아인슈타인 표기법

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1. 개요
2. 정의
3. 표기법의 규칙 및 관례
4. 주요 연산
5. 계량 텐서를 이용한 첨자 올림과 내림
6. 민코프스키 공간에서의 내적 (특수 상대성 이론)
참조

1. 개요

아인슈타인 표기법은 수학 및 물리학에서 사용되는 표기법으로, 합산 기호를 생략하여 수식을 간결하게 나타낸다. 이 표기법은 중복된 첨자를 사용하여 합을 나타내며, 불변량을 간단하게 표현하는 데 유용하다. 특히 텐서곱과 쌍대 공간을 사용하는 다른 벡터 공간에 적용되며, 행렬 곱, 내적, 외적 등의 연산을 간결하게 표현하는 데 사용된다. 이 표기법에서는 위첨자와 아래첨자의 위치가 중요한 의미를 가지며, 그리스 문자는 시공간 성분, 라틴 문자는 공간 성분을 나타내는 데 사용된다. 계량 텐서를 사용하여 첨자를 올리고 내릴 수 있으며, 특수 상대성 이론과 양자장론에서 민코프스키 공간에서의 내적을 표현하는 데 활용된다.

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아인슈타인 표기법
일반 정보
이름	아인슈타인 표기법
다른 이름	아인슈타인 합 규약 아인슈타인 규칙
영어 이름	Einstein notation
설명	텐서 연산에서 사용되는 축약 표기법
상세 내용
특징	동일한 문자가 위첨자와 아래첨자로 반복되면 그 문자에 대해 합하는 것을 의미 첨자는 성분, 지수, 계수 등으로 불림
장점	수식을 간결하게 표현 가능
주의사항	첨자의 위치가 중요하며, 위첨자와 아래첨자를 혼동하지 않도록 주의
예시	aᵢbᵢ = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ (3차원 공간의 경우)
활용 분야	선형대수학 미분기하학 일반 상대성 이론
첨자 종류
자유 지표 (Free index)	합이 적용되지 않고, 각 항에 나타나는 지표
더미 지표 (Dummy index)	합이 적용되어 결과식에서 사라지는 지표
역사
제안자	알베르트 아인슈타인
발표 년도	1916년
발표 논문	일반 상대성 이론의 기초

2. 정의

다음과 같은 식을 생각해보자.

: $y = \sum_{i=1}^3 c_i x^i = c_1 x^1 + c_2 x^2 + c_3 x^3$

매우 복잡해 보이는 식이지만 합의 기호를 사용하면 비교적 간단한 형태로 식을 바꿀 수 있다.

: $y = \sum_{i=1}^n c_ix^i$

여기에 아인슈타인 표기법을 사용해 식을 더 간단하게 표현할 수 있다.

: $y = c_i x^i \,$

단, 여기서 위첨자가 지수승을 의미하지 않는다. (좀 더 정확히 말하면, 위첨자가 붙은 변수는 벡터, 아래첨자가 붙은 변수는 코벡터를 의미한다.) 이와 같이, 아인슈타인 표기법에선 중복된 첨자를 이용해 마치 분수에서 약분을 하듯이 첨자에 대한 합을 해 첨자를 없애 합의 기호를 대체한다.

4차원 공간에서의 벡터 ''a''^''μ''와 ''b''_''μ'' (''μ'' = 1, 2, 3, 4)의 내적을 표기할 때에는, ''a''^''μ'' ''b''_''μ''로 기술된다. 이는 구체적으로 쓰면

: $a^\mu b_\mu = a^1 b_1 + a^2 b_2 + a^3 b_3+ a^4 b_4$

를 의미한다.

계량 텐서가 ''g''_''μν'' (''μ'', ''ν'' = 0, 1, 2, 3)로 표현되는 굽어진 시공간에서는, 벡터의 내적은

: $a^\mu b_\mu = g_{\mu \nu} a^\mu b^\nu = \sum_{\mu,\nu=0}^3 g_{\mu \nu} a^\mu b^\nu$

로 기술된다. 마지막 식은 4차원인 경우의 축약을, 합의 형태로 쓴 것이다.

특히 특수 상대성 이론이나 양자장론에서 표준적으로 사용되는 민코프스키 공간에서의 내적은, 계량을 ''η_μν'' = diag(1, −1, −1, −1)로 할 때

: $a^\mu b_\mu = a^0 b^0 - a^1 b^1 - a^2 b^2 - a^3 b^3$

로 기술된다. ( 우주론 등에서는, 부호를 반대로 취하는 방식도 있다).

3. 표기법의 규칙 및 관례

아인슈타인 표기법은 다음과 같은 식을 간단하게 표현하기 위해 사용된다.

: $y = \sum_{i=1}^3 c_i x^i = c_1 x^1 + c_2 x^2 + c_3 x^3$

위 식은 합의 기호를 사용하면 다음과 같이 간략화된다.

: $y = \sum_{i=1}^n c_ix^i$

여기서 아인슈타인 표기법을 이용하면,

: $y = c_i x^i \,$

로 더욱 간단하게 표현할 수 있다. 이 표기법에서는 반복되는 첨자가 나타나면, 해당 첨자에 대한 합을 의미한다. 즉, 마치 분수에서 약분하듯이 첨자에 대한 합을 계산하여 합 기호를 생략한다.^[2] 여기서 위첨자는 거듭제곱을 의미하지 않고, 벡터의 성분을 나타낸다. 아래첨자는 코벡터를 나타낸다.^[3]

아인슈타인 표기법의 일반적인 규칙은 다음과 같다.^[3]

좌표나 벡터의 성분에는 위첨자를 사용한다. (예: $x^i$ )
더미 지수 (합산되는 지수)는 항상 위첨자와 아래첨자 쌍으로 나타난다. (예: $c_i x^i$ 에서 $i$ 는 더미 지수)
자유 지수 (합산되지 않는 지수)는 식의 양변에 동일하게 나타나야 한다.
벡터의 공변성과 반변성에 따라 첨자의 위치가 결정된다. 윗첨자는 반변 벡터, 아랫첨자는 공변 벡터를 나타낸다.
미분과 같이 위첨자 변수가 "분모"에 오는 경우 아래첨자 변수로 간주한다. 단, 계량 텐서가 포함된 경우는 예외이다.

예를 들어, 4차원 공간에서 벡터

a^\mu

와

b_\mu

(

\mu

= 1, 2, 3, 4)의 내적은

a^\mu b_\mu

로 표현되며, 이는 다음과 같다.

:

a^\mu b_\mu = a^1 b_1 + a^2 b_2 + a^3 b_3 + a^4 b_4

계량 텐서

g_{\mu \nu}

(

\mu, \nu

= 0, 1, 2, 3)로 표현되는 굽어진 시공간에서 벡터의 내적은 다음과 같이 표현된다.

:

a^\mu b_\mu = g_{\mu \nu} a^\mu b^\nu = \sum_{\mu,\nu=0}^3 g_{\mu \nu} a^\mu b^\nu

3. 1. 위첨자와 아래첨자

이 표기법에 따르면, 단일 항에 지수 변수가 두 번 나타나고 다른 방식으로 정의되지 않은 경우(자유 변수와 속박 변수 참조), 해당 항에 대해 해당 지수의 모든 값에 대한 합산을 의미한다. 따라서 지수가 집합의 범위를 가질 수 있는 경우,

:

y = \sum_{i = 1}^3 x^i e_i = x^1 e_1 + x^2 e_2 + x^3 e_3

는 아인슈타인 표기법에 의해 다음과 같이 단순화된다.

:

y = x^i e_i

여기서 위쪽 지수는 거듭제곱이 아니라 좌표, 계수, 또는 기저 벡터의 지수를 의미한다. 즉, 이 맥락에서 x^2|x의 제곱^영어는 x|x^영어의 제곱이 아닌 x|x^영어의 두 번째 구성 요소로 이해해야 한다(이로 인해 때때로 모호성이 발생할 수 있음). x^i|x의 i^영어에서 위쪽 지수 위치는 일반적으로 항에 지수가 위쪽(위첨자)과 아래쪽(아래첨자) 위치에 한 번씩 나타나기 때문이다. 일반적으로 (x^1 x^2 x^3|x의 1승, x의 2승, x의 3승^영어)는 전통적인 (x y z|x, y, z^영어)와 동일하다.

일반 상대성 이론에서 일반적인 규칙은 다음과 같다.

그리스 문자는 시공간 성분에 사용되며, 여기서 지수는 0, 1, 2 또는 3의 값을 갖는다(자주 사용되는 문자는 μ, ν, ...|뮤, 뉴, ...^영어).
라틴 문자는 공간 성분에만 사용되며, 여기서 지수는 1, 2 또는 3의 값을 갖는다(자주 사용되는 문자는 i, j, ...|i, j, ...^영어).

일반적으로 지수는 인덱싱 집합, 무한 집합을 포함한 어떤 인덱싱 집합의 범위도 가질 수 있다.

합산된 지수는 이 경우 "i|i^영어"인 ''합산 지수''이다. 또한 더미 지수라고도 하는데, 이는 표현식의 의미를 변경하지 않고(동일한 항에 있는 다른 지수 기호와 충돌하지 않는 경우) 어떤 기호라도 "i|i^영어"를 대체할 수 있기 때문이다.

합산되지 않은 지수는 ''자유 지수''이며, 항당 한 번만 나타나야 한다. 이러한 지수가 나타나는 경우 일반적으로 방정식의 다른 모든 항에도 나타난다. 자유 지수의 예는 방정식

v_i = a_i b_j x^j

에 있는 "i|i^영어"로, 방정식

v_i = \sum_j(a_{i} b_{j} x^{j})

과 동일하다.

벡터의 공변성과 반변성의 관점에서,

윗첨자는 반변 벡터(좌표 벡터)의 성분을 나타내고,
아랫첨자는 공변 벡터(코벡터)의 성분을 나타낸다.

이들은 기저 변환에 따라 각각 반변적 또는 공변적으로 변환된다.

이러한 사실을 인식하여, 다음 표기법은 벡터 또는 코벡터와 해당 ''성분'' 모두에 동일한 기호를 사용한다.

:

\begin{align}v = v^i e_i = \begin{bmatrix} e_1 & e_2 & \cdots & e_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v^1 \\ v^2 \\ \vdots \\ v^n \end{bmatrix} \\w = w_i e^i = \begin{bmatrix} w_1 & w_2 & \cdots & w_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} e^1 \\ e^2 \\ \vdots \\ e^n \end{bmatrix}\end{align}

e_i

는 각각 열 벡터이고, 코벡터 기저 요소

e^i

는 각각 행 코벡터이다.

퇴화 쌍선형 형식(예: 리만 계량 또는 민코프스키 계량)이 존재하면, 지수를 올리고 내릴 수 있다.

기저는 (쌍대 기저를 통해) 이러한 형식을 제공하므로, 유클리드 계량과 고정된 정규 직교 기저를 사용하여 R^n|R의 n승^영어에서 작업할 때는 아랫첨자만 사용하여 작업할 수 있는 옵션이 있다.

그러나 좌표를 변경하면 계수가 변경되는 방식은 객체의 변성에 따라 달라지므로 구별을 무시할 수 없다. 벡터의 공변성과 반변성을 참조하라.

위의 예에서 벡터는 n × 1|n 곱하기 1^영어 행렬(열 벡터)로 표현되고, 코벡터는 1 × n|1 곱하기 n^영어 행렬(행 코벡터)로 표현된다.

열 벡터 관례를 사용할 때:

"'''위''' 첨자는 '''위'''에서 아래로; '''아래''' 첨자는 '''왼'''쪽에서 오른쪽으로."
"'''공변''' 텐서는 '''행''' 벡터이며, 인덱스가 '''아래'''에 있다. ('''공-행-아래''')."
코벡터는 행 벡터이다: $\begin{bmatrix} w_1 & \cdots & w_k \end{bmatrix}.$ 따라서 아래 첨자는 어떤 "열"에 있는지 나타낸다.
반변 벡터는 열 벡터이다: $\begin{bmatrix} v^1 \\ \vdots \\ v^k \end{bmatrix}$ 따라서 위 첨자는 어떤 "행"에 있는지 나타낸다.

3. 2. 첨자의 위치

이 표기법에서 지수의 위치는 중요한 의미를 가진다. 일반적으로 각 지수는 한 항에서 위쪽(위첨자)과 아래쪽(아래첨자) 위치에 한 번씩 나타난다.^[2]

위첨자: 위첨자는 거듭제곱이 아니라 좌표, 계수, 또는 기저 벡터의 지수를 나타낸다. 예를 들어, $x^2$ 는 $x$ 의 제곱이 아니라 $x$ 의 두 번째 구성 요소를 의미한다.
아래첨자: 아래첨자는 공변 벡터를 나타낼 때 사용된다.

공변 벡터와 반변 벡터를 다룰 때, 지수의 위치는 벡터의 유형을 나타낸다. 공변 벡터는 반변 벡터와만 축약될 수 있으며, 이는 계수의 곱의 합에 해당한다.^[2]

일반적으로 다음과 같은 규칙이 적용된다.^[3]

좌표나 벡터의 성분에는 위첨자를 사용한다.
더미 지수가 되는 첨자의 쌍은 항상 위아래에 나타난다.
자유 지수는 식의 양변, 각 항에서 같아야 한다.

예를 들어 4차원 공간에서 벡터

a^\mu

와

b_\mu

(

\mu

= 1, 2, 3, 4)의 내적은

a^\mu b_\mu

로 표현되며, 이는 다음과 같다.

:

a^\mu b_\mu = a^1 b_1 + a^2 b_2 + a^3 b_3 + a^4 b_4

계량 텐서

g_{\mu \nu}

(

\mu, \nu

= 0, 1, 2, 3)로 표현되는 굽어진 시공간에서 벡터의 내적은 다음과 같이 표현된다.

:

a^\mu b_\mu = g_{\mu \nu} a^\mu b^\nu = \sum_{\mu,\nu=0}^3 g_{\mu \nu} a^\mu b^\nu

3. 3. 좌표계

이 표기법에 따르면, 단일 항에 지수 변수가 두 번 나타나고 다른 방식으로 정의되지 않은 경우(자유 변수와 속박 변수 참조), 해당 항에 대해 해당 지수의 모든 값에 대한 합산을 의미한다. 따라서 지수가 집합의 범위를 가질 수 있는 경우,

:y = xⁱ e_i

위쪽 지수는 거듭제곱이 아니라 좌표, 계수 또는 기저 벡터의 지수이다. 즉, 이 맥락에서 ''x''²는 ''x''의 제곱이 아닌 ''x''의 두 번째 구성 요소로 이해해야 한다(이로 인해 때때로 모호성이 발생할 수 있음). ''x''^''i''에서 위쪽 지수 위치는 일반적으로 항에 지수가 위쪽(위첨자)과 아래쪽(아래첨자) 위치에 한 번씩 나타나기 때문이다. 일반적으로 (''x''¹ ''x''² ''x''³)는 전통적인 (''x'' ''y'' ''z'')와 동일하다.

일반 상대성 이론에서 일반적인 규칙은 다음과 같다.

그리스 문자는 시공간 성분에 사용되며, 여기서 지수는 0, 1, 2 또는 3의 값을 갖는다(자주 사용되는 문자는 ''μ'', ''ν'', ...).
라틴 문자는 공간 성분에만 사용되며, 여기서 지수는 1, 2 또는 3의 값을 갖는다(자주 사용되는 문자는 ''i'', ''j'', ...).

일반적으로 지수는 인덱싱 집합, 무한 집합을 포함한 어떤 인덱싱 집합의 범위도 가질 수 있다. 이것은 텐서 지수 표기법과 밀접하게 관련되어 있지만 별개의 기저 독립적인 추상 지수 표기법을 구별하는 데 사용되는 유사한 표기법과 혼동해서는 안 된다.

합산된 지수는 이 경우 "''i'' "인 ''합산 지수''이다. 또한 더미 지수라고도 하는데, 이는 표현식의 의미를 변경하지 않고(동일한 항에 있는 다른 지수 기호와 충돌하지 않는 경우) 어떤 기호라도 "''i'' "를 대체할 수 있기 때문이다.

합산되지 않은 지수는 ''자유 지수''이며, 항당 한 번만 나타나야 한다. 이러한 지수가 나타나는 경우 일반적으로 방정식의 다른 모든 항에도 나타난다. 자유 지수의 예는 방정식 v_i = a_ib_jx^j에 있는 "''i'' "로, 방정식

v_i = \sum_j(a_{i} b_{j} x^{j})

과 동일하다.

4. 주요 연산

아인슈타인 표기법에서 행렬 $A$ 의 $m$ 번째 행과 $n$ 번째 열에 대한 일반적인 원소 참조 $A_{mn}$ 은 ${A^m}_{n}$ 이 된다. 이를 바탕으로 여러 연산을 표현할 수 있다.

행렬-벡터 곱: 행렬 $A$ 와 열 벡터 $v$ 의 곱은 $u^i = {A^i}_j v^j$ 로 표현된다.
행렬 곱: 두 행렬 $A$ 와 $B$ 의 곱은 ${C^i}_k = {A^i}_j {B^j}_k$ 로 표현된다.
텐서의 계수 올리고 내리기: 계량 텐서 $g_{\mu\nu}$ 를 사용하여 텐서 $T$ 의 계수를 내리거나( $g_{\mu\sigma} {T^\sigma}_\beta = T_{\mu\beta}$ ), 올릴 수 있다( $g^{\mu\sigma} {T_\sigma}^\alpha = T^{\mu\alpha}$ ).

4. 1. 내적 (Inner Product)

임의의 1 × n 행벡터 '''u_i'''와 n × 1 열벡터 '''v'''ⁱ에 대해 두 벡터 '''u_i''', '''v'''ⁱ 의 내적은 다음과 같이 표현할 수 있다.

:u_i vⁱ|유아이 브이아이|u₁ v₁ + u₂ v₂ + ... + u_n v_n^영어

두 벡터의 내적은 해당 성분들의 곱의 합으로, 한 벡터의 지수는 낮춰진다.

:⟨'''u''', '''v'''⟩|⟨유, 브이⟩|⟨'''e'''_i, '''e'''_j⟩ uⁱ v^j = u_j v^j^영어

정규 직교 기저의 경우, u^j = u_j|유제이 = 유지^영어이므로, 식은 다음과 같이 단순화된다.

:⟨'''u''', '''v'''⟩|⟨유, 브이⟩|∑_j u^j v^j = u_j v^j^영어

4차원 공간에서의 벡터 ''a''^''μ''와 ''b''_''μ'' (''μ'' = 1, 2, 3, 4)의 내적을 표기할 때에는, ''a''^''μ'' ''b''_''μ''로 기술된다. 이는 구체적으로 쓰면

:a^μ b_μ|에이뮤 비뮤|a¹ b₁ + a² b₂ + a³ b₃+ a⁴ b₄^영어

를 의미한다.

계량 텐서(metric)가 g_μν|지 뮤 누^영어 (''μ'', ''ν'' = 0, 1, 2, 3)로 표현되는 굽어진 시공간에서는, 벡터의 내적은

:a^μ b_μ|에이뮤 비뮤|g_μν a^μ b^ν = ∑_μ,ν=0³ g_μν a^μ b^ν^영어

로 기술된다. 마지막 식은 4차원인 경우의 축약을, 합의 형태로 쓴 것이다.

특히 특수 상대성 이론이나 양자장론에서 표준적으로 사용되는 민코프스키 공간에서의 내적은, 계량을 η_μν|에타 뮤 누^영어 = diag(1, −1, −1, −1)로 할 때

:a^μ b_μ|에이뮤 비뮤|a⁰ b⁰ - a¹ b¹ - a² b² - a³ b³^영어

로 기술된다. ( 우주론 등에서는, 부호를 반대로 취하는 방식도 있다).

4. 2. 외적 (Outer Product)

임의의 m × 1 열벡터 '''u'''ⁱ와 1 × n 행벡터 '''v'''_j에 대해, 두 벡터 '''u'''^j, '''v'''_i의 외적은 다음과 같이 표현할 수 있다.

: ''u''ⁱ''v''_j = ''A''ⁱ_j

결과적으로 m × n 행렬 '''A'''를 얻는다. 3차원 공간에서

\mathbf e_1\times\mathbf e_2=\mathbf e_3

를 만족하는 양의 방향의 정규 직교 기저에 대한 두 벡터의 외적은 다음과 같이 표현할 수 있다.

:

\mathbf{u} \times \mathbf{v} = \varepsilon^i_{\,jk} u^j v^k \mathbf{e}_i

여기서

\varepsilon^i_{\,jk} = \varepsilon_{ijk}

는 레비-치비타 기호이다. 기저가 정규 직교이므로, 텐서로 취급할 때 인덱스

i

를 올리는 것은

\varepsilon_{ijk}

의 값을 변경하지 않는다.

열 벡터 ''u''ⁱ와 행 벡터 ''v''_j의 외적은 ''m'' × ''n'' 행렬 '''A'''를 생성한다.

:

{A^i}_j = u^i v_j = {(u v)^i}_j

''i''와 ''j''가 두 개의 ''다른'' 인덱스를 나타내므로, 합은 없고 곱셈에 의해 인덱스가 제거되지 않는다.

4. 3. 행렬-벡터 곱 (Matrix-Vector Multiplication)

임의의 m × n 행렬 '''A'''ⁱ _j와 n × 1 열벡터 '''v'''^j가 주어졌을 때, 두 행렬의 곱의 결과를 '''u'''ⁱ라 하면 이 곱을 다음과 같이 표현할 수 있다.

: ''u''ⁱ = ''A''ⁱ _j ''v''^j

이것은 행렬 곱셈의 특수한 경우이다.

4. 4. 대각합 (Trace)

임의의 n × n 행렬 '''A'''의 대각합 tr('''A''')는 다음과 같이 표현할 수 있다.

:tr(''A'') = ''A''^''i''_''i''

정사각 행렬 ''A''^''i''_''j''의 대각합은 대각 성분의 합이며, 따라서 공통 지표 ''A''^''i''_''i''에 대한 합이다.

4. 5. 벡터의 좌표와 기저를 통한 표현

'''e'''₁, '''e'''₂, '''e'''₃를 3차원 공간의 기저라고 할 때, 일반적인 표기법으로 벡터 '''u'''를 표시하면 다음과 같다.

:

\mathbf{u} = u^1 \mathbf{e}_1 + u^2 \mathbf{e}_2 + u^3 \mathbf{e}_3 = \sum_{i = 1}^3 u^i \mathbf{e}_i

이를 아인슈타인 표기법으로 나타내면 다음과 같다.

:

\mathbf{u} = u^i \mathbf{e}_i

벡터의 공변성과 반변성 관점에서,

윗첨자는 반변 벡터(좌표 벡터s)의 성분을 나타낸다.
아랫첨자는 공변 벡터(코벡터s)의 성분을 나타낸다.

이들은 기저 변환에 따라 각각 반변적 또는 공변적으로 변환된다.

이러한 사실을 바탕으로, 벡터 또는 코벡터와 해당 ''성분'' 모두에 동일한 기호를 사용한다.

\begin{align}v = v^i e_i = \begin{bmatrix} e_1 & e_2 & \cdots & e_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v^1 \\ v^2 \\ \vdots \\ v^n \end{bmatrix} \\w = w_i e^i = \begin{bmatrix} w_1 & w_2 & \cdots & w_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} e^1 \\ e^2 \\ \vdots \\ e^n \end{bmatrix}\end{align}

여기서 `v`는 벡터이고 `v`^`i`는 그 성분(`i`번째 코벡터 `v`가 아님)이며, `w`는 코벡터이고 `w`_`i`는 그 성분이다. 기저 벡터 요소

e_i

는 각각 열 벡터이고, 코벡터 기저 요소

e^i

는 각각 행 코벡터이다.

퇴화 쌍선형 형식(예: 리만 계량 또는 민코프스키 계량)이 존재하면, 지수를 올리고 내릴 수 있다.

기저는 (쌍대 기저를 통해) 이러한 형식을 제공하므로, 유클리드 계량과 고정된 정규 직교 기저를 사용하여 `R`^`n`에서 작업할 때는 아랫첨자만 사용할 수 있다.

그러나 좌표를 변경하면 계수가 변경되는 방식은 객체의 변성에 따라 달라지므로, 벡터의 공변성과 반변성을 참조하여 구별해야 한다.

4. 6. 스칼라곱 (Scalar Product)

두 벡터 '''a''' = [''a''₁, ''a''₂, … , ''a''_''n''], '''b''' = [''b''₁, ''b''₂, … , ''b''_''n'']라 하자. 두 벡터의 스칼라 곱을 아인슈타인 표기법으로 나타내면 아래와 같은 텐서 방정식을 얻는다.

:'''a'''·'''b''' = (''u''^''i'' '''e'''_''i'') · (''u''^''j'' '''e'''_''j'') = ''u''^''i'' ''u''^''j'' ( '''e'''_''i'' · '''e'''_''j'' )

여기서 기저의 성질에 의해

:'''e'''_''i'' · '''e'''_''j'' = ''i''=''j'' 이면 1, ''i'' ≠ ''j'' 이면 0

임을 알 수 있다. 이 텐서를 크로네커 델타 δ_''ij'' 라 정의한다. 마지막으로 이 텐서를 이용해 스칼라곱을 표현하면 아래와 같은 식을 얻는다.

:'''a'''·'''b''' = ''a''^''i'' ''b''^''j'' δ_''ij''

두 벡터의 내적은 해당 성분들의 곱의 합으로, 한 벡터의 지수는 낮춰진다(#지수 올리고 내리기 참조).

:⟨'''u''', '''v'''⟩ = ⟨'''e'''_''i'', '''e'''_''j''⟩ ''u''^''i'' ''v''^''j'' = ''u''_''j'' ''v''^''j''

정규 직교 기저의 경우, ''u''^''j'' = ''u''_''j''이므로, 식은 다음과 같이 단순화된다.

:⟨'''u''', '''v'''⟩ = ∑_''j'' ''u''^''j'' ''v''^''j'' = ''u''_''j'' ''v''^''j''

4. 7. 벡터곱 (Vector Product)

두 벡터 '''u''' = [''u''₁, ''u''₂, ''u''_''3''], '''v''' = [''v''₁, ''v''₂, ''v''_''3'']라 하자. 두 벡터의 벡터곱을 아인슈타인 표기법을 사용해 나타내면 아래와 같은 텐서 방정식을 얻는다.

:'''u''' × '''v'''= (''u''^''j'' '''e'''_''j'' ) × (''v''^''k'' '''e'''_''k'') = ''u''^''j'' ''v''^''k'' ('''e'''_''j'' × '''e'''_''k'' )

여기서 기저의 성질에 의해

:'''e'''_''j'' × '''e'''_''k'' = ε^''i'' _''jk'' '''e'''_''i''

: ε^''i'' _''jk'' = δ^''il'' ε_''ljk''

: ε_ijk =

+1	(i,j,k) 가 (1,2,3), (3,1,2) 또는 (2,3,1)일 때
-1	(i,j,k) 가 (3,2,1), (1,3,2) 또는 (2,1,3)일 때
0	i=j 또는 j=k 또는 k=i일 때

임을 알 수 있다. 여기서 텐서 ε_ijk를 레비-시비타 기호라 한다. 마지막으로 이 텐서를 이용해 벡터곱을 표현하면 아래와 같은 식을 얻는다.

:'''u''' × '''v'''= ε^''i''_''jk'' ''u''^''j'' ''v''^''k'''''e'''_''i''

3차원 공간에서, '''e'''₁×'''e'''₂='''e'''₃를 만족하는 양의 방향의 정규 직교 기저에 대한 두 벡터의 외적은 다음과 같이 표현할 수 있다.

:'''u''' × '''v''' = ε^''i''_''jk'' ''u''^''j'' ''v''^''k'' '''e'''_''i''

여기서, ε^''i''_''jk'' = ε_ijk는 레비-치비타 기호이다. 기저가 정규 직교이므로, 텐서로 취급할 때 인덱스 ''i''를 올리는 것은 ε_ijk의 값을 변경하지 않는다.

5. 계량 텐서를 이용한 첨자 올림과 내림

주어진 텐서에 대해, 텐서를 계수를 올리거나 내리는 것은 계량 텐서와의 축약을 통해 가능하다. 예를 들어, 텐서 ''T^α_β''를 취하면 계수를 내릴 수 있다.

:''g_μσ'' ''T^σ_β'' = ''T_μβ''

또는 계수를 올릴 수도 있다.

:''g^μσ'' ''T_σ^α'' = ''T^μα''

4차원 공간에서의 벡터 ''a''^''μ''와 ''b''_''μ'' (''μ'' = 1, 2, 3, 4)의 내적을 표기할 때에는, ''a''^''μ'' ''b''_''μ''로 기술된다. 이는 구체적으로 쓰면

:''a^μb_μ'' = ''a''¹ ''b''₁ + ''a''² ''b''₂ + ''a''³ ''b''₃+ ''a''⁴ ''b''₄

를 의미한다.

계량 텐서가 ''g''_''μν'' (''μ'', ''ν'' = 0, 1, 2, 3)로 표현되는 굽어진 시공간에서는, 벡터의 내적은

:''a^μb_μ'' = ''g_μν'' ''a^μ'' ''b^ν'' = $\sum_{\mu,\nu=0}^3 g_{\mu \nu} a^\mu b^\nu$

로 기술된다. 마지막 식은 4차원인 경우의 축약을, 합의 형태로 쓴 것이다.

특히 특수 상대성 이론이나 양자장론에서 표준적으로 사용되는 민코프스키 공간에서의 내적은, 계량을 ''η_μν'' = diag(1, -1, -1, -1)로 할 때

:''a^μb_μ'' = ''a''⁰ ''b''⁰ - ''a''¹ ''b''¹ - ''a''² ''b''² - ''a''³ ''b''³

로 기술된다. ( 우주론 등에서는, 부호를 반대로 취하는 방식도 있다).

6. 민코프스키 공간에서의 내적 (특수 상대성 이론)

특수 상대성 이론이나 양자장론에서 표준적으로 사용되는 민코프스키 공간에서의 내적은, 계량을 ''η_μν'' = diag(1, −1, −1, −1)로 할 때 다음과 같이 기술된다.

:a^μb_μ = a⁰ b⁰ - a¹ b¹ - a² b² - a³ b³

( 우주론 등에서는, 부호를 반대로 취하는 방식도 있다).

4차원 공간에서의 벡터 ''a''^''μ''와 ''b''_''μ'' (''μ'' = 1, 2, 3, 4)의 내적을 표기할 때에는, ''a''^''μ'' ''b''_''μ''로 기술된다. 이는 구체적으로 다음과 같다.

:a^μb_μ = a¹ b₁ + a² b₂ + a³ b₃+ a⁴ b₄

참조

_[1] 논문 The Foundation of the General Theory of Relativity http://www.albertein[...] 2006-09-03
_[2] 웹사이트 Einstein Summation http://mathworld.wol[...] Wolfram Mathworld 2011-04-13
_[3] 서적 重力日本評論社
_[4] 서적 解析力学と微分形式岩波書店
_[5] 논문 The Foundation of the General Theory of Relativity http://www.albertein[...] 1916
_[6] 서적 物理のためのベクトルとテンソル岩波書店
_[7] 저널 http://www.albertein[...] 1916

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