바일 지표 공식

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 복소수 반단순 리 대수
- 2.2. 콤팩트 리 군
3. 특수한 경우
4. 예
- 4.1. SU(2)의 경우
5. 확장
6. 역사
참조

1. 개요

바일 지표 공식은 리 대수의 표현 이론에서 중요한 공식으로, 복소수 반단순 리 대수의 기약 표현의 지표를 계산하는 데 사용된다. 이 공식은 콤팩트 리 군의 표현에도 적용되며, 바일 분모 공식, 바일 차원 공식, 코스탄트 중복도 공식, 프루덴탈 공식 등과 밀접하게 관련되어 있다. 또한, 바일 지표 공식은 카츠-무디 대수 및 일반화된 Kac-Moody 대수로 확장되어 바일-카츠 지표 공식으로 알려져 있으며, 맥도날드 항등식과도 연결된다. 하리쉬-찬드라는 바일 지표 공식을 실수 환원군의 표현으로 일반화했다. 이 공식은 헤르만 바일에 의해 발견되었다.

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바일 지표 공식
개요
분야	표현론
이름의 유래	헤르만 바일
세부 사항
정의	유한 차원 복소수 리 대수의 유한 차원 표현의 지표
공식	ch(V) = Σ dim(Vλ) eλ 여기서 V는 표현, Vλ는 가중치 λ의 가중 공간, eλ는 형식 지수 함수
발견자	헤르만 바일
중요성	리 군과 리 대수의 표현론에서 핵심적인 역할을 함
특징	기약 표현의 지표를 계산하는 데 사용됨 지표는 표현을 고유하게 결정함
관련 개념
최고 가중치	최고 가중치
리 대수	리 대수
기약 표현	기약 표현
피터-바일 정리	피터-바일 정리
공식의 형태
분모	곱셈 기호 Πα>0 (e^(α/2) - e^(-α/2))
분자	Σw∈W ε(w) e^(w(λ+ρ))
변수	λ는 최고 가중치 ρ는 바일 벡터 (모든 기본 코루트의 절반의 합) W는 바일 군 ε(w)는 바일 군의 원소 w의 부호

2. 정의

체 $K$ 위의 리 대수 $\mathfrak g$ 의 유한 차원 표현 $r\colon\mathfrak g\to\mathfrak{gl}(V;K)$ 의 '''지표'''(指標, character^영어)는 다음과 같이 정의된다.

: $\operatorname{ch}(V)\colon\mathfrak g\to K$

: $\operatorname{ch}(V)\colon x\mapsto\operatorname{tr}_K\exp(r(x))$

여기서 행렬 지수 함수를 취하는 것은 리 대수를 리 군으로 대응시키는 것이다.

복소수 반단순 리 대수의 경우, 바일 지표 공식은 최고 가중치 λ와 바일 군 W의 작용을 이용하여 지표를 계산한다. 바일 군의 원소 $w\in\operatorname{Weyl}(\mathfrak g)$ 는 카르탕 부분대수 $\mathfrak h$ 위에 표현을 가지며, 이 표현의 행렬식 $\det w$ 은 바일 군의 원소의 '''길이'''(length^영어) $\operatorname{length}w$ 와 관련이 있다. 바일 군의 원소의 길이는 $w$ 를 단순근에 대한 반사들의 합성으로 구현할 때 필요한 최소 반사의 수이며, 이 경우 $\det w=(-1)^{\operatorname{length}(w)}$ 이다.

바일 지표 공식은 다음과 같다.

: $\operatorname{ch}(V)\colon x\mapsto\left(\prod_{\alpha\in\Delta^+(\mathfrak g)}\frac1{2\sinh(\frac12\alpha(x))}\right)\sum_{w\in\operatorname{Weyl}(\mathfrak g)}(\det w)\exp\left(w\cdot(\lambda(x)+\frac12\sum_{\alpha\in\Delta^+(\mathfrak g)}\alpha(x))\right)$

복소 반단순 리 대수와 콤팩트 리 군의 표현 이론은 본질적으로 동일하게 표현될 수 있다.

2. 1. 복소수 반단순 리 대수

복소수 반단순 리 대수

\mathfrak{g}

의 기약 유한 차원 표현

\pi

의 지표는 카르탕 부분대수

\mathfrak{h}

위에서 정의된다.

\pi

의 지표는 함수

\operatorname{ch}_\pi : \mathfrak{h}\rightarrow \mathbb{C}

로, 다음과 같이 정의된다.^[4]

:

\operatorname{ch}_\pi(H)=\operatorname{tr}(e^{\pi(H)}).

여기서

H=0

일 때 지표 값은

\pi

의 차원과 같다. 이 지표는 다음과 같이 계산할 수 있다.

:

\operatorname{ch}_\pi(H)=\sum_{\mu}m_\mu e^{\mu(H)}

여기서 합은

\pi

의 모든 가중치

\mu

에 걸쳐 있으며,

m_\mu

는

\mu

의 중복도이다.

바일 지표 공식에 따르면,

\operatorname{ch}_\pi(H)

는 다음과 같이 계산될 수 있다.^[4]

:

\operatorname{ch}_\pi(H) = \frac{\sum_{w\in W} \varepsilon(w) e^{w(\lambda+\rho)(H)}}{\prod_{\alpha \in \Delta^{+}}(e^{\alpha(H)/2}-e^{-\alpha(H)/2})}

여기서 사용되는 기호는 다음과 같다.

$W$ 는 바일 군이다.
$\Delta^{+}$ 는 근계 $\Delta$ 의 양근 집합이다.
$\rho$ 는 양근의 절반 합으로, ''바일 벡터''라고도 불린다.
$\lambda$ 는 기약 표현 $V$ 의 최고 가중치이다.
$\varepsilon(w)$ 는 카르탕 부분대수 $\mathfrak{h} \subset \mathfrak{g}$ 에 대한 $w$ 의 작용의 행렬식이다. 이는 $(-1)^{\ell(w)}$ 와 같으며, 여기서 $\ell(w)$ 는 바일 군 원소의 길이로, 단순 근에 대한 최소 반사 횟수로 정의된다.

바일 분모 공식을 이용하면, 지표 공식을 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.^[5]

:

\operatorname{ch}_\pi(H)=\frac{\sum_{w\in W} \varepsilon(w) e^{w(\lambda+\rho)(H)}}{\sum_{w\in W} \varepsilon(w)e^{w(\rho)(H)}}

또는

:

\operatorname{ch}_\pi(H){\sum_{w\in W} \varepsilon(w)e^{w(\rho)(H)}} =\sum_{w\in W} \varepsilon(w) e^{w(\lambda+\rho)(H)}.

지표 자체는 지수 함수의 큰 합이다. 이 식에서 지표에 지수 함수의 교대 합을 곱하면 더 큰 지수 함수의 합이 나올 것 같지만, 실제로는 소수의 항만 남는다. 지표와 바일 분모의 곱에서 많은 항들이 나타나지만 대부분 상쇄되어 0이 된다.^[5] 살아남는 유일한 항은

e^{(\lambda+\rho)(H)}

와

e^{(\lambda+\rho)(H)}

의 바일 군 궤도에 있는 것들뿐이다.

2. 2. 콤팩트 리 군

K

를 콤팩트 연결 리 군(compact, connected Lie group)이라 하고,

T

를

K

의 극대 토러스(maximal torus)라고 하자.

\Pi

를

K

의 기약 표현(irreducible representation)이라고 하면,

\Pi

의 지표(character)는 다음과 같이 정의된다.^[6]

:

\Chi(x)=\operatorname{trace}(\Pi(x)),\quad x\in K.

지표는

K

위의 클래스 함수(class function)이며, 페터-바일 정리에 의해 지표는

K

위의 제곱 적분 가능 클래스 함수 공간의 정규 직교 기저를 형성한다.^[6]

\Chi

는 클래스 함수이므로

T

로의 제한에 의해 결정된다.

T

의 리 대수(Lie algebra)

\mathfrak t

의

H

에 대해 다음이 성립한다.

:

\operatorname{trace}(\Pi(e^H))=\operatorname{trace}(e^{\pi(H)})

여기서

\pi

는

K

의 리 대수

\mathfrak k

의 관련된 표현이다. 따라서 함수

H\mapsto \operatorname{trace}(\Pi(e^H))

는

\mathfrak k

의 관련된 표현

\pi

의 지표이다.

\Pi

의 지표를

T

로 제한한 것은 리 대수 경우와 동일한 공식으로 주어진다.

:

\Chi(e^H)=\frac{\sum_{w\in W} \varepsilon(w) e^{w(\lambda+\rho)(H)}}{\sum_{w\in W} \varepsilon(w)e^{w(\rho)(H)}}.

콤팩트 군 설정에서의 지표 공식에 대한 바일(Weyl)의 "증명"은 반 단순 리 대수(semisimple Lie algebras) 설정에서의 지표 공식에 대한 대수적 증명과는 완전히 다르다.^[7] 콤팩트 군 설정에서는 근과 무게와

i

의 인수로 다른 "실근(real roots)"과 "실 무게(real weights)"를 사용하는 것이 일반적이다. 따라서 콤팩트 군 설정의 공식에는 지수 전체에

i

의 인수가 있다.

3. 특수한 경우

바일 지표 공식의 특수한 경우로 바일 차원 공식과 바일 분모 공식을 유도할 수 있다.

바일 차원 공식은 바일 지표 공식에서 $H=0$ 일 때의 극한값으로, 표현의 차원을 나타낸다. 바일 분모 공식은 자명한 1차원 표현에 대한 바일 지표 공식으로, 반데르몬드 행렬식과 관련된 항등식이다.^[9]^[10]^[11]

3. 1. 바일 차원 공식

바일 지표 공식에

x=0

을 대입하면 분모와 분자 모두 0이 되어 0/0을 얻으므로, 대신

x\to0

인 극한을 취하고, 로피탈의 정리를 사용하여 '''바일 차원 공식'''(Weyl次元公式, Weyl dimension formula^영어)을 얻을 수 있다. 바일 차원 공식은 리 대수 표현의 차원을 계산하는 공식으로, 다음과 같이 표현된다.^[11]

:

\dim V= \frac{\prod_{\alpha \in \Delta^+}(\lambda+\rho,\alpha)}{ \prod_{\alpha \in \Delta^+}(\rho,\alpha)}

여기서

:

\rho=\frac12\sum_{\alpha\in\Delta^+}\alpha

이다.

$V_\lambda$ 는 최고 무게 $\lambda$ 를 갖는 유한 차원 표현의 차원이다.
ρ는 양근의 합의 절반이고, 곱은 양근 α에 대해 이루어진다.

바일 지표 공식의 분자와 분모 모두 항등원에서 높은 차수로 소멸되기 때문에, 로피탈의 정리를 사용하여 극한을 취하여 차원을 구한다.^[11]

예를 들어, 복소 반단순 리 대수 sl(3,'''C''') 또는 동등하게 콤팩트 군 SU(3)의 경우, 표현은 음이 아닌 정수 쌍

(m_1,m_2)

로 표시된다. 이 경우, 세 개의 양근이 있고 차원 공식은 다음과 같다.^[12]

:

\dim(V_{m_1,m_2})=\frac{1}{2}(m_1+1)(m_2+1)(m_1+m_2+2)

m_1=1,\,m_2=0

의 경우는 표준 표현이며, 차원 공식은 이 경우에 3이라는 값을 제공한다.

3. 2. 바일 분모 공식

자명한 1차원 표현의 지표는 항상 1이다. 바일 지표 공식을 자명한 1차원 표현에 대하여 적용하면, 다음과 같은 '''바일 분모 공식'''(Weyl分母公式, Weyl denominator formula^영어)을 얻는다.^[9]

:

\prod_{\alpha\in\Delta^+(\mathfrak g)}2\sinh\left(\frac12\alpha(x)\right)=\sum_{w\in\operatorname{Weyl}(\mathfrak g)}(\det w)\prod_{\alpha\in\Delta^+(\mathfrak g)}\exp\left(\frac12w\cdot\alpha(x)\right)

특수한 경우로, 자명한 1차원 표현의 경우 문자는 1이 되므로, 바일 문자 공식은 바일 분모 공식이 된다.

:

{\sum_{w\in W} \varepsilon(w)e^{w(\rho)(H)} = \prod_{\alpha \in \Delta^{+}}(e^{\alpha(H)/2}-e^{-\alpha(H)/2})}.

특수 유니타리 군의 경우, 이는 반데르몬드 행렬식에 대한 다음 식과 동치이다.^[10]

:

\sum_{\sigma \in S_n} \sgn(\sigma) \, X_1^{\sigma(1)-1} \cdots X_n^{\sigma(n)-1} =\prod_{1\le i

3. 3. 코스탄트 중복도 공식

바일 지표 공식을 이용하면 주어진 무게의 중복도를 계산하는 공식을 유도할 수 있는데, 이를 코스탄트 중복도 공식이라고 한다.^[13]

일반적으로, 바일 지표 공식에서 분모의 형식적 역수를 계산하고, 이를 분자에 곱하면 지표를 지수 함수의 유한한 합으로 나타낼 수 있다. 이 전개식의 계수가 바로 가중 공간의 차원, 즉 가중치의 중복도가 된다.^[13]

SU(2)의 경우, 바일 지표 공식은 지표를

\sin((m+1)\theta)/\sin\theta

로 나타내는데, 이를 유한 등비급수의 합으로 인식하면 지표를 다음과 같이 지수 함수들의 합으로 표현할 수 있다.

:

e^{im\theta}+e^{i(m-2)\theta}+\cdots+e^{-im\theta}.

하지만, SU(2)와 달리 일반적인 경우에는 이러한 과정이 명확하지 않기 때문에, 보다 체계적인 절차가 필요하며, 그 결과로 코스탄트 중복도 공식을 얻게 된다.

3. 4. 프루덴탈 공식

한스 프루덴탈의 공식은 코스탄트 중복도 공식과 동치인 재귀 공식으로, 계산을 더 용이하게 할 수 있다.^[14] 이 공식은 카시미르 원소의 사용을 기반으로 하며, 그 유도는 문자 공식과 독립적이다. 공식은 다음과 같다.

:

(\|\Lambda+\rho\|^2 - \|\lambda+\rho\|^2)m_\Lambda(\lambda)= 2 \sum_{\alpha \in \Delta^{+}}\sum_{j\ge 1} (\lambda+j\alpha, \alpha)m_\Lambda(\lambda+j\alpha)

여기서

Λ는 최고 무게,
λ는 다른 무게,
m_Λ(λ)는 기약 표현 V_Λ에서 무게 λ의 곱셈,
ρ는 바일 벡터
첫 번째 합은 모든 양근 α에 대한 것이다.

4. 예

가장 간단한 복소수 단순 리 대수인 $\mathfrak{sl}(2;\mathbb C)$ 를 생각해보자. 이 경우 카르탕 부분 대수가 1차원이므로, 복소평면과의 동형을 선택할 수 있다. 이때 바일 군은 2차 순환군 $x\mapsto-x$ 이다. 근계는 두 개의 근을 가지며, 그 중 하나만이 양근이다. 긴 근의 길이는 $\sqrt2$ 이므로, 기본 무게의 길이는 $1/\sqrt2$ 이다.

$\mathfrak{sl}(2;\mathbb C)$ 의 기약 표현들은 차원에 따라 완전히 분류되며, 모든 양의 정수에 대해 그 차원의 기약 표현이 존재한다. $n$ 차원 기약 표현의 최고 무게는 기본 무게의 $(n-1)$ 배이다. 따라서 $n$ 차원 표현에 바일 지표 공식을 적용하면 다음과 같다.

: $\operatorname{ch}_n(x)=\frac1{2\sinh(x/\sqrt2))}\left(\exp(nx/\sqrt2)$

\exp(-nx/\sqrt2)\right)

=\frac{\sinh(nx/\sqrt2)}{\sinh(x/\sqrt2))}

x\to0

극한을 취하면, 바일 차원 공식

:

\lim_{x\to0}\operatorname{ch}_n(x)=n

을 얻는다.

바일 분모 공식을 사용하면, 지표 공식을 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.^[5]

:

\operatorname{ch}_\pi(H)=\frac{\sum_{w\in W} \varepsilon(w) e^{w(\lambda+\rho)(H)}}{\sum_{w\in W} \varepsilon(w)e^{w(\rho)(H)}}

이는 다음과 동치이다.

:

\operatorname{ch}_\pi(H){\sum_{w\in W} \varepsilon(w)e^{w(\rho)(H)}} =\sum_{w\in W} \varepsilon(w) e^{w(\lambda+\rho)(H)}.

지표 자체는 지수 함수의 큰 합인데, 이 식에서 지표에 지수 함수의 교대 합을 곱하면 더 큰 지수 함수의 합을 얻을 수 있다. 지표 공식의 핵심은 이 곱을 계산할 때 실제로 소수의 항만 남는다는 것이다. 지표와 바일 분모의 곱에서는 이보다 훨씬 많은 항이 적어도 한 번 나타나지만, 대부분은 상쇄되어 0이 된다.^[5] 살아남는 유일한 항은 딱 한 번만 나타나는 항, 즉

e^{(\lambda+\rho)(H)}

와

e^{(\lambda+\rho)(H)}

의 바일 군 궤도에 있는 것들이다.

4. 1. SU(2)의 경우

SU(2) 군의 경우,

m+1

차원의 기약 표현에서

T

를 SU(2)의 대각 부분군으로 놓으면, 지표 공식은 다음과 같이 표현된다.^[8]

:

\Chi\left(\begin{pmatrix}e^{i\theta} & 0\\0 & e^{-i\theta}\end{pmatrix}\right)=\frac{e^{i(m+1)\theta}-e^{-i(m+1)\theta}}{e^{i\theta}-e^{-i\theta}} =\frac{\sin((m+1)\theta)}{\sin\theta}.

이는 삼각함수를 이용한 공식으로, 분자와 분모 모두 두 개의 항을 가진다.

표현이 명확하게 알려져 있으므로, 표현의 지표는 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

\Chi\left(\begin{pmatrix}e^{i\theta} & 0\\0 & e^{-i\theta}\end{pmatrix}\right) = e^{im\theta}+e^{i(m-2)\theta}+\cdots +e^{-im\theta}.

바일 분모는

e^{i\theta}-e^{-i\theta}

이다. 지표에 바일 분모를 곱하면 다음과 같다.

:

\Chi\left(\begin{pmatrix}e^{i\theta} & 0\\0 & e^{-i\theta}\end{pmatrix}\right) (e^{i\theta}-e^{-i\theta})=\left( e^{i(m+1)\theta}+e^{i(m-1)\theta}+\cdots +e^{-i(m-1)\theta}\right)-\left( e^{i(m-1)\theta}+\cdots+e^{-i(m-1)\theta}+e^{-i(m+1)\theta}\right).

위 식의 오른쪽 두 항에서 대부분의 항이 소거되어 다음만 남는다.

:

\Chi\left(\begin{pmatrix}e^{i\theta} & 0\\0 & e^{-i\theta}\end{pmatrix}\right) (e^{i\theta}-e^{-i\theta})=e^{i(m+1)\theta}-e^{-i(m+1)\theta}

따라서,

:

\Chi\left(\begin{pmatrix}e^{i\theta} & 0\\0 & e^{-i\theta}\end{pmatrix}\right)=\frac{e^{i(m+1)\theta}-e^{-i(m+1)\theta}}{e^{i\theta}-e^{-i\theta}} =\frac{\sin((m+1)\theta)}{\sin\theta}.

이때 지표는

R=e^{2i\theta}

인 기하 급수이며, 앞선 논증은 유한 기하 급수의 합에 대한 표준 유도에서 약간 변형된 것이다.

5. 확장

바일 지표 공식은 카츠-무디 대수, 일반화된 카츠-무디 대수, 실수 환원군 등으로 확장될 수 있다.

바일 지표 공식은 Kac-Moody 대수의 적분 가능한 최고 무게 표현에도 적용되며, 이 경우 '''바일-카츠 지표 공식'''으로 알려져 있다.^[4] 아핀 리 대수의 경우, 이는 맥도날드 항등식과 동일하며, 가장 간단한 경우인 ''A''₁ 아핀 리 대수에서는 야코비 삼중곱 항등식과 같다.

또한, 지표 공식은 일반화된 Kac-Moody 대수의 적분 가능한 최고 무게 표현으로 확장될 수 있다.

하리쉬-찬드라는 바일의 문자 공식을 실수 환원군의 표현으로 일반화할 수 있음을 보였다.^[4]

5. 1. 바일-카츠 지표 공식

바일-카츠 지표 공식은 Kac-Moody 대수의 적분 가능한 최고 무게 표현에 대한 지표 공식이다.^[1] 이 공식은 바일 지표 공식을 확장한 것이다.

아핀 리 대수의 경우, 바일-카츠 지표 공식은 맥도날드 항등식과 동일하다.^[1] 가장 간단한 경우인 ''A''₁ 아핀 리 대수의 경우, 이는 야코비 삼중곱 항등식과 같다.^[1]

:

\prod_{m=1}^\infty\left( 1 - x^{2m}\right)\left( 1 - x^{2m-1} y\right)\left( 1 - x^{2m-1} y^{-1}\right)= \sum_{n=-\infty}^\infty (-1)^n x^{n^2} y^n.

일반화된 Kac-Moody 대수의 적분 가능한 최고 무게 표현의 경우, 지표 공식은 다음과 같이 확장된다.^[1]

:

{\sum_{w\in W} (-1)^{\ell(w)}w(e^{\lambda+\rho}S) \over e^{\rho}\prod_{\alpha \in \Delta^{+}}(1-e^{-\alpha})}.

여기서 ''S''는 허수 단순 근으로 주어진 보정 항이다.^[1]

:

S=\sum_I (-1)^

e^{\Sigma I} \,

이 합은 쌍별 직교하며 최고 무게 λ에 직교하는 허수 단순 근의 모든 유한 부분 집합 ''I''에 걸쳐 있다.^[1] |I|는 I의 기수이고 Σ''I''는 ''I''의 원소의 합이다.^[1]

몬스터 리 대수에 대한 분모 공식은 다음과 같은 곱셈 공식이다.^[1]

::

j(p)-j(q) = \left({1 \over p} - {1 \over q}\right) \prod_{n,m=1}^\infty (1-p^n q^m)^{c_{nm}}

이는 타원 모듈 함수 ''j''에 대한 공식이다.^[1]

피터슨은 가가역화 가능한 (일반화된) Kac-Moody 대수의 근 β의 중복도 mult(β)에 대한 재귀 공식을 제시했다.^[1] 이는 바일-카츠 분모 공식과 동일하지만 계산에 더 쉽게 사용할 수 있다.^[1]

::

(\beta,\beta-2\rho)c_\beta = \sum_{\gamma+\delta=\beta} (\gamma,\delta)c_\gamma c_\delta \,

여기서 합은 양의 근 γ, δ에 걸쳐 있으며,

::

c_\beta = \sum_{n\ge 1} {\operatorname{mult}(\beta/n)\over n}.

5. 2. 맥도날드 항등식

Kac-Moody 대수의 적분 가능한 최고 무게 표현에 적용되는 바일 지표 공식은 '''바일-카츠 지표 공식'''으로 알려져 있다. Kac-Moody 대수를 위한 분모 항등식도 존재하며, 아핀 리 대수의 경우 이는 '''맥도날드 항등식'''과 동일하다. 아핀 리 대수 ''A''₁의 가장 간단한 경우는 야코비 삼중곱 항등식이다.

:

\prod_{m=1}^\infty\left( 1 - x^{2m}\right)\left( 1 - x^{2m-1} y\right)\left( 1 - x^{2m-1} y^{-1}\right)= \sum_{n=-\infty}^\infty (-1)^n x^{n^2} y^n.

5. 3. 하리쉬-찬드라 지표 공식

하리쉬-찬드라는 바일 지표 공식을 실수 환원군의 표현으로 일반화할 수 있음을 보였다. π가 무한소 지표 λ를 갖는 실수 환원군 G의 기약 가약 표현이라 하고, Θ_π를 π의 하리쉬-찬드라 문자라고 하자. 이는 정칙 집합에 대한 해석 함수에 대한 적분으로 주어진다. H가 G의 카르탕 부분군이고 H'가 H의 정칙 원소 집합이면, 다음이 성립한다.

:

\Theta_{\pi}|_{H'}= {\sum_{w\in W/W_{\lambda}} a_w e^{w\lambda} \over e^{\rho}\prod_{\alpha \in \Delta^{+}}(1-e^{-\alpha})}.

여기서

W는 $G_{\mathbb{C}}$ 에 대한 $H_{\mathbb{C}}$ 의 복소수 베일 군이고,
$W_{\lambda}$ 는 W에서 $\lambda$ 의 안정자이다.

나머지 표기법은 위와 같다.

계수

a_w

는 아직 잘 알려져 있지 않다. 이 계수에 대한 결과는 허브, 아담스, 슈미트, 슈미트-빌로넨 등의 논문에서 찾을 수 있다.

6. 역사

헤르만 바일이 발견하였다.^[16]^[17]^[18]

참조

_[1] 서적
_[2] 서적
_[3] 서적
_[4] 서적
_[5] 서적
_[6] 서적
_[7] 서적
_[8] 서적
_[9] 서적
_[10] 서적
_[11] 서적
_[12] 서적
_[13] 서적
_[14] 서적
_[15] 서적 Representation theory : a first course Springer-Verlag 1991
_[16] 저널 Theorie der Darstellung kontinuierlicher halb-einfacher Gruppen durch lineare Transformationen I
_[17] 저널 Theorie der Darstellung kontinuierlicher halb-einfacher Gruppen durch lineare Transformationen II
_[18] 저널 Theorie der Darstellung kontinuierlicher halb-einfacher Gruppen durch lineare Transformationen III

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