대수적 양자장론

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1. 개요

대수적 양자장론(AQFT)은 함수해석학의 폰 노이만 대수를 사용하여 양자장론을 엄밀하게 정의하려는 시도이다. AQFT는 민코프스키 공간의 열린 부분 집합을 대상으로 하고, C*-대수를 사상으로 하는 공변 함자를 통해 정의된다. 이 함자는 아이소토니, 푸앵카레 공변성, 인과율, 스펙트럼 조건, 진공 벡터의 존재 등의 공리를 만족한다. AQFT는 범주론적 공식화를 통해 표현되며, 겔판트-나이마크-세겔 구성을 통해 상태와 힐베르트 공간 표현을 연결한다. 또한, 휘어진 시공간의 양자장론을 포함하도록 확장되었으며, 블랙홀과 같은 특이한 시공간에서 양자장론 연구에 기여한다.

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대수적 양자장론
기본 정보
분야	이론물리학, 수학 물리학
하위 분야	양자장론
개발자	루돌프 하그, 다니엘 카스틀러
발표 시기	1964년
개요
주요 개념	C*-대수 폰 노이만 대수 국소성 스펙트럼 조건 초대수 하그-카스틀러 공리
특징
관련 이론	구성적 양자장론, 수학적 양자장론
응용 분야	끈 이론, 응집물질물리학, 통계역학

2. 함수해석학과 양자장론의 관련성

함수해석학에서는 선형 공간 구조와 위상 수학 구조를 함께 갖춘 함수 공간과 그곳에서 작용소(사상)를 연구한다. 이 때 작용소들은 특정한 대수적 구조를 가지고 있다. C*-대수는 그러한 대수 구조들 중 하나이고 폰 노이만 대수는 C*-대수의 일종이다.

한편, 양자장론의 수학적 구조는 힐베르트 공간이라는 함수 공간과 그곳에서 작용소들이다. 대수적 양자장론은 이에 착안하여, 힐베르트 공간의 작용소들이 이루는 대수인 폰 노이만 대수를 이용해 양자장론을 엄밀히 정의하려고 한다.

2. 1. 함수 공간과 작용소

함수해석학에서는 선형 공간 구조와 위상 수학 구조를 함께 갖춘 함수 공간과 그곳에서 사상인 작용소를 연구한다. 이 때 작용소들은 특정한 대수적 구조를 가지고 있다. C*-대수는 그러한 대수 구조들 중 하나이고 폰 노이만 대수는 C*-대수의 일종이다.

양자장론의 수학적 구조는 힐베르트 공간이라는 함수 공간과 그곳에서의 작용소들이다. 대수적 양자장론은 이에 착안하여, 힐베르트 공간의 작용소들이 이루는 대수인 폰 노이만 대수를 이용해 양자장론을 엄밀히 정의하려고 한다.

2. 2. 폰 노이만 대수

함수해석학에서는 선형 공간 구조와 위상 수학 구조를 함께 갖춘 함수 공간과 그곳에서 사상인 작용소를 연구한다. 이 때 작용소들은 특정한 대수적 구조를 가지고 있다. C*-대수는 그러한 대수 구조들 중 하나이고 폰 노이만 대수는 C*-대수의 일종이다.

양자장론의 수학적 구조는 힐베르트 공간이라는 함수 공간과 그곳에서의 작용소들이다. 대수적 양자장론은 이에 착안하여, 힐베르트 공간의 작용소들이 이루는 대수인 폰 노이만 대수를 이용해 양자장론을 엄밀히 정의하려고 한다.

3. 대수적 양자장론 (AQFT)

함수해석학에서는 선형 공간 구조와 위상 수학 구조를 함께 갖춘 함수 공간과 그곳에서 작용소(사상)를 연구한다. 이 때 작용소들은 특정한 대수적 구조를 가지고 있다. C*-대수는 그러한 대수 구조들 중 하나이고 폰 노이만 대수는 C*-대수의 일종이다.

한편, 양자장론의 수학적 구조는 힐베르트 공간이라는 함수 공간과 그곳에서 작용소들이다. 대수적 양자장론은 이에 착안하여, 힐베르트 공간의 작용소들이 이루는 대수인 폰 노이만 대수를 이용해 양자장론을 엄밀히 정의하려고 한다.^[1]

$\mathcal{O}$ 를 민코프스키 공간의 모든 열린 유계 부분 집합의 집합이라고 하자. 대수적 양자장론은 공통 힐베르트 공간 $\mathcal{H}$ 에 대한 폰 노이만 대수 $\mathcal{A}(O)$ 의 집합 $\{\mathcal{A}(O)\}_{O\in\mathcal{O}}$ 를 통해 정의되며, 다음 공리들을 만족한다:^[1]

'''단조성''': $O_1 \subset O_2$ 는 $\mathcal{A}(O_1) \subset \mathcal{A}(O_2)$ 를 의미한다.
'''인과율''': 만약 $O_1$ 이 $O_2$ 와 공간적으로 분리되어 있다면, $[\mathcal{A}(O_1),\mathcal{A}(O_2)]=0$ 이다.
'''푸앵카레 공변성''': 푸앵카레 군 $\mathcal{P}$ 의 강하게 연속적인 유니타리 표현 $U(\mathcal{P})$ 가 $\mathcal{H}$ 에 존재하여 $\mathcal{A}(gO) = U(g) \mathcal{A}(O) U(g)^*,\,\,g \in \mathcal{P}.$ 을 만족한다.
'''스펙트럼 조건''': 에너지-운동량 연산자 $P$ (즉, 시공간 변환의 생성자)의 결합 스펙트럼 $\mathrm{Sp}(P)$ 은 닫힌 전방 광추 안에 포함된다.
'''진공 벡터의 존재''': 순환적이고 푸앵카레 불변인 벡터 $\Omega\in\mathcal{H}$ 가 존재한다.

넷 대수

\mathcal{A}(O)

는 ''국소 대수''라고 불리며, C* 대수

\mathcal{A} := \overline{\bigcup_{O\in\mathcal{O}}\mathcal{A}(O)}

는 ''준국소 대수''라고 불린다.

3. 1. 헤이그-카스틀러 공리

\mathcal{O}

를 민코프스키 공간의 모든 열린 부분집합과 제한된 부분집합의 집합이라 하자. 대수적 양자장론은 공통적 힐베르트 공간

\mathcal{H}

에서 폰 노이만 대수

\mathcal{A}(O)

의 그물

\{\mathcal{A}(O)\}_{O\in\mathcal{O}}

을 통해 정의된다. 공리계는 다음과 같다:^[2]

'''아이소토니(단조성)''': $O_1 \subset O_2$ 이면 $\mathcal{A}(O_1) \subset \mathcal{A}(O_2)$ 이다.^[2] 즉, 더 큰 영역에 대응하는 연산자 대수가 더 작은 영역에 대응하는 연산자 대수를 포함한다.

'''인과율(인과관계)''': 만일 $O_1$ 와 $O_2$ 가 장소꼴로 분리되어 있으면, $[\mathcal{A}(O_1),\mathcal{A}(O_2)]=0$ 이다.^[2] 즉, 서로 공간적으로 분리된 영역에 대응하는 연산자 대수는 교환 가능하다는 것을 의미한다.

'''푸앵카레 공변성''': 힐베르트 공간 $\mathcal{H}$ 위에 푸앵카레 군 $\mathcal{P}$ 의 강하게 연속적인 유니터리 표현 $U(\mathcal{P})$ 이 존재한다.^[2]^[1] 이는 물리 법칙이 관성계에 따라 변하지 않는다는 것을 의미한다. 이 표현은 다음 성질을 만족한다.

:

\mathcal{A}(gO) = U(g) \mathcal{A}(O) U(g)^*,\,\,g \in \mathcal{P}.

^[2]^[1]

'''스펙트럼 조건''': 에너지 운동량 연산자 $P$ (즉, 시공간 변환의 생성자)의 결합 스펙트럼 $\mathrm{Sp}(P)$ 은 닫힌 전방 광추 안에 포함된다.^[1]

'''진공 벡터의 존재''': 순환 벡터와 푸앵카레 불변 벡터 $\Omega\in\mathcal{H}$ 가 존재한다.^[2]

그물 대수학

\mathcal{A}(O)

들은 국소 대수라고 부른다. C*-대수

\mathcal{A} := \overline{\bigcup_{O\in\mathcal{O}}\mathcal{A}(O)}

는 준 ''국소대수''라고 불린다.

3. 1. 1. 아이소토니 (단조성)

O_1 \subset O_2

이면

\mathcal{A}(O_1) \subset \mathcal{A}(O_2)

이다.^[2] 즉, 더 큰 영역에 대응하는 연산자 대수가 더 작은 영역에 대응하는 연산자 대수를 포함한다.

3. 1. 2. 인과율 (인과관계)

만일

O_1

와

O_2

가 장소꼴로 분리되어 있으면,

[\mathcal{A}(O_1),\mathcal{A}(O_2)]=0

이다.^[2] 즉, 서로 공간적으로 분리된 영역에 대응하는 연산자 대수는 교환 가능하다는 것을 의미한다.

3. 1. 3. 푸앵카레 공변성

힐베르트 공간

\mathcal{H}

위에 푸앵카레 군

\mathcal{P}

의 강하게 연속적인 유니터리 표현

U(\mathcal{P})

이 존재한다.^[2]^[1] 이는 물리 법칙이 관성계에 따라 변하지 않는다는 것을 의미한다. 이 표현은 다음 성질을 만족한다.

:

\mathcal{A}(gO) = U(g) \mathcal{A}(O) U(g)^*,\,\,g \in \mathcal{P}.

^[2]^[1]

3. 1. 4. 스펙트럼 조건

에너지 운동량 연산자

P

(즉, 시공간 변환의 생성자)의 결합 스펙트럼

\mathrm{Sp}(P)

은 닫힌 전방 광추 안에 포함된다.^[1]

3. 1. 5. 진공 벡터의 존재

순환 벡터와 푸앵카레 불변 벡터

\Omega\in\mathcal{H}

가 존재한다.^[2]

3. 2. 국소 대수와 준국소 대수

4. 범주론적 공식화

범주 '''''Mink'''''를 민코프스키 공간 ''M''의 열린 부분 집합을 대상으로 하고, 포함 함수를 사상으로 하는 범주라고 하자. 이 '''Mink'''에서 단위 C*-대수 범주 '''uC*alg'''로 가는 공변 함자 ''''' $\mathcal{A}:\bf{Mink}\to \bf{uC^*alg}$ '''''가 주어지며, '''Mink'''의 모든 사상은 '''uC*alg'''의 단사 사상에 사상된다. 이를 아이소토니(Isotony)라고 한다.

푸앵카레 군은 '''Mink'''에 대해 연속적으로 작용한다. 이 작용의 당김이 존재하며 이는 $\mathcal{A}(M)$ 의 표준 위상에서 연속이다. 이를 푸앵카레 공변(Poincaré covariance)이라고 한다.

민코프스키 공간은 인과 구조를 가지고 있다. 열린집합 '' $V$ ''가 열린집합 '' $U$ ''의 인과적 여집합에 있는 경우 사상의 상 $\mathcal{A}(i_{U,U\cup V})$ 와 $\mathcal{A}(i_{V,U\cup V})$ 는 교환한다. 이를 장소꼴 교환성(Locality)이라 한다. 만약 $\bar{U}$ 가 열린집합 '' $U$ '' 의 인과적 완비화이면 $\mathcal{A}(i_{U,\bar{U}})$ 는 동형 사상이다. 이를 원시적 인과관계(Primitive Causality)라고 한다.

C*-대수와 관련된 상태는 단위 노름을 갖는 양의 선형 범함수이다. $\mathcal{A}(M)$ 위의 상태가 주어진 경우, "부분 대각합"을 가지고 그물 단사 사상을 통해 각 열린 집합 '' $U$ ''에 대해 $\mathcal{A}(U)$ 과 관련된 상태를 얻을 수 있다. 열린 집합에 대한 상태는 준층 구조를 형성한다.

겔판트-나이마크-세겔 구성에 따르면 각 상태에 대해 $\mathcal{A}(M)$ 의 힐베르트 공간 표현을 연관시킬 수 있다. 순수 상태는 기약표현에 해당하고 혼합 상태는 가약 표현에 해당한다. 각각의 기약 표현(동치 관계 기준)을 초선택 규칙 섹터라고 한다. 우리는 다음과 같은 성질을 가진 진공이라는 순수 상태가 있다고 가정한다: 이 진공과 관련된 힐베르트 공간은 푸앵카레 공변성과 호환되고, 푸앵카레 대수를 보면 에너지-운동량(시공간 변환에 해당)에 대한 스펙트럼이 양의 빛 원뿔 위와 내부에 있는 푸앵카레 군의 유니터리 표현이다. 이는 진공 섹터이다.

4. 1. 범주 Mink와 uC*alg

범주 '''Mink'''는 민코프스키 공간의 열린집합들을 대상으로 하고, 포함 사상을 사상으로 하는 범주이다. 이 범주에서 단위 C*-대수의 범주 '''''uC*alg'''''로 가는 공변 함자

\mathcal{A}:\bf{Mink}\to \bf{uC^*alg}

가 존재하며, '''Mink'''의 모든 사상은 '''uC*alg'''의 단사 사상으로 사상된다.(아이소토니)

푸앵카레 군은 '''Mink'''에 연속적으로 작용하며, 이 작용의 당김은

\mathcal{A}(M)

의 표준 위상에서 연속이다.(푸앵카레 공변)

민코프스키 공간은 인과 구조를 가지며, 열린집합 ''V''가 열린집합 ''U''의 인과적 여집합에 있는 경우 사상의 상

\mathcal{A}(i_{U,U\cup V})

와

\mathcal{A}(i_{V,U\cup V})

는 교환한다(장소꼴 교환성).

\bar{U}

가 열린집합 ''U''의 인과적 완비화이면

\mathcal{A}(i_{U,\bar{U}})

는 동형 사상이다(원시적 인과관계).

C*-대수와 관련된 상태는 단위 노름을 갖는 양의 선형 범함수이다.

\mathcal{A}(M)

위의 상태가 주어진 경우, "부분 대각합"을 통해 그물 단사 사상을 이용하여 각 열린 집합 ''U''에 대해

\mathcal{A}(U)

와 관련된 상태를 얻을 수 있다. 열린 집합에 대한 상태는 준층 구조를 형성한다.

4. 2. 공변 함자 A

범주 '''Mink'''를 민코프스키 공간 ''M''의 열린 부분 집합을 대상으로 하고, 포함 함수를 사상으로 하는 범주라고 하자. 이 '''Mink'''에서 단위 C*-대수 범주 '''uC*alg'''로 가는 공변 함자 '''''

\mathcal{A}:\bf{Mink}\to \bf{uC^*alg}

'''''가 주어지며, '''Mink'''의 모든 사상은 '''uC*alg'''의 단사 사상에 사상된다. 이를 아이소토니(Isotony)라고 한다.

푸앵카레 군은 '''Mink'''에 대해 연속적으로 작용한다. 이 작용의 당김이 존재하며 이는

\mathcal{A}(M)

의 표준 위상에서 연속이다. 이를 푸앵카레 공변(Poincaré covariance)이라고 한다.

민코프스키 공간은 인과 구조를 가지고 있다. 열린집합 ''

V

''가 열린집합 ''

U

''의 인과적 여집합에 있는 경우 사상의 상

\mathcal{A}(i_{U,U\cup V})

와

\mathcal{A}(i_{V,U\cup V})

는 교환한다. 이를 장소꼴 교환성(Locality)이라 한다. 만약

\bar{U}

가 열린집합 ''

U

'' 의 인과적 완비화이면

\mathcal{A}(i_{U,\bar{U}})

는 동형 사상이다. 이를 원시적 인과관계(Primitive Causality)라고 한다.

C*-대수와 관련된 상태는 단위 노름을 갖는 양의 선형 범함수이다.

\mathcal{A}(M)

위의 상태가 주어진 경우, "부분 대각합"을 가지고 그물 단사 사상을 통해 각 열린 집합 ''

U

''에 대해

\mathcal{A}(U)

과 관련된 상태를 얻을 수 있다. 열린 집합에 대한 상태는 준층 구조를 형성한다.

겔판트-나이마크-세겔 구성에 따르면 각 상태에 대해

\mathcal{A}(M)

의 힐베르트 공간 표현을 연관시킬 수 있다. 순수 상태는 기약표현에 해당하고 혼합 상태는 가약 표현에 해당한다. 각각의 기약 표현(동치 관계 기준)을 초선택 규칙 섹터라고 한다. 우리는 다음과 같은 성질을 가진 진공이라는 순수 상태가 있다고 가정한다: 이 진공과 관련된 힐베르트 공간은 푸앵카레 공변성과 호환되고, 푸앵카레 대수를 보면 에너지-운동량(시공간 변환에 해당)에 대한 스펙트럼이 양의 빛 원뿔 위와 내부에 있는 푸앵카레 군의 유니터리 표현이다. 이는 진공 섹터이다.

4. 3. 푸앵카레 군의 작용

푸앵카레 군은 범주 '''''Mink'''''에 대해 연속적으로 작용한다. 이 작용의 당김이 존재하며 이는

\mathcal{A}(M)

의 표준 위상에서 연속이다.(푸앵카레 공변).

공변적 함자

\mathcal{A}

는 '''Mink'''에서 단위 C* 대수의 범주인 '''uC*alg'''로 주어지며, '''Mink'''의 모든 사상은 '''uC*alg'''의 단사 사상으로 매핑된다 ('''단조성''').

4. 4. 인과 구조와 교환 관계

범주 '''''

\bf{Mink}

'''''를 민코프스키 공간 ''

M

''의 열린 부분 집합들을 대상으로 하고, 포함 함수를 사상으로 하는 범주로 정의한다. '''''

\bf{Mink}

'''''의 모든 사상이 C*-대수 범주 '''''

\bf{uC^*alg}

'''''의 단사 사상에 사상되는 공변 함자 '''''

\mathcal{A}:\bf{Mink}\to \bf{uC^*alg}

'''''가 존재한다.(아이소토니, Isotonicity)

푸앵카레 군은 '''''

\bf{Mink}

'''''에 대해 연속적으로 작용하며, 이 작용의 당김은

\mathcal{A}(M)

의 표준 위상에서 연속이다.(푸앵카레 공변성, Poincare covariance)

민코프스키 공간은 인과 구조를 갖는다. 열린집합 ''

V

''가 열린집합 ''

U

''의 인과적 여집합에 있는 경우 사상의 상

\mathcal{A}(i_{U,U\cup V})

와

\mathcal{A}(i_{V,U\cup V})

는 교환한다(장소꼴 교환성, Locality). 만약

\bar{U}

가 열린집합 ''

U

'' 의 인과적 완비화이면

\mathcal{A}(i_{U,\bar{U}})

는 동형 사상 (원시적 인과관계, Primitive causality)이다.

C*-대수와 관련된 상태는 단위 노름을 갖는 양의 선형 범함수이다.

\mathcal{A}(M)

위의 상태가 주어진 경우, "부분 대각합"을 가지고 그물 단사 사상을 통해 각 열린 집합 ''

U

''에 대해

\mathcal{A}(U)

과 관련된 상태를 얻을 수 있다. 열린 집합에 대한 상태는 준층 구조를 형성한다.

겔판트-나이마크-세겔 구성에 따르면 각 상태에 대해

\mathcal{A}(M)

의 힐베르트 공간 표현을 연관시킬 수 있다. 순수 상태는 기약표현에 해당하고 혼합 상태는 가약 표현에 해당한다. 각각의 기약 표현(동치 관계 기준)을 초선택 규칙 섹터라고 한다. 우리는 다음과 같은 성질을 가진 진공이라는 순수 상태가 있다고 가정한다: 이 진공과 관련된 힐베르트 공간은 푸앵카레 공변성과 호환되고, 푸앵카레 대수를 보면 에너지-운동량(시공간 변환에 해당)에 대한 스펙트럼이 양의 빛 원뿔 위와 내부에 있는 푸앵카레 군의 유니터리 표현이다. 이는 진공 섹터이다.

4. 5. 상태와 층 (준층)

범주 '''''

\bf{Mink}

'''''를 범주의 사상은 포함 함수이고 대상은 민코프스키 공간 ''

M

''의 열린 부분 집합들인 범주라 하자. C*-대수와 관련된 상태는 단위 노름을 갖는 양의 선형 범함수이다.

\mathcal{A}(M)

위의 상태가 주어진 경우, "부분 대각합"을 가지고 그물 단사 사상을 통해 각 열린 집합 ''

U

''에 대해

\mathcal{A}(U)

과 관련된 상태를 얻을 수 있다. 열린 집합에 대한 상태는 준층 구조를 형성한다.

4. 6. GNS 구성

겔판트-나이마크-세겔 구성(GNS 구성)에 따르면, 각 상태에 대해 C*-대수

\mathcal{A}(M)

의 힐베르트 공간 표현을 연관시킬 수 있다. 순수 상태는 기약 표현에 해당하고, 혼합 상태는 가약 표현에 해당한다. 각각의 기약 표현(동치 관계 기준)을 초선택 규칙 섹터라고 한다.

우리는 다음과 같은 성질을 가진 진공이라는 순수 상태가 있다고 가정한다: 이 진공과 관련된 힐베르트 공간은 푸앵카레 공변성과 호환되고, 푸앵카레 대수를 보면 에너지-운동량(시공간 변환에 해당)에 대한 스펙트럼이 양의 빛 원뿔 위와 내부에 있는 푸앵카레 군의 유니터리 표현이다. 이는 진공 섹터이다.

4. 7. 초선택 규칙과 진공 섹터

범주 '''''

\bf{Mink}

'''''를 범주의 사상은 포함 함수이고 대상은 민코프스키 공간 ''

M

''의 열린 부분 집합들인 범주라 하자. '''''

\bf{Mink}

'''''의 모든 사상이 C*-대수 범주 '''''

\bf{uC^*alg}

'''''의 단사 사상에 사상되는 공변 함자 '''''

\mathcal{A}:\bf{Mink}\to \bf{uC^*alg}

'''''가 주어진다.(아이소토니)

푸앵카레 군은 '''''

\bf{Mink}

'''''에 대해 연속적으로 작용한다. 이 작용의 당김이 존재하며 이는

\mathcal{A}(M)

의 표준 위상에서 연속이다.(푸앵카레 공변)

민코프스키 공간은 인과 구조를 가지고 있다. 열린집합 ''

V

가'' 열린집합 ''

U

''의 인과적 여집합에 있는 경우 사상의 상은

:

\mathcal{A}(i_{U,U\cup V})

이고

:

\mathcal{A}(i_{V,U\cup V})

는 교환한다(장소꼴 교환성). 만약

\bar{U}

가 열린집합 ''

U

'' 의 인과적 완비화이면

\mathcal{A}(i_{U,\bar{U}})

는 동형 사상 (원시적 인과관계)이다.

C*-대수와 관련된 상태는 단위 노름을 갖는 양의 선형 범함수이다.

\mathcal{A}(M)

위의 상태가 주어진 경우, "부분 대각합"을 가지고 그물 단사 사상을 통해 각 열린 집합 ''

U

''에 대해

\mathcal{A}(U)

과 관련된 상태를 얻을 수 있다. 열린 집합에 대한 상태는 준층 구조를 형성한다.

겔판트-나이마크-세겔 구성에 따르면 각 상태에 대해

\mathcal{A}(M)

의 힐베르트 공간 표현을 연관시킬 수 있다. 순수 상태는 기약표현에 해당하고 혼합 상태는 가약 표현에 해당한다. 각각의 기약 표현(동치 관계 기준)을 초선택 규칙 섹터라고 한다. 우리는 다음과 같은 성질을 가진 진공이라는 순수 상태가 있다고 가정한다: 이 진공과 관련된 힐베르트 공간은 푸앵카레 공변성과 호환되고, 푸앵카레 대수를 보면 에너지-운동량(시공간 변환에 해당)에 대한 스펙트럼이 양의 빛 원뿔 위와 내부에 있는 푸앵카레 군의 유니터리 표현이다. 이는 진공 섹터이다.

5. 휘어진 시공간에서의 양자장론

최근에는 대수적 양자장론이 휘어진 시공간 양자장론을 포함하도록 하는 접근 방식이 추가로 구현되었다. 실제로, 국소적 양자 물리학의 관점은 휘어진 배경에서 전개된 양자장론에 대한 재규격화 절차를 일반화하는 데 특히 적합하다. 블랙홀이 있는 경우 양자장론에 관한 몇 가지 엄격한 결과가 얻어졌다.

5. 1. 재규격화

대수적 양자장론은 휘어진 시공간 양자장론을 포함하도록 확장되었다. 국소 양자 물리학의 관점은 휘어진 배경에서 전개된 양자장론에 대한 재규격화 절차를 일반화하는 데 적합하다. 블랙홀이 있는 경우 양자장론에 관한 몇 가지 엄격한 결과가 도출되었다.

5. 2. 블랙홀과 양자장론

대수적 양자장론은 휘어진 시공간 양자장론을 포함하도록 확장되었다. 이 접근 방식은 휘어진 시공간에서 전개된 양자장론의 재규격화 절차를 일반화하는 데 적합하다. 특히 블랙홀이 있는 경우 양자장론에 대한 몇 가지 엄격한 결과가 얻어졌다.

참조

_[1] 서적 Operatoralgebraic Methods in Quantum Field Theory Akademie Verlag
_[2] 서적 Operatoralgebraic Methods in Quantum Field Theory https://archive.org/[...] Akademie Verlag

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