모티브 (수학)

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1. 개요
2. 역사적 배경
3. 모티브의 정의
- 3.1. 순수 모티브
- 3.2. 혼합 모티브
4. 모티브의 예시
- 4.1. 테이트 모티브
- 4.2. 곡선의 모티브
5. 모티브 코호몰로지
6. 모티브와 관련된 추측들
- 6.1. 표준 추측
- 6.2. 호지 추측과 테이트 추측
7. 탄나키안 형식주의와 모티브 갈루아 군
8. 비전문가를 위한 설명
참조

1. 개요

모티브 이론은 베티 코호몰로지, 드 람 코호몰로지, 에탈 코호몰로지 등 다양한 코호몰로지 이론을 통합하려는 시도로 시작되었다. 대수다양체의 구조를 선형대수학을 통해 연구하는 방법으로, '사영 직선 = 직선 + 점', '사영 평면 = 평면 + 직선 + 점'과 같은 방정식에 깊은 수학적 의미를 부여한다. 모티브는 다양체의 유리 함수, 제수, 초우 군으로의 일반화 시퀀스를 따르며, 다양한 동치 관계를 고려한다. 순수 모티브는 대응의 범주, 유효 순수 Chow 모티브, 순수 Chow 모티브의 범주를 거쳐 정의되며, 혼합 모티브는 순수 모티브를 확장한 개념이다. 모티브 이론은 대수적 K-이론과 밀접하게 관련되어 있으며, 대수기하학의 여러 난제를 해결하는 데 중요한 역할을 한다. 모티브 코호몰로지, 표준 추측, 호지 추측, 테이트 추측 등과 관련되어 있으며, 모티브 갈루아 군은 갈루아 이론을 고차원 다양체로 확장하는 데 사용된다.

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모티브 (수학)
모티브 (대수기하학)
분야	대수기하학, 수론기하학
정의	대수다양체의 코호몰로지 이론을 통일하는 구조
역사	알렉산더 그로텐디크가 1960년대에 도입 피에르 들리뉴, 마이클 아트 등 다양한 수학자들이 연구
역할 및 중요성
코호몰로지 이론의 통일	다양한 코호몰로지 이론(예: 특이 코호몰로지, ℓ-adic 코호몰로지, 드람 코호몰로지)을 공통적인 틀에서 이해
호지 추측과의 관계	호지 추측을 포함한 다양한 추측들을 연구하는 데 중요한 도구
갈루아 표현과의 연관성	수론적인 정보를 담고 있는 갈루아 표현과 기하학적 대상인 모티브를 연결
주요 개념
대응	대수다양체 사이의 관계를 나타내는 개념
절단	모티브 범주에서 특정한 성질을 만족하는 대상
텐서곱	모티브 범주에서 두 모티브를 결합하는 연산
모티브 코호몰로지	모티브를 사용하여 정의되는 코호몰로지 이론
예시
사영 공간의 모티브	간단한 형태의 모티브로, 모티브 이론의 기본적인 구성 요소
타원 곡선의 모티브	보다 복잡한 형태의 모티브로, 수론적인 성질을 연구하는 데 사용
관련 항목
코호몰로지	위상 공간 또는 대수다양체와 같은 공간의 대수적 불변량을 연구하는 방법
대수다양체	대수 방정식의 해집합으로 정의되는 기하학적 대상
범주론	수학적 구조와 그 사이의 관계를 추상적으로 연구하는 분야
수론	정수, 유리수, 대수적 수 등의 성질을 연구하는 수학 분야
호지 이론	복소 대수다양체의 코호몰로지 구조를 연구하는 이론

2. 역사적 배경

모티브 이론은 원래 베티 코호몰로지, 드 람 코호몰로지, ''l''-adic 코호몰로지, 결정 코호몰로지를 포함한 여러 코호몰로지 이론들을 통합하려는 시도로서 추측되었다. 일반적인 기대는 다음과 같은 방정식이 더욱 견고한 수학적 기반 위에 깊은 의미를 부여할 수 있다는 것이었다.

[사영 직선] = [직선] + [점]
[사영 평면] = [평면] + [직선] + [점]

위의 방정식은 "+"가 세포 부착에 해당하는 CW-복합체의 의미와 "+"가 직접합에 해당하는 다양한 코호몰로지 이론의 의미에서 이미 참인 것으로 알려져 있다.

다른 관점에서 보면, 모티브는 다양체의 유리 함수에서 다양체의 제수로, 그리고 다양체의 초우 군으로의 일반화 시퀀스를 이어간다. 모티브는 유리적 동치보다 더 많은 종류의 동치에 대해 고려될 수 있으므로 일반화는 여러 방향으로 이루어진다. 허용 가능한 동치는 적절한 동치 관계의 정의에 의해 주어진다.

3. 모티브의 정의

모든 대수다양체 ''X''는 그에 대응하는 '''모티브''' [''X'']를 가진다. 가장 간단한 모티브의 예는 다음과 같다.

[점]
[ $\mathbb{P}^1$ ] = [점] + [ $\mathbb{A}^1$ ]
[ $\mathbb{P}^2$ ] = [점] + [ $\mathbb{A}^1$ ] + [ $\mathbb{A}^2$ ]

이러한 '등식'들은 여러 상황에서 성립한다.

복소수 위에서 드람 코호몰로지와 특이 코호몰로지에 대해 성립한다.
체의 표수가 ''l''이 아닌 경우 ''l''-에딕 에탈 코호몰로지에 대해 성립한다.
유한체 위에서 대수다양체의 닫힌 점들의 개수가 이를 만족한다.
컨덕터에 대해 성립한다.

각각의 모티브는 차수(degree)로 위계가 매겨져 있다. 대수다양체 ''X''에 대응되는 모티브 [''X'']는 차수 0부터 차수 2'''dim''' ''X''까지 위계가 매겨져 있다. 대수다양체는 이러한 성질을 가지고 있지만, 모티브는 항상 모티브 전체에서 특정 차수의 모티브 부분으로 가는 사영(projection)이 존재한다. 예를 들어 ''E''가 타원곡선일 때, ''h'':= [''E''] - [선] - [점]은 차수가 순수히 1인 모티브이다.

모티브의 기본적인 철학은, '''모티브'''가 충분히 좋고 잘 정의되는 코호몰로지 이론들 안에서는 항상 같은 구조를 가져야 한다는 것이다. 예를 들어, 임의의 베유 코호몰로지 이론은 이러한 '충분히 좋은' 코호몰로지이다.

3. 1. 순수 모티브

순수 모티브의 범주는 일반적으로 다음 세 단계를 거쳐 정의된다.

1. 대응(correspondence)의 범주 Corr(k)를 구성한다. 이 범주의 대상은 체 ''k'' 위의 매끄러운 사영 대수다양체이며, 사상은 대응(correspondence)으로 주어진다.

2. Corr(k)의 카루비 포락(Karoubi envelope)을 취하여 유효 순수 Chow 모티브의 범주 Chow^eff(k)를 구성한다.

3. Chow^eff(k)에 레프셰츠 모티브의 텐서 곱에 대한 형식적 역원을 추가하여 순수 Chow 모티브의 범주 Chow(k)를 구성한다.

Chow(k)의 대상은 (''X'', ''p'', ''n'') 형태의 삼중항으로 표현된다. 여기서 ''X''는 매끄러운 사영 다양체이고, ''p''는 ''X'' 위의 멱등 사상이며, ''n''은 정수이다.

3. 1. 1. 대응의 범주 Corr(k)

Corr(k)^영어의 대상은 ''k'' 위의 매끄러운 사영 대수다양체이다. 사상은 대응인데, 이는 다양체 사이의 사상

X \to Y

를

X \times Y

의 고정된 차원 차우 사이클로 일반화한 것이다.

\operatorname{Corr}(k)

의 사상은 차수 0의 대응이지만, 임의 차수의 대응을 설명하는 것이 유용하다. ''X''와 ''Y''를 매끄러운 사영 대수다양체라고 하고, ''X''의 연결 성분으로의 분해를

X = \coprod_i X_i

,

d_i := \dim X_i

와 같이 고려하면,

r\in \Z

에 대해 ''X''에서 ''Y''로의 차수 ''r''의 대응은 다음과 같이 정의된다.

:

\operatorname{Corr}^r(k)(X, Y) := \bigoplus_i A^{d_i+r}(X_i \times Y),

여기서

A^k(X)

는 코드차원 ''k''의 차우 사이클을 나타낸다. 대응은 "⊢" 표기법을 사용하여

\alpha : X \vdash Y

와 같이 나타내기도 한다. 임의의

\alpha\in \operatorname{Corr}^r(X, Y)

와

\beta\in \operatorname{Corr}^s(Y,Z)

에 대해, 그들의 합성은 다음과 같이 정의된다.

:

\beta \circ \alpha := \pi_{XZ*} \left (\pi^{*}_{XY}(\alpha) \cdot \pi^{*}_{YZ}(\beta) \right ) \in \operatorname{Corr}^{r+s}(X, Z),

여기서 점은 차우 환에서의 곱(즉, 교차)을 나타낸다.

범주

\operatorname{Corr}(k)

를 구성하기 위해, 차수 0의 대응의 합성이 차수 0임을 주목하여

\operatorname{Corr}(k)

의 사상을 차수 0의 대응으로 정의한다.

다음 연관은 함자이다 (여기서

\Gamma_f \subseteq X\times Y

는

f: X\to Y

의 그래프).

:

F : \begin{cases}\operatorname{SmProj}(k) \longrightarrow \operatorname{Corr}(k) \\X \longmapsto X \\f \longmapsto \Gamma_f\end{cases}

\operatorname{SmProj}(k)

와 마찬가지로 범주

\operatorname{Corr}(k)

는 직합 (X ⊕ Y := X ∐ Y)과 텐서 곱 (X ⊗ Y := X × Y)을 가진다. 이는 전가법적 범주이다. 사상의 합은 다음과 같이 정의된다.

:

\alpha + \beta := (\alpha, \beta) \in A^{*}(X \times X) \oplus A^{*}(Y \times Y) \hookrightarrow A^{*} \left (\left (X \coprod Y \right ) \times \left (X \coprod Y \right ) \right ).

3. 1. 2. 유효 순수 Chow 모티브 Chow^eff(k)

Corr^영어(k)의 의사 아벨 포락을 취하여 유효 Chow 모티브를 얻는다. 유효 Chow 모티브는 매끄러운 사영 다양체 ''X''와 멱등원 대응 α: ''X'' ⊢ ''X''의 쌍이다.

유효 Chow 모티브는 다음과 같이 정의된다.

대상: $\operatorname{Ob} \left (\operatorname{Chow}^\operatorname{eff}(k) \right ) := \{ (X, \alpha) \mid (\alpha : X \vdash X) \in \operatorname{Corr}(k), \alpha \circ \alpha = \alpha \}.$ 즉, 매끄러운 사영 다양체 X와 멱등원 대응 α: X ⊢ X의 쌍이다.
사상: $\operatorname{Mor}((X, \alpha), (Y, \beta)) := \{ f : X \vdash Y | f \circ \alpha = f = \beta \circ f \}.$ 즉, 특정 유형의 대응이다.

합성은 대응의 합성으로 정의되며, (''X'', ''α'')의 항등 사상은 ''α'' : ''X'' ⊢ ''X''로 정의된다.

함자 h는 다음과 같이 정의된다.

:

h : \begin{cases}\operatorname{SmProj}(k) & \longrightarrow \operatorname{Chow^{eff}}(k) \\X & \longmapsto [X] := (X, \Delta_X) \\f & \longmapsto [f] := \Gamma_f \subset X \times Y\end{cases}

여기서 Δ_''X''는 ''X'' × ''X''의 대각선이며, [id_X]로 정의된다. 모티브 [''X'']는 ''다양체'' X''에 연관된 모티브라고 불린다.

Chow^eff(''k'')는 의사 아벨 범주이다. 유효한 모티브의 직합과 텐서 곱은 다음과 같이 정의된다.

직합: $([X], \alpha) \oplus ([Y], \beta) := \left ( \left [X \coprod Y \right ], \alpha + \beta \right ).$
텐서 곱: $([X], \alpha) \otimes ([Y], \beta) := (X \times Y, \pi_X^{*}\alpha \cdot \pi_Y^{*}\beta).$ (여기서 π_X와 π_Y는 사영)

사상의 텐서 곱도 정의할 수 있다. ''f''₁ : (''X''₁, ''α''₁) → (''Y''₁, ''β''₁) 및 ''f''₂ : (''X''₂, ''α''₂) → (''Y''₂, ''β''₂)를 모티브의 사상이라 하고, ''γ''₁ ∈ ''A''(''X''₁ × ''Y''₁) 및 ''γ''₂ ∈ ''A''(''X''₂ × ''Y''₂)를 ''f₁'' 및 ''f₂''의 대표라고 하면, 다음과 같이 정의된다.

:

f_1 \otimes f_2 : (X_1, \alpha_1) \otimes (X_2, \alpha_2) \vdash (Y_1, \beta_1) \otimes (Y_2, \beta_2), \qquad f_1 \otimes f_2 := \pi^{*}_1 \gamma_1 \cdot \pi^{*}_2 \gamma_2

(여기서 ''π_i''는 사영)

3. 1. 3. 순수 Chow 모티브 Chow(k)

순수 Chow 모티브 Chow(k)는 Chow^eff(''k'')에 레프셰츠 모티브의 텐서 곱에 대한 형식적 역원을 추가하여 얻어진다. 모티브는 (''X'', ''p'', ''n'') 형태의 삼중항으로 표현된다. 여기서 ''X''는 매끄러운 사영 다양체이고, ''p''는 ''X'' 위의 멱등 사상이며, ''n''은 정수이다.

3. 2. 혼합 모티브

텐서 범주 MM(k)는 고정된 기초체 k에 대해 아벨 범주이며, 다음의 함자를 수반할 것으로 예상된다.

:Var(k) → MM(X)

이는 (콤팩트하고 매끄럽다고 한정되지 않은) 모든 대수적 다양체에 대해 모티브를 제공하며, 사영적 매끄러운 다양체에 순수 모티브를 제공하는 것을 확장한다. 또한, 다음과 같이 정의된 모티빅 코호몰로지는 대수적 K-이론에서 예상된 모티브와 유리 계수에서 일치하며, 적당한 의미에서 주 모티브의 범주를 가지고 있는 모티브여야 한다.

:Ext*_MM(1, ?)

이러한 범주의 존재는 예상되었으나, 아직 구성되지 않았다.

이러한 범주를 구성하는 대신, 들리뉴는 유도 범주 D^b(MM(k))에 기대되는 성질을 가진 범주 DM(k)를 먼저 구성할 것을 제안했다. 따라서 예상되는 모티빅 t-구조에 의해, DM (k)에서 heart를 취함으로써 MM (k)가 얻어진다.

삼각 범주 DM(k)는 보예보츠키에 의해 구성되었으며, 기대되는 많은 성질을 가짐이, 기대되는 t-구조의 존재를 제외하고, 증명되었다. 그 수론에의 응용은 아직 요원하지만, 보예보츠키에 의한 응용으로 밀너 추측과 Bloch-Kato 추측이 있다. 보예보츠키는 그의 모티브 이론을 응용하여 그 추측을 증명하고 필즈상을 수상했다. 핵심적인 생각으로 이러한 모티브와 안정 호모토피를 사용했다. 하지만 주의해야 할 점은 이러한 추측의 증명에는 DM이 아닌 위상 기하학에서의 스펙트럼의 안정 호모토피 범주의 모티브판으로의 확장을 사용하고 있으며, 그것도 보예보츠키에 의해 구성되었다는 것이다.

보예보츠키가 정의한 삼각 범주는, 주 모티브를 충밀한 부분 범주로 포함하고 있으며, "올바른" 모티빅 코호몰로지를 제공한다. 하지만, 보예보츠키는 또한, 정수 계수에서는 모티빅 t-구조는 존재하지 않는다는 것도 보였다.

보예보츠키가 정의한 기하학적 모티브의 범주 DM을 구성하는 방법은 다음과 같다.

완전체 상의 매끄러운 다양체의 범주 Sm에서 시작한다. 위 순수 모티브를 구성하기 위해, 일반적인 사상 대신, 매끄러운 대응이 사용된다. 위에서 사용한 (매우 일반적인) 사이클과 비교하면, 이 매끄러운 대응의 정의는 한정적이다. 특히, 그것들은 언제나 고유하게 교차하므로, 사이클을 움직이는 것, 즉 동치 관계는 대응으로는 well-defined라고 한정되지 않는다. 이 범주는 SmCor로 쓰고, 가법적이다.
기술적인 중간 단계로서, 매끄러운 스킴이나 대응의 유계 있는 호모토피 범주 K^b(SmCor)를 취한다.
강제적으로 임의의 다양체 X에 범주의 국소화를 적용하여, 동형 X × '''A'''¹이 되도록 한다. 그 때, 마이어-비에토리 시퀀스가 보존된다. 즉, X = U ∪ V (2개의 열린 부분 다양체의 합집합)는 U ∩ V → U ⊔ V와 동형이 된다.
결국, 위와 같이 유사 아벨적 포락선을 얻는다.

결과적으로 얻어지는 범주는 유효 기하학적 모티브의 범주라고 불린다. 반복하면, 테이트 대상(Tate object)을 형식적으로 역으로 한 것으로서, 기하학적 모티브의 범주 DM가 얻어진다.

4. 모티브의 예시

모든 대수다양체 ''X''는 그에 대응하는 '''모티브''' [''X'']를 가진다. 가장 간단한 모티브의 예시는 다음과 같다.

[점]
[ $\mathbb{P}^1$ ] = [점] + [ $\mathbb{A}^1$ ]
[ $\mathbb{P}^2$ ] = [점] + [ $\mathbb{A}^1$ ] + [ $\mathbb{A}^2$ ]

이러한 '등식'들은 많은 상황에서 성립한다. 예를 들면 다음과 같다.

복소수 위에서의 드람 코호몰로지와 특이 코호몰로지에 대해서 성립한다.
표수가 ''l''이 아닌 체 위에서의 ''l''-에딕(adic) 에탈 코호몰로지에 대해서 성립한다.
유한체 위에서, 대수다양체의 닫힌 점들의 개수가 이를 만족한다.
컨덕터에 대해서 성립한다.

타원곡선 ''E''가 있을 때, ''h'':= [''E''] - [점] - [선]은 차수가 순수히 1인 모티브이다.

4. 1. 테이트 모티브

Tate motive^영어는 모티브 범주에서 기본적인 구성 요소 중 하나이며, 아벨 다양체를 제외한 "나머지 부분"을 형성한다. 계수에 따라

\mathbb{Q}(n)

,

\mathbb{Z}(n)

또는

A(n)

으로 표기된다.

표준 사상

\mathbb{P}^1 \to \operatorname{Spec}(k)

에서 시작하여 삼각 구조를 사용하면 다음과 같은 삼각자를 구성할 수 있다.

:

\mathbb{L} \to [\mathbb{P}^1] \to [\operatorname{Spec}(k)] \xrightarrow{[+1]}

A(1) = \mathbb{L}[-2]

로 설정하고 이를 '''테이트 모티브'''라고 부른다. 반복적인 텐서 곱을 사용하면

A(k)

를 구성할 수 있다. 유효한 기하 모티브가 있는 경우

M(k)

는

M \otimes A(k)

를 나타낸다.

4. 2. 곡선의 모티브

매끄러운 사영 곡선

C

에 대해, 그 차우 환(Chow ring)은

\mathbb{Z} \oplus \text{Pic}(C)

로 주어진다. 따라서 곡선의 야코비안은 모티브 범주에 포함된다.

5. 모티브 코호몰로지

모티브 코호몰로지(Motivic cohomology^영어)는 대수적 K-이론에 의해 혼합 모티브가 고안되기 전에 이미 생각되었다. 위 범주는 다음을 통해 모티브 코호몰로지를 재정비하여 정의할 수 있다.

: $H^n(X, m) := H^n(X, \mathbb{Z}(m)) := \operatorname{Hom}_{DM}(X, \mathbb{Z}(m)[n])$

여기서 n과 m은 정수이며, $\mathbb{Z}(m)$ 는 테이트 오브젝트 $\mathbb{Z}(1)$ 의 m-승의 텐서 멱이다. 보예보츠키의 설정에서, 텐서 멱은 복소 사영 공간 $\mathbb{P}^1$ 에서 -2 시프트한 점으로의 사상이며, [n]은 삼각 범주 안의 일반적인 시프트를 의미한다.

6. 모티브와 관련된 추측들

표준 추측은 대수적 사이클과 Weil 코호몰로지 이론의 상호 작용에 대한 가설로, 순수 모티브 범주를 통해 설명된다.

표준 추측은 일반적으로 매우 어려운 문제로 여겨지며, 일반적인 경우에는 아직 해결되지 않았다. 그로텐딕은 보비에리와 함께 표준 추측이 성립한다고 가정하여, Weil 추측에 대한 조건부 증명을 제시함으로써 모티브적 접근법의 깊이를 보여주었다. (이는 델리뉴에 의해 다른 방법으로 증명되었다.)

표준 추측의 예시로는 대수적 사이클 ''πⁱ'' ⊂ ''X'' × ''X''가 표준 투영자 ''H''(''X'') → ''Hⁱ''(''X'') ↣ ''H''(''X'') (모든 Weil 코호몰로지 ''H''에 대해)을 유도한다는 ''Künneth 표준 추측''이 있다. 이는 모든 순수 모티브 ''M''이 가중치 ''n''의 등급 부분으로 분해됨을 의미한다: ''M'' = ⨁''Gr_nM''. ''가중치''라는 용어는 호지 이론에서처럼 매끄러운 사영 다양체의 드람 코호몰로지와 유사한 분해에서 비롯된다.

추측 D는 수치적 동치와 호몰로지 동치의 일치를 의미하며, 호몰로지 동치와 수치적 동치에 대한 순수 모티브가 같음을 뜻한다. 얀센(1992)은 선택된 동치 관계가 수치적 동치인 경우에만 체 위의 (순수) 모티브의 범주가 아벨적이고 반단순임을 증명했다.

교차곱을 정의하기 위해 사이클은 "움직일 수 있어야" 하며, 따라서 일반적인 위치에서 사이클을 교차시킬 수 있어야 한다. 적절한 equivalence relation on cycles|사이클 상의 동치 관계^영어를 선택하는 것은, 사이클 쌍이 교차할 수 있는 일반적인 위치에 있는 동치인 쌍을 가짐을 보장한다. 주군(Chow groups)은 유리 동치를 사용하여 정의되지만, 다른 동치류도 가능하며, 각각 다른 종류의 모티브를 정의한다. 강한 것부터 약한 것 순으로 나열하면 다음과 같다:

유리 동치(Rational equivalence)
대수적 동치(Algebraic equivalence)
스매시 멱영 동치(Smash-nilpotence equivalence) (보예보츠키(Voevodsky) 동치라고도 함)
호몰로지칼 동치(Homological equivalence) (베유 코호몰로지의 의미)
수치 동치(Numerical equivalence)

문헌에 따라, 모든 순수 모티브의 유형을 주 모티브라고 부르며, 대수적 동치의 관점에서 이 경우를 "대수적 동치 아래(modulo) 주 모티브"라고 부르기도 한다.

6. 1. 표준 추측

표준 추측은 대수적 순환과 Weil 코호몰로지 이론의 상호 작용에 대한 가설로, 순수 모티브 범주를 통해 설명된다.

표준 추측은 일반적으로 매우 어려운 문제로 여겨지며, 일반적인 경우에는 아직 해결되지 않았다. 그로텐디크는 보비에리와 함께 표준 추측이 성립한다고 가정하여, Weil 추측에 대한 조건부 증명을 제시함으로써 모티브적 접근법의 깊이를 보여주었다. (이는 델리뉴에 의해 다른 방법으로 증명되었다.)

몇 가지 중요한 표준 추측의 예시는 다음과 같다:

Künneth 표준 추측: 대수적 순환 ''πⁱ'' ⊂ ''X'' × ''X''가 표준 투영자 ''H''(''X'') → ''Hⁱ''(''X'') ↣ ''H''(''X'') (모든 Weil 코호몰로지 ''H''에 대해)을 유도한다는 추측이다. 이는 모든 순수 모티브 ''M''이 가중치 ''n''의 등급 부분으로 분해됨을 의미한다: ''M'' = ⨁''Gr_nM''.
추측 D: 수치적 동치와 호몰로지 동치의 일치를 주장하며, 이는 호몰로지 동치와 수치적 동치에 대한 순수 모티브의 동치를 의미한다. 얀센(1992)은 선택된 동치 관계가 수치적 동치인 경우에만 체 위의 (순수) 모티브의 범주는 아벨적이고 반단순임을 증명했다.
호지 추측: 분수 계수를 가진 모든 순수 모티브를 호지 구조에 매핑하는 '호지 실현'이 전사 함수일 때에만 성립한다.
테이트 추측: ℓ-진 코호몰로지는 전사 함수일 때 성립한다.

6. 2. 호지 추측과 테이트 추측

호지 추측은 모티브를 사용하면 잘 재구성된다. 호지 추측이 성립하는 것과 '''호지 실현'''(Hodge realization)은 동치이다. 호지 실현이란, '''C'''의 부분체 k 위의 유리 계수의 임의의 순수 모티프에서 호지 구조로의 함자는 충실 충만 함자 H : M(k)_'''Q''' → HS_'''Q''' (유리 호지 구조)인 것이다. 여기서 순수 모티프는 호몰로지적 동치의 관점에서 순수 모티프를 의미한다.

마찬가지로, 테이트 추측은 소위 테이트 실현과 동치이다. 테이트 실현이란, 모티프에 대해 ℓ-진 코호몰로지를 제공하는 함자는 충실 충만 함자 H: M(k)_{'''Q'''_ℓ} → Rep_ℓ(Gal(k))라는 것이다. (순수 모티프는 호몰로지적 동치 아래의 순수 모티프이며, 기초 체 k의 절대 갈루아 군의 연속 표현이다.) 이 함자는 반단순 표현을 갖는다. (이것은 호지 유사체(Hodge analogue)의 경우에는 자동으로 성립한다.)

7. 탄나키안 형식주의와 모티브 갈루아 군

모티브 갈루아 군은 모티브 이론에서 멈포드-테이트 군이 호지 이론에서 차지하는 위치와 유사한 역할을 한다. 탄나카 범주 이론(Tannakian 범주)은 모티브 갈루아 군을 정의하고 연구하는 데 사용되는 중요한 도구이다. 이 이론은 호지 추측과 테이트 추측을 밝히는 데 사용되며, 이 추측들은 대수적 사이클 이론의 중요한 질문들이다.

모티브 갈루아 군의 목표는 갈루아 이론에서의 동치 관계를 고차원 다양체로 확장하는 것이다. 이를 위해 탄나키안 형식주의가 사용된다. 베유 코호몰로지 이론 ''H''를 고정하면, ''M_num''(수치적 동치를 사용하는 순수 모티브)에서 유한 차원 $\Q$ -벡터 공간으로의 함자가 만들어진다. 표준 추측 ''D''를 가정하면, 함자 ''H''는 정확한 충실 텐서 함자이다. 탄나키안 형식주의를 적용하면, ''M_num''은 대수적 군 ''G''의 표현 범주와 동치가 되며, 이 군 ''G''가 모티브 갈루아 군이다.

호지 추측과 테이트 추측은 불변 이론의 유형으로 볼 수 있다. 즉, 대수적 사이클인 공간은 군에 대한 불변성에 의해 선택된다. 모티브 갈루아 군은 주변 표현 이론을 가지며, 갈루아 군의 상, 또는 더 정확하게는 그 리 대수를 예측한다.

8. 비전문가를 위한 설명

모티브 이론은 대수다양체의 복잡한 구조를 더 단순하고 다루기 쉬운 대상으로 "선형화"하여 연구하는 방법이다. 이는 대수기하학에서 다양체를 연구하는 일반적인 방법 중 하나로, 다양체의 비선형적인 구조를 선형대수학의 기법을 사용하여 다룰 수 있게 해준다.

예를 들어, 다음과 같은 방정식들을 생각할 수 있다.

[사영 직선] = [직선] + [점]
[사영 평면] = [평면] + [직선] + [점]

이 방정식들은 CW-복합체에서 "+" 기호가 세포의 연결에 대응하고, 다양한 코호몰로지 이론에서 "+" 기호가 직합에 대응하는 것과 같이 여러 의미에서 이미 참으로 알려져 있다. 모티브 이론은 이러한 방정식들이 더욱 깊은 의미를 가질 수 있도록 튼튼한 수학적 기반을 제공하려는 시도이다.

모티브 이론은 베티 코호몰로지, 드 람 코호몰로지, ''l''-adic 코호몰로지, 결정 코호몰로지 등 다양한 코호몰로지 이론들을 통합하는 보편적인 틀을 제공한다. 이 이론의 기본적인 철학은 '모티브'가 충분히 좋은 코호몰로지 이론들 안에서는 항상 같은 구조를 가져야 한다는 것이다. 예를 들어, 모든 베유 코호몰로지 이론은 이러한 '충분히 좋은' 코호몰로지에 해당한다.

모티브는 다양체의 유리 함수에서 다양체의 제수로, 그리고 다양체의 초우 군으로의 일반화 시퀀스를 이어간다. 이는 유리적 동치뿐만 아니라 다양한 종류의 동치를 고려하여 일반화를 여러 방향으로 확장한다.

모티브 이론은 대수기하학의 여러 난제를 해결하는 데 중요한 도구로 사용되며, 특히 다양체의 서로 다른 구조적 측면을 반영하는 다양한 코호몰로지 이론들을 연결하는 다리 역할을 한다. 예를 들어, 매끄러운 사영 곡선의 종수는 곡선의 모티브에 포함된 정보 중 하나이며, 이는 곡선의 첫 번째 베티 코호몰로지 군의 차원을 통해 알 수 있다.

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