디리클레 급수

3. 성질

디리클레 급수는 덧셈과 곱셈에 대해 닫혀 있으며, 환의 구조를 이룬다.

두 디리클레 급수 f|에프^영어(s) = ∑_n=1^∞(a_n/n^s), g|지^영어(s) = ∑_n=1^∞(b_n/n^s)의 합은 다음과 같이 정의된다.

:f|에프^영어(s) + g|지^영어(s) = ∑_n=1^∞((a_n + b_n)/n^s)

두 디리클레 급수의 곱은 '''디리클레 합성곱'''으로, 다음과 같이 정의된다.

:f|에프^영어(s)g|지^영어(s) = ∑_n=1^∞(c_n/n^s), 여기서 c_n = ∑_{k|n, k≥1}a_kb_n/k

계수가 환 ''R''의 원소로 구성된 디리클레 급수 전체는 환을 이룬다. 만약 환 ''R''이 가환이면, 디리클레 급수 환도 가환이다.

f(α)와 g(α)가 특정 복소수 α에서 수렴하더라도, 그 곱 f(s)g(s)는 s = α에서 반드시 수렴하지는 않는다. 예를 들어, 두 디리클레 급수 f|에프^영어(s) = g|지^영어(s) = ∑_n=1^∞((-1)ⁿ/n^s)는 각각 수렴축이 0이지만, 그 곱 h(s) = f(s)g(s)의 수렴축은 1이다. 따라서 f|에프^영어(1/2)와 g|지^영어(1/2)는 수렴하지만, h(1/2)는 수렴하지 않는다.

3. 1. 수렴성

• '''뫼비우스 함수 관련'''^[1]

• '''오일러 피 함수 관련'''

• '''약수 함수 관련'''

4. 1. 리만 제타 함수

5. 오일러 곱

multiplicative function|곱셈적 함수^영어 f(n)^영어에 대한 디리클레 급수는 다음과 같은 오일러 곱(Euler product)으로 표현될 수 있다.

:$f(s)\; =\; \backslash !\backslash !\backslash prod\_\{p;\backslash operatorname\{prime\}\}\backslash left(1+\backslash frac\{a(p)\}\{p^s\}+\backslash frac\{a(p^2)\}\{p^\{2s\}\}+\backslash cdots\; \backslash right)$

완전 곱셈적 함수의 경우, 오일러 곱은 더 간단한 형태로 표현된다.

:$f(s)\; =\; \backslash !\backslash !\backslash prod\_\{p;\backslash operatorname\{prime\}\}\backslash frac\{1\}\{1-a(p)/p^s\}$^[1]

6. 다른 표현

리만 제타 함수는 다음과 같은 식으로 표현되는 가장 유명한 디리클레 급수의 예시이다.

:$\backslash zeta(s)=\backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\; \backslash frac\; 1\; \{n^s\},$

이는 해석적 연속(s = 1에서 단순 극을 제외)을 통해 복소수로 확장할 수 있다.

$f$가 모든 자연수 $n$에 대해 실수 값을 갖는 경우, 디리클레 급수 $F$의 실수부와 허수부는 $s\; \backslash equiv\; \backslash sigma\; +\; it$로 표기할 때 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:$\backslash begin\{align\}$

\Re[F(s)] & = \sum_{n \geq 1} \frac{~f(n)\,\cos(t \log n)~}{n^{\sigma}} \\

\Im[F(s)] & = \sum_{n \geq 1} \frac{~f(n)\,\sin(t \log n)~}{n^{\sigma}}\,.

\end{align}

각 자연수는 소수의 거듭제곱으로 고유하게 분해되므로, 오일러 곱 공식에 영감을 준 조합론적 측면을 다음과 같이 표현할 수 있다.

:$\backslash begin\{align\}$

\zeta(s) &= \mathfrak{D}^{\N}_{\operatorname{id}}(s) = \prod_{p\text{ 소수}} \mathfrak{D}^{\{p^n : n \in \N\}}_{\operatorname{id}}(s) = \prod_{p\text{ 소수}} \sum_{n \in \N} \mathfrak{D}^{\{p^n\}}_{\operatorname{id}}(s) \\

&= \prod_{p\text{ 소수}} \sum_{n \in \N} \frac{1}{(p^n)^s} = \prod_{p\text{ 소수}} \sum_{n \in \N} \left(\frac{1}{p^s}\right)^n = \prod_{p\text{ 소수}} \frac{1}{1-p^{-s}}

\end{align}

뫼비우스 함수 $\backslash mu(n)$를 사용하면 다음과 같은 표현도 가능하다.

:$\backslash frac\{1\}\{\backslash zeta(s)\}=\backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\; \backslash frac\{\backslash mu(n)\}\{n^s\}$

디리클레 문자 $\backslash chi(n)$가 주어지면, 디리클레 L-함수 $L(\backslash chi,\; s)$를 사용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.

:$\backslash frac\; 1\; \{L(\backslash chi,s)\}=\backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\; \backslash frac\{\backslash mu(n)\backslash chi(n)\}\{n^s\}$

산술 함수 $f$가 디리클레 역 함수 $f^\{-1\}(n)$을 갖는 경우, 역 함수의 DGF는 $F$의 역수로 주어진다.

:$\backslash sum\_\{n\; \backslash geq\; 1\}\; \backslash frac\{f^\{-1\}(n)\}\{n^s\}\; =\; \backslash left(\backslash sum\_\{n\; \backslash geq\; 1\}\; \backslash frac\{f(n)\}\{n^s\}\backslash right)^\{-1\}.$

오일러 피 함수 $\backslash varphi(n)$, 요르단 함수 $J\_k$, 약수 함수 $\backslash sigma\_a(n)$ 등을 이용한 다양한 표현도 가능하다.

:$\backslash frac\{\backslash zeta(s-1)\}\{\backslash zeta(s)\}=\backslash sum\_\{n=1\}^\{\backslash infty\}\; \backslash frac\{\backslash varphi(n)\}\{n^s\}$

:$\backslash frac\{\backslash zeta(s-k)\}\{\backslash zeta(s)\}\; =\; \backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\; \backslash frac\{J\_k(n)\}\{n^s\}$

:$\backslash begin\{align\}$

& \zeta(s) \zeta(s-a)=\sum_{n=1}^\infty \frac{\sigma_{a}(n)}{n^s} \\[6pt]

& \frac{\zeta(s)\zeta(s-a)\zeta(s-2a)}{\zeta(2s-2a)} = \sum_{n=1}^\infty \frac{\sigma_a(n^2)}{n^s} \\[6pt]

& \frac{\zeta(s)\zeta(s-a)\zeta(s-b)\zeta(s-a-b)}{\zeta(2s-a-b)} = \sum_{n=1}^\infty \frac{\sigma_a(n)\sigma_b(n)}{n^s}

\end{align}

약수 함수 $d\; =\; \backslash sigma\_0$에 대한 특수화는 다음과 같다.

:$\backslash begin\{align\}$

\zeta^2(s) & =\sum_{n=1}^\infty \frac{d(n)}{n^s} \\[6pt]

\frac{\zeta^3(s)}{\zeta(2s)} & =\sum_{n=1}^\infty \frac{d(n^2)}{n^s} \\[6pt]

\frac{\zeta^4(s)}{\zeta(2s)} & =\sum_{n=1}^\infty \frac{d(n)^2}{n^s}.

\end{align}

폰 망골트 함수 $\backslash Lambda(n)$을 사용하면 제타 함수의 로그와 로그 미분은 다음과 같이 표현된다.

:$\backslash log\; \backslash zeta(s)=\backslash sum\_\{n=2\}^\backslash infty\; \backslash frac\{\backslash Lambda(n)\}\{\backslash log(n)\}\backslash frac\{1\}\{n^s\},\; \backslash qquad\; \backslash Re(s)\; >\; 1.$

:$-\backslash zeta\text{'}(s)\; =\; \backslash sum\_\{n=2\}^\{\backslash infty\}\; \backslash frac\{\backslash log(n)\}\{n^s\},\; \backslash qquad\; \backslash Re(s)\; >\; 1.$

:$\backslash frac\{\backslash zeta\text{'}(s)\}\{\backslash zeta(s)\}\; =\; -\backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\; \backslash frac\{\backslash Lambda(n)\}\{n^s\}.$

리우빌 함수 $\backslash lambda(n)$이 주어지면, 다음이 성립한다.

:$\backslash frac\{\backslash zeta(2s)\}\{\backslash zeta(s)\}\; =\; \backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\; \backslash frac\{\backslash lambda(n)\}\{n^s\}.$

라마누잔 합을 사용하면 다음과 같다.

:$\backslash frac\{\backslash sigma\_\{1-s\}(m)\}\{\backslash zeta(s)\}=\backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\backslash frac\{c\_n(m)\}\{n^s\}.$

뫼비우스 함수와 소수 오메가 함수를 사용하면 다음과 같다.^[1]

:$\backslash frac\{\backslash zeta(s)\}\{\backslash zeta(2s)\}\; =\; \backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\; \backslash frac$