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다중선형대수학

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목차

1. 개요

다중선형대수학은 선형대수학의 개념을 확장하여 여러 벡터 공간 간의 선형 관계를 연구하는 분야이다. 19세기에 다중선형사상의 개념에서 시작되어, 텐서 대수, 대칭 대수, 외대수 등의 대수 구조를 바탕으로 구성된다. 텐서곱, 외적, 대칭곱 등의 도구를 활용하여 물리학, 공학, 컴퓨터 과학 등 다양한 분야에 응용되며, 특히 텐서 개념은 다중선형대수학의 핵심적인 특징 중 하나이다. 텐서 대수, 대칭 대수, 외대수를 적용하여 등급 선형환의 다발을 얻을 수 있으며, 이를 통해 다양한 기하학적, 물리학적 문제를 해결하는 데 기여한다.

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다중선형대수학
개요
분야수학
하위 분야선형대수학
세부 분야
주요 개념다중선형 사상, 텐서 대수, 대칭 대수, 외대수

2. 역사

다중선형대수학의 기원은 19세기의 선형대수학 연구나 텐서 해석학 등 여러 분야에서 찾을 수 있다. 20세기 전반의 미분기하학, 일반 상대성 이론, 응용수학 분야에서 텐서가 사용되면서 다중선형대수의 개념은 더욱 발전되었다.

다중선형대수는 재료의 기계적 반응(응력, 변형), 탄성 계수, 다변수 미적분학, 다양체 연구, 야코비 행렬 등과 관련이 깊다. 무한소 미분은 다변수 미적분학에서 미분 형식으로 변환되며, 외대수를 통해 조작된다.[3]

니콜라 부르바키는 수학 원론의 "Algèbre Multilinéaire" 장에서 이중 선형 함수, 가군의 텐서 곱, 텐서 곱의 속성 등을 다루었다.[6]

2. 1. 초기 발전

19세기에 나타난 다중선형사상의 개념은 카를 프리드리히 가우스가 곡면에 대한 미분기하학을 만들 때 등장하였고, 얼마 뒤 헤르만 그라스만도 선형대수학을 연구하면서 도입하였다.[2] 이는 초기에 텐서라고 불렸으며, '텐서 해석학' 혹은 '텐서장의 텐서 미적분학' 등으로 불리는 분야가 출현했는데, 여기에서 다중선형대수학의 기원을 찾을 수 있다.

헤르만 그라스만과 같은 수학자들은 벡터를 일반화하는 쌍, 삼중체 및 다중벡터를 포함하는 구조를 고려했다. 여러 조합 가능성으로 인해 다중벡터 공간은 관련 벡터 공간의 차원(''n'')에 대해 2''n'' 차원으로 확장된다.[2] 행렬식은 추상적으로 공식화될 수 있으며, 다중선형대수의 구조를 사용한다.

"텐서"라는 용어는 다중선형 공간 내의 요소를 설명한다. 1844년 그라스만의 초기 연구인 ''Ausdehnungslehre''(1862년 재출판)에도 불구하고, 당시에는 일반적인 선형대수조차 많은 어려움을 겪었기 때문에 이 주제는 처음에는 널리 이해되지 못했다.[2]

그라스만에 이어, 다중선형대수의 발전은 1872년 빅토르 슈레겔에 의해 그의 저서 ''System der Raumlehre''의 첫 번째 부분[4]이 출판되었고, 엘윈 브루노 크리스토펠에 의해 이루어졌다. 특히, 그레고리오 리치-쿠르바스트로와 툴리오 레비-치비타의 작업,[5] 특히 다중선형대수 내의 ''절대 미분 미적분학''의 형태로 상당한 진전이 있었다. 마르셀 그로스만과 미켈레 베소는 이 형태를 알베르트 아인슈타인에게 소개했고, 1915년 아인슈타인의 수성의 근일점 세차운동을 설명하는 일반 상대성 이론에 관한 출판물은 다중선형대수와 텐서를 물리학의 중요한 수학적 도구로 확립했다.

2. 2. 20세기 재정식화

20세기 중반, 텐서 이론은 보다 추상적인 형태로 재정식화되었다. 부르바키의 『대수』[7]("다중선형대수" 장) 집필은 이 과정에 큰 영향을 미쳤으며, '다중선형대수'라는 용어 자체가 이들에 의해 만들어진 것으로 여겨진다. 이 시기에는 호몰로지 대수가 다중선형대수의 새로운 응용 분야로 나타났다.

1940년대 대수적 위상기하학의 발전에 따라, 공간의 직적과 호몰로지 군의 텐서곱과의 대응(Künneth theorem|큐넷 정리영어) 등을 이해하기 위해 텐서곱을 순수하게 대수적으로 정식화하고 다룰 필요성이 생겼다. 여기에는 많은 개념이 관련되어 있는데, 예를 들어 헤르만 그라스만에서 시작된 웨지곱 개념은 외적 개념을 일반화한 것이지만, 미분 형식 이론과 이어진 드람 코호몰로지 이론에 필수적인 형태로 이용되고 있다.

부르바키의 다중선형대수 재구성에서는 사원수(더 일반적으로는 리 군과의 관계에서 유도되는)를 통해 텐서를 생각하는, 이전까지 다중선형대수의 한 유파였던 방법은 버려졌다. 부르바키가 채택한 것은 더 범주론적인 방법론이었으며, 보편성에 기반한 논의를 통해 다중선형대수 이론은 크게 정리되었다. 이러한 과정을 통해 '텐서 공간'을 생각함으로써 다중선형성 문제가 단순한 선형성 문제로 바뀐다는 이해를 얻게 되었다. 이 과정에서 사용되는 조작은 순수 대수적인 것이며, 기하학적 직관은 겉보기에 완전히 배제되었다. 다중선형대수 이론을 대수적, 범주론적으로 정리함으로써 다중선형적 문제의 "최적해" 개념이 명확해졌고, 좌표계를 사용하거나 기하학적 개념에 의존할 필요 없이 모든 것이 "자연스럽게" 구성될 수 있게 되었다.

2. 3. 그라스만의 기여

헤르만 그라스만은 선형대수학을 연구하면서 벡터를 일반화하는 쌍, 삼중체 및 다중벡터를 포함하는 구조를 고려했다.[2] 다중벡터 공간은 관련 벡터 공간의 차원 ''n''에 대해 2''n'' 차원으로 확장된다.[2]

1844년 그라스만의 초기 연구인 ''Ausdehnungslehre''(1862년 재출판)에도 불구하고, 당시에는 일반적인 선형대수조차 이해하기 어려웠기 때문에 이 주제는 처음에는 널리 이해되지 못했다.[2]

2. 4. 절대 미분 미적분학

그레고리오 리치-쿠르바스트로와 툴리오 레비-치비타는 다중선형대수 내에서 ''절대 미분 미적분학''을 발전시켜 큰 진전을 이루었다.[5] 마르셀 그로스만과 미켈레 베소는 이를 알베르트 아인슈타인에게 소개했고, 1915년 아인슈타인이 수성의 근일점 세차운동을 설명하는 일반 상대성 이론을 발표하면서 다중선형대수와 텐서는 물리학의 중요한 수학적 도구로 자리 잡았다.

3. 정의

는 가환환으로 한다.

3. 1. 특징짓기

다중선형대수학은 텐서 대수, 대칭 대수, 외대수 등의 개념을 통해 특징지어진다. 이러한 개념들은 각각 고유한 성질과 보편 사상성을 만족하며, 동형을 제외하고 유일하게 결정된다.

3. 1. 1. 텐서 대수


  • 가군 의 텐서 대수 는 가환일 필요는 없는 -대수이며, 로부터의 선형 사상 를 가지며 다음 조건을 만족한다. (가환일 필요는 없는) -대수 에 대한 -선형 사상 가 주어졌을 때, 다음 그림이


:\begin{array}{ccc}

E & \to & A\\

\downarrow & & \downarrow\\

\mathrm{T}E & \to & A

\end{array}

가 가환이 되도록 하는 -대수의 준동형 사상 가 존재하고 유일하게 결정된다. 이 조건에 의해 쌍 는 동형을 제외하고 유일하게 결정된다.

3. 1. 2. 대칭 대수

K-가군 E의 대칭 대수 S''E''는 가환 K-대수이며, E로부터의 K-선형 사상을 가지고 다음 조건을 만족한다. 가환 K-대수 A로의 K-선형 사상 E → A가 주어졌을 때, 다음 그림

:\begin{array}{ccc}

E & \to & A\\

\downarrow & & \downarrow\\

\mathrm{S}E & \to & A

\end{array}

이 가환이 되도록 하는 K-대수의 준동형 사상 S''E'' → A가 존재하며, 유일하게 결정된다. 이 조건에 의해 쌍 (S''E'', E → T''E'')는 동형을 제외하고 유일하게 결정된다.

3. 1. 3. 외대수

–가군 의 외대수 는 가환적이지 않은 –대수이며, 로부터의 –선형 사상을 가지며, 다음 조건을 만족하는 것이다. (가환적이지 않은) –대수로의 선형 사상으로, 임의의 에 대해,

:{\phi(x)}^2 ~=~ 0

이 주어졌을 때, 다음과 같은 그림이

:\begin{array}{ccc}

E & \to & A\\

\downarrow & & \downarrow\\

\boldsymbol{\bigwedge} E & \to & A

\end{array}

가 가환이 되도록 하는 –대수의 준동형이 존재하여 유일하게 결정된다. 이 조건에 의해 쌍 는 동형을 제외하고 유일하게 결정된다.

3. 2. 구성

다중선형대수학의 구체적인 구성 방법은 원본 소스에 나타나 있지 않으므로, 이 섹션에는 내용을 추가할 수 없다.

3. 2. 1. 텐서곱과 텐서 대수

T0''E'' = ''K''로 하고, 1 < ''n''에 대해 ''n''번 텐서 곱을 취한 것을 Tn''E'' = ''E''⊗''n'' = ''E'' ⊗ … ⊗ ''E''로 하고, 이들의 직합 ⊕Tn''E''를 T''E''로 한다. 이 ''K'' - 가군은

:((''x''1 ⊗ … ⊗ ''x''m, ''y''1 ⊗ … ⊗ ''y''n) → ''x''1 ⊗ … ⊗ ''x''m ⊗ ''y''1 ⊗ … ⊗ ''y''n)

에 의해 정해지는 곱을 가지며 (일반적으로 비가환적인) ''K'' - 대수가 된다. Tn''E''를 ''E''의 ''n''차 텐서 멱(n|n차 텐서 멱영어)이라고 부른다.

''E''에서 T''E''로의 선형 사상은 ''E'' = T1''E'' → T''E''에 의해 주어진다. ''E''에서 ''K'' - 대수 ''A''로의 ''K'' - 선형 사상 φ: ''E'' → ''A''가 주어졌을 때, ''E'' → T''E''와 양립하는 준동형 T''E'' → ''A''는 ''x''1 ⊗ … ⊗ ''x''m → φ''x''1 ⊗ … ⊗ φ''x''m에 의해 주어진다.

3. 2. 2. 대칭 대수와 대칭곱

텐서 대수 T''E''영어에서 형태의 원소가 생성하는 양쪽 아이디얼을 라고 한다. 몫환 와 - 준동형 는 위에 언급한 대칭 대수의 보편성을 만족한다.

에서의 의 상 를 의 '''차 대칭곱''' ()이라고 부른다. 직접적으로, 는 를 다음 부분 가군

: \left\langle a (x \otimes y - y \otimes x) b \right| a, b는 제차원이고 \left. \deg(a) + \deg(b) = n - 2\right\rangle

으로 나눈 몫 가군이 되며, 는 의 직합이다.

3. 2. 3. 외대수와 외적

n|n영어차 외적(n|n영어 th exterior product)은 의 상 이다. 는 를 부분 가군

:\left\langle a (x \otimes x) b \right| a, b는 제차원이고 \left. \deg(a) + \deg(b) = n - 2\right\rangle

로 나눈 몫 가군이며, 는 의 직합으로 이루어져 있다.

4. 범주와 함자를 이용한 재해석

범주론적 관점에서 다중선형대수학을 이해할 수 있다. 텐서 대수는 함자 개념을 통해 설명할 수 있으며, 텐서곱 가군, 대칭곱 가군, 외적 가군에도 함자적 특징을 부여할 수 있다.[1]

4. 1. 함자적 특징

텐서 대수의 특징은 E → T(E)영어가 K-대수 범주에서 K-가군의 범주로의 포함 함자의 왼쪽 수반 함자임을 말하고 있다. 마찬가지로 E → S(E)영어는 가환 K-대수의 범주에서 K-가군의 범주로의 포함 함자의 왼쪽 수반 함자가 된다.

텐서곱 가군, 대칭곱 가군, 외적 가군에 대해서도 함자적 특징을 부여할 수 있다. n차 텐서 거듭제곱은 n변수 쌍선형 사상을 나타낸다. 즉, K-가군 F에 대해 E에서 F로의 n중 선형 사상을 Ln(E; F)로 표기하면, 함자 사이의 자연스러운 동일시 Ln(E; F) ≡ HomK(TnE, F)가 있다.

마찬가지로 n차 대칭 거듭제곱과 n차 외적도 각각 어떤 함자를 나타낸다고 볼 수 있다. 구체적으로, SnE는 n차 대칭 사상의 공간

:\operatorname{Sym}_n(E\,; F) = \{ \phi는 E에서 F로의 n중 선형 사상으로, \phi\left(x_1, \dots, x_i, x_{i + 1}, \dots, x_n\right) = \phi\left(x_1, \dots, x_{i+1}, x_i, \dots, x_n\right)을 만족한다.}

를 Symn(E; F) ≡ HomK(SnE, F)로 표현한다. 마찬가지로 ∧nE는 n차 교대 사상의 공간

: \operatorname{Alt}_n(E\,; F) = \{ \phi는 E에서 F로의 n중 선형 사상으로, xi = xi+1이면 \phi\left(x_1, \dots, x_n\right) = 0을 만족한다.}

를 표현한다.

4. 2. 대칭 사상과 교대 사상

차 대칭 거듭제곱과 차 외적도 각각 어떤 함자를 나타낸다고 볼 수 있다. 구체적으로, 는 차 대칭 사상의 공간

: \operatorname{Sym}_n(E\,; F) = \{ \phi는 E에서 F로의 n중 선형 사상으로, \phi\left(x_1, \dots, x_i, x_{i + 1}, \dots, x_n\right) = \phi\left(x_1, \dots, x_{i+1}, x_i, \dots, x_n\right)을 만족한다.}

를 로 표현한다. 마찬가지로 는 차 교대 사상의 공간

: \operatorname{Alt}_n(E\,; F) = \{ \phi는 E에서 F로의 n중 선형 사상으로, x_i = x_{i+1}이면 \phi\left(x_1, \dots, x_n\right) = 0을 만족한다.}

를 표현한다.

5. 대칭대수와 외대수의 구조

가군의 직합에 대해, 등급 가군으로서 자연스러운 동일시 나 가 있다.

5. 1. 모생성함수

가군의 직합 에 대해, 등급 가군으로서 자연스러운 동일시 나 가 있다. 즉, 각 자연수 에 대해

:\mathrm{S}^k(E \oplus F)

\equiv {\boldsymbol\bigoplus}_{k = m + n} \mathrm{S}^m E \otimes \mathrm{S}^n F,~

\boldsymbol{\bigwedge}^k(E \oplus F)

\equiv {\boldsymbol\bigoplus}_{k = m + n} \boldsymbol{\bigwedge}^m E \otimes \boldsymbol{\bigwedge}^n F



이 성립한다. 따라서, 나 의 모생성함수 와 에 대해

:\sigma_t(E \oplus F) = \sigma_t(E)\sigma_t(F),~

\lambda_t(E \oplus F) = \lambda_t(E)\lambda_t(F)

가 성립한다. 여기서 나 에서 등이 따른다.

6. 응용

다중선형대수는 여러 분야에 응용된다. 헤르만 그라스만 등은 벡터를 일반화하여 쌍, 삼중체 및 다중벡터를 포함하는 구조를 고안했다. 다중벡터 공간은 관련된 벡터 공간 차원이 ''n''일 때 2''n'' 차원으로 확장된다.[2] 행렬식의 추상적 공식화 등에도 다중선형대수 구조가 사용된다.

다중선형대수는 재료의 기계적 반응 연구에서 응력, 변형, 다양한 탄성 계수 등을 다룰 때 활용된다. 텐서는 다중선형 공간 내 요소를 설명하는 데 사용된다. 1844년 그라스만의 ''Ausdehnungslehre''(1862년 재출판)가 있었으나, 당시에는 널리 이해되지 못했다.

다변수 미적분학과 다양체 연구, 특히 야코비 행렬 관련해서도 다중선형대수 개념이 응용된다. 단일 변수 미적분학의 무한소 미분은 다변수 미적분학에서 미분 형식으로 변환되며, 외대수를 통해 연산된다.[3]

1872년 빅토르 슈레겔의 ''System der Raumlehre'' 첫 부분 출판,[4] 엘윈 브루노 크리스토펠 등도 이 분야 발전에 공헌했다. 그레고리오 리치-쿠르바스트로와 툴리오 레비-치비타는 ''절대 미분 미적분학'' 형태로 상당한 진전을 이루었다.[5] 마르셀 그로스만과 미켈레 베소는 알베르트 아인슈타인에게 이 개념을 소개, 1915년 아인슈타인의 일반 상대성 이론은 다중선형대수와 텐서를 물리학의 중요 도구로 만들었다.

1958년 니콜라 부르바키는 수학 원론에 "''Algèbre Multilinéaire''"라는 다중선형대수 장을 포함시켰다.[6]

다중선형대수는 다음 분야 등에서 응용된다.


  • 텐서의 고전적 처리
  • 이중 텐서
  • 텐서 이론 용어집
  • 계량 텐서
  • 브라-켓 표기법
  • 다중선형 부분 공간 학습

6. 1. 다항식환

n차 자유 K-가군(K가 체일 때는 n차원 벡터 공간) Kn의 대칭 대수는 K를 계수로 하는 n개 변수의 다항식환 K(X1, ..., Xn)으로 간주할 수 있다.

6. 2. 행렬식

차 외대수 는 1차원 공간이지만, 이는 방향까지 포함한 에서의 부피 요소의 공간으로 간주할 수 있다. 상의 선형 사상 에 대해, 가 부피 요소를 몇 배로 변환하는가 하는 정보는 위에 유도되는 선형 사상 가 어떤 상수 배 사상으로 나타나는가 하는 것으로 표현된다.

6. 3. 기하학적 응용

위상 공간 위의 벡터 다발에 대해 텐서 대수, 대칭 대수나 외대수 등의 연산을 적용하여 등급 선형환의 다발을 얻을 수 있다. 즉, 공간 위의 벡터 다발 E에 대해, 각 점 x에서의 올의 벡터 공간마다 Tx, Sx, Λx 등을 생각함으로써 새로운 다발을 얻을 수 있다(이러한 연산은 벡터 다발에 기대되는 변환의 연속성을 보존하고 있다). 특히 다양체 V의 여접다발 T*V에 대해, 이 연산을 가함으로써 공변의 p계 텐서의 다발 ΛpT*V나 그 단면이 이루는 외대수 Ω(V)、접다발 TV에 대해 이 연산을 가함으로써 반변의 p계 텐서의 다발 ΛpTV 등을 얻을 수 있다.

6. 4. 물리학적 응용

다중선형대수는 벡터를 일반화하여 쌍, 삼중체 및 다중벡터를 포함하는 구조를 다룬다. 이러한 구조는 행렬식의 추상적 공식화 등에 사용된다.

다중선형대수는 재료의 기계적 반응 연구에서 응력과 변형, 다양한 탄성 계수를 다룰 때 나타난다. 텐서는 다중선형 공간 내의 요소를 설명하는 데 사용된다. 1844년 헤르만 그라스만의 초기 연구 ''Ausdehnungslehre''가 있었지만, 당시에는 널리 이해되지 못했다.

다중선형대수의 개념은 다변수 미적분학과 다양체 연구, 특히 야코비 행렬과 관련하여 응용된다. 무한소 미분은 다변수 미적분학에서 미분 형식으로 변환되며, 그 조작은 외대수를 사용하여 수행된다.[3]

1872년 빅토르 슈레겔과 엘윈 브루노 크리스토펠에 의해 다중선형대수가 발전되었다. 특히, 그레고리오 리치-쿠르바스트로와 툴리오 레비-치비타는 '절대 미분 미적분학'의 형태로 상당한 진전을 이루었다.[5] 마르셀 그로스만과 미켈레 베소는 이 개념을 알베르트 아인슈타인에게 소개했고, 1915년 아인슈타인의 일반 상대성 이론에 관한 출판물은 다중선형대수와 텐서를 물리학의 중요한 수학적 도구로 확립했다.

니콜라 부르바키는 1958년 수학 원론에 "''Algèbre Multilinéaire''"라는 제목의 다중선형대수에 관한 장을 포함시켰다.[6]

6. 4. 1. 포크 공간

보존장의 제2 양자화를 나타내는 포크 공간으로서 가분 힐베르트 공간의 대칭 대수가 나타나며, 원래 힐베르트 공간의 벡터에 의한 곱셈은 비유계 작용소를 나타낸다.

참조

[1] 논문 Linear to multi-linear algebra and systems using tensors 2024
[2] 서적 Extension Theory "{{GBurl|yeGPeaPVLKo[...] American Mathematical Society
[3] 서적 Functions of Several Variables Springer 1977
[4] 서적 System der Raumlehre: Nach den Prinzipien der Grassmann'schen Ausdehnungslehre und als Einleitung in Dieselbe; Geometrie; Die Gebiete des Punktes, der Geraden, der Ebene Forgotten Books 2018
[5] 논문 Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs applications https://zenodo.org/r[...]
[6] 간행물 Algèbra Multilinéair Hermann 1958
[7] 문서 Bourbaki 『代数』


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