비표준 위치 기수법

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1. 개요

비표준 위치 기수법은 밑이 일정하지 않거나, 가수가 음수를 포함하거나, 자릿수가 0부터 시작하지 않는 등 표준적인 자리값 기수법의 조건을 벗어나는 기수법을 의미한다. 이러한 기수법은 음이진법, 균형 삼진법, 팩토리얼 진법 등 다양한 형태로 존재하며, 컴퓨터 과학, 수학 등 여러 분야에서 활용된다. 또한, 중복 기수법, 혼합 기수법, 비대칭 기수법 등 다양한 종류가 있으며, 각 기수법은 특정 연산의 효율성, 표현 범위 확장 등의 장점을 가진다.

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기수법 - 이진법
이진법은 0과 1 두 개의 숫자를 사용하는 밑이 2인 위치 기수법으로, 컴퓨터 과학의 기초가 되었으며 현대 컴퓨터에서 데이터를 저장하고 처리하는 데 사용된다.
기수법 - 구진법
구진법은 9를 밑으로 하는 위치 기수법으로 0부터 8까지의 숫자를 사용하여 수를 나타내며, 3의 배수 표현이 간결하고 3의 역수는 유한소수로 표현되는 특징이 있다.

비표준 위치 기수법
개요
유형	위치 기수법
속성	비표준 기수 비정수 기수 음수 기수 복소수 기수 기타
기수법 예시
기수	-2 φ ≈ 1.618 i β = p/q
기타	인간의 두뇌 팩토리얼 기수법 피보나치 코딩 혼합 기수 체계
관련 항목
관련 개념	기수 위치 기수법 표준 기수법

2. 표준 기수법

표준 기수법은 밑(base)이 일정하고 중복되지 않는 기수법을 의미한다.^[5] 표기법은 자리값 기수법과 유사하게 밑이 ''K''일 때, 다음과 같은 수를

: $\cdots+c_2K^2+c_1K^1+c_0K^0+c_{-1}K^{-1}+c_{-2}K^{-2}+\cdots$

가수를 나열하여

: $\cdots c_2c_1c_0c_{-1}c_{-2}\cdots$

와 같이 표기할 수 있다.

일반적으로 자리값 기수법이라고 불리는 것은 0부터 ''N'' - 1까지의 ''N''개의 정수를 가수로 갖는 밑이 ''N''인 표기법이다.

2. 1. 자리값 기수법

자리값 기수법은 밑이 ''K''이면

:

\cdots+c_2K^2+c_1K^1+c_0K^0+c_{-1}K^{-1}+c_{-2}K^{-2}+\cdots

와 같은 수를

:

\cdots c_2c_1c_0c_{-1}c_{-2}\cdots

와 같이 가수를 나열하여 표기한다. 이 표기법에서는 ''n''을 자연수로 하면

:

10^n=1\overbrace{0 \cdots 0}^{n}

이 성립한다. 일반적으로 자리값 기수법이라고 불리는 것은 0부터 ''N'' - 1까지의 ''N''개의 정수를 가수로 갖는 밑이 ''N''인 표기법이다. 이는 임의의 0 이상의 실수를 무한히 근사할 수 있지만, 그 외의 수를 표기하기 위해서는 연산자가 필요하다.

2. 2. 자연수를 사용하지 않는 기수법

몇몇 위치 기수법에서 밑수 ''b''는 양의 정수가 아닌 것으로 제안되었다.

2. 2. 1. 음수 밑

밑이 음수인 기수법이다. 밑이 -2인 네가바이너리(-2진법), 밑이 -10인 네가테너리(-10진법) 등이 있다. 음수를 거듭제곱하는 속성 때문에 모든 정수를 부호 없이 표현할 수 있다는 장점이 있다.

임의의 실수를 표기할 수 있는 기수법에는 다음이 있다.

이름	가수	밑	덧셈에서 올림 발생 확률	곱셈에서 올림 발생 확률	나눗셈 가능 여부
네가바이너리(-2진법)	0, 1	-2	1/4	0/4	가능
없음	-2, -1, 0, 1	4	4/16	3/16	가능
균형 삼진법	-1, 0, 1	3	2/9	0/9	가능
네가테너리(-3진법)	0, 1, 2	-3	3/9	1/9	가능
없음	-3, -1, 0, 1, 3	5	12/25	4/25	불가능

2. 2. 2. 정수가 아닌 밑

정수를 밑으로 사용하지 않는 경우이다. 대표적으로 황금비를 밑으로 사용하는 황금비진법이 있다.

몇몇 위치 기수법에서 밑수 ''b''는 양의 정수가 아닌 것으로 제안되었다. 비정수 기수법에서 사용되는 서로 다른 숫자(numeral)의 개수는 ''b''가 될 수 없다. 대신, 0에서

\lfloor b\rfloor

까지의 숫자가 사용된다. 예를 들어, 황금비 기수법(phinary)은 0과 1, 두 개의 숫자를 사용한다.

2. 2. 3. 복소수 밑

허수 단위(''i'')를 포함하는 복소수를 밑으로 사용하는 기수법이다.

임의의 복소수를 표기할 수 있는 방법으로, 다음의 예가 고려될 수 있다.

이름	가수	밑	한 자리 연산에서 올림이 발생할 확률		나눗셈
이름	가수	밑	덧셈	곱셈	나눗셈
없음	0, 1	-1+i	1/4	0/4	불가
없음	0, 1	$\sqrt{2}\,i$	1/4	0/4	가능
없음^[2]	0, 1, $\textstyle -\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$ , $\textstyle -\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$	-2	9/16	0/16	불가
없음^[3]	-1+i, i, 1+i, -1, 0, 1, -1-i, -i, 1-i	3	32/81	16/81	가능
사분 허수 기수법	0, 1, 2, 3	2i	6/16	4/16	가능
없음	i, -1, 0, 1, -i	2+i	12/25	0/25	불가

3. 전단사 기수법

전단사 기수법은 0을 사용하지 않고 1부터 N까지의 숫자를 사용하여 수를 나타내는 기수법이다. 일진법(단항 기수법)도 여기에 포함된다.^[1] 예를 들어 0을 포함하지 않는 십진법이 있다.^[1] 가수가 ''N''가지인 경우, 1부터 ''N''까지를 사용하는 것이 Bijective numeration|단사적 기수법^영어이다. 이 표기법에서 정수 0은 빈 문자열로 표현되고, 중간 자릿수를 0으로 할 수 없다. ''N''=26인 A, B, ..., Z, AA, AB, ... 와 같은 형식은 스프레드시트의 열 이름 등에서 사용된다.^[1]

3. 1. 0을 포함하지 않는 십진법

1부터 10까지의 숫자를 사용하여 수를 나타내는 방법이다. 전단사 기수법은 0에서 n-1까지의 수 대신 1에서 n까지의 수를 자리수로 나타낸 것이다. 일진법(단항 기수법)도 전단사 기수법에 포함된다. 전단사 기수법은 밑 ''b''를 사용하여 모든 음이 아닌 정수를 나타내기 위해 ''b''개의 서로 다른 숫자를 사용한다. 그러나 숫자는 1, 2, 3 등 ''b''까지의 값을 가지며, 0은 빈 숫자 문자열로 표시된다.

3. 2. 일진법 (Unary Numeral System)

일진법은 밑이 1인 전단사 기수법으로, 하나의 숫자만 사용하여 모든 양의 정수를 나타낸다. 다항식 형태로 주어진 숫자 문자열 ''pqrs''의 값은 ''p'' + ''q'' + ''r'' + ''s''로 단순화될 수 있는데, 이는 모든 ''n''에 대해 ''bⁿ'' = 1이기 때문이다. 이 시스템의 비표준적인 특징은 다음과 같다.

숫자의 값은 그 위치에 의존하지 않는다. 따라서 일진법은 전혀 "위치적" 시스템이 아니라고 쉽게 주장할 수 있다.
이 시스템에 기수점을 도입해도 정수가 아닌 값을 나타낼 수 없다.
단일 숫자는 값 1을 나타내며, 값 0 = ''b'' - 1을 나타내지 않는다.
값 0은 표현될 수 없거나 (또는 빈 숫자 문자열로 암묵적으로 표현된다).

4. 자리수에 음수를 사용한 기수법 (Signed-digit Representation)

N진법에서 한 자리에 음수가 올 수 있게 하면 부호를 쓰지 않고 모든 정수를 나타낼 수 있다. 대표적으로 균형 3진법이 있다. 기수가 양의 정수이지만 음의 숫자를 허용하는 시스템도 있다.^[2] 비인접 형태는 밑이 2인 특별한 시스템이다.^[2]

4. 1. 균형 3진법 (Balanced Ternary)

균형 3진법은 -1, 0, 1을 숫자로 사용하는 3진법으로, 표준 삼진법의 0, 1, 2와는 다르다. 균형 3진법의 밑은 3이며, 숫자는 -1, 0, +1 값을 가진다.^[2]

임의의 실수를 표기하는 방법의 예시는 다음과 같다.

이름	가수	밑	덧셈에서 올림 발생 확률	곱셈에서 올림 발생 확률	나눗셈 가능 여부
균형 삼진법	-1, 0, 1	3	2/9	0/9	가능

4. 2. 비인접 형식 (Non-adjacent Form, NAF)

균형 3진법처럼 N진법에서 한 자리에 음수가 올 수 있으면 부호를 쓰지 않고 모든 정수를 나타낼 수 있다. 비인접 형식(Non-adjacent Form, NAF)은 밑이 2이고 -1, 0, 1을 숫자로 사용하며, 인접한 두 자리에 0이 아닌 숫자가 동시에 올 수 없는 특별한 형태이다.

5. 중복 기수법 (Redundant Numeral System)

중복 기수법은 같은 값을 나타내는 여러 가지 표현이 존재하는 기수법이다.

다음은 그 예시이다.

'''비인접 형식''' (non-adjacent form, NAF)은 중복 이진법에서 인접한 두 자릿수의 가수가 적어도 하나는 0인 부호 있는 숫자 표현의 일종이다. 이 기법에 의한 표현은 임의의 정수에 대해 하나만 존재한다. 이 표기 방법은 일반적인 이진법과 비교하여, 가수가 0인 자릿수가 많아 곱셈이나 지수 연산의 처리 속도가 빠르다. 타원 곡선 상의 스칼라 배산을 효율적으로 계산하는 방법이 알려져 있다.
0, 1을 가수로 가지고, 밑을 황금비 φ로 하며, 인접한 두 자릿수의 가수가 적어도 하나는 0인 기수법 (golden ratio base, 황금진법)이 있다. 이 기법에서는 각 자리에서, 11 = 100 및 1 + 1 = 10.01이 성립한다. 또한 십진법으로 표기된 수 $\sqrt{5}$ 는, 이 기법에서는 10.1로 표기할 수 있다.

5. 1. 중복 이진법 (Redundant Binary Representation)

중복 이진법(Redundant Binary Representation, RB)은 부호 있는 숫자 표현(signed-digit, SD)의 일종으로, -1, 0, 1을 가수로 가지며, 밑을 2로 하는 기수법이다. 임의의 실수는 이 표현을 무한히 갖는다.

5. 2. 상호 교대 형식 (Mutual Opposite Form, MOF)

소수점에서 위로 세어 n번째 자릿수를 n-1번째 자리라고 할 때, '''상호 교대 형식'''(Mutual Opposite Form, MOF)^[4]은 중복 이진법에서 0을 제외하면 1과 -1이 교대로 배열되고 최상위가 1이고 최하위가 -1인 부호 있는 숫자 표현의 일종이다. 이 기법에 의한 표현은 임의의 자연수에 대해 하나만 존재한다. 2004년 8월 23일에 히타치 제작소(日立製作所)에 의해 발표되었다.^[4]

6. 혼합 기수법 (Mixed Bases)

혼합 기수법은 각 자리의 밑(base)이 일정하지 않은 기수법이다.

혼합 기수의 예시는 십진법화 이전의 영연방 국가에서 사용된 화폐에서 찾아볼 수 있다. 이들 국가에서는 파운드, 실링, 페니가 통화였으며, 1파운드는 20실링 또는 240페니와 같았다.^[1]

위치 기수법에서 위치와 관련된 가중치가 가장 낮은 자릿수부터 시작하여 1, ''b'', ''b''², ''b''³ 등과 같은 등비 수열을 형성하지 않는 경우를 고려하는 것이 편리할 때가 있다. 혼합 기수 시스템의 예로는 팩토리얼 수 체계가 있으며, 가중치는 각 가중치가 이전 가중치의 정수 배수이고 허용되는 숫자 값의 개수가 위치에 따라 달라지는 수열을 형성한다.^[1]

마야 숫자는 360일 달력에 맞추기 위해 한 자릿수가 20이 아닌 18을 곱한 값을 나타내는 혼합 기수 시스템이었다. 각도(도, 분, 초)를 나타내는 것도 혼합 기수 시스템으로 해석할 수 있다.^[1]

각 가중치가 이전 가중치의 정수 배수가 ''아닌'' 수열도 사용할 수 있지만, 모든 정수가 고유한 표현을 갖지는 못할 수 있다. 예를 들어, 피보나치 코딩은 피보나치 수열 (1, 2, 3, 5, 8, ...)에 따라 가중치가 부여된 숫자 0과 1을 사용한다. 연속된 1을 금지함으로써 모든 음이 아닌 정수의 고유한 표현을 보장할 수 있다. 2진화 십진법 (BCD)은 비트(2진 숫자)를 사용하여 십진 숫자를 표현하는 혼합 기수 시스템이다. 예를 들어, 1001 0011에서 4비트 그룹은 각각 십진 숫자(이 예에서는 9와 3)를 나타내므로 8비트가 결합되어 십진수 93을 나타낸다. 이러한 8개 위치와 관련된 가중치는 80, 40, 20, 10, 8, 4, 2, 1이다. 각 4비트 그룹에서 첫 번째 비트가 1이면 다음 두 비트가 00이어야 함을 요구하여 고유성을 보장한다.^[1]

밑 ''N''이 일정한 표기법에서 각 자릿수의 가중치는 ''N''의 거듭제곱이 되지만, 여기서는 거기에 한정하지 않는 표기법을 설명한다.^[1]

자릿수가 제한된 이진법에서 최상위 바로 아래 자릿수의 밑을 -2로 한 표기법은 2의 보수 표기와 일치한다.^[1]
계승 진법 (factoradic)은 0번째 자릿수는 가수가 0이고 밑이 1, 1번째 자릿수는 가수가 0, 1이고 밑이 2, 2번째 자릿수는 가수가 0, 1, 2이고 밑이 3, 3번째 자릿수는 가수가 0, 1, 2, 3이고 밑이 4,…와 같이 정의되는 기수법이다. 이 표기법을 확장하여 -1번째 자릿수는 가수가 0, 1이고 밑이 2, -2번째 자릿수는 가수가 0, 1, 2이고 밑이 3,…으로 정의하면 임의의 유리수를 유한 소수로 표기할 수 있다. n번째 자릿수의 가중치는 n≧0이면 n의 계승, n＜0이면 -n+1의 계승의 역수가 된다.^[1]

6. 1. 시간 표기법

시간 측정에서 혼합 기수법은 흔히 볼 수 있다. 예를 들어 시간을 나타낼 때 12진법(시간)과 60진법(분, 초)을 혼합하여 사용한다. 일반적으로는 10진법으로 시간을 표시하는데, 예를 들어 20:00:00은 자정 이후 20시간을 의미한다.

시간 표기법에서 각 단위(주, 일, 시, 분, 초 등)를 자릿수로 생각할 수 있다. 예를 들어, 32주 5일 7시간 45분에서 각 자릿수의 가중치는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

단위	가중치 (분)
주	10080
일	1440
시간	60

6. 2. 2-5진법

주판에서 사용되는 기수법으로, 짝수 번째 자릿수는 0, 1, 2, 3, 4의 가수를 가지는 5진법이고, 홀수 번째 자릿수는 0, 1의 가수를 가지는 2진법이다. 이는 십진법의 한 자릿수를 두 개로 분할한 형태이다.^[1]

7. 비대칭 기수법 (Asymmetric Numeral Systems)

컴퓨터 과학에서 사용되는 비대칭 기수법은 각 자릿수가 서로 다른 기수(일반적으로 정수가 아닌 기수)를 가질 수 있는 체계이다. 비대칭 기수법에서는 주어진 자릿수의 기수가 서로 다를 뿐만 아니라, 정보를 더욱 효율적으로 인코딩하기 위해 불균일하고 비대칭적인 방식으로 변경될 수 있다. 이들은 선택된 기호의 불균일 확률 분포에 최적화되어 있으며, 기호당 평균적으로 약 섀넌 엔트로피 비트를 사용한다.^[1]

8. 그레이 코드 (Gray Code)

그레이 코드는 반사 이진 코드라고도 하며, 이진수와 밀접하게 관련되어 있다. 하지만 상위 비트의 패리티에 따라 일부 비트가 반전된다는 특징이 있다.

9. 기타

그레이 코드 등이 있다.

9. 1. 그래픽 및 물리적 변형

시토 숫자는 십진법 위치 기수법이지만, 위치가 일반적인 십진 표기법처럼 정렬되지 않고, 수직 줄기의 오른쪽 위, 왼쪽 위, 오른쪽 아래, 왼쪽 아래에 각각 붙어 있어 4개로 제한된다(따라서 0에서 9999까지의 정수만 표현할 수 있다). 이 시스템은 표준 위치 기수법과 밀접한 유사성을 보이지만, 그리스 숫자와 비교할 수도 있는데, 여기서 서로 다른 기호 집합(그리스 문자)이 1, 10, 100, 1000에 사용되어 표현할 수 있는 숫자에 상한을 둔다.^[1]

마찬가지로, 컴퓨터에서 롱 정수 형식은 표준 이진법이지만(부호 비트 제외), 위치 수가 제한되어 있고 숫자의 표현을 위한 물리적 위치가 정렬되지 않을 수 있다.^[1] 아날로그 주행 거리계에서 십진수는 정렬되지만 숫자에 제한이 있다.^[1]

10. 연산

표준적인 기수법에서 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈의 연산을 할 수 있다. 덧셈과 곱셈은 각 가수 간의 계산 결과를 미리 표로 만들어 놓고, 이를 보면서 계산하면 편리하다. 덧셈에서 올림은 윗자리에 추가로 더한다. 두 자리 이상의 곱셈은 $10^n=1\overbrace{0\cdots 0}^{n}$ 이 성립하는 것을 이용하여 계산한다. 뺄셈은 표를 이용하거나, 빼는 수에 -1을 곱한 다음 빼지는 수에 더하는 방법으로 계산할 수 있다.

밑이 4이고 가수로 -2, -1, 0, 1을 갖는 기수법의 덧셈, 뺄셈, 곱셈 표는 다음과 같다.

'''덧셈'''
+	$\bar{2}$	$\bar{1}$	0	1
$\bar{2}$	$\bar{1}$ 0	$\bar{1}$ 1	$\bar{2}$	$\bar{1}$
$\bar{1}$	$\bar{1}$ 1	$\bar{2}$	$\bar{1}$	0
0	$\bar{2}$	$\bar{1}$	0	1
1	$\bar{1}$	0	1	1 $\bar{2}$

'''뺄셈''' (왼쪽 - 위쪽)
－	$\bar{2}$	$\bar{1}$	0	1
$\bar{2}$	0	$\bar{1}$	$\bar{2}$	$\bar{1}$ 1
$\bar{1}$	1	0	$\bar{1}$	$\bar{2}$
0	1 $\bar{2}$	1	0	$\bar{1}$
1	1 $\bar{1}$	1 $\bar{2}$	1	0

'''곱셈'''
×	$\bar{2}$	$\bar{1}$	1
$\bar{2}$	10	1 $\bar{2}$	$\bar{2}$
$\bar{1}$	1 $\bar{2}$	1	$\bar{1}$
0	0	0	0
1	$\bar{2}$	$\bar{1}$	1

밑을 K로 하는 K진법에서 R을 D로 나누는 과정은 다음과 같다.

기수법에 따라 결정되는 한 자리 몫을 나타내는 함수 Q_K가 있다고 가정하고, 충분히 큰 정수 n을 취하여 다음 계산을 수행한다.

r_n=R

c_n=Q_K(r_n, DKⁿ) r_n-1= r_n-c_nDKⁿ

c_n-1=Q_K(r_n-1, DK^n-1) r_n-2=r_n-1-c_n-1DK^n-1

c_n-2=Q_K(r_n-2, DK^n-2) r_n-3=r_n-2-c_n-2DK^n-2

......

c₀=Q_K(r₀ , D ) r_-1= r₀-c₀D

몫은 K진법으로 c_nc_n-1…c₀이 되고, 나머지는 r_-1이 된다. 단, 기수법에 따라서는 0.XXX... 형태로 표기 가능한 범위가 프랙탈을 이뤄 Q_K를 만들기 어려워 나눗셈이 불가능한 경우도 있다. 이 연산을 계속하면 몫으로 순환 소수가 나올 수 있다.

Q(r, d)의 예시는 다음과 같다.

십진법

: d≦0 또는 r＜0 또는 10d≦r은 금지되며,

: 0≦r＜d이면 Q(r, d)=0

: d≦r＜2d이면 Q(r, d)=1

: 2d≦r＜3d이면 Q(r, d)=2

: ......

: 8d≦r＜9d이면 Q(r, d)=8

: 9d≦r＜10d이면 Q(r, d)=9가 된다.

밑이 -2이고 가수가 0, 1을 갖는 기수법

: d=0 또는 (r＜-2d/3이고 r＜4d/3) 또는 (-2d/3＜r이고 4d/3＜r)은 금지되며,

: d/3＜r≦4d/3 또는 4d/3≦r＜d/3이면 Q(r, d)=1

: -2d/3≦r≦d/3 또는 d/3≦r≦-2d/3이면 Q(r, d)=0이 된다.

평형 삼진법

: d=0 또는 (r＜-3d/2이고 r＜3d/2) 또는 (-3d/2＜r이고 3d/2＜r)은 금지되며,

: d/2＜r≦3d/2 또는 3d/2≦r＜d/2이면 Q(r, d)=1

: -d/2≦r≦d/2 또는 d/2≦r≦-d/2이면 Q(r, d)=0

: -3d/2≦r＜-d/2 또는 -d/2＜r≦-3d/2이면 Q(r, d)=-1이 된다.

11. 표기법 변환

표준적인 기수법에 대한 수의 표기법을 변환하는 방법을 설명한다.

나머지가 가수에 포함되도록 밑으로 나누어가는 방법이 있다. 이 방법에서는 하위의 가수부터 구해진다.

예를 들어 십진법으로 표기된 수 3620을 평형 삼진법으로 변환하면 다음과 같다.

3620 ÷ 3 = 1207 ... -1

1207 ÷ 3 = 402 ... 1

402 ÷ 3 = 134 ... 0

134 ÷ 3 = 45 ... -1

45 ÷ 3 = 15 ... 0

15 ÷ 3 = 5 ... 0

5 ÷ 3 = 2 ... -1

2 ÷ 3 = 1 ... -1

1 ÷ 3 = 0 ... 1

따라서 평형 삼진법에서는 1-1^la-1^la00-1^la01-1^la으로 표기할 수 있다.

또한, 기본적으로 복소수를 표기하는 기수법에서는 이 변환이 어렵지만, 밑이 -1+i 이고 가수에 0, 1을 갖는 기수법에서는 비교적 간단하게 계산할 수 있다. 어떤 복소수 x+yi에 대하여 (x, y는 정수), (x + yi) ÷ (-1 + i) = p + qi ... c 가 되는 정수 p, q와 가수 c를 구한다. 이 식을 변형하면,

: $\frac{-x+y+c}{2}=p\qquad\frac{-x-y+c}{2}=q$

의 두 식을 얻을 수 있다. x+y가 홀수이면 -x+y, -x-y도 홀수이므로 p, q가 정수라는 것에 주의하면, x+y가 홀수일 때 c=1, 짝수일 때 c=0임을 알 수 있다. 위에 있는 나눗셈 절의 Q_K를 이용하여 다음 계산을 수행한다.

변환 전의 십진수를 R로 한다.

r₀ = R

c₀ = Q_K(r₀, 1) r₁ = K × (r₀ - c₀)

c₁ = Q_K(r₁, 1) r₂ = K × (r₁ - c₁)

c₂ = Q_K(r₂, 1) r₃ = K × (r₂ - c₂)

...

따라서 R은 K진법으로 c₀.c₁c₂c₃... 로 표기할 수 있다.

상위 자리수부터 가수를 더하고 밑을 곱해나가는 방법이 있다.

예를 들어 0, 1을 가수로 갖고, 밑을 -2로 한 기수법으로 표기된 수 1101101을 십진법으로 변환하면 다음과 같다.

0+1= 1 1×(-2)= -2

2+1= -1 -1×(-2)= 2

2+0= 2 2×(-2)= -4

4+1= -3 -3×(-2)= 6

6+1= 7 7×(-2)=-14

14+0=-14 -14×(-2)= 28

28+1= 29

따라서 십진법으로는 29로 표기할 수 있다.

상위 자리부터 가수를 더하고 밑수를 곱해 나가고, 최하위 가수를 더한 다음, 이에 최하위 자리의 가중치를 곱하는 방법이 있다. 다음 식을 이용하여 변환할 수 있다.

:

\frac{1}{e}+\frac{1}{e^2}+\frac{1}{e^3}+\cdots =\frac{1}{e-1}

(|e|＞1)

12. 대응표

n을 $\bar{n}$ 으로 표기한다.

WWW과의 적합성을 위해 -n을 n으로 쓰거나,

\bar{1}

을 단순히 T로 쓰는 방법도 있다.

10진법	[A]	[B]	[C]	[D]	[E]	[F]	[G]	[H]	[I]	[J]	[K]
-16	110000	$\bar{1}$ 00	$\bar{1}$ 11 $\bar{1}$	1102	$\bar{3}$ $\bar{1}$	$\bar{1}$ 0000		10000
-15	110001	$\bar{1}$ 01	$\bar{1}$ 110	1220	$\bar{3}$ 0	$\bar{1}$ 0001		10001
-14	110110	$\bar{1}$ 1 $\bar{2}$	$\bar{1}$ 111	1221	$\bar{3}$ 1	$\bar{1}$ 0010		10010
-13	110111	$\bar{1}$ 1 $\bar{1}$	$\bar{1}$ $\bar{1}$ $\bar{1}$	1222	$\bar{1}$ 3 $\bar{3}$	$\bar{1}$ 010 $\bar{1}$		10011
-12	110100	$\bar{1}$ 10	$\bar{1}$ $\bar{1}$ 0	1210	$\bar{3}$ 3	$\bar{1}$ 0100		10100
-11	110101	$\bar{1}$ 11	$\bar{1}$ $\bar{1}$ 1	1211	$\bar{1}$ 3 $\bar{1}$	$\bar{1}$ 0101		10101
-10	1010	$\bar{2}$ $\bar{2}$	$\bar{1}$ 0 $\bar{1}$	1212	$\bar{1}$ 30	$\bar{1}$ 0 $\bar{1}$ 0		10110
-9	1011	$\bar{2}$ $\bar{1}$	$\bar{1}$ 00	1200	$\bar{1}$ 31	$\bar{1}$ 00 $\bar{1}$		10111
-8	1000	$\bar{2}$ 0	$\bar{1}$ 01	1201	$\bar{1}$ $\bar{3}$	$\bar{1}$ 000		11000
-7	1001	$\bar{2}$ 1	$\bar{1}$ 1 $\bar{1}$	1202	$\bar{1}$ 33	$\bar{1}$ 001		11001
-6	1110	$\bar{1}$ $\bar{2}$	$\bar{1}$ 10	20	$\bar{1}$ $\bar{1}$	$\bar{1}$ 010		11010
-5	1111	$\bar{1}$ $\bar{1}$	$\bar{1}$ 11	21	$\bar{1}$ 0	$\bar{1}$ 0 $\bar{1}$		11011
-4	1100	$\bar{1}$ 0	$\bar{1}$ $\bar{1}$	22	$\bar{1}$ 1	$\bar{1}$ 00		11100
-3	1101	$\bar{1}$ 1	$\bar{1}$ 0	10	$\bar{3}$	$\bar{1}$ 01		11101
-2	10	$\bar{2}$	$\bar{1}$ 1	11	$\bar{1}$ 3	$\bar{1}$ 0		11110
-1	11	$\bar{1}$	$\bar{1}$	12	$\bar{1}$	$\bar{1}$		11111
0	0	0	0	0	0	0		00000	0	0	0
1	1	1	1	1	1	1	1 $\bar{1}$	00001	1	10	1
2	110	1 $\bar{2}$	1 $\bar{1}$	2	1 $\bar{3}$	10	1 $\bar{1}$ 0	00010	2	100	10.01
3	111	1 $\bar{1}$	10	120	3	10 $\bar{1}$	10 $\bar{1}$	00011	3	110	100.01
4	100	10	11	121	1 $\bar{1}$	100	1 $\bar{1}$ 00	00100	4	200	101.01
5	101	11	1 $\bar{1}$ $\bar{1}$	122	10	101	1 $\bar{1}$ 1 $\bar{1}$	00101	10	210	1000.1001
6	11010	1 $\bar{2}$ $\bar{2}$	1 $\bar{1}$ 0	110	11	10 $\bar{1}$ 0	10 $\bar{1}$ 0	00110	11	1000	1010.0001
7	11011	1 $\bar{2}$ $\bar{1}$	1 $\bar{1}$ 1	111	1 $\bar{3}$ $\bar{3}$	100 $\bar{1}$	100 $\bar{1}$	00111	12	1010	10000.0001
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13	11101	1 $\bar{1}$ 1	111	221	1 $\bar{3}$ 3	10 $\bar{1}$ 01	10 $\bar{1}$ 1 $\bar{1}$	01101	103	2010	100010.001001
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참조

_[1] 논문 The use of asymmetric numeral systems as an accurate replacement for Huffman coding https://ieeexplore.i[...] Picture Coding Symposium 2015
_[2] 문서 実数を表記した場合、マイナス二進法と同じ表記となる。
_[3] 문서 実数を表記した場合、平衡三進法と同じ表記となる。
_[4] 웹사이트 MOF page http://www.sdl.hitac[...] 2004-09-16
_[5] 문서 実数の場合、1.0 = 0.999... であるように、記数法ではなく数そのものの性質に由来する、表記の冗長性がある。

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