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바나흐-타르스키 역설

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목차

1. 개요

바나흐-타르스키 역설은 1924년 스테판 바나흐와 알프레트 타르스키가 제시한 기하학적 역설로, 3차원 이상의 유클리드 공간에서 공을 유한 개의 조각으로 분할하여 재조합하면 원래 공과 같은 크기의 공 두 개를 만들 수 있다는 내용이다. 이 역설은 선택 공리에 의존하며, 1차원과 2차원에서는 성립하지 않지만, 가산 개의 부분 집합을 허용하면 유사한 명제가 참이 된다. 증명은 자유군의 역설적 분해, 회전군의 구성, 선택 공리를 이용한 구면의 분할, 그리고 이를 3차원 공으로 확장하는 단계를 거친다. 바나흐-타르스키 역설은 측도론에 영향을 미쳤으며, 선택 공리와의 관계, 비판, 확장 연구 등이 진행되었다. 폰 노이만은 2차원 평면에서의 유사한 역설을 연구했으며, 최근에는 다양한 공간과 변환에 대한 연구가 이루어지고 있다.

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바나흐-타르스키 역설
개요
이름바나흐-타르스키 역설
분야측도론, 집합론, 기하학
내용3차원 유클리드 공간에서 주어진 공을 유한 개의 조각으로 분할하여, 이 조각들을 회전 및 이동시켜 원래 공과 똑같은 두 개의 공을 만들 수 있다는 역설
관련 인물스테판 바나흐, 알프레트 타르스키
상세 내용
핵심 아이디어비가측 집합의 존재, 회전군의 특성
수학적 의미직관적인 기하학적 측도의 개념이 모든 집합에 대해 정의될 수 없음을 보여줌
비결정성 공리바나흐-타르스키 역설은 선택 공리에 의존하며, 선택 공리가 없는 ZF 집합론에서는 성립하지 않음
응용 및 파생
그로머의 정리바나흐-타르스키 역설과 유사한 방식으로, 구를 분해하여 임의의 유계 집합을 만들 수 있음을 보여주는 정리
폰 노이만 역설바나흐-타르스키 역설을 일반화하여, 평균화 가능한 군에서는 유사한 역설이 발생하지 않음을 보여줌
양자역학양자역학적 입자에도 유사한 현상이 나타날 수 있다는 주장이 존재
주의사항
실제 분할바나흐-타르스키 역설에서 사용되는 분할은 실제로 구성할 수 없음 (비가측 집합)
적용 범위1차원, 2차원 유클리드 공간에서는 성립하지 않음

2. 역사적 배경

1924년 스테판 바나흐와 알프레트 타르스키는 공동 논문에서[33] 주세페 비탈리의 비탈리 집합 연구 및 펠릭스 하우스도르프의 구의 역설적인 분해 연구를 바탕으로 일련의 '''역설적 분해'''를 구성하고, 다양한 차원에서 유클리드 공간의 부분집합 분해에 대한 질문을 논의했다. 이들은 3차원 이상의 유클리드 공간에서 임의의 두 유계 부분집합이 비어있지 않은 내부를 가지면, 이들을 유한한 서로소 부분집합으로 분해하여 각 부분집합을 합동으로 만들 수 있다는 강한 형태의 바나흐-타르스키 역설을 제시했다.

바나흐와 타르스키는 이 강한 역설이 1, 2차원에서는 거짓이지만, 가산 가능한 많은 부분집합을 허용하면 유사한 명제가 참임을 보였다. 이러한 차이는 고차원에서 유클리드 이동의 구조가 더 풍부하기 때문인데, 존 폰 노이만은 이 점을 주목하여 "역설적인 분해"를 가능하게 만드는 등가군의 특성을 연구하고 종순군 개념을 도입했다. 또한 폰 노이만은 일반적인 기하학적 합동 대신 아핀 변환을 이용한 공간에서 바나흐-타르스키 역설의 한 형태가 나타남을 발견했다.

알프레트 타르스키는 종순군은 "역설적인 분해"가 존재하지 않는 군임을 증명했다. 바나흐-타르스키 역설에서는 자유 부분군만 필요하기 때문에, 이 역설은 오랫동안 풀리지 않은 폰 노이만 추측을 낳았다.[6]

2. 1. 초기 연구

1924년 스테판 바나흐와 알프레트 타르스키는 공동 논문에서[33] 주세페 비탈리의 단위간격에 대한 비탈리 집합 연구 및 펠릭스 하우스도르프의 구의 역설적인 분해 연구를 바탕으로 일련의 '''역설적 분해'''를 구성하고 다양한 차원에서 유클리드 공간의 부분집합 분해에 대한 질문을 논의했다. 바나흐와 타르스키는 주세페 비탈리가 1905년 구성한 그의 이름을 딴 집합, 펠릭스 하우스도르프의 역설(1914년), 그리고 바나흐의 이전 논문(1923년)을 자신들의 연구의 선구자적 업적으로 명시적으로 인정했다.[33] 비탈리와 하우스도르프의 구성은 체르멜로의 선택 공리에 의존한다.

2. 2. 바나흐와 타르스키의 발표

스테판 바나흐와 알프레트 타르스키는 1924년 공동 논문에서[33] 주세페 비탈리의 비탈리 집합 연구 및 펠릭스 하우스도르프의 구의 역설적인 분해 연구를 바탕으로 일련의 '''역설적 분해'''를 구성하고, 다양한 차원에서 유클리드 공간의 부분집합 분해에 대한 질문을 논의했다. 이들은 다음과 같이 강한 형태의 '''바나흐-타르스키 역설'''을 제시했다.

: 최소 3차원 이상의 유클리드 공간에 있는 임의의 두 유계 부분집합 와 가 둘 모두 비어있지 않은 내부를 가지고 있으면, 와 둘을 유한한 서로소 부분집합 A=A_1 \cup \cdots\cup A_k, B=B_1 \cup \cdots\cup B_k (''k''는 임의의 정수)로 분해할 때, 과 사이 임의의 (정수) 에 대하여 와 두 집합은 합동이다.

여기서 는 원래의 구, 는 원래의 구에서 적절한 변환을 통해 2개가 된 구의 합집합이다. 즉, 원래의 구 를 유한 개의 조각으로 자른 후 회전 및 평행이동을 통해 전체집합으로 바꿀 수 있으며, 는 구 2개가 들어있는 형태이다.

강한 바나흐-타르스키 역설은 1, 2차원에서 거짓임이 드러났으나, 바나흐와 타르스키는 가산 가능한 많은 부분집합이 허용될 경우 비슷한 논제가 참이라는 것을 증명하였다. 1, 2차원에서의 논제의 참 여부와 3차원 이상에서 논제의 참 여부가 달라지는 이유는 고차원에서는 의 가해군에 이상에서 2개 계수를 가진 자유군을 포함하여 유클리드 이동 의 구조가 더 풍부해지기 때문이다.

존 폰 노이만은 "역설적인 분해"를 가능하게 만드는 등가군의 특성을 연구하고 종순군에 대한 개념을 도입하였다. 또한 폰 노이만은 일반적인 기하학적 합동 대신 아핀 변환을 이용한 공간에서 바나흐-타르스키 역설의 한 형태가 나옴을 발견하였다.

알프레트 타르스키는 종순군은 "역설적인 분해"가 존재하지 않는 군임을 증명했다. 바나흐-타르스키 역설에서는 자유 부분군만 필요하기 때문에 오랫동안 풀리지 않은 폰 노이만 추측이 이 역설에서 나왔다.[6]

2. 3. 폰 노이만의 기여

존 폰 노이만은 "역설적인 분해"를 가능하게 만드는 등가군의 특성을 연구하고 종순군 개념을 도입하여 역설을 더 깊이 이해하는 데 기여했다.[33] 폰 노이만은 일반적인 기하학적 합동 대신 아핀 변환을 이용한 공간에서 바나흐-타르스키 역설의 한 형태를 발견했다.

3. 주요 내용 및 증명

1924년 스테판 바나흐와 알프레트 타르스키는 주세페 비탈리의 이전 연구와 펠릭스 하우스도르프의 구의 역설적 분해를 바탕으로, 3차원 이상의 유클리드 공간에서 두 개의 유계이고 비어 있지 않은 내부를 갖는 부분 집합을 유한 개의 서로소 부분 집합으로 분할하여 합동이 되도록 만들 수 있다는 내용을 제시했다.[6]

바나흐-타르스키 역설은 1차원과 2차원에서는 성립하지 않지만, 가산 개의 부분 집합을 허용하면 유사한 명제가 성립한다. 이는 3차원 유클리드 운동 그룹 E(''n'')이 두 개의 생성자를 갖는 자유군을 포함하는 더 풍부한 구조를 갖기 때문이다. 존 폰 노이만은 가환군 개념을 도입하여 역설적 분해를 가능하게 하는 그룹의 속성을 연구했으며, 아핀 변환을 사용하는 평면에서의 역설 형태를 발견했다.

타르스키는 가환군이 역설적 분해가 존재하지 않는 그룹과 일치함을 증명했고, 이는 폰 노이만 추측으로 이어졌으나 1980년에 반증되었다.

바나흐-타르스키 역설은 군의 역할과 '''가분 집합''', 역설적 집합 개념을 통해 설명된다. G가 집합 X에 작용하는 군일 때, X의 두 부분 집합 A와 B가 G-합동 조각의 동일한 유한 개수로 분할될 수 있다면 '''G-가분'''이라고 한다. 3차원 유클리드 공은 자기 자신의 두 복사본과 가분적이며, 이는 다섯 조각으로 수행 가능하고 그 이하로는 불가능하다는 Raphael M. Robinson의 결과가 있다.[7]

바나흐-타르스키 역설은 전단사 함수, 게오르크 칸토어의 집합론, 기수 개념과 관련이 있다. 군을 확대하여 X의 임의의 전단사를 허용하면 비어있지 않은 내부를 가진 모든 집합은 합동이 된다. 닮음 변환을 통해 공의 크기를 바꿀 수 있으므로, 군 G가 충분히 크면 크기가 다른 G-가분 집합을 찾을 수 있다.

바나흐-타르스키 역설에서 사용된 조각은 비가측 집합이므로 르베그 측도가 정의되지 않아 실제 분할은 불가능하다. 이는 3차원 이상에서 유클리드 움직임에 불변하고 단위 정육면에 대해 1의 값을 갖는 유한 가산 측도(바나흐 측도)를 찾는 것이 불가능함을 보여준다. 타르스키는 역설적인 분해가 존재하지 않으면 유한 가산 불변 측도가 존재함을 보였다.

증명의 핵심은 유클리드 등거리 변환에 의해 어떤 집합(단위 구의 표면)을 네 부분으로 나누고, 그 중 하나를 회전시켜 자신과 다른 두 부분의 합이 되게 할 수 있다는 것이다. 이는 F₂ (자유군)의 역설적인 분해로부터 유도되며, 하우스도르프 역설에 기반한다.

3. 1. 역설의 공식화

1924년에 발표된 논문에서,[6] 스테판 바나흐와 알프레트 타르스키는 주세페 비탈리의 이전 연구와 펠릭스 하우스도르프의 구의 역설적 분해를 바탕으로 역설적 분해를 제시하고, 유클리드 공간의 부분 집합 분해와 관련된 여러 질문을 논의했다. 그들은 다음과 같은 바나흐-타르스키 역설의 강한 형태를 증명했다.

: 3차원 이상의 유클리드 공간에 있는 두 개의 유계 부분 집합 A와 B가 모두 비어 있지 않은 내부를 갖는 경우, A와 B를 유한 개의 서로소 부분 집합으로 분할하여, A=A_1 \cup \cdots\cup A_k, B=B_1 \cup \cdots\cup B_k(어떤 정수 ''k''에 대해)이 존재하며, 각 (정수) i가 1과 k 사이일 때, 집합 Ai와 Bi는 합동이다.

A를 원래의 공, B를 원래 공의 두 개의 평행 이동된 복사본의 합집합이라고 할 때, 이 명제는 원래 공 A를 특정 수의 조각으로 나누고 회전 및 평행 이동하여 A의 두 개의 복사본을 포함하는 집합 B가 될 수 있다는 것을 의미한다.

바나흐-타르스키 역설의 강한 형태는 1차원과 2차원에서는 거짓이지만, 바나흐와 타르스키는 가산 개의 부분 집합이 허용된다면 유사한 명제가 여전히 참임을 보였다. 1, 2차원과 3차원 이상의 차이점은 3차원의 유클리드 운동 그룹 E(''n'')의 구조 때문이다. n=1, 2의 경우 이 그룹은 가해 가능하지만, n ≥ 3의 경우 두 개의 생성자를 갖는 자유군을 포함한다. 존 폰 노이만은 역설적 분해를 가능하게 하는 동치 그룹의 속성을 연구하고 가환군의 개념을 도입했다. 그는 또한 면적을 보존하는 아핀 변환을 합동 대신 사용하는 평면에서의 역설 형태를 찾았다.

타르스키는 가환군이 역설적 분해가 존재하지 않는 그룹과 정확히 일치한다는 것을 증명했다. 바나흐-타르스키 역설에는 자유 부분군만 필요하기 때문에, 이는 1980년에 반증된 폰 노이만 추측으로 이어졌다.

바나흐-타르스키 역설은 일반적인 유클리드 공간의 공을 부분 집합으로 분할하고, 합동인 집합으로 교체한 다음, 다시 조립하는 연산만을 사용하여 두 배로 만들 수 있다고 말한다. 그 수학적 구조는 군의 역할을 강조하고 '''가분 집합'''과 역설적 집합의 개념을 도입함으로써 크게 설명된다. G가 집합 X에 대해 작용하는 군이라고 가정한다. X는 n차원 유클리드 공간(정수 ''n''), G는 X의 모든 등거리 변환(거리를 보존하는 X에서 자신으로의 변환, E(''n''))으로 구성된다. 서로 변환될 수 있는 두 도형을 합동이라고 하며, 이 용어는 일반적인 G-작용으로 확장된다. X의 두 부분 집합 A와 B를 '''G-가분'''이라고 부른다. 만약 A와 B가 각각 G-합동 조각의 동일한 유한 개수로 분할될 수 있다면 말이다. 이는 X의 모든 부분 집합 간에 동치 관계를 정의한다. 형식적으로, 다음과 같은 집합 A_1, \dots, A_k, B_1, \dots, B_k가 존재한다면,

:

A=\bigcup_{i=1}^k A_i, \quad B=\bigcup_{i=1}^k B_i,



:\quad A_i\cap A_j=B_i\cap B_j=\emptyset\quad\text{for all }1 \leq i < j \leq k,

그리고 다음과 같은 g_i \in G가 존재한다면,

:g_i(A_i) = B_i\text{ for all }1 \le i \le k,

A와 B는 k개의 조각을 사용하여 G-가분이라고 말할 수 있다. 만약 집합 E가 A와 B라는 두 개의 서로소 부분 집합을 가지며, A와 E, 그리고 B와 E가 모두 G-가분이라면, E를 '''역설적'''이라고 부른다.

이 용어를 사용하면, 바나흐-타르스키 역설은 다음과 같이 재구성될 수 있다.

: 3차원 유클리드 공은 자기 자신의 두 복사본과 가분적이다.

Raphael M. Robinson에 의한 예리한 결과가 있다.[7] 공을 두 배로 만드는 것은 다섯 조각으로 수행할 수 있으며, 다섯 조각 미만으로는 충분하지 않다.

이 역설의 강력한 버전은 다음과 같이 주장한다.

: 3차원 유클리드 공간의 비공집합 내부를 가진 모든 유계 부분 집합은 가분적이다.

이는 바나흐가 증명한 베른슈타인-슈뢰더 정리의 일반화를 사용하여 공을 두 배로 만드는 것으로부터 파생된다. A가 B의 부분 집합과 가분적이고 B가 A의 부분 집합과 가분적이면 A와 B는 가분적이다.

바나흐-타르스키 역설은 역설의 강력한 형태에서 두 집합에 대해 점을 일대일 방식으로 매핑할 수 있는 전단사 함수가 항상 존재한다는 점을 지적함으로써 맥락을 파악할 수 있다. 게오르크 칸토어의 집합론 언어로, 이 두 집합은 동일한 기수를 가진다. 군을 확대하여 X의 임의의 전단사를 허용하면, 비어있지 않은 내부를 가진 모든 집합은 합동이 된다. 한 공은 닮음 변환을 적용하여 더 크거나 작은 공으로 만들 수 있다. 따라서, 군 G가 충분히 크다면, "크기"가 다른 G-가분 집합을 찾을 수 있다. 가산 집합은 자기 자신의 두 복사본으로 만들 수 있으므로, 가산 개의 조각을 사용하면 해결될 것으로 예상할 수 있다.

바나흐-타르스키 역설에서는 조각의 수가 유한하고 허용되는 동치는 부피를 보존하는 유클리드 합동이다. 그러나 공의 부피를 두 배로 만든다. 이는 놀라운 일이지만, 역설적인 분해에 사용된 일부 조각은 비가측 집합이므로 부피(르베그 측도)가 정의되지 않으며, 분할은 실제적인 방식으로 수행될 수 없다. 바나흐-타르스키 역설은 3차원 이상의 유클리드 공간의 모든 부분 집합에 대해 정의되고 유클리드 움직임에 대해 불변하며 단위 정육면에 대해 1의 값을 갖는 유한 가산 측도(바나흐 측도)를 찾는 것이 불가능하다는 것을 보여준다. 타르스키는 반대로, 이러한 유형의 역설적인 분해가 존재하지 않으면 유한 가산 불변 측도가 존재한다는 것을 보여주었다.

"공을 두 배로 만드는" 형태의 증명의 핵심은 유클리드 등거리 변환에 의해 어떤 집합(단위 구의 표면)을 네 부분으로 나눌 수 있으며, 그 중 하나를 회전시켜 자신과 다른 두 부분의 합이 되게 할 수 있다는 것이다. 이것은 F2의 자유군인 F2의 역설적인 분해로부터 유도된다. 바나흐와 타르스키의 증명은 하우스도르프가 발견한 유사한 사실에 의존했다. 공간의 단위 구의 표면은 세 집합 B, C, D와 가산 집합 E의 서로소 합집합이며, B, C, D는 쌍으로 합동이고, B는 C와 D의 합집합과 합동이다. 이것을 하우스도르프 역설이라고 부른다.

3. 2. 증명의 개요

바나흐-타르스키 역설의 증명은 크게 네 단계로 구성된다.[7]

# 두 개의 생성원을 갖는 자유군의 역설적인 분해를 찾는다.

# 3차원 공간에서 두 개의 생성원을 갖는 자유군과 동형인 회전군을 찾는다.

# 해당 군의 역설적인 분해와 선택 공리를 사용하여 속이 빈 단위 구의 역설적인 분해를 생성한다.

# 구의 이 분해를 속이 꽉 찬 단위 공의 분해로 확장한다.

이 단계들에 대한 자세한 설명은 다음과 같다.
1단계: 두 개의 생성원을 갖는 자유군의 역설적인 분해를 찾는 단계이다.
2단계: F₂와 동형인 3차원 회전군을 찾는 단계이다. 즉, 자유군 F₂와 동일하게 동작하는 3차원 회전군을 찾는 것이다. 이를 위해 두 개의 직교 축(예: ''x''축 및 ''z''축)을 사용한다. ''A''를 ''x''축을 중심으로 \theta = \arccos\left(\frac{1}{3}\right)만큼 회전하는 것으로, ''B''는 ''z''축을 중심으로 \theta만큼 회전하는 것으로 정의한다.[11] 이렇게 생성된 회전군을 '''H'''라고 한다. '''H'''는 F₂와 동형인 자유군이 된다.
3단계: 2단계에서 찾은 회전군 '''H'''의 역설적인 분해와 선택 공리를 사용하여 속이 빈 단위 구 S²의 역설적인 분해를 만드는 단계이다. S²는 '''H'''의 작용에 의해 궤도로 분할된다. 선택 공리를 사용하여 각 궤도에서 정확히 하나의 점을 선택하여 집합 ''M''을 만든다. '''H'''의 역설적 분해를 이용하여 S²를 네 조각 A₁, A₂, A₃, A₄로 분해한다.

: A₁ = S(''a'')M ∪ M ∪ B

: A₂ = S(''a''⁻¹)M \ B

: A₃ = S(''b'')M

: A₄ = S(''b''⁻¹)M

여기서 S(''a'')M은 H의 원소 a에 의해 생성되는 단어들의 집합 S(''a'')의 원소에 M의 원소를 적용하여 얻어지는 집합이고, B는 a⁻¹, a⁻²,... 등을 M에 적용하여 얻어지는 집합이다. 이 분해는 다음의 성질을 만족한다.

: ''a''A₂ = A₂ ∪ A₃ ∪ A₄

: ''b''A₄ = A₁ ∪ A₂ ∪ A₄

즉, A₂를 ''a''로 회전시키면 A₂, A₃, A₄의 합집합이 되고, A₄를 ''b''로 회전시키면 A₁, A₂, A₄의 합집합이 된다.

이 단계에서 '''H'''의 회전축 위에 놓이는 구면 위의 점 집합, 즉 고정점에 대한 처리가 필요하다. '''H'''의 회전에 의해 고정되는 점은 가산 개수이므로, 이 점들을 ''D''라고 표시하고, S²에서 ''D''를 제외한 집합 S² - ''D''가 S²와 등분해 가능하다는 것을 보인다.
4단계: S²의 역설적 분해를 속이 꽉 찬 단위 공의 분해로 확장하는 단계이다. S² 위의 모든 점을 원점과 반열린 선분으로 연결하여, S²의 역설적 분해를 구의 중심점을 제외한 고체 단위 구의 역설적 분해로 확장한다. 마지막으로, 구의 중심점을 포함하는 원을 이용하여 구의 중심점을 포함한 전체 구가 중심점을 제외한 구와 등분해 가능하다는 것을 보인다.

이 증명에서 사용된 조각의 수는 2 × 4 × 2 + 8 = 24개이다. 즉, 고정점을 제거하기 위한 인자 2, 1단계의 인자 4, 고정점을 다시 만들기 위한 인자 2, 두 번째 구의 중심점에 대한 8개이다. 하지만, 1단계에서 {''e''}와 aⁿ 형태의 모든 문자열을 S(''a''⁻¹)로 이동할 때, 이 작업을 한 궤도를 제외한 모든 궤도에 대해 수행하고, 마지막 궤도의 {''e''}를 두 번째 구의 중심점으로 이동하면 총 16 + 1개의 조각으로 줄일 수 있다. 더 많은 대수를 사용하면, 1단계에서처럼 고정된 궤도를 4개의 집합으로 분해하여 5개의 조각으로 줄일 수 있으며, 이것이 최선이다.[7]

3. 3. 증명의 핵심 단계

Banach–Tarski paradox영어의 증명은 다음의 핵심 단계들로 구성된다.

# 두 개의 생성원을 갖는 자유군의 역설적인 분해를 찾는다.

# 3차원 공간에서 두 개의 생성원을 갖는 자유군과 동형인 회전군을 찾는다.

# 해당 군의 역설적인 분해와 선택 공리를 사용하여 속이 빈 단위 구의 역설적인 분해를 생성한다.

# 구의 이 분해를 속이 꽉 찬 단위 공의 분해로 확장한다.

이러한 단계에 대한 자세한 설명은 다음과 같다.

;1단계

:두 개의 생성원 ''a''와 ''b''로부터 생성되는 자유군은 네 개의 문자 ''a'', ''a''-1, ''b'', ''b''-1로 구성된 유한 길이를 갖는 문자열로 구성된다. 여기서 ''a''가 ''a''-1의 바로 앞과 뒤에 나타나는 문자열은 허용되지 않는다. ''b''에 대해서도 마찬가지이다. 두 개의 이러한 문자열이 있을 때, 그들의 곱을 그 문자열들을 연결한 것으로 정의한다. 단, 이로 인해 "허용되지 않는 문자열"이 생길 때는 그 부분을 "빈 문자열"로 대체하여 대처한다. 예를 들어 ''abab''-1''a''-1과 ''abab''-1''a''의 곱은 ''abab''-1''a''-1''abab''-1''a''가 되지만, 이는 ''a''-1''a''라는 "허용되지 않는 문자열"을 포함하기 때문에, 이 부분을 "빈 문자열"로 대체하여 ''abaab''-1''a''가 된다. 이러한 문자열의 집합은 여기서 정의한 연산에 의해, "빈 문자열"을 단위원 ''e''로 갖는 군이 됨을 확인할 수 있다. 이 군을 ''F''2라고 쓴다(이 구조를 가진 군은 자유군이라고 불린다). ''F''2의 요소는 유한 길이를 갖는 문자열이므로, ''F''2는 가산 집합이다(이는 괴델 수를 사용하여 쉽게 증명할 수 있다).

:--

:군 F_2는 다음과 같이 "역설적인 분할"이 가능하다: ''S''(''a'')를 ''a''로 시작하는 F_2의 문자열 전체의 집합으로 한다. ''S''(''a''-1), ''S''(''b''), ''S''(''b''-1)에 대해서도 마찬가지이다. 분명히,

:F_2=\{e\}\cup S(a)\cup S(a^{-1})\cup S(b)\cup S(b^{-1})

:한편

:F_2=aS(a^{-1})\cup S(a), \,

:그리고

:F_2=bS(b^{-1})\cup S(b). \,

:이다.

:''aS''(''a''-1)라는 표기는, ''S''(''a''-1)의 원소의 왼쪽에 ''a''를 곱한 문자열 전체이다.

:마지막 줄이 이 증명의 핵심이다. 예를 들어 집합 aS(a^{-1})는 aa^{-1}b라는 문자열을 포함한다. a는 a^{-1}의 바로 앞과 뒤에 나타나서는 안 된다는 규칙에 의해, 이 문자열은 b가 된다. 마찬가지로, aS(a^{-1})는 a^{-1}로 시작하는 모든 문자열을 포함한다(예를 들어 문자열 aa^{-1}a^{-1}은 a^{-1}이 되므로). 이와 같이, aS(a^{-1})는 b, b^{-1}, a^{-1}로 시작하는 모든 문자열을 포함한다.

;2단계

:3차원 공간의 회전 자유군을 찾기 위해, 즉 자유군 ''F''2와 동일하게 동작하는(또는 "동형") 자유군을 찾기 위해 두 개의 직교 축(예: ''x''축 및 ''z''축)을 사용한다. 그런 다음, ''A''는 ''x''축을 중심으로 \theta = \arccos\left(\frac{1}{3}\right)만큼 회전하는 것으로, ''B''는 ''z''축을 중심으로 \theta만큼 회전하는 것으로 정의한다(여기에는 여러 가지 다른 적절한 무리수 π의 배수 쌍을 사용할 수 있습니다).[11]

:''A''와 ''B''에 의해 생성된 회전 군을 '''H'''라고 한다.

:\omega를, ''z''축에 대한 양의 회전으로 시작하는 '''H'''의 원소, 즉 \omega=\ldots b^{k_3}a^{k_2}b^{k_1} 형식의 원소로 정의하며, 여기서 k_1>0,\ k_2,k_3,\ldots,k_n\ne0,\ n\ge1이다. 귀납법을 통해 \omega가 점 (1,0,0)을 \left(\frac k {3^N}, \frac{l\sqrt 2}{3^N}, \frac m {3^N}\right)로 사상함을 보일 수 있으며, 여기서 k,l,m \in \mathbb Z,N \in \mathbb N 이다. k,l 및 m을 3으로 나눈 나머지를 분석하면 l\neq 0 임을 알 수 있다. 이와 동일한 논증은 (문제의 대칭성에 의해) \omega가 ''z''축에 대한 음의 회전 또는 ''x''축에 대한 회전으로 시작될 때도 유효하다. 이것은 만약 \omega가 ''A''와 ''B''에서 비자명한 단어로 주어지면 \omega \neq e임을 보여준다. 따라서 군 '''H'''는 자유군이며, ''F''2와 동형이다.

:두 회전은 군 ''F''2의 원소 ''a''와 ''b''와 동일하게 동작한다. 이제 '''H'''의 역설적 분해가 존재한다.

:이 단계는 3차원 회전을 포함하기 때문에 2차원에서는 수행할 수 없다. 만약 두 개의 비자명한 회전을 동일한 축에 대해 취하면, 결과적인 군은 \mathbb{Z}(두 각도 사이의 비율이 유리수인 경우) 또는 두 원소에 대한 자유 ''가환'' 군이다. 어느 경우든, 1단계에서 요구되는 속성을 갖지 않는다.

:정수 사원수를 사용하여 일부 특수한 직교 군에서 자유 군의 존재에 대한 대안적인 산술적 증명은 회전군 SO(3)의 역설적 분해로 이어진다.[12]

;3단계

:단위 구 ''S''2는 우리 그룹 '''H'''의 군 작용에 의해 궤도로 분할된다. 즉, 두 점은 '''H'''에 있는 회전으로 첫 번째 점을 두 번째 점으로 이동시킬 수 있는 경우에만 동일한 궤도에 속한다. (점의 궤도는 ''S''2에서 조밀 집합이다.) 선택 공리를 사용하여 모든 궤도에서 정확히 하나의 점을 선택할 수 있다. 이러한 점들을 모아 집합 ''M''을 만든다. 주어진 궤도에 대한 '''H'''의 작용은 자유적이고 추이적이므로 각 궤도는 '''H'''와 동일시될 수 있다. 즉, ''S''2의 모든 점은 '''H'''에서 적절한 회전을 ''M''에서 적절한 요소에 적용하여 정확히 한 가지 방법으로 도달할 수 있다. 이 때문에 '''H'''의 역설적 분해는 다음과 같이 ''S''2를 네 조각 ''A''1, ''A''2, ''A''3, ''A''4로 역설적으로 분해한다.

:A_1=S(a)M \cup M \cup B

:A_2=S(a^{-1})M \setminus B

:\displaystyle A_3=S(b)M

:\displaystyle A_4=S(b^{-1})M

:여기서 다음과 같이 정의한다.

:S(a)M = \{s(x) | s \in S(a), x\in M\}

:그리고 다른 집합에 대해서도 마찬가지이며, 다음과 같이 정의한다.

:B = a^{-1}M \cup a^{-2}M \cup\dots

:(''F2''의 다섯 개의 "역설적인" 부분은 직접 사용되지 않았는데, 이는 단일 집합 {''e''}가 존재하기 때문에 두 배로 늘린 후 ''M''을 추가 조각으로 남겨두기 때문입니다.)

:이제 (대부분의) 구는 네 개의 집합으로 나뉘어졌으며 (각 집합은 구에서 조밀하다), 이 중 두 개를 회전시키면 이전의 두 배가 된다.

:aA_2 = A_2 \cup A_3 \cup A_4

:bA_4 = A_1 \cup A_2 \cup A_4

;4단계

:마지막으로, ''S''2 위의 모든 점을 원점과 반열린 선분으로 연결한다. 그러면 ''S''2의 역설적 분해가 구의 중심점을 제외한 고체 단위 구의 역설적 분해를 생성한다. (이 중심점은 조금 더 주의해야 한다.)

:'''참고:''' 이 개략적인 설명은 몇 가지 세부 사항을 간과한다. '''H'''의 회전축 위에 놓이는 구면 위의 점 집합에 대해 주의해야 한다. 그러나 그러한 점은 가산 무한 개뿐이며, 구의 중심점의 경우처럼, 모든 점을 고려하도록 증명을 수정하는 것이 가능하다.

:3단계에서는 구를 그룹 '''H'''의 궤도로 분할했다. 증명을 간소화하기 위해, 어떤 회전에 의해 고정된 점에 대한 논의는 생략했다. ''F''2의 역설적 분해는 특정 부분 집합의 이동에 의존하므로, 일부 점이 고정되어 있다는 사실이 약간의 문제를 일으킬 수 있다. ''S''2의 모든 회전(영 회전 제외)은 정확히 두 개의 고정점을 가지며, ''F''2와 동형인 '''H'''는 가산 집합이므로, '''H'''의 일부 회전에 의해 고정된 ''S''2의 점은 가산 개수이다. 이 고정점 집합을 ''D''라고 표시한다. 3단계에서는 ''S''2 − ''D''가 역설적 분해를 허용한다는 것을 증명한다.

:남아있는 것은 '''주장''': ''S''2 − ''D''는 ''S''2와 등분해 가능하다는 것을 보여주는 것이다.

:''증명.'' λ를 ''D''의 어떤 점과도 교차하지 않는 원점을 지나는 어떤 선이라고 하자. ''D''가 가산 집합이므로 이것이 가능하다. ''J''를 각도 집합이라고 하자. α, 여기서 어떤 자연수 ''n''과 ''D''에 있는 어떤 ''P''에 대해, '''r'''(''n''α)P도 ''D''에 있으며, 여기서 '''r'''(''n''α)는 λ를 중심으로 한 ''n''α 회전이다. 그러면 ''J''는 가산 집합이다. 따라서 ''J''에 없는 각도 θ가 존재한다. ρ를 λ를 중심으로 θ 회전이라고 합시다. 그러면 ρ는 ''D''에 고정점이 없는 ''S''2에 작용한다. 즉, ρ''n''(''D'')는 ''D''와 상호소이며, 자연수 ''m''<''n''에 대해 ρ''n''(''D'')는 ρ''m''(''D'')와 상호소이다. ''E''를 ''n'' = 0, 1, 2, ...에 대한 ρ''n''(''D'')의 상호소 결합이라고 합시다. 그러면 ''S''2 = ''E'' ∪ (''S''2 − ''E'') ~ ρ(''E'') ∪ (''S''2 − ''E'') = (''E'' − ''D'') ∪ (''S''2 − ''E'') = ''S''2 − ''D''이며, 여기서 ~는 "등분해 가능하다"를 나타낸다.

:4단계의 경우, 구에서 점 하나를 뺀 것이 역설적 분해를 허용한다는 것을 이미 보였다. 구에서 점 하나를 뺀 것이 구와 등분해 가능하다는 것을 보여주는 것이 남아 있다. 구 안에, 구의 중심에 있는 점을 포함하는 원을 생각해 보자. 주장을 증명하는 데 사용된 논리와 유사한 논리를 사용하면 전체 원이 구의 중심에 있는 점을 뺀 원과 등분해 가능함을 알 수 있다. (기본적으로 원의 가산 집합은 회전하여 자체에 점 하나를 더 얻을 수 있다.) 이것은 원점이 아닌 다른 점을 중심으로 회전하는 것을 포함하므로, Banach–Tarski paradox영어은 단순히 SO(3)가 아닌 유클리드 3차원 공간의 등거리 변환을 포함한다.

:''A'' ~ ''B''이고 ''B'' ~ ''C''이면 ''A'' ~ ''C''라는 사실이 사용된다. ''A''를 ''C''로 분해하는 것은 ''A''를 ''B''로 가져가는 데 필요한 수와 ''B''를 ''C''로 가져가는 데 필요한 수의 곱과 같은 조각의 수를 사용하여 수행할 수 있다.

:위에 설명된 증명에는 2 × 4 × 2 + 8 = 24개의 조각이 필요하다. 즉, 고정점을 제거하기 위한 인자 2, 1단계의 인자 4, 고정점을 다시 만들기 위한 인자 2, 두 번째 구의 중심점에 대한 8개이다. 그러나 1단계에서 {''e''}와 ''an'' 형태의 모든 문자열을 ''S''(''a''-1)로 이동할 때, 이 작업을 한 궤도를 제외한 모든 궤도에 대해 수행한다. 이 마지막 궤도의 {''e''}를 두 번째 구의 중심점으로 이동한다. 이렇게 하면 총 16 + 1개의 조각이 된다. 더 많은 대수를 사용하면, 1단계에서처럼 고정된 궤도를 4개의 집합으로 분해할 수도 있다. 이렇게 하면 5개의 조각이 나오며 이것이 최선이다.[7]

4. 수학적 의미와 비판

바나흐-타르스키 역설은 선택 공리의 결과 중 하나로, 수학 기초론에 중요한 영향을 미쳤다.

4. 1. 선택 공리와의 관계

바나흐와 타르스키는 1905년 주세페 비탈리가 구성한 비탈리 집합, 하우스도르프의 역설(1914), 그리고 바나흐의 이전 논문(1923)을 자신들의 연구의 선구자적 업적으로 인정했다. 비탈리와 하우스도르프의 구성은 체르멜로의 선택 공리("'''AC'''")에 의존하며, 이는 바나흐-타르스키 역설을 증명하는 데 중요하게 사용되었다.[8]

그들은 두 번째 결과에 대해 다음과 같이 언급했다.

: Le rôle que joue cet axiome dans nos raisonnements nous semble mériter l'attention|이 공리가 우리의 추론에서 하는 역할은 주의할 가치가 있다고 생각된다.프랑스어

바나흐와 타르스키는 '''AC'''가 역설적인 분해를 낳는다는 이유만으로 거부되어서는 안 된다고 주장했는데, 왜냐하면 그러한 주장은 기하학적으로 직관적인 명제의 증명마저 훼손하기 때문이다.

그러나 1949년, A. P. 모스는 유클리드 다각형에 대한 명제가 '''ZF''' 집합론에서 증명될 수 있으며, 따라서 선택 공리를 필요로 하지 않는다는 것을 보였다. 1964년, 폴 코헨은 선택 공리가 '''ZF'''로부터 독립적이라는 것을 증명했다. 즉, 선택 공리는 '''ZF'''로부터 증명될 수 없다. 선택 공리의 더 약한 버전은 종속 선택 공리('''DC''')이며, '''DC'''는 바나흐-타르스키 역설을 증명하는 데 충분하지 않다는 것이 밝혀졌다.[8]

: 바나흐-타르스키 역설은 '''ZF'''의 정리도 아니고, 일관성을 가정할 경우 '''ZF'''+'''DC'''의 정리도 아니다.

1991년, 매튜 포먼과 프리드리히 베룽의 최근 결과를 사용하여,[9] 야누스 파블리코프스키는 바나흐-타르스키 역설이 '''ZF'''와 한-바나흐 정리로부터 도출된다는 것을 증명했다.[10] 한-바나흐 정리는 완전한 선택 공리에 의존하지 않지만, 초여과기 보조정리라고 불리는 '''AC'''의 약한 버전을 사용하여 증명할 수 있다.

5. 확장 및 관련 연구

바나흐-타르스키 역설은 다양한 방향으로 확장되었으며, 여러 수학 분야에 영향을 미쳤다.

임의의 정수 ''n'' ≥ 3 및 ''k'' ≥ 1에 대해, 바나흐-타르스키 역설을 이용하면 유클리드 ''n''-공간에서 하나의 공으로부터 ''k''개의 복사본을 얻을 수 있다. 즉, 공을 ''k''개의 조각으로 잘라서 각 조각이 원래 크기와 같은 공과 등분해](equidecomposable)될 수 있다.[13]

5. 1. 폰 노이만 역설

유클리드 평면에서 유클리드 운동 그룹에 대해 등가 분해 가능한 두 도형은 반드시 같은 면적을 가지며, 따라서 유클리드 합동만 사용하는 바나흐-타르스키 유형의 정사각형 또는 원반의 역설적 분해는 불가능하다. 존 폰 노이만은 3차원에서의 회전 그룹 SO(3)과 달리 평면의 유클리드 운동 그룹 ''E''(2)는 가해군이므로, 병진 및 회전에 불변인 유한 가산 측도가 ''E''(2) 및 '''R'''2에 존재하며, 무시할 수 없는 집합의 역설적 분해를 배제한다는 개념적 설명을 제시하였다. 폰 노이만은 더 큰 동치 그룹을 허용하면 이러한 역설적 분해를 구성할 수 있는지에 대한 질문을 제기했다.

닮음 변환을 허용하면 두 개의 정사각형이 더 이상 세분화 없이도 동치가 된다는 것은 분명하다. 이는 특수 아핀 변환 그룹인 ''SA''2로 제한하는 동기가 된다. 면적이 보존되므로 이 그룹에 대해 정사각형의 역설적 분해는 공과 관련된 바나흐-타르스키 분해와 동일한 이유로 직관에 어긋난다. 실제로 그룹 ''SA''2는 ''SL''(2,'''R''')의 특수 선형 그룹을 부분 그룹으로 포함하며, 이는 차례로 두 개의 생성자를 가진 자유군 ''F''2를 부분 그룹으로 포함한다. 이는 바나흐-타르스키 역설의 증명이 평면에서 모방될 수 있다는 것을 그럴듯하게 만든다. 여기서 주요 어려움은 단위 정사각형이 선형 그룹 ''SL''(2, '''R''')의 작용에 불변하지 않다는 사실에 있으며, 따라서 위의 바나흐-타르스키 역설 증명의 세 번째 단계에서와 같이 역설적 분해를 그룹에서 정사각형으로 단순히 전송할 수 없다. 또한, 그룹의 고정점은 어려움을 제시한다 (예를 들어, 원점은 모든 선형 변환에서 고정됨). 이것이 폰 노이만이 병진을 포함하는 더 큰 그룹 ''SA''2를 사용한 이유이며, 그는 확대된 그룹에 대해 단위 정사각형의 역설적 분해를 구성했다(1929년). 바나흐-타르스키 방법을 적용하면, 정사각형에 대한 역설은 다음과 같이 강화될 수 있다.

: 유클리드 평면의 내부가 비어 있지 않은 모든 두 개의 유계 부분 집합은 면적을 보존하는 아핀 맵에 대해 등가 분해 가능하다.

폰 노이만은 다음과 같이 언급했다.[14]

:"이와 일치하여, 이미 평면에는 모든 ''A''2 [면적 보존 아핀 변환 그룹]에 속하는 변환에 대해 불변인 음이 아닌 가산 측도(단위 정사각형의 측도가 1인 경우)가 없다."

더 자세히 설명하면, 유한 가산 측도(특정 변환에서 보존되는)의 존재 여부는 허용되는 변환에 따라 달라진다. 병진 및 회전에 의해 보존되는 평면 내 집합의 바나흐 측도는 다각형의 면적을 보존하더라도 비등거리 변환에 의해 보존되지 않는다. 평면의 점(원점 제외)은 두 개의 조밀 집합으로 나눌 수 있으며, 이를 ''A''와 ''B''라고 부를 수 있다. 주어진 다각형의 ''A'' 점이 특정 면적 보존 변환에 의해 변환되고 ''B'' 점이 다른 변환에 의해 변환되면, 두 집합 모두 두 개의 새로운 다각형의 ''A'' 점의 부분 집합이 될 수 있다. 새로운 다각형은 이전 다각형과 동일한 면적을 가지지만, 두 변환된 집합은 이전과 동일한 측도를 가질 수 없다 (''A'' 점의 일부만 포함하기 때문). 따라서 "작동하는" 측도는 없다.

바나흐-타르스키 현상 연구 과정에서 폰 노이만에 의해 분리된 그룹의 클래스는 수학의 많은 분야에서 매우 중요해졌으며, 이는 가환군, 즉 불변 평균을 가진 그룹이며, 모든 유한 그룹과 모든 가해군을 포함한다. 일반적으로, 등가 분해 가능성의 정의에 사용된 그룹이 가환적이지 ''않을'' 때 역설적 분해가 발생한다.

5. 2. 최근 연구 동향

바나흐-타르스키 역설은 계속해서 활발하게 연구되고 있으며, 그 적용 범위와 일반화 가능성이 꾸준히 탐구되고 있다.

  • 2000년, 미클로스 라츠코비치는 폰 노이만이 제기한 단위 정사각형 내부의 역설적 분해 가능성 문제를 해결하였다.[15] 그는 선형군 ''SL''(2, '''R''')을 이용하여 단위 정사각형을 역설적으로 분해할 수 있음을 증명하였다.
  • 2003년, 켄지 사토는 완전 평면에서 ''SA''2에 대한 역설적 분해에 필요한 최소 조각 수가 4개임을 증명하였다.[16]
  • 2011년, 그제고르츠 톰코비치는 라츠코비치의 결과를 확장하여, 고정점이 없는 구멍이 있는 원반에서 작용하는 조각별 선형 변환의 자유군 F가 존재함을 보였다.[18]
  • 2017년, 존 프랭크 아담스와 얀 미첼스키는 유닛 구 '''S'''2가 '''S'''2의 절반, 3분의 1, 4분의 1, ... 및 2^{\aleph_0}분의 1인 집합 ''E''를 포함한다는 것을 증명하였다.[20] 톰코비치는 이를 일반화하여 '''S'''2와 동일한 속성을 가진 '''H'''2의 집합 ''E''를 얻을 수 있음을 보였다.[21]
  • 2017년, 얀 미첼스키와 그제고르츠 톰코비치는 쌍곡 평면 '''H'''2에서도 바나흐-타르스키 역설이 성립함을 보였다.[22][23]
  • 2018년, 그제고르츠 톰코비치는 보렐 집합을 사용하는 쌍곡 평면 '''H'''2의 역설적 분해를 구성하였다.[26]
  • 2019년, 얀 미첼스키와 그제고르츠 톰코비치는 르베그 가측 조각을 사용한 등분해 가능성에 대한 결과를 유한 차원 리 군과 두 번째 가산 국소 컴팩트 위상 군으로 확장하였다.[27]
  • 2024년, 로버트 새뮤얼 시몬과 그제고르츠 톰코비치는 칸토어 공간의 점에 대한 채색 규칙을 도입하여 역설적 분해와 최적화를 연결하고, 이를 경제학에 응용하였다.[28]
  • 2024년, 그제고르츠 톰코비치는 연결된 리 군 ''G''가 메트릭 공간에서 연속적이고 전이적으로 작용할 때, 유계 ''G'' 역설적 집합이 일반적인 경우임을 증명하였다.[29]


이러한 연구들은 바나흐-타르스키 역설이 단순한 수학적 호기심을 넘어 다양한 분야에 응용될 수 있는 잠재력을 가지고 있음을 보여준다. 역설과 관련된 여러 미해결 문제들이 여전히 남아있어, 앞으로도 이 분야의 연구는 계속될 것으로 예상된다.

참조

[1] 서적 An introduction to measure theory https://terrytao.fil[...]
[2] 문서 Wagon, Corollary 13.3
[3] 간행물 A continuous movement version of the Banach–Tarski paradox: A solution to De Groot's problem 2005-09
[4] 보고서 Théorie de la mesure dans les lieux réguliers. ou : Les intersections cachées dans le paradoxe de Banach-Tarski https://hal.archives[...] 1995
[5] 간행물 Measure, randomness and sublocales 2012-11-01
[6] 간행물 Sur la décomposition des ensembles de points en parties respectivement congruentes http://matwbn.icm.ed[...]
[7] 간행물 On the Decomposition of Spheres https://eudml.org/do[...] 1947
[8] 문서 Wagon, Corollary 13.3
[9] 간행물 The Hahn–Banach theorem implies the existence of a non-Lebesgue measurable set http://matwbn.icm.ed[...]
[10] 간행물 The Hahn–Banach theorem implies the Banach–Tarski paradox http://matwbn.icm.ed[...]
[11] 문서 Wagon, p. 16.
[12] 문서 INVARIANT MEASURES, EXPANDERS AND PROPERTY T MAXIME BERGERON
[13] 간행물 A continuous version of the Hausdorff–Banach–Tarski paradox
[14] 간행물 Zur allgemeinen Theorie des Masses http://matwbn.icm.ed[...]
[15] 간행물 Paradoxical sets under ''SL''2('''R''')
[16] 간행물 A locally commutative free group acting on the plane
[17] 간행물 Paradoxical sets under ''SL''2('''R''')
[18] 간행물 A free group of piecewise linear transformations
[19] 간행물 On decompositions of the sphere
[20] 간행물 On the paradox of the sphere
[21] 간행물 On decompositions of the hyperbolic plane satisfying many congruences
[22] 간행물 The Banach-Tarski paradox for the hyperbolic plane
[23] 간행물 The Banach-Tarski paradox for the hyperbolic plane (II)
[24] 간행물 Banach-Tarski paradox in some complete manifolds
[25] 간행물 Large free groups of isometries and their geometrical
[26] 간행물 A properly discontinuous free group of affine transformations
[27] 간행물 On the equivalence of sets of equal measures by countable decomposition
[28] 간행물 A measure theoretic paradox from a continuous colouring rule
[29] 간행물 On bounded paradoxical sets and Lie groups
[30] 문서 Foreman, M.; Wehrung, F. (1991). "The Hahn–Banach theorem implies the existence of a non-Lebesgue measurable set" (PDF). Fundamenta Mathematicae. 138: 13–19
[31] 저널 인용 An introduction to measure theory http://terrytao.file[...] 2019-05-06
[32] 문서 Wagon, Corollary 13.3
[33] 저널 인용 Sur la décomposition des ensembles de points en parties respectivement congruentes http://matwbn.icm.ed[...]


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