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디리클레 L-함수

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목차

1. 개요

디리클레 L-함수는 디리클레 지표를 사용하여 정의되는 복소 변수의 특수한 형태의 L-함수이다. 오일러 곱으로 표현되며, 원시 지표와 비원시 지표 간의 관계를 통해 분석된다. L-함수는 함수 방정식을 만족하며, 이를 통해 복소 평면 전체에서 해석적 연속성을 갖는다. 또한, 허위츠 제타 함수와의 관계를 통해 표현될 수 있으며, 특정 값에서 특수한 값을 갖는다. 모듈러 형식 및 푸리에 급수와 연관성을 가지며, 다양한 수학 분야에서 중요한 역할을 한다.

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디리클레 L-함수
일반 정보
유형수학 함수
분야해석적 수론
이름의 유래요한 페터 구스타프 르죈 디리클레
정의
정의임의의 디리클레 지표 χ에 대해, 디리클레 L-함수는 다음과 같이 정의된다: L(s, χ) = Σ(n=1, ∞) χ(n)n^(-s)
다른 표현오일러 곱: L(s, χ) = Π(p prime) (1 - χ(p)p^(-s))^(-1)
특수한 경우디리클레 에타 함수: η(s) = L(s, χ), 여기서 χ는 지표 모듈로 4, χ(n) = (1, 0, -1, 0) (n ≡ 1, 2, 3, 4 (mod 4))
성질
함수 방정식Λ(s, χ) = ε(χ)Λ(1-s, χ*) 여기서 Λ(s, χ) = (q^(s/2) π^(-s+a/2) Γ((s+a)/2)) L(s, χ)
영점자명한 영점: s = -n, n은 짝수 (χ(-1) = 1) 또는 홀수 (χ(-1) = -1)인 정수
비자명한 영점: 임계선 0 < Re(s) < 1에 위치
디리클레 급수디리클레 급수로 표현됨
오일러 곱오일러 곱으로 표현됨
관련된 함수
관련 함수리만 제타 함수, 디리클레 에타 함수
기타 정보
참고디리클레 L-함수는 산술수열에 대한 디리클레의 정리를 증명하는 데 사용됨.

2. 오일러 곱

디리클레 지표 χ는 완전 곱셈적 함수이므로, 해당 L-함수는 절대 수렴하는 반평면에서 오일러 곱으로 표현 가능하다. 여기서 곱은 모든 소수에 대해 이루어진다.[1]

2. 1. 오일러 곱 표현

Re영어(s) > 1인 영역에서 디리클레 L-함수는 다음과 같이 표현된다. 여기서 곱은 모든 소수 p에 대해 이루어진다.[1]

:L(s,\chi)=\prod_p\left(1-\chi(p)p^{-s}\right)^{-1}

3. 원시 지표

디리클레 L-함수에 대한 결과는 지표가 원시적이라고 가정하면 더 간단하게 표현되는 경우가 많지만, 일반적인 경우에는 사소한 복잡성을 통해 비원시적 지표로 확장될 수 있다.[2] 비원시적 지표의 L-함수는 원시 지표의 L-함수와 유한 개의 인수의 곱으로 나타낼 수 있기 때문이다.

3. 1. 원시 지표와 비원시 지표의 관계

비원시적 지표 \(\chi\)와 이를 유도하는 원시 지표 \(\chi^\star\)의 관계는 다음과 같다. (여기서 \(q\)는 \(\chi\)의 법이다.)[3]

:\(\chi(n) = \begin{cases} \chi^\star(n), & \gcd(n,q) = 1일\, 때 \\ 0, & \gcd(n,q) \ne 1일\, 때 \end{cases}\)

오일러 곱을 적용하면 해당 \(L\)-함수 간의 관계를 알 수 있다.[4][5]

:\(L(s,\chi) = L(s,\chi^\star) \prod_{p \,|\, q}\left(1 - \frac{\chi^\star(p)}{p^s} \right)\)

(이 공식은 오일러 곱이 Re(\(s\)) > 1일 때만 유효하지만, 해석적 연속성에 의해 모든 \(s\)에 대해 성립한다.) 이 공식은 \(\chi\)의 \(L\)-함수가 \(\chi\)를 유도하는 원시 문자의 \(L\)-함수에 유한 개의 인수를 곱한 것과 같음을 보여준다.[6]

특별한 경우로, 법 \(q\)를 갖는 주 문자 \(\chi_0\)의 \(L\)-함수는 리만 제타 함수로 표현될 수 있다.[7][8]

:\(L(s,\chi_0) = \zeta(s) \prod_{p \,|\, q}(1 - p^{-s})\)

3. 2. L-함수의 관계

위 관계를 통해 다음이 성립한다.

비원시적 문자 \chi와 이를 유도하는 원시적 문자 \chi^\star 간의 관계는 다음과 같다.[3]

:

\chi(n) =

\begin{cases}

\chi^\star(n), & \mathrm{if} \gcd(n,q) = 1 \\

0, & \mathrm{if} \gcd(n,q) \ne 1

\end{cases}



(여기서 ''q''는 ''χ''의 법이다.)

이러한 관계는 오일러 곱을 통해 해당 ''L''-함수 간의 관계로 이어진다.[4][5]

:

L(s,\chi) = L(s,\chi^\star) \prod_{p \,|\, q}\left(1 - \frac{\chi^\star(p)}{p^s} \right)



(이 공식은 오일러 곱이 Re(''s'') > 1일 때만 유효하지만, 해석적 연속에 의해 모든 ''s''에 대해 성립한다.)

이 공식은 ''χ''의 ''L''-함수가 ''χ''를 유도하는 원시 문자의 ''L''-함수에 유한 개의 인수를 곱한 것과 같음을 보여준다.[6]

특별한 경우로, 법 ''q''를 갖는 주 문자 \chi_0의 ''L''-함수는 리만 제타 함수로 표현될 수 있다.[7][8]

:

L(s,\chi_0) = \zeta(s) \prod_{p \,|\, q}(1 - p^{-s})


4. 함수 방정식

디리클레 L-함수는 함수 방정식을 만족하며, 이는 복소 평면 전체에서 해석적으로 계속할 수 있는 방법을 제공한다. 함수 방정식은 L(s,\chi)의 값과 L(1-s, \overline{\chi})의 값을 관련시킨다.[11]

함수 방정식을 다음과 같이 나타낼 수도 있다.

:\Lambda(s,\chi) = q ^{s/2} \pi^{-(s+\delta)/2} \operatorname{\Gamma}\left(\frac{s+\delta}{2}\right) L(s,\chi).

이때, 함수 방정식은 다음과 같이 표현할 수 있다:[11][10]

:\Lambda(s,\chi) = W(\chi) \Lambda(1-s,\overline{\chi}).

일반화에 대해서는 함수 방정식 (L-함수)를 참조할 수 있다.

4. 1. 함수 방정식 표현 1

''χ''가 ''q'' > 1인 원시 지표일 때, 함수 방정식을 표현하는 한 가지 방법은 다음과 같다.[11]

:L(s,\chi) = W(\chi) 2^s \pi^{s-1} q^{1/2-s} \sin \left( \frac{\pi}{2} (s + \delta) \right) \Gamma(1-s) L(1-s, \overline{\chi}).

여기서 Γ는 감마 함수를 나타내고,

:\chi(-1)=(-1)^{\delta} 이며

:W(\chi) = \frac{\tau(\chi)}{i^{\delta} \sqrt{q}} 이다.

여기서 ''τ''( ''χ'')는 가우스 합이다:

:\tau(\chi) = \sum_{a=1}^q \chi(a)\exp(2\pi ia/q).

가우스 합의 속성에 따르면 |''τ'' ( ''χ'') | = ''q''1/2이므로 |''W'' ( ''χ'') | = 1이다.[9][10]

4. 2. 함수 방정식 표현 2

디리클레 L-함수는 함수 방정식을 만족하며, 이는 복소 평면 전체에서 해석적으로 계속할 수 있는 방법을 제공한다. 함수 방정식은 L(s,\chi)의 값과 L(1-s, \overline{\chi})의 값을 관련시킨다. ''χ''가 ''q'' > 1인 원시 지표라고 할 때, 함수 방정식을 표현하는 한 가지 방법은 다음과 같다.[11]

:L(s,\chi) = W(\chi) 2^s \pi^{s-1} q^{1/2-s} \sin \left( \frac{\pi}{2} (s + \delta) \right) \Gamma(1-s) L(1-s, \overline{\chi}).

이 방정식에서 Γ는 감마 함수를 나타내고,

:\chi(-1)=(-1)^{\delta}이며,

:W(\chi) = \frac{\tau(\chi)}{i^{\delta} \sqrt{q}}이다.

여기서 ''τ'' ( ''χ'')는 가우스 합이다.

:\tau(\chi) = \sum_{a=1}^q \chi(a)\exp(2\pi ia/q).

가우스 합의 속성에 따르면 |''τ'' ( ''χ'') | = ''q''1/2이므로 |''W'' ( ''χ'') | = 1이다.[9][10]

4. 3. 함수 방정식의 의미

함수 방정식은 L(s,\chi)가 ''s''의 전체 함수임을 의미한다. (이는 ''q'' > 1인 원시 지표 ''χ''를 가정한다. ''q'' = 1이면 L(s,\chi) = \zeta(s)는 ''s'' = 1에서 극점을 갖는다.)[11][10]

5. 영점



디리클레 L-함수의 영점은 크게 자명한 영점과 비자명한 영점으로 나뉜다. 자명한 영점은 특정 음의 정수에서 나타나며, 비자명한 영점은 임계 띠 안에 존재한다.

Re(''s'') > 1인 영역에는 ''L''(''s'', ''χ'')의 영점이 존재하지 않는다.[13]

5. 1. 자명한 영점

''χ''를 ''q'' > 1인 법 ''q''에 대한 원시 지표라고 하자.

Re(''s'') < 0인 경우, 특정 음의 정수 ''s''에서 영점이 존재한다.

  • ''χ''(−1) = 1이면, Re(''s'') < 0인 ''L''(''s'', ''χ'')의 유일한 영점은 -2, -4, -6, ....에서의 단순 영점이다. (''s'' = 0에서도 영점이 있다.) 이것들은 \textstyle \Gamma(\frac{s}{2})의 극점에 해당한다.[12]
  • ''χ''(−1) = −1이면, Re(''s'') < 0인 ''L''(''s'', ''χ'')의 유일한 영점은 -1, -3, -5, ....에서의 단순 영점이다. 이것들은 \textstyle \Gamma(\frac{s+1}{2})의 극점에 해당한다.[12]

이것들을 자명한 영점이라고 한다.[11]

5. 2. 비자명한 영점

''χ''를 ''q'' > 1인 법 ''q''에 대한 원시 지표라고 하자. 나머지 영점들은 임계 띠 0 ≤ Re(''s'') ≤ 1에 위치하며, 임계선 Re(''s'') = 1/2에 대해 대칭이다. 즉, L(\rho,\chi)=0이면 함수 방정식 때문에 L(1-\overline{\rho},\chi)=0도 성립한다.[11] ''χ''가 실수 지표이면 비자명한 영점들은 실수 축에 대해서도 대칭이지만, ''χ''가 복소수 지표인 경우에는 그렇지 않다. 일반화된 리만 가설은 모든 비자명한 영점들이 임계선 Re(''s'') = 1/2 위에 놓인다는 추측이다.[11]

지겔 영점의 존재 가능성을 제외하고, 리만 제타 함수의 경우와 유사하게 Re(''s'') = 1의 선을 포함하고 그 너머까지 영점이 없는 영역이 모든 디리클레 ''L''-함수에 대해 존재한다는 것이 알려져 있다.[13] 예를 들어, ''q''를 법으로 하는 비실수 지표 ''χ''에 대해,

: \beta < 1 - \frac{c}{\log\!\!\; \big(q(2+|\gamma|)\big)} \

여기서 β + iγ는 비실수 영점이다.[13]

5. 3. 영점이 없는 영역

''χ''를 ''q'' > 1인 법 ''q''에 대한 원시 지표라고 하자.

Re(''s'') > 1인 ''L''(''s'', ''χ'')의 영점은 없다. 지겔 영점의 존재 가능성을 제외하고, 리만 제타 함수의 경우와 유사하게 Re(''s'') = 1의 선을 포함하고 그 너머까지 영점이 없는 영역이 모든 디리클레 ''L''-함수에 대해 존재한다는 것이 알려져 있다. 예를 들어, ''q''를 법으로 하는 비실수 지표 ''χ''에 대해,

:\beta < 1-\frac{c}{\log(q(2+|\gamma|))}

여기서 β + iγ는 비실수 영점이다.[13]

6. 허위츠 제타 함수와의 관계

디리클레 L-함수는 유리수 값에서 허위츠 제타 함수의 선형 결합으로 나타낼 수 있다. 정수 ''k'' ≥ 1을 고정하면, 법 ''k''에 대한 지표에 대한 디리클레 ''L''-함수는 상수 계수를 갖는 ''ζ''(''s'',''a'')의 선형 결합으로 표현할 수 있는데, 여기서 ''a'' = ''r''/''k''이고 ''r'' = 1, 2, ..., ''k''이다. 이는 유리수 ''a''에 대한 허위츠 제타 함수가 디리클레 ''L''-함수와 밀접하게 관련된 해석적 성질을 갖는다는 것을 의미한다.[14]

6. 1. 선형 결합 표현

χ를 법 ''k''에 대한 지표라고 할 때, 디리클레 L-함수는 다음과 같이 쓸 수 있다.[14]

:L(s,\chi) = \sum_{n=1}^\infty \frac{\chi(n)}{n^s}

= \frac{1}{k^s} \sum_{r=1}^k \chi(r) \operatorname{\zeta}\left(s,\frac{r}{k}\right).

7. 다른 함수와의 연관성

디리클레 L-함수는 모듈러 함수, 푸리에 급수 등과 깊은 연관성을 갖는다. 히다 하루조, 다카기 사다지, 스에츠나 조이치 등이 이와 관련된 연구를 했다.[15]

7. 1. 모듈러 함수, 푸리에 급수와의 연관성

모듈러 함수와 푸리에 급수의 연관성은 다음과 같다.[15]

:f(\tau) = \sum_{n=0}^{\infty} c(n)e^{2\pi i \tau n} = c(0)+\sum_{n=1}^{\infty} c(n)e^{2\pi i \tau n}

:f \left( \right) = (c \tau +d)^k f(\tau)

:\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}는 모듈러 군의 감마(\Gamma) 멤버이다.

8. 특수값

디리클레 L-함수는 특정 값에서 다음과 같은 특수한 값을 갖는다.

:L_{-8}(1)= {\pi \over 2\sqrt{2}}

:L_{-7}(1)= {\pi \over \sqrt{7}}

:L_{-3}(1)= {1\over9}{\pi \sqrt{3}}

:L_{+5}(1)= {2\over5}{\sqrt{5}} \ln \phi

:L_{+8}(1)= )}\over{\sqrt{2}} }

:L_{+12}(1)= )}\over{\sqrt{3}} }

:L_{+13}(1)= {2 \over {\sqrt{13}}} \ln \left( }\over{2} }\right)

:L_{-4}(2)= K

:L_{-3}(2)= {1\over9}\left( \psi_1 {\left( {1\over3}\right)} -\psi_1{ \left( {2\over3}\right)} \right)

:L_{+1}(2)= {1\over6} \pi^2

여기서 K는 카탈랑 상수, \psi는 트리감마 함수이다.

9. 관련 서적


  • T. M. Apostol, ''Introduction to Analytic Number Theory''. New York: Springer-Verlag, 1976.
  • 히다 하루조, 《L-함수와 아이젠슈타인 급수의 기초 이론》, 케임브리지 대학교 출판부, ISBN 0-521-43569-2 (1993년).
  • 다카기 사다지, 《초등 정수론 강의 제2판》, 쿄리츠 출판, ISBN 978-4-320-01001-7 (1971년 10월 15일). 부록 §59. "산술 수열 속의 소수".
  • 스에츠나 조이치, 《해석적 정수론》, 이와나미 서점 (1950년 2월 10일). 제3장 "디리클레 L-함수".

참조

[1] 서적
[2] 서적
[3] 서적
[4] 서적
[5] 서적
[6] 서적
[7] 서적
[8] 서적
[9] 서적
[10] 서적
[11] 서적
[12] 서적
[13] 서적 Ten lectures on the interface between analytic number theory and harmonic analysis American Mathematical Society
[14] 서적
[15] 간행물 "Über die Bestimmung Dirichletscher Reihen durch ihre Funktionalgleichung." Math. Ann.


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