꼬임군 (위상수학)

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1. 개요

꼬임군은 n개의 가닥을 꼬는 연산을 연구하는 수학적 구조로, 유한 생성군이며 꼬임이라고 불리는 원소들로 구성된다. 꼬임군은 꼬임들의 연결을 통해 군 연산을 수행하며, 땋임 관계식을 통해 호모토피적 동치 관계를 정의한다. 꼬임군은 매듭 이론, 양자 물리학, 유체 역학 등 다양한 분야에 응용되며, 대칭군과의 관계, 꼬임군의 표현, 꼬임 지수 등의 개념을 포함한다. 꼬임군은 3차 꼬임군이 모듈러 군의 중심 확대와 동형이며, 꼬임의 분류, 꼬임의 매듭 표현, 단어 문제 해결 등 계산적 측면에서도 연구된다.

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꼬임군 (위상수학)
개요
분야	수학, 추상대수학, 군론
정의	매듭 이론에서 꼬임을 대수적으로 나타내는 군
역사
창시자	에밀 아르틴
발표 연도	1925년
기본 성질
생성원	σ1, σ2, ..., σn-1 (여기서 n은 꼬임 가닥의 수)
관계	σiσj = σjσi (만약 \|i - j\| ≥ 2) σiσi+1σi = σi+1σiσi+1
군 연산	꼬임의 합성 (braid composition)
응용
관련 분야	매듭 이론, 위상수학, 수학, 끈 이론
응용 예시	평면 대수 곡선의 모노드로미 표현

2. 정의

n^영어가닥의 꼬임군( $\operatorname{Braid}(n)$ )은 표시를 갖는 유한생성군이다. 꼬임군의 원소는 꼬임(braid^영어)이라고 한다. 꼬임군은 다음과 같이 정의된다.

: $\operatorname{Braid}(n)= \left \langle \sigma_1,\ldots,\sigma_{n-1}| \sigma_i\sigma_{i+1}\sigma_i=\sigma_{i+1}\sigma_i\sigma_{i+1}, \sigma_i\sigma_j=\sigma_j\sigma_i \right \rangle$

여기서 첫 번째 관계식은 $i=1,2,\dots,n-2$ 이고, 두 번째 관계식은 $|i-j|\ge2$ 이다. $\sigma_i$ 는 $i$ 번째 가닥과 $i+1$ 번째 가닥을 한 번 꼬는 것을 의미한다. 군 연산은 꼬임들을 서로 연결하는 것이다.

: $\sigma_i\sigma_{i+1}\sigma_i=\sigma_{i+1}\sigma_i\sigma_{i+1}$

: $\sigma_i\sigma_j=\sigma_j\sigma_i\qquad(|i-j|\ge2)$

위 관계식은 꼬임 합성의 호모토피적 동치 관계이다.

4가닥 꼬임군( $B_4$ )을 예로 들어 설명하면 다음과 같다.

탁자 위에 4개의 물건이 수직으로 배열되어 일렬로 놓여 있다고 가정한다. (아래 그림에서 검은색 점). 각 물건을 다른 물건과 잇는 네 개의 끈을 사용하여, 각 집합의 항목이 다른 집합의 항목과 일대일 대응이 되도록 연결한다. 이러한 연결을 ''꼬임''이라고 한다. 끈은 다른 끈 위나 아래로 지나갈 수 있으며, 이는 꼬임의 중요한 특징이다.

와

는 서로 다른 꼬임이다. 그러나 끈을 당겨서 동일하게 만들 수 있다면 같은 꼬임으로 간주한다.

- 는
시그마 1⁻¹의 또 다른 표현
과 동일하다.

과 같이 매듭은 꼬임으로 간주되지 않는다. 모든 가닥은 왼쪽에서 오른쪽으로 이동해야 한다.

두 꼬임을 결합하려면 첫 번째 꼬임 옆에 두 번째 꼬임을 놓고 가운데 네 개의 항목을 연결한다.

-|]]|]] 와 --|]]|]]를 결합하면 --|]]가 된다.

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꼬임 σ와 τ의 결합은 στ로 표기한다.

B_4

는 위에서 설명한 꼬임 결합을 연산으로 하는 군이다. 항등원은 네 개의 평행한 수평 가닥으로 구성된 꼬임이고, 역원은 첫 번째 꼬임이 한 것을 "되돌리는" 꼬임이다.

꼬임군은 대수적 위상수학의 호모토피 개념을 사용하여 배치 공간의 기본군으로 정의할 수도 있다.

n

차원 다양체

X

의

n

개 복사본의 대칭 곱은

X^n

의 몫으로, 좌표의 지수에 작용하는

n

가닥에 대한 대칭군의 순열 작용에 의한

X

의

n

겹 데카르트 곱이다. 순서가 있는

n

-튜플은 재정렬된 버전과 같은 궤도에 있다.

n

겹 대칭 곱에서의 경로는

X

의

n

개 점을 비순서화된

n

-튜플로 간주하여,

n

개의 끈을 추적한다. 끈이 서로 지나가지 않도록, 구별되는 점들의

n

-튜플의 궤도인 대칭 곱의 부분 공간

Y

로 이동한다. 즉,

x_i = x_j

(

1\le i)로 정의된 X^n 의 모든 부분 공간을 제거한다. 이는 대칭군에 불변이며, Y 는 제외되지 않은 n -튜플의 대칭군에 의한 몫이다. Y 는 연결되어 있다.

'''

n

개의 끈을 가진

X

의 꼬임군'''은

Y

의 기본군으로 정의된다 (기저점 선택은 동형사상까지 잘 정의됨).

X

가 유클리드 평면인 경우가 아르틴의 원래 경우이다.

Y

의 더 높은 호모토피 군은 자명하다.

n=4

일 때, 4개의 점이 두 쌍으로 일렬로 늘어서 있고, 그 사이를 잇는 평행한 끈 4개가 있는 그림과 같은 상황을 생각한다.

]]|]]

e

옆 끈을 교차시키는 3가지 연산 $\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3$ 를 고려한다.

]]|]]

\sigma_1

]]

\sigma_2

]]

\sigma_3

$\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3$ 및 그 교차의 상하를 반전시킨 연산을 반복하여 하나의 끈 상태를 만든다. 이를 '''브레이드''' 또는 '''땋은 끈'''이라고 한다.

두 브레이드 a, b의 곱 ab는 a 오른쪽에 b를 연결하고 a의 왼쪽 끝점과 b의 오른쪽 끝점을 새 끝점으로 하는 브레이드이다.

$B_4$ 는 $\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3$ 를 생성원으로 하는 군이며, 기본 관계식은 다음과 같다.

# $\sigma_1 \sigma_3 = \sigma_3 \sigma_1$

# $\sigma_1 \sigma_2 \sigma_1 = \sigma_2 \sigma_1 \sigma_2$

# $\sigma_2 \sigma_3 \sigma_2 = \sigma_3 \sigma_2 \sigma_3$

이는 얽힘이 같은 브레이드에 관한 등식이며, 1은 공통 끈이 없는 교차 연산은 가환임을, 2와 3은 라이데마이스터 이동 III형의 동치성에 해당한다.

2. 1. 꼬임군의 표현

n^영어가닥의 꼬임군

\operatorname{Braid}(n)

은 다음과 같은 생성원과 관계식을 갖는 유한생성군으로 표현될 수 있다.^[13]^[14] 꼬임군의 원소들을 꼬임(braid^영어)이라고 한다.

:

\operatorname{Braid}(n)= \left \langle \sigma_1,\ldots,\sigma_{n-1}| \sigma_i\sigma_{i+1}\sigma_i=\sigma_{i+1}\sigma_i\sigma_{i+1}, \sigma_i\sigma_j=\sigma_j\sigma_i \right \rangle

여기서 첫 번째 관계식은

i=1,2,\dots,n-2

이고, 두 번째 관계식은

|i-j|\ge2

이다.

생성원

\sigma_i

는 i번째 가닥과 i+1번째 가닥을 한 번 꼬는 것을 나타낸다. 예를 들어, 4가닥의 꼬임군(

\operatorname{Braid}(4)

)의 생성원은 다음과 같다.

σ₁	σ₂	σ₃
	σ₂	σ₃

꼬임군에서의 연산은 꼬임들을 서로 연결하는 것이다. 예를 들어

꼬임의 연산 예시
--	·	--	=	σ₃σ₂

위에서 제시된 관계식

: $\sigma_i\sigma_{i+1}\sigma_i=\sigma_{i+1}\sigma_i\sigma_{i+1}$

: $\sigma_i\sigma_j=\sigma_j\sigma_i\qquad(|i-j|\ge2)$

는 꼬임 합성의 호모토피적 동치 관계를 나타낸다. 즉, 꼬임을 어떻게 변형하더라도 꼬임의 연결 관계가 변하지 않으면 같은 꼬임으로 간주한다는 의미이다.

이러한 관계식은 양-바스터 방정식 이론에서 중요한 역할을 한다.

2. 2. 무한 꼬임군

꼬임군 사이에는 다음과 같은 포함 관계가 존재한다.

:

\operatorname{Braid}(n)\hookrightarrow\operatorname{Braid}(n+1)

:

\sigma_i^{(n)}\mapsto\sigma_i^{(n+1)}

이렇게 하여, 귀납적 극한을 취하면 '''무한 꼬임군'''

\operatorname{Braid}(\infty)

을 얻는다.

:

\operatorname{Braid}(\infty)=\varinjlim_n\operatorname{Braid}(n)

무한 가닥으로 이 개념을 일반화하는 방법은 많다. 가장 간단한 방법은 꼬임군들의 직접 극한을 취하는 것인데, 이때 결합 사상

f \colon B_n \to B_{n+1}

는

B_{n}

의

n-1

개의 생성자를

B_{n+1}

의 처음

n-1

개의 생성자로 보낸다(즉, 자명한 가닥을 부착함으로써). 그러나 이 군은 연속성을 유지하면서 거리화 가능한 위상을 허용하지 않는다.

폴 페이블(Paul Fabel)은 결과적인 군에 부과될 수 있는 두 개의 위상이 있으며, 각각의 완비가 다른 군을 생성한다는 것을 보였다.^[17] 첫 번째는 매우 온순한 군이며, 무한히 구멍 뚫린 원반—원반의 경계로 수렴하는 이산적인 구멍 집합—의 사상 클래스 군과 동형이다.

두 번째 군은 유한 꼬임군과 동일하게 생각할 수 있다. 각 점

(0, 1/n)

에 가닥을 놓고, 꼬임—꼬임은 함수가 종점에서의 순열을 생성하도록

(0, 1/n, 0)

에서

(0, 1/n, 1)

까지의 경로들의 모음으로 정의됨—의 집합은 이 더 거친 군과 동형이다. 흥미로운 사실은 이 군에서의 순수 꼬임군은 유한 순수 꼬임군

P_n

의 역 극한과 힐베르트 큐브에서 집합

:

\{(x_i)_{i\in \mathbb{N}} \mid x_i=x_j\text{ for some }i\ne j\}.

을 뺀 공간의 기본군과 동형이라는 것이다.

2. 3. 드오르누아 순서

꼬임군

\operatorname{Braid}(n)

위에는 '''드오르누아 순서'''(Dehornoy order^영어)라는 전순서가 존재하며, 이는 군의 왼쪽 작용에 대하여 불변이다. 구체적으로, 드오르누아 순서에서 양인 원소는

\sigma_1,\dots,\sigma_{n-1}

들과 이들의 역원의 곱으로 만든 문자열 가운데 적어도 한

i\in\{1,\dots,n-1\}

가 다음 세 조건을 모두 만족시키는 것이다.

문자열은 $\sigma_i$ 를 포함한다.
모든 $j 에 대하여, 문자열은 \sigma_j 를 포함하지 않는다.$
모든 $j\le i$ 에 대하여, 문자열은 $\sigma_j^{-1}$ 를 포함하지 않는다.

이러한 원소들의 집합을

P

라고 하면,

PP\subseteq P

이며, 꼬임군은

:

\operatorname{Braid}(n)=P\sqcup P^{-1}\sqcup\{1\}

이다.

3. 성질

꼬임군의 모든 원소는 항등원을 제외하고 무한한 차수를 갖는다. n ≥ 2일 때, Bₙ은 두 개의 원소로 생성되는 자유군을 부분군으로 갖는다.

꼬임군 $B_1$ 은 자명군이며, $B_2$ 는 무한 순환군 $\Z$ 이고, $B_3$ 는 매듭군 중 세잎 매듭의 매듭군과 동형이며, 특히 무한 비가환군이다.
$n$ -가닥 꼬임군 $B_n$ 은 처음 $n$ 개의 가닥을 교차하지 않는 추가 가닥을 더함으로써 $(n+1)$ -가닥 꼬임군 $B_{n+1}$ 의 부분군으로 포함된다. 모든 $n \ge 1$ 에 대한 꼬임군의 증가하는 합집합은 '''무한 꼬임군''' $B_{\infty}$ 이다.
$B_n$ 의 모든 비항등원은 무한 차수를 가진다. 즉, $B_n$ 은 꼬임이 없는 군이다.
$B_n$ 에는 Dehornoy 순서라고 불리는 좌불변 선형 순서가 존재한다.
$n\ge 3$ 에 대해, $B_n$ 은 두 개의 생성원에 대한 자유군과 동형인 부분군을 포함한다.
$\sigma_i \mapsto 1$ 에 의해 정의된 군 준동형사상 $B_n \to \Z$ 가 존재한다. 예를 들어, 꼬임 $\sigma_2\sigma_3\sigma_1^{-1}\sigma_2\sigma_3$ 은 $1 + 1 - 1 + 1 + 1 = 3$ 으로 매핑된다. 이 맵은 꼬임군의 가환화에 해당한다. $\sigma_i^k \mapsto k$ 이므로, $\sigma_i^k$ 는 $k=0$ 일 때만 항등원이 된다. 이것은 생성원이 무한 차수를 갖는다는 것을 증명한다.

3. 1. 몫군

꼬임군의 아벨화는 무한 순환군이다. 구체적으로는 다음과 같다.

:

\sigma_i\mapsto 1\qquad(i=1,\dots,n-1)

:

\sigma_i^{-1}\mapsto -1\qquad(i=1,\dots,n-1)

꼬임군은 대칭군을 다음과 같이 몫군으로 갖는다.

:

\operatorname{Braid}(n)\twoheadrightarrow\operatorname{Sym}(n)=\operatorname{Sym}(\{1,2,\dots,n\})

:

\sigma_i\mapsto(i,i+1)\qquad(i=1,\dots,n-1)

:

\sigma_i^{-1}\mapsto(i,i+1)\qquad(i=1,\dots,n-1)

3. 2. 중심

n \ge 3

일 때, 꼬임군

\operatorname{Braid}(n)

의 중심은 다음과 같은 원소로 생성되는 무한 순환군이다.^[24]

:

\left(\sigma_1(\sigma_2\sigma_1)\cdots(\sigma_{n-1}\sigma_{n-2}\cdots\sigma_1)\right)^2

n \le 2

일 경우, 꼬임군은 아벨 군이므로 군 전체가 중심이다.

4. 예

꼬임군	동형인 군
$\operatorname{Braid}(0)$	자명군
$\operatorname{Braid}(1)$	자명군
$\operatorname{Braid}(2)$	무한 순환군 $\mathbb Z$
$\operatorname{Braid}(3)$	세잎매듭의 매듭군 $\pi_1(S^3\setminus 3_1)$ , 모듈러 군의 중심 확대

3차 꼬임군은 가장 낮은 가닥 수의 비가환 꼬임군이다.

4. 1. 3차 꼬임군

3가닥 꼬임군

\operatorname{Braid}(3)

은 가장 낮은 가닥 수의 비가환 꼬임군이다. 이 군은 세잎매듭 3₁의 매듭군

\pi_1(S^3\setminus 3_1)

과 동형이며, 모듈러 군

\operatorname{PSL}(2;\mathbb Z)

의 중심 확대이다. 이 관계는 다음과 같은 가환그림으로 나타낼 수 있다.

-|]]|]]

여기서

\overline{\operatorname{SL}(2;\mathbf R)}

은

\operatorname{SL}(2;\mathbb R)

의 범피복군이다. 모듈러 군은 중심이 없으므로, 모듈러 군은

\operatorname{Braid}(n)

의 중심에 대한 몫군과 동형이다.

:

\operatorname{PSL}(2;\mathbb Z)=\operatorname{Braid}(n)/\operatorname Z(\operatorname{Braid}(n))

브레이드 군 B₃는 모듈러 군

\Gamma

의 중심 확대이다. 즉,

B_3

의 중심을

Z(B_3)

로 나타낼 때, 다음의 짧은 완전열을 만족한다.^[1]

:

1 \to Z(B_3) \to B_3 \to \Gamma \to 1

따라서

\Gamma \cong B_3/Z(B_3)

이다.^[1]

5. 응용

꼬임군 이론은 유체 역학, 특히 유체 흐름의 혼돈 혼합 분야에 적용되었다. 물리적 막대, 주기 궤도 등의 운동으로 형성된 시공간 궤도의 꼬임은 닐센-서스턴 분류를 사용하여 여러 유체 시스템의 위상 엔트로피를 추정하는데 사용되었다.^[3]^[4]^[5]

양자 물리학에서 꼬임군 및 관련 위상 개념은 애니온 이론 및 양자 컴퓨터 연구에 응용된다. 애니온은 오류 정정 양자 컴퓨터의 기반을 형성할 수 있으며, 양자 정보에서 중요하다.

5. 1. 꼬임 지수

J. W. 알렉산더의 정리에 따르면 모든 매듭은 꼬임의 "폐쇄"로 얻어질 수 있다.^[6] 1935년에 안드레이 마르코프 주니어는 해당 닫힌 꼬임에서 동치를 생성하는 꼬임 다이어그램에 대한 두 가지 움직임을 설명했다.^[6] 마르코프 정리는 두 꼬임의 닫힘이 동등한 매듭이 되는 데 필요한 충분 조건을 제공한다.^[8]

꼬임 지수는 매듭의 닫힌 꼬임 표현을 만들기 위해 필요한 최소 끈의 수이다.^[9] 이는 매듭의 모든 투영에서 자이페르트 원의 최소 수와 같다.^[9]

6. 역사

꼬임군은 1925년 에밀 아르틴에 의해 명시적으로 소개되었지만, 1974년 빌헬름 마그누스가 지적했듯이^[10] 이미 1891년 아돌프 후르비츠의 모노드로미에 관한 연구에 암묵적으로 나타나 있었다.

1947년 에밀 아르틴은 꼬임군을 명시적인 표현으로 설명했다.^[11] 꼬임군은 특정 배치 공간의 기본군으로 이해할 수도 있다.^[11]

마그누스는 후르비츠가 꼬임군을 배치 공간의 기본군으로 해석했으며(cf. 꼬임 이론), 이러한 해석은 1962년 랄프 폭스와 리 노이워스에 의해 재발견되기 전까지 잊혀졌다고 말했다.^[12]

7. 추가 성질

는 자명군이고, 는 무한 순환군 이며, 는 세잎 매듭의 매듭군과 동형이다.
에 대해, 은 두 개의 생성원을 갖는 자유군과 동형인 부분군을 포함한다. 따라서 이 군들은 가환군이 아닌 무한군이다.
단위원을 제외한 모든 의 원소는 그 위수가 무한이다. 즉, 은 꼬임이 없다.
위에는 라고 불리는 좌불변인 전순서가 존재한다.
은 1개의 새로운 끈을 최초의 개의 끈 중 어느 것과도 교차하지 않도록 추가함으로써, -가닥의 땋임군 의 부분군으로서 매립할 수 있다.

8. 상호 관계

꼬임군은 대칭군, 순수 꼬임군, 모듈러 군, 사상류군 등 다양한 군들과의 관계를 맺고 있다.

대칭군 및 순수 꼬임군과의 관계: 꼬임의 교차를 무시하면, *n*개의 가닥에 대한 모든 꼬임은 *n*개의 원소에 대한 순열을 결정한다. 이는 꼬임군에서 대칭군으로의 전사적 군 준동형사상 $B_n → S_n$을 정의하며, 이 준동형사상의 핵은 순수 꼬임군 $P_n$이다. 순수 꼬임군은 각 끈의 시작점과 종점이 같은 위치에 있는 꼬임들로 구성된다.^[13]

모듈러 군과의 관계: 3가닥 꼬임군($B_3$)은 모듈러 군 $\operatorname{PSL}(2, \mathbb Z)$의 보편적 중심 확대이며, $B_3$를 그 중심 $Z(B_3)$로 나눈 몫군은 모듈러 군과 동형이다.^[13]

사상류군과의 관계: 꼬임군 $B_n$은 $n$개의 구멍이 뚫린 원판의 사상류군과 동형이다. 이를 통해 각 꼬임은 주기적, 가약 또는 유사 아노소프로 분류할 수 있다.^[13]

8. 1. 대칭군 및 순수 꼬임군과의 관계

꼬임의 교차를 무시하면, *n*개의 가닥에 대한 모든 꼬임은 *n*개의 원소에 대한 순열을 결정한다. 이는 꼬임군에서 대칭군으로의 전사적 군 준동형사상 *B_n* → *S_n*을 정의한다. 꼬임 σ_*i* ∈ *B_n*의 이미지는 전위 *s_i* = (*i*, *i*+1) ∈ *S_n*이다.

이 준동형사상 *B_n* → *S_n*의 핵은 *n*개의 가닥에 대한 순수 꼬임군이라 불리며 *P_n*으로 표기되는 *B_n*의 부분군이다. 순수 꼬임군은 다음 짧은 완전열을 만족한다.

:1→F_n-1→P_n→P_n-1→1.

이 수열은 분리되므로 순수 꼬임군은 자유군의 반복적인 반직접곱으로 구성된다.

기하학적으로 순수 꼬임군은 각 끈의 시작점과 종점이 같은 위치에 있는 꼬임들로 구성되어, 단일 치환으로 사상되는 원소들이다.

8. 2. B₃와 모듈러 군의 관계

3가닥 꼬임군(

B_3

)은 모듈러 군

\operatorname{PSL}(2,\mathbb Z)

의 보편적 중심 확대이다. 모듈러 군은 자명한 중심을 가지므로,

B_3

를 그 중심

Z(B_3)

로 나눈 몫군과 동형이다. 이는

B_3

의 내부 자기 동형의 군과 동형이다.

다음은 이 동형 사상에 대한 설명이다.

:

a = \sigma_1 \sigma_2 \sigma_1, \quad b = \sigma_1 \sigma_2

라고 정의하면, 꼬임 관계로부터

a^2 = b^3

가 성립한다. 이 마지막 곱을

c

로 표시하면, 꼬임 관계로부터 다음이 성립한다.

:

\sigma_1 c \sigma_1^{-1} = \sigma_2 c \sigma_2^{-1}=c

이는

c

가

B_3

의 중심에 있음을 의미한다.

C

를

c

에 의해 생성된

B_3

의 부분군으로 나타내면,

C \subset Z(B_3)

이므로, 이는 정규 부분군이며 몫군

B_3/C

를 취할 수 있다.

B_3/C \cong \operatorname{PSL}(2,\mathbb Z)

이며, 이 동형 사상은 다음과 같이 주어진다. 잉여류

\sigma_1 C

및

\sigma_2 C

는 다음으로 매핑된다.

:

\sigma_1C \mapsto R=\begin{bmatrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \qquad \sigma_2C \mapsto L^{-1}=\begin{bmatrix}1 & 0 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}

여기서

L

및

R

은 슈테른-브로코 트리의 표준 좌/우 이동이며, 이러한 이동은 모듈러 군을 생성한다.

모듈러 군의 일반적인 표현 중 하나는 다음과 같다.

:

\langle v,p\, |\, v^2=p^3=1\rangle

여기서

:

v=\begin{bmatrix}0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}, \qquad p=\begin{bmatrix}0 & 1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}.

a

를

v

로,

b

를

p

로 매핑하면 전사 군 준동형사상

B_3 \to \operatorname{PSL}(2,\mathbb Z)

가 생성된다.

B_3

의 중심은

C

와 같으며, 이는

c

가 중심에 있다는 사실, 모듈러 군이 자명한 중심을 갖는다는 사실, 그리고 위의 전사 준동형사상이 핵

C

를 갖는다는 사실의 결과이다.

8. 3. 사상류군과의 관계 및 꼬임의 분류

꼬임군 $B_n$은 $n$개의 구멍이 뚫린 원판의 매핑 클래스 군과 동형이다. 이는 각 구멍이 원판의 경계와 끈으로 연결되어 있다고 상상하면 시각적으로 이해하기 쉽다. 두 구멍을 치환하는 각 매핑 준동형은 끈의 호모토피, 즉 끈들의 꼬임으로 볼 수 있다.

이러한 꼬임의 매핑 클래스 군 해석을 통해, 각 꼬임은 주기적, 가약 또는 유사 아노소프로 분류할 수 있다.

n=4인 경우를 예로 들어보자. 일렬로 늘어선 4개의 점이 두 쌍으로 있고, 그 사이를 잇는 평행한 끈이 4개 있는 상황을 생각할 수 있다.

이러한 끈에 대해, 옆 끈을 교차시키는 세 가지 연산 $\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3$를 생각할 수 있다.

끈의 교차에서는 상하를 구별하며, 예를 들어 다음은 $\sigma_1$과는 다른 연산으로 간주된다. (이는 $\sigma_1$의 역원인 $\sigma_1^{-1}$으로 간주할 수 있다.)

-|]]

$\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3$ 및 그 교차의 상하를 반전시킨 연산을 반복하여 얻어지는 하나의 구체적인 끈의 상태를 '''브레이드''' 또는 '''땋은 끈'''이라고 부른다.

두 개의 브레이드 a, b가 있을 때, a의 오른쪽에 b를 연결하고 a의 원래 왼쪽 끝점과 b의 오른쪽 끝점을 새로운 끝점으로 하는 브레이드를 a와 b의 곱 ab로 정의한다. 곱셈의 예시는 아래 표와 같다.

곱셈의 예
	a	b	ab
예1	]] $\sigma_3$	]] $\sigma_2$	]] $\sigma_3 \sigma_2$
예2	]] $\sigma_1^{-1} \sigma_3^{-1}$	]] $\sigma_1 \sigma_3^{-1}$	]] $\sigma_3^{-2}$

임의의 브레이드와, 맨 앞의 브레이드 $e$의 곱은 원래 브레이드를 변경하지 않는다. 또한 임의의 브레이드에 대해, 그 오른쪽 끝의 모든 점을 통과하는 세로선을 축으로 하여 경면 반전시킨 브레이드와의 곱을 취하면 $e$가 되므로, 항상 역원이 존재한다. 따라서 브레이드는 위의 곱에 관해 군이 되며, 이 군이 $B_4$이다.

$B_4$를 $\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3$를 생성원으로 하는 군으로 볼 때, 그 기본 관계식은 아래와 같다.

# $\sigma_1 \sigma_3 = \sigma_3 \sigma_1$

# $\sigma_1 \sigma_2 \sigma_1 = \sigma_2 \sigma_1 \sigma_2$

# $\sigma_2 \sigma_3 \sigma_2 = \sigma_3 \sigma_2 \sigma_3$

위의 관계식 1은 대상에 공통 끈이 없는 교차 연산은 가환임을 나타내는 조건이고, 2 및 3은 라이데마이스터 이동 III형의 동치성에 상당한다.

브레이드 군 $B_n$은 $n$개의 구멍을 가진 원판의 사상류군과 동형이다. 이는 사상류군의 각 원소가 구멍끼리 서로 바꾸므로, 원래 작용 전후의 같은 위치에 있는 구멍을 잇는 끈의 집합을 브레이드로 간주함으로써 브레이드와 대응시킬 수 있기 때문이다.

사상류군의 원소에 관한 닐센-써스턴 분류에 따라 브레이드를 주기적, 가약적, 의사 아노소프의 세 종류로 분류할 수 있다.

9. 매듭 이론과의 연관성

꼬임의 양 끝을 연결하면 고리 또는 매듭을 얻을 수 있다. 알렉산더 정리에 따르면, 모든 매듭과 고리는 적어도 하나의 꼬임으로부터 이러한 방식으로 발생한다.^[8] 꼬임은 생성자에서의 단어로 구체적으로 주어질 수 있기 때문에, 이것은 종종 매듭을 컴퓨터 프로그램에 입력하는 데 선호되는 방법이다.

바운 존스는 원래 자신의 존스 다항식을 꼬임 불변량으로 정의한 다음, 닫힌 꼬임의 클래스에만 의존한다는 것을 보였다. 1935년에 마르코프는 해당 닫힌 꼬임에서 동치를 생성하는 꼬임 다이어그램에 대한 두 가지 움직임을 설명했다.^[6] 마르코프 정리는 두 꼬임의 닫힘이 동등한 매듭이 되는 데 필요한 충분 조건을 제공한다.^[8]

10. 계산적 측면

단어 문제는 효율적으로 해결 가능하며 생성자 σ|σ^영어, ..., σ에 대한 ''B''}}의 원소에 대한 정규 형식이 존재한다. 자유 GAP 컴퓨터 대수 시스템은 원소가 이러한 생성자를 기준으로 주어지는 경우 ''B''}}에서 계산을 수행할 수 있다. 또한 꼬임군을 특별히 지원하는 GAP3용 ''CHEVIE''라는 패키지도 있다. 단어 문제는 로렌스-크래머 표현을 통해 효율적으로 해결된다.^[15]

단어 문제 외에도 꼬임군을 구현할 수 있는 몇 가지 어려운 계산 문제가 알려져 있으며 암호화 분야에서 적용될 수 있다고 제안되었다.^[23]

11. 작용

대칭군의 순열에 의한 작용과 유사하게, 다양한 수학적 설정에서 꼬임군은 "꼬임"을 포함하는 대상의 ''n''-튜플 또는 ''n''-겹 텐서 곱에 자연스러운 작용을 한다. 임의의 군 ''G''를 고려하고 ''X''를 ''G''의 원소의 모든 ''n''-튜플의 집합으로 정의하며, 곱이 ''G''의 항등원이 되도록 한다. 그러면 ''B_n''은 다음과 같은 방식으로 작용한다.

: $\sigma_i \left (x_1,\ldots,x_{i-1},x_i, x_{i+1},\ldots, x_n \right)= \left (x_1,\ldots, x_{i-1}, x_{i+1}, x_{i+1}^{-1}x_i x_{i+1}, x_{i+2},\ldots,x_n \right ).$

따라서 원소 ''x_i''와 ''x''_''i''+1''은 자리를 바꾸고, 추가적으로 ''x_i''는 ''x''_''i''+1''에 해당하는 내부 자기 동형에 의해 꼬인다. 이는 ''x''의 구성 요소의 곱이 항등원으로 유지되도록 한다. 꼬임군 관계가 만족하는지 확인할 수 있으며, 이 공식은 실제로 ''B_n''의 ''X''에 대한 군 작용을 정의한다. 또 다른 예로, 꼬임 모노이드 범주는 꼬임군 작용을 갖는 모노이드 범주이다. 이러한 구조는 현대 수리 물리학에서 중요한 역할을 하며, 양자 매듭 불변량으로 이어진다.

12. 표현

꼬임군 ''B_n''의 원소는 행렬로 더 구체적으로 표현될 수 있다. 이러한 고전적인 표현 중 하나는 행렬 요소가 단일 변수 로랑 다항식인 부라우 표현이다. 부라우 표현이 충실한 표현인지에 대한 오랜 질문이 있었지만, ''n'' ≥ 5에 대해 부정적인 것으로 밝혀졌다.

1990년, 루스 로렌스는 여러 매개변수에 의존하는 보다 일반적인 "로렌스 표현"의 집합을 설명했다. 2001년경 스티븐 비글로우와 단 크라머는 모든 꼬임군이 선형군임을 독립적으로 증명했다. 그들의 연구는 변수 q^영어와 t^영어에 의존하는 차원 $n(n-1)/2$ 의 로렌스-크라머 표현을 사용했다. 이러한 변수를 적절하게 특수화함으로써 꼬임군 $B_n$ 은 복소수에 대한 일반 선형군의 부분군으로 실현될 수 있다.

브레이드 군 ''B_n''^영어의 선형 표현으로 고전적인 Burau 표현|en|Burau representation^한국어이나, Lawrence-Krammer(-Bigelow) 표현|en|Lawrence–Krammer representation^한국어이 알려져 있다.

Burau 표현은 1변수 정수 계수 로랑 다항식환의 일반 선형군으로 간주될 수 있다.

: $B_n \to GL_{n-1}(\Z[\Z]).$

Burau 표현이 충실한지 여부는 오랫동안 문제였지만, $n \ge 5$ 에 대해서는 그렇지 않다는 것이 밝혀졌다.

Lawrence-Krammer(-Bigelow) 표현은 2변수 정수 계수 로랑 다항식환의 일반 선형군으로 간주될 수 있다.

: $B_n \to GL_{\binom n2}(\Z[\Z^2]).$

1996년, C. 나약(C. Nayak)과 프랭크 윌첵은 SO(3)^영어의 사영 표현의 유사점으로 브레이드 군의 사영 표현이 분수 양자 홀 효과에 관한 준입자에 관한 물리적 의미를 갖는다고 제창했다.^[22]

13. 무한 생성 꼬임군

무한 가닥으로 꼬임군을 일반화하는 방법은 여러 가지이다. 가장 간단한 방법은 꼬임군들의 직접 극한을 취하는 것이지만, 이 군은 연속성을 유지하면서 거리화 가능한 위상을 허용하지 않는다.

폴 페이블(Paul Fabel)은 서로 다른 두 위상을 통해 완비가 되는 서로 다른 군을 생성할 수 있음을 보였다.^[17] 첫 번째 군은 매우 온순하며, 무한히 구멍 뚫린 원반—원반의 경계로 수렴하는 이산적인 구멍 집합—의 사상 클래스 군과 동형이다.

두 번째 군은 유한 꼬임군과 비슷하게 생각할 수 있다. 각 점 $(0, 1/n)$ 에 가닥을 놓고, 꼬임(함수가 종점에서의 순열을 생성하도록 $(0, 1/n, 0)$ 에서 $(0, 1/n, 1)$ 까지의 경로들의 모음으로 정의됨)의 집합은 이 더 거친 군과 동형이다. 이 군에서의 순수 꼬임군은 유한 순수 꼬임군 $P_n$ 의 역 극한과 힐베르트 큐브에서 특정 집합을 뺀 공간의 기본군과 동형이다.

14. 코호몰로지

군 코호몰로지 $G$ 의 코호몰로지는 해당 Eilenberg–MacLane 분류 공간 $K(G, 1)$ 의 코호몰로지로 정의되며, 이 공간은 $G$ 에 의해 호모토피까지 고유하게 결정되는 CW 복합체이다. 꼬임군 $B_n$ 의 분류 공간은 평면( $\R^2$ )에서 서로 다른 $n$ 개의 점들의 모든 집합의 공간(번째 정렬되지 않은 배치 공간)이다.^[18]

: $\operatorname{UConf}_n(\R^2) = \{ \{u_1, ..., u_n\} : u_i \in \R^2, u_i \neq u_j \text{ for } i \neq j \}$ .

계수가 $\Z/2\Z$ 인 계산은 Fuks (1970)에서 찾을 수 있다.^[19]

마찬가지로 순수 꼬임군 $P_n$ 의 분류 공간은 평면( $\R^2$ )의 번째 ''정렬된'' 배치 공간 $\operatorname{Conf}_n(\R^2)$ 이다. 1968년 블라디미르 아르놀트(Vladimir Arnold)는 순수 꼬임군 $P_n$ 의 정수 코호몰로지가 다음 관계식을 만족하는 차수 1인 클래스 $\omega_{ij} \; \; 1 \leq i < j \leq n$ 의 모음으로 생성된 외대수의 몫이라고 밝혔다:^[20]

: $\omega_{k,\ell} \omega_{\ell,m} + \omega_{\ell,m} \omega_{m,k} + \omega_{m,k} \omega_{k,\ell} =0.$

참조

_[1] 웹사이트 Braid Group http://mathworld.wol[...]
_[2] 논문 The Braid Monodromy of Plane Algebraic Curves and Hyperplane Arrangements 1997
_[3] 간행물 Topological fluid mechanics of stirring http://www.math.ufl.[...]
_[4] 간행물 Topological mixing with ghost rods
_[5] 간행물 Topological chaos and periodic braiding of almost-cyclic sets
_[6] 간행물 Über die freie Äquivalenz der geschlossenen Zöpfe http://mi.mathnet.ru[...]
_[7] 간행물 Markov's theorem in 3-manifolds
_[8] 서적 Braids, links, and mapping class groups Princeton University Press
_[9] 웹사이트 Braid Index http://mathworld.wol[...] MathWorld – A Wolfram Web Resource 2014-08
_[10] 서적 Proceedings of the Second International Conference on the Theory of Groups Springer
_[11] 논문 Theory of Braids 1947
_[12] 논문 The braid groups
_[13] arXiv BRAIDS: A SURVEY 2004
_[14] 웹사이트 Introduction to Braid Groups https://www.math.uch[...]
_[15] arXiv Braid Group Cryptography 2009
_[16] 간행물 "{{math|2''n''}} Quasihole States Realize {{math|2^''n''-1}}-Dimensional Spinor Braiding Statistics in Paired Quantum Hall States" 1996
_[17] 간행물 Completing Artin's braid group on infinitely many strands
_[18] 서적 Braids World Scientific 2009-12-01
_[19] 논문 Cohomology of the braid group mod 2
_[20] 논문 The cohomology ring of the colored braid group http://www.pdmi.ras.[...]
_[21] 서적 Proceedings of the Second International Conference on the Theory of Groups Springer
_[22] 간행물 "{{math|2''n''}} Quasihole States Realize {{math|2^''n''-1}}-Dimensional Spinor Braiding Statistics in Paired Quantum Hall States" 1996
_[23] arXiv Braid Group Cryptography 2009
_[24] 저널 Basic results on braid groups

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