카츠-무디 대수

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1. 개요
2. 역사
3. 정의
- 3.1. 근계 (Root system)
- 3.2. 딘킨 도표 (Dynkin diagram)
4. 분류
5. 응용
6. 한국과의 관계
참조

1. 개요

카츠-무디 대수는 1960년대 후반 빅토르 카츠와 로버트 무디가 독립적으로 발견한 무한 차원 리 대수의 한 종류이다. 카르탕 행렬을 일반화하여 무한 차원 리 대수를 구성하며, 딘킨 도표를 통해 시각적으로 표현할 수 있다. 카츠-무디 대수는 카르탕 행렬의 부호수에 따라 유한 차원 단순 리 대수, 아핀 리 대수, 부정부호 카츠-무디 대수로 분류되며, 단순 및 아핀 리 대수는 완전히 분류되었다. 부정부호 카츠-무디 대수 중 쌍곡선형 카츠-무디 대수는 238개가 있으며, 역시 분류되었다.

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카츠-무디 대수
개요
유형	리 대수
분야	수학, 물리학
명명자	빅토르 카츠, 로버트 무디
역사 및 정의
정의	일반화된 카르탕 행렬을 통해 생성자와 관계로 정의될 수 있는 리 대수
기원	유한 차원 단순 리 대수의 일반화
발견 시기	1968년
창시자	빅토르 카츠, 로버트 무디
특징
역할	끈 이론, 등각 장론, 정확하게 풀 수 있는 모형 등 다양한 분야에서 중요한 역할 수행
성질	무한 차원 리 대수, 유한 차원 단순 리 대수의 많은 속성을 일반화
주요 인물
관련 학자	제임스 레포스키, H. 갈란드
관련 개념
관련 항목	아핀 리 대수, 비라소로 대수
참고 문헌
참고 문헌	Zhe-xian Wan, Introduction to Kac-Moody Algebra. ISBN 981-02-0415-6

2. 역사

캐나다의 로버트 본 무디(Robert Vaughan Moody^영어)^[17]^[18]와 소비에트 연방의 빅토르 카츠^[19]가 1960년대 후반 거의 동시에 독자적으로 카츠-무디 대수를 발견했다.

엘리 카르탕과 빌헬름 킬링은 카르탕 정수로부터 유한 차원 단순 리 대수를 구성하였으나, 이는 유형에 따라 달랐다. 1966년 장피에르 세르는 클로드 슈발레와 하리쉬-찬드라의 관계^[2]가 네이선 제이콥슨에 의해 단순화되면서^[3] 리 대수를 정의하는 표현을 제공한다는 것을 보였다.^[4] 이를 통해 단순 리 대수를 카르탕 정수 행렬을 사용하여 생성자와 관계식으로 설명할 수 있었으며, 이 행렬은 양의 정부호였다.

1967년, 빅토르 카츠와 로버트 무디는 카르탕 행렬의 조건을 완화하면 무한 차원 리 대수를 얻을 수 있음을 발견했다.^[5] 로버트 무디는 카르탕 행렬이 더 이상 양의 정부호가 아닌 리 대수를 고려했고,^[6]^[7] 이는 무한 차원 리 대수였다. 이와 거의 동시에, I. L. 칸토르는 Z 등급 리 대수를 연구하면서 카츠-무디 대수의 일반적인 클래스를 도입했다.^[8] 빅토르 카츠는 다항식 성장을 갖는 단순 또는 거의 단순한 리 대수를 연구하여 무한 차원 리 대수의 이론 발전에 기여했다.^[9]

3. 정의

'''카츠-무디 대수''' $(A,\mathfrak h,\{(\alpha_i,\alpha^\vee_i)\}_{i\in\{1,2,\dots,n\}})$ 는 다음과 같은 데이터로 구성된다.

$A\in\operatorname{Mat}(n;\mathbb Z)$ 는 정수 성분의 $n\times n$ 정사각 행렬이며, 그 계수는 $r$ 이다. 이를 '''(일반화) 카르탕 행렬'''(一般化Cartan行列, (generalized) Cartan matrix^영어)이라고 한다.
$\mathfrak h$ 는 $2n-r$ 차원 복소수 벡터 공간이다. 이를 '''카르탕 부분 대수'''(Cartan部分代數, Cartan subalgebra^영어)라고 한다.
$\alpha_1,\dots,\alpha_n\in\mathfrak h^*$ 은 $n$ 개의 선형 독립 벡터이며, $\alpha^\vee_1,\dots,\alpha^\vee_n\in\mathfrak h$ 는 $n$ 개의 선형 독립 벡터이다. $\alpha_i$ 를 '''단순근'''(單純根, simple root^영어), $\alpha^\vee_i$ 를 '''단순쌍대근'''(單純雙對根, simple coroot}})이라고 한다.

이들은 다음 조건을 만족시켜야 한다.

모든 $i,j\in\{1,2,\dots,n\}$ 에 대하여, $\alpha_i(\alpha^\vee_j)=A_{ij}$
모든 $i\in\{1,2,\dots,n\}$ 에 대하여, $A_{ii}=2$
모든 $i,j\in\{1,2,\dots,n\}$ 에 대하여, 만약 $i\ne j$ 라면 $A_{ij}\le0$
모든 $i,j\in\{1,2,\dots,n\}$ 에 대하여, 만약 $A_{ij}=0$ 이라면 $A_{ji}=0$

이 경우, '''카츠-무디 대수'''

\mathfrak g

는

\mathfrak h

및 생성원

e_1,\dots,e_n

,

f_1,\dots,f_n

으로 생성되며, 다음과 같은 리 괄호를 갖는 복소수 리 대수이다.

:

[h,h']=0\qquad\forall h,h'\in\mathfrak h

:

[h,e_i]=\alpha_i(h)e_i\qquad\forall h\in\mathfrak h,\;i\in\{1,\dots,n\}

:

[h,f_i]=-\alpha_i(h)f_i\qquad\forall h\in\mathfrak h,\;i\in\{1,\dots,n\}

:

[e_i,f_i]=\delta_{ij}\alpha_i^\vee\qquad\forall i,j\in\{1,\dots,n\}

:

\overbrace{[e_i,[e_i,\cdots,[e_i,}^{1-A_{ij}}e_j]\cdots]]=\overbrace{[f_i,[f_i,\dots,[f_i,}^{1-A_{ij

^영어f_j]\cdots]]=0\qquad\forall i\ne j

여기서

(e_i,f_i)

를 '''슈발레 생성원'''(Chevalley generator^영어)라고 한다.

만약 카츠-무디 대수

\mathfrak g

의 카르탕 행렬

A

에 대하여,

A=DS

인 대각 행렬

D\in\operatorname{Mat}(n;\mathbb Z)

와 대칭 행렬

S\in\operatorname{Mat}(n;\mathbb R)

가 존재한다면,

\mathfrak g

를 '''대칭화 가능 카츠-무디 대수'''(symmetrizable Kač–Moody algebra^영어)라고 한다.

카츠-무디 대수

\mathfrak g

의 '''계수'''(rank^영어)

\operatorname{rank}\mathfrak g

는 그 카르탕 행렬의 계수

r=\operatorname{rank}A

와 같다.

실수 (무한 차원일 수 있음) 리 대수도 그 복소화가 카츠-무디 대수이면 카츠-무디 대수로 간주된다.

주어진

n \times n

일반화된 카르탕 행렬의 계수가 ''r''이라고 가정하자. 이러한

C

에 대해 동형 사상까지 유일한 ''실현''이 존재하는데, 이는

(\mathfrak{h}, \{\alpha_i\}_{i = 1}^n, \{\alpha_i^\vee\}_{i = 1}^n,

)과 같은 삼중항이며, 여기서

\mathfrak{h}

는 복소 벡터 공간이고,

\{\alpha_i^\vee\}_{i = 1}^n

은

\mathfrak{h}

의 원소의 부분 집합이며,

\{\alpha_i\}_{i = 1}^n

은 쌍대 공간

\mathfrak{h}^*

의 부분 집합으로 다음 세 가지 조건을 만족한다.^[12]

# 벡터 공간

\mathfrak{h}

의 차원은 2''n'' − ''r''이다.

# 집합

\{\alpha_i\}_{i = 1}^n

과

\{\alpha_i^\vee\}_{i = 1}^n

는 선형 독립이고

# 모든

1 \leq i, j \leq n

에 대해,

\alpha_i\left(\alpha_j^\vee\right) = c_{ji}

이다.

\alpha_i

는 반 단순 리 대수의 단순 근과 유사하며,

\alpha_i^\vee

는 단순 코근과 유사하다.

그런 다음

C

에 연관된 ''카츠-무디 대수''를 생성원

e_i

와

f_i \left(i \in \{1, \ldots, n\}\right)

및

\mathfrak{h}

의 원소와 다음 관계에 의해 정의되는 리 대수

\mathfrak{g} := \mathfrak{g}(C)

로 정의한다.

$\left[h, h'\right] = 0\$ for $h,h' \in \mathfrak{h}$ ;
$\left[h, e_i\right] = \alpha_i(h)e_i$ , for $h \in \mathfrak{h}$ ;
$\left[h, f_i\right] = -\alpha_i(h)f_i$ , for $h \in \mathfrak{h}$ ;
$\left[e_i, f_j\right] = \delta_{ij}\alpha_i^\vee$ , where $\delta_{ij}$ 는 크로네커 델타이다.
만약 $i \neq j$ (따라서 $c_{ij} \leq 0$ )이면 $\textrm{ad}(e_i)^{1-c_{ij}}(e_j) = 0$ 이고 $\operatorname{ad}(f_i)^{1-c_{ij}}(f_j) = 0$ 이며, 여기서 $\operatorname{ad}: \mathfrak{g}\to\operatorname{End}(\mathfrak{g}),\operatorname{ad}(x)(y) = [x, y],$ 는 $\mathfrak{g}$ 의 수반 표현이다.

카츠-무디 리 환을 정의하려면 먼저 다음을 부여한다.

# 계수가 ''r''인 ''n'' × ''n'' 일반화 카르탕 행렬.

# 복소수체 위에서 2''n'' − ''r'' 차원의 벡터 공간

\mathfrak{h}.

#

\mathfrak{h}

의 ''n''개의 선형 독립인 원소

\alpha_i^\vee\

의 집합과, 쌍대 공간

\mathfrak{h}^*

의 ''n''개의 선형 독립인 원소

\alpha_i

의 집합으로서,

\alpha_i(\alpha_j^\vee) = c_{ji}

를 만족하는 것.

\alpha_i

는 반단순 리 환의 단순 루트의 유사이며,

\alpha_i^\vee

는 단순 코루트의 유사이다.

그러면 카츠-무디 리 환은,

e_i,\,f_i\;(i \in \{1,\ldots,n\})

와

\mathfrak{h}

의 원소를 생성원으로 하고, 다음 관계식으로 정의되는 리 환

\mathfrak{g}

이다.

$[h,h'] = 0\text{ for }h,h' \in \mathfrak{h};$
$[h,e_i] = \alpha_i(h)e_i\text{ for }h \in \mathfrak{h};$
$[h,f_i] = -\alpha_i(h)f_i\text{ for }h \in \mathfrak{h};$
$[e_i,f_j] = \delta_{ij}\alpha_i^\vee,$ 단, $\delta_{ij}$ 는 크로네커 델타이다；
''i'' ≠ ''j'' (따라서 ≤ 0)일 때, $\operatorname{ad}(e_i)^{1-c_{ij}}(e_j) = 0$ 이고 $\operatorname{ad}(f_i)^{1-c_{ij}}(f_j) = 0.$ 여기서, $\operatorname{ad}\colon\mathfrak{g}\to\operatorname{End}(\mathfrak{g}),\,\operatorname{ad}(x)(y)=[x,y]$ 는 $\mathfrak{g}$ 의 수반 표현이다.

실리 환 (무한 차원이어도 좋다)도, 복소화가 카츠-무디 리 환이면, 카츠-무디 리 환으로 간주할 수 있다.

3. 1. 근계 (Root system)

카츠-무디 대수

\mathfrak g

의 '''근'''(根, root^영어)은 카르탕 부분 대수

\mathfrak h

의 쌍대 공간의 원소

\lambda\in\mathfrak h^*\setminus\{0\}

이며,

x\in\mathfrak g\setminus\{0\}

에 대하여

[h,x]=\lambda(h)x\qquad\forall h\in\mathfrak h

를 만족하는 벡터

x

를

\lambda

의 '''근 벡터'''(根vector, root vector^영어)라고 한다.

\mathfrak g

의 모든 근들의 집합은

\Delta\subset\mathfrak h^*

이다.

\mathfrak g

의 근

\lambda\in\Delta

에 대응하는 '''근공간'''(root space^영어)

\mathfrak g_\lambda

은

\lambda

에 대응하는 모든 근 벡터들의 집합이다. 즉,

\mathfrak g_\lambda=\{x\in\mathfrak g\colon \forall h\in\mathfrak h\colon[h,x]=\lambda(h)x\}

이며, 복소수 벡터 공간을 이룬다.

카츠-무디 대수

\mathfrak g

는 복소수 벡터 공간으로서

\mathfrak g=\mathfrak h\oplus_{\lambda\in\Delta}\mathfrak g_\lambda

와 같은 직합으로 나타내어진다. 모든 근

\lambda

는 단순근들의 정수 계수 선형 결합이며, 모든 계수들은 모두 양의 정수이거나 모두 음의 정수이다.

:

\lambda=\sum_{i=1}^nz_i\alpha_i\qquad(z_1,\dots,z_n\in\mathbb Z,\;\operatorname{sgn}z_1=\cdots=\operatorname{sgn}z_n\ne0)

이 경우, 모두 양의 정수 계수들로 나타내어지는 근을 '''양근'''(陽根, positive root^영어), 모두 음의 정수 계수들로 나타내어지는 근을 '''음근'''(陰根, negative root^영어)이라고 한다.

모든 단순근

\alpha_i

는 양근이며,

-\alpha_i

는 음근이다.

e_i

및

f_i

는 각각 대응하는 단순근 또는 그 반대 벡터의 근공간에 속한다.

:

e_i\in\mathfrak g_{\alpha_i}

:

f_i\in\mathfrak g_{-\alpha_i}

카츠-무디 대수

\mathfrak g

의 근

\alpha\in\Delta(\mathfrak g)

는 바일 군의 작용을 통해 다음과 같이 분류된다.

만약 $w(\alpha)$ 가 단순근인 바일 군 원소 $w\in W(\mathfrak g)$ 가 존재한다면, $\alpha$ 를 '''실근'''(實根, real root^영어)이라고 한다.
실근이 아닌 근을 '''허근'''(虛根, imaginary root^영어)이라고 한다.

3. 2. 딘킨 도표 (Dynkin diagram)

카츠-무디 대수는 딘킨 도표(Дынкин圖表, Dynkin diagram^영어)로 나타낼 수 있다. 이는 그래프의 일종이다. 카르탕 행렬

A\in\operatorname{Mat}(n;\mathbb Z)

에 대응하는 딘킨 도표는 다음과 같다.

딘킨 도표의 꼭짓점은 $n$ 개가 있으며, $1,\dots,n$ 에 대응한다. 즉, 각 단순근에 대응한다.
$i\ne j$ 일 때, 두 꼭짓점 $i,j$ 사이의 변의 수는 $A_{ij}A_{ji}$ 이다.
만약 $A_{ij}\le-2$ 라면, $i$ 와 $j$ 사이의 변에 $i$ 로 향하는 화살표를 그린다.

4. 분류

카츠-무디 대수는 일반화된 카르탕 행렬의 부호수에 따라 분류된다.^[16] 카르탕 행렬 $A$ 는 대각 행렬과 대칭 행렬의 곱 $A=DS$ 로 나타낼 수 있으며, 이 $S$ 의 부호수에 따라 다음과 같이 분류한다.

$S$ 가 양의 정부호이면, 해당 카츠-무디 대수는 유한 차원 '''단순 리 대수'''이다.
$S$ 가 양의 준정부호이지만 양의 정부호가 아닐 경우, 해당 카츠-무디 대수는 '''아핀 리 대수'''이다.
$S$ 가 부정부호이면, 해당 카츠-무디 대수는 '''부정부호 카츠-무디 대수'''이다.
$S$ 는 음의 정부호이거나 음의 준정부호일 수 없다.

단순 리 대수 및 아핀 리 대수는 완전히 분류되었다.^[16] 부정부호 카츠-무디 대수 가운데 '''쌍곡선형 카츠-무디 대수'''는 총 238개가 있으며, 역시 완전히 분류되었다.^[16]^[14] 그러나 단순 리 대수, 아핀 리 대수, 쌍곡 카츠-무디 대수가 아닌 것들은 아직 잘 알려지지 않았다. 부정형 타입의 카츠-무디 대수에 해당하는 군은 자크 티츠(Jacques Tits)에 의해 임의의 체 위에서 구성되었다.^[13]

카츠-무디 대수의 분류는 ''분해 불가능한'' 행렬 ''C''를 고려하는 것으로 충분하다. 일반화된 카르탕 행렬을 분해하면 해당 카츠-무디 대수의 직합 분해가 이루어진다.

:

\mathfrak{g}(C) \simeq \mathfrak{g}\left(C_1\right) \oplus \mathfrak{g}\left(C_2\right),

대칭화 가능 카츠-무디 대수는 ''대칭화 가능'' 일반화된 카르탕 행렬 ''C''에 해당하며, ''DS''로 분해될 수 있다. 여기서 ''D''는 양의 정수 엔트리를 가진 대각 행렬이고 ''S''는 대칭 행렬이다.

부정형 타입의 카츠-무디 대수 중에서, 쌍곡형 타입은 행렬 ''S''가 부정부호이지만 ''I''의 각 고유 부분 집합에 대해 해당 부분 행렬이 양의 정부호 또는 양의 반정부호인 경우이다. 쌍곡형 카츠-무디 대수는 랭크가 최대 10이며, 완전히 분류되었다.^[14]

5. 응용

6. 한국과의 관계

참조

_[1] 논문 Lie algebra homology and the Macdonald–Kac formulas
_[2] 논문 On some applications of the universal enveloping algebra of a semisimple Lie algebra
_[3] 서적 Lie algebras Interscience Publishers (a division of John Wiley & Sons)
_[4] 서적 Algèbres de Lie semi-simples complexes W. A. Benjamin
_[5] 간행물 The Greatest Mathematical Paper of All Time https://www.math.umd[...] The Mathematical Intelligencer
_[6] 논문 Lie algebras associated with generalized cartan matrices https://www.ams.org/[...]
_[7] 문서 A new class of Lie algebras 1968
_[8] 논문 Graded Lie algebras
_[9] 문서 1990
_[10] 논문 Book Review: Infinite dimensional Lie algebras
_[11] 문서 Infinite dimensional Lie Algebras, Third Edition 1990
_[12] 문서 Infinite dimensional Lie algebras 1990
_[13] 논문 Uniqueness and presentation of Kac–Moody groups over fields
_[14] 논문 Classification of hyperbolic Dynkin diagrams, root lengths and Weyl group orbits
_[15] 문서 1976
_[16] 저널 Classification of hyperbolic Dynkin diagrams, root lengths and Weyl group orbits
_[17] 저널 Lie algebras associated with generalized Cartan matrices
_[18] 저널 A new class of Lie algebras 1968-10
_[19] 저널 Простые неприводимые градуированные алгебры Ли конечного роста http://mi.mathnet.ru[...] 1968

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