수의 빈도는 1%를 넘지 않으며, 이는 과잉수 최대 비율인 25%에 한참 못 미친다. 현재까지 알려진 기묘수는 모두 짝수이며, 홀수 과잉수 중 기묘수가 존재하는지는 알려지지 않았다.
3. 2. 1. 원시 기묘수의 생성
무한히 많은 기묘수가 존재한다.[3] 예를 들어, 모든 소수 ''p'' ≥ 149에 대해 70''p''는 기묘수이다.
시드니 크라비츠는 양의 정수 ''k'', 2''k''보다 큰 소수 ''Q''에 대해,
:
또한 소수이고 2''k''보다 크면,
:
는 기묘수임을 보였다.[6] 이 공식을 사용하여 그는 다음과 같은 큰 기묘수를 발견했다.
:
기묘수의 한 가지 속성은, 만약 ''n''이 기묘수이고, ''p''가 약수의 합 σ(''n'')보다 큰 소수라면, ''pn''도 기묘수라는 것이다.[4] 이는 다른 기묘수의 배수가 아닌 기묘수인 ''원시 기묘수''의 정의로 이어진다. 크라비츠의 구성은 원시 기묘수를 생성하는데, 형태의 모든 기묘수는 원시적이지만, 소수 ''R''을 생성하는 무한히 많은 ''k''와 ''Q''가 존재한다는 것은 보장되지 않는다. 원시 기묘수가 무한히 많이 존재한다는 추측이 있으며, 멜피는 원시 기묘수의 무한성이 크라메르 추측의 결과임을 보였다.[7] 16개의 소인수와 14712자리의 원시 기묘수도 발견되었다.[8]
참조
[1]
학술지
E2308 (in Problems and Solutions)
1972-08
[2]
서적
Unsolved Problems in Number Theory
Springer-Verlag
[3]
서적
Handbook of number theory I
Springer-Verlag
[4]
학술지
On Weird and Pseudoperfect Numbers
1974-04
[5]
웹사이트
Weird numbers: abundant (A005101) but not pseudoperfect (A005835)
[6]
학술지
A search for large weird numbers
Baywood Publishing
[7]
학술지
On the conditional infiniteness of primitive weird numbers
Elsevier
[8]
학술지
Primitive abundant and weird numbers with many prime factors
Elsevier
[9]
간행물
Sums of Divisors and Egyptian Fractions
http://www.sciencedi[...]
C. N.Friedman,Journal of Number Theory
1993-07
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