과잉수

3. 예시

예를 들어, 20의 진약수의 합은 $1+2+4+5+10=22>20$으로 원래의 수 20보다 더 크기 때문에 20은 과잉수가 된다.

과잉수는 무수히 많이 있으며, 가장 작은 과잉수는 12이다. 200보다 작은 과잉수는 다음과 같다.^[10]

: 12, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 66, 70, 72, 78, 80, 84, 88, 90, 96, 100, 102, 104, 108, 112, 114, 120, 126, 132, 138, 140, 144, 150, 156, 160, 162, 168, 174, 176, 180, 186, 192, 196, 198, …

4. 성질

• 가장 작은 홀수 과잉수는 945이다.
• 2 또는 3으로 나누어 떨어지지 않는 가장 작은 과잉수는 5391411025이며, 고유한 소인수는 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29이다.^[1]
• 완전수의 모든 배수(완전수 자체 제외)는 과잉수이다.^[2] 예를 들어, 6보다 큰 6의 모든 배수는 $1\; +\; \backslash tfrac\{n\}\{2\}\; +\; \backslash tfrac\{n\}\{3\}\; +\; \backslash tfrac\{n\}\{6\}\; =\; n\; +1.$이기 때문에 과잉수이다.
• 과잉수의 모든 배수는 과잉수이다.^[2] 예를 들어, 20의 모든 배수(20 자체 포함)는 $\backslash tfrac\{n\}\{2\}\; +\; \backslash tfrac\{n\}\{4\}\; +\; \backslash tfrac\{n\}\{5\}\; +\; \backslash tfrac\{n\}\{10\}\; +\; \backslash tfrac\{n\}\{20\}=\; n\; +\; \backslash tfrac\{n\}\{10\}.$이기 때문에 과잉수이다.
• 결과적으로, 무한히 많은 짝수와 홀수 과잉수가 존재한다.
• 과잉수의 집합은 0이 아닌 자연 밀도를 갖는다.^[3] 1998년 Marc Deléglise는 과잉수와 완전수의 집합의 자연 밀도가 0.2474와 0.2480 사이임을 보였다.^[4]
• 과잉수의 배수나 완전수의 배수가 아닌 과잉수(즉, 모든 진약수가 부족수인 과잉수)는 원시 과잉수라고 불린다.
• 과잉도가 다른 어떤 수보다 큰 과잉수를 고도로 과잉수라고 하며, 상대 과잉도(즉, s(n)/n)가 다른 어떤 수보다 큰 과잉수를 초과잉수라고 한다.
• 20161보다 큰 모든 정수는 두 개의 과잉수의 합으로 쓸 수 있다. 두 과잉수의 합으로 나타낼 수 없는 가장 큰 짝수는 46이다.^[5]
• 준완전수가 아닌 과잉수는 이상한 수라고 불린다.^[6] 과잉도가 1인 과잉수는 준완전수라고 불리지만, 아직 발견된 것은 없다.
• 모든 과잉수는 완전수 또는 원시 과잉수의 배수이다.

5. 관련 개념

과잉수는 자기 자신을 제외한 약수(진약수)의 합이 자기 자신보다 큰 수를 말한다. 예를 들어 20의 진약수의 합은 1+2+4+5+10 = 22로, 20보다 크기 때문에 20은 과잉수이다.

과잉수는 무수히 많으며, 가장 작은 과잉수는 12이다. 과잉수는 진약수의 일부의 합에 따라 반완전수와 기묘수로 분류할 수 있다.

• 반완전수: 진약수의 일부를 더해서 자기 자신이 될 수 있는 수이다. 945는 가장 작은 홀수 반완전수이다.
• 기묘수: 진약수의 일부를 어떻게 더해도 자기 자신이 될 수 없는 수이다.

5. 1. 원시 과잉수

5. 2. 기묘수 (이상한 수)

5. 3. 반완전수

5. 4. 고도 과잉수와 초과잉수

5. 5. 친화수

6. 특수한 과잉수

• 가장 작은 홀수 과잉수는 945이다.^[10]
• 완전수의 모든 배수(완전수 자체 제외)는 과잉수이다.^[2] 예를 들어, 6보다 큰 6의 모든 배수는 $1\; +\; \backslash tfrac\{n\}\{2\}\; +\; \backslash tfrac\{n\}\{3\}\; +\; \backslash tfrac\{n\}\{6\}\; =\; n\; +1.$이기 때문에 과잉수이다.
• 과잉수의 모든 배수는 과잉수이다.^[2] 예를 들어, 20의 모든 배수(20 자체 포함)는 $\backslash tfrac\{n\}\{2\}\; +\; \backslash tfrac\{n\}\{4\}\; +\; \backslash tfrac\{n\}\{5\}\; +\; \backslash tfrac\{n\}\{10\}\; +\; \backslash tfrac\{n\}\{20\}=\; n\; +\; \backslash tfrac\{n\}\{10\}.$이기 때문에 과잉수이다.
• 결과적으로, 무한히 많은 짝수와 홀수 과잉수가 존재한다.
• 모든 진약수가 부족수인 과잉수는 원시 과잉수라고 불린다.
• 과잉도가 다른 어떤 수보다 큰 과잉수를 고도로 과잉수라고 하며, 상대 과잉도(s(n)/n)가 다른 어떤 수보다 큰 과잉수를 초과잉수라고 한다.
• 20161보다 큰 모든 정수는 두 과잉수의 합으로 쓸 수 있다.^[5] 두 과잉수의 합으로 나타낼 수 없는 가장 큰 짝수는 46이다.
• 준완전수가 아닌 과잉수는 이상한 수라고 불린다.^[6] 과잉도가 1인 과잉수는 준완전수라고 불리지만, 아직 발견된 것은 없다.
• 2 또는 3으로 나누어 떨어지지 않는 가장 작은 과잉수는 5391411025이며, 고유한 소인수는 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29이다.^[1]

6. 1. 제곱 인수가 없는 과잉수

6. 2. 홀수 과잉수

6. 3. 제곱 인수가 없는 홀수 과잉수

6. 4. 10과 서로소인 과잉수

6. 5. 제곱 인수가 없고 10과 서로소인 과잉수

6. 6. 5, 7과 서로소인 홀수 과잉수

6. 7. 6과 서로소인 과잉수

참조

_[1] 논문 On the smallest abundant number not divisible by the first ''k'' primes https://projecteucli[...]
_[2] 서적
_[3] 서적 Divisors Cambridge University Press
_[4] 간행물 Bounds for the density of abundant integers http://projecteuclid[...]
_[5] 웹사이트
_[6] 서적
_[7] 간행물 Measuring the abundancy of integers
_[8] 웹사이트
_[9] 간행물 Sums of divisors and Egyptian fractions
_[10] OEIS
_[11] OEIS
_[12] OEIS
_[13] OEIS