부족수

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1. 개요
2. 정의
3. 예시
4. 성질
5. 관련 개념
6. 같이 보기
참조

1. 개요

부족수는 진약수의 합이 자기 자신보다 작은 자연수를 의미한다. 모든 소수는 진약수가 1뿐이므로 부족수이며, 소수의 거듭제곱 또한 부족수이다. 부족수는 무한히 많으며, 완전수의 진약수도 부족수이다. 부족수와 관련된 개념으로는 완전수와 과잉수가 있으며, 고대 그리스의 수학자 니코마코스는 수를 부족수, 완전수, 과잉수로 처음 분류했다.

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부족수
수 이론
유형	정수
정의
정의	자신보다 약수 합이 작은 수
약수 합	σ(n) < 2n s(n) < n
관련 개념	완전수 과잉수

2. 정의

3. 예시

15는 진약수의 합이 $1+3+5=9<15$ 로 원래의 수 15보다 작기 때문에 부족수이다.

모든 소수(素數)는 진약수가 1뿐이므로 부족수이며, 소수의 거듭제곱인 수도 모두 부족수다. 또한 소인수의 개수가 2개뿐인 모든 홀수도 진약수의 합이 자신의 $\frac{7}{8}$ 배(0.875배) 보다 작은 수가 되고, 소수는 무수히 많기 때문에 합성수든 소수의 거듭제곱수가 아니든 부족수는 무수히 많이 있다.

부족수는 무수히 많이 있으며, 100보다 작은 부족수는 다음과 같다.

: 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 14, 15, 16, 17, 19, 21, 22, 23, 25, 26, 27, 29, 31, 32, 33, 34, 35, 37, 38, 39, 41, 43, 44, 45, 46, 47, 49, 50, 51, 52, 53, 55, 57, 58, 59, 61, 62, 63, 64, 65, 67, 68, 69, 71, 73, 74, 75, 76, 77, 79, 81, 82, 83, 85, 86, 87, 89, 91, 92, 93, 94, 95, 97, 98, 99, …

예를 들어 21의 약수는 1, 3, 7, 21이고, 그 합은 32이다. 32는 42보다 작기 때문에 숫자 21은 부족수이다. 21의 부족도는 2 × 21 − 32 = 10이다.

4. 성질

소수의 진약수 합은 1이므로 모든 소수는 부족수이다. 더 일반적으로, 하나 또는 두 개의 서로 다른 소인수를 가진 모든 홀수는 부족수이다. 따라서 무한히 많은 홀수 부족수가 있다. 모든 2의 거듭제곱은 합이 (1 + 2 + 4 + 8 + ... + 2^x-1 = 2^x - 1)이므로 무한히 많은 짝수 부족수도 있다.

더 일반적으로, 모든 소수 거듭제곱 p^k는 부족수이다. 왜냐하면 유일한 진약수는 1, p, p², ..., p^k-1이고, 이들의 합은 (p^k-1)/(p-1)이며, 이는 최대 p^k-1이기 때문이다.

부족수의 모든 진약수는 부족수이다. 또한, 완전수의 모든 진약수는 부족수이다.

충분히 큰 모든 ''n''에 대해, 구간 [n, n + (log n)²]에 적어도 하나의 부족수가 존재한다.

100보다 작은 부족수 중 소수를 제외한 수(= 합성수)는 다음과 같다.

4, 8, 9, 10, 14, 15, 16, 21, 22, 25, 26, 27, 32, 33, 34, 35, 38, 39, 44, 45, 46, 49, 50, 51, 52, 55, 57, 58, 62, 63, 64, 65, 68, 69, 74, 75, 76, 77, 81, 82, 85, 86, 87, 91, 92, 93, 94, 95, 98, 99, …

4. 1. 소수와 부족수

예를 들어, 15는 진약수의 합이

1+3+5=9<15

로 원래의 수 15보다 작기 때문에 15는 부족수다.

모든 소수는 진약수가 1뿐이므로 부족수이며, 소수의 거듭제곱인 수도 모두 부족수다. 또한 소인수의 개수가 2개뿐인 모든 홀수도 진약수의 합이 자신의

\frac{7}{8}

배(0.875배) 보다 작은 수가 되고, 소수는 무수히 많기 때문에 합성수든 소수의 거듭제곱수가 아니든 부족수는 무수히 많이 있다.

부족수는 무수히 많이 있으며, 100보다 작은 부족수는 다음과 같다.

: 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 14, 15, 16, 17, 19, 21, 22, 23, 25, 26, 27, 29, 31, 32, 33, 34, 35, 37, 38, 39, 41, 43, 44, 45, 46, 47, 49, 50, 51, 52, 53, 55, 57, 58, 59, 61, 62, 63, 64, 65, 67, 68, 69, 71, 73, 74, 75, 76, 77, 79, 81, 82, 83, 85, 86, 87, 89, 91, 92, 93, 94, 95, 97, 98, 99, …

소수의 진약수 합은 1이므로 모든 소수는 부족수이다. 더 일반적으로, 하나 또는 두 개의 서로 다른 소인수를 가진 모든 홀수는 부족수이다. 따라서 무한히 많은 홀수 부족수가 있다. 모든 2의 거듭제곱은 합이 (

1 + 2 + 4 + 8 + ... + 2^{x-1} = 2^{x} - 1

)이므로 무한히 많은 짝수 부족수도 있다.

더 일반적으로, 모든 소수 거듭제곱

p^k

는 부족수이다. 왜냐하면 유일한 진약수는

1, p, p^2, \dots, p^{k-1}

이고, 이들의 합은

\frac{p^k-1}{p-1}

이며, 이는 최대

p^k-1

이기 때문이다.

부족수의 모든 진약수는 부족수이다. 또한, 완전수의 모든 진약수는 부족수이다.

충분히 큰 모든 ''n''에 대해, 구간

[n, n + (\log n)^2]

에 적어도 하나의 부족수가 존재한다.

4. 2. 홀수 부족수

소수의 진약수 합은 1이므로 모든 소수는 부족수이다. 더 일반적으로, 하나 또는 두 개의 서로 다른 소인수를 가진 모든 홀수는 부족수이다. 따라서 무한히 많은 홀수 부족수가 있다. 모든 2의 거듭제곱은 합이 (1 + 2 + 4 + 8 + ... + 2^x-1 = 2^x - 1)이므로 무한히 많은 짝수 부족수도 있다.

더 일반적으로, 모든 소수 거듭제곱 p^k는 부족수이다. 왜냐하면 유일한 진약수는 1, p, p², ..., p^k-1이고, 이들의 합은 (p^k-1)/(p-1)이며, 이는 최대 p^k-1이기 때문이다.

부족수의 모든 진약수는 부족수이다. 또한, 완전수의 모든 진약수는 부족수이다.

충분히 큰 모든 ''n''에 대해, 구간 [n, n + (log n)²]에 적어도 하나의 부족수가 존재한다.

100보다 작은 부족수 중 소수를 제외한 합성수는 다음과 같다.

4, 8, 9, 10, 14, 15, 16, 21, 22, 25, 26, 27, 32, 33, 34, 35, 38, 39, 44, 45, 46, 49, 50, 51, 52, 55, 57, 58, 62, 63, 64, 65, 68, 69, 74, 75, 76, 77, 81, 82, 85, 86, 87, 91, 92, 93, 94, 95, 98, 99, …

4. 3. 짝수 부족수

4, 8, 9, 10, 14, 15, 16, 21, 22, 25, 26, 27, 32, 33, 34, 35, 38, 39, 44, 45, 46, 49, 50, 51, 52, 55, 57, 58, 62, 63, 64, 65, 68, 69, 74, 75, 76, 77, 81, 82, 85, 86, 87, 91, 92, 93, 94, 95, 98, 99 등은 100보다 작은 부족수 중 소수가 아닌 합성수이다. 모든 2의 거듭제곱은 진약수의 합이 2^x - 1이므로 짝수 부족수이다. 일반적으로, 모든 소수 거듭제곱 p^k는 진약수의 합이 (p^k-1)/(p-1)이며, 이는 최대 p^k-1이기 때문에 부족수이다. 부족수의 모든 진약수는 부족수이며, 완전수의 모든 진약수도 부족수이다.

4. 4. 기타 성질

소수의 진약수 합은 1이므로 모든 소수는 부족수이다. 더 일반적으로, 하나 또는 두 개의 서로 다른 소인수를 가진 모든 홀수는 부족수이다. 따라서 무한히 많은 홀수 부족수가 있다. 모든 2의 거듭제곱은 합이 (1 + 2 + 4 + 8 + ... + 2^x-1 = 2^x - 1)이므로 무한히 많은 짝수 부족수도 있다.

더 일반적으로, 모든 소수 거듭제곱 p^k는 부족수이다. 왜냐하면 유일한 진약수는 1, p, p², …, p^k-1이고, 이들의 합은 (p^k-1)/(p-1)이며, 이는 최대 p^k-1이기 때문이다.

부족수의 모든 진약수는 부족수이다. 또한, 완전수의 모든 진약수는 부족수이다.

충분히 큰 모든 ''n''에 대해, 구간 [n, n + (log n)²]에 적어도 하나의 부족수가 존재한다.

945(가장 작은 홀수 과잉수)보다 작은 홀수는 모두 부족수이다. 81,081(10과 서로소인 가장 작은 과잉수)보다 작은 자연수 중 일의 자리가 1, 3, 7, 9인 수는 모두 부족수이다.

100보다 작은 부족수 중 소수를 제외한 수(= 합성수)는 다음과 같다.

4, 8, 9, 10, 14, 15, 16, 21, 22, 25, 26, 27, 32, 33, 34, 35, 38, 39, 44, 45, 46, 49, 50, 51, 52, 55, 57, 58, 62, 63, 64, 65, 68, 69, 74, 75, 76, 77, 81, 82, 85, 86, 87, 91, 92, 93, 94, 95, 98, 99, …

5. 관련 개념

부족수와 밀접하게 관련된 수로는 ''σ''(''n'') = 2''n''인 완전수와 ''σ''(''n'') > 2''n''인 과잉수가 있다.

니코마코스는 그의 저서 ''산학 입문''(서기 100년경)에서 수를 부족수, 완전수, 과잉수로 처음 분류했다. 그러나 그는 이러한 분류를 짝수에만 적용했다.

6. 같이 보기

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