사드의 정리

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 임계점과 임계값
3. 증명
4. 역사
5. 확장 및 응용
- 5.1. 하우스도르프 측도를 이용한 일반화
참조

1. 개요

사드의 정리는 미분 가능한 함수의 임계점 집합의 상이 르베그 측도에 대해 영집합임을 나타내는 정리이다. 이 정리는 1942년 아서 사드에 의해 증명되었으며, 특이점 이론의 기초가 된다. 사드의 정리는 모스 이론, 브라우어 고정점 정리 등 위상수학 분야에서 활용되며, 스티븐 스메일에 의해 무한차원 바나흐 다양체로 확장되어 비선형 편미분 방정식 연구 및 공학 분야에 응용된다. 1965년 사드는 하우스도르프 측도를 사용하여 정리를 일반화하여, 임계점 집합의 상의 하우스도르프 차원이 제한됨을 보였다.

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사드의 정리

2. 정의

사드의 정리에 따르면, 두 미분 가능 다양체 M, N 사이의 C^r 함수 f: M → N에 대하여, r > max{dim M, dim N} 이면 f의 임계점(미분 df의 랭크가 N의 차원보다 작은 점) 집합의 상은 르베그 측도에 대하여 영집합이다.^[1]

좀 더 구체적으로, f: ℝⁿ → ℝ^m가 C^k 함수이고 (k번 연속 미분 가능) k ≥ max{n-m+1, 1}일 때, f의 임계점 집합 X (f의 야코비 행렬의 계수가 m보다 작은 점들의 집합)에 대해, f(X)는 ℝ^m에서 르베그 측도 0을 갖는다.

이는 f의 정의역 ℝⁿ에 많은 임계점이 있더라도, 상 ℝ^m에는 임계값이 거의 없어야 함을 뜻한다.

이 결과는 차원이 각각 m과 n인 미분 가능 다양체 M과 N 사이의 사상에도 일반적으로 적용된다.

2. 1. 임계점과 임계값

사드의 정리에서, 함수

f\colon \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m

가

C^k

급(즉,

k

번 연속 미분 가능)이고

k\geq \max\{n-m+1, 1\}

일 때,

f

의 야코비 행렬의 계수가

m

인

x\in \mathbb{R}^n

점 집합을 ''임계점''

X

라고 한다. 이때,

f

의 상

(f(X))

은

\mathbb{R}^m

에서 르베그 측도 0을 갖는다.^[1]

이는 직관적으로

X

가 클 수 있지만, 그 상은 르베그 측도 측면에서 작아야 함을 의미한다. 즉,

f

가 정의역

\mathbb{R}^n

에 많은 임계점을 가질 수 있지만, 상

\mathbb{R}^m

에는 임계값이 거의 없어야 한다.

일반적으로, 이 결과는 각각 차원이

m

과

n

인 미분 가능 다양체

M

과

N

사이의 사상에도 적용된다.

C^k

함수

f:N\rightarrow M

의 임계 집합

X

는 미분

:

df:TN\rightarrow TM

이 선형 변환으로서 랭크가

m

미만인 점들로 구성된다. 만약

k\geq \max\{n-m+1,1\}

이면, 사드의 정리는

X

의 상이

M

의 부분 집합으로서 측도 0을 갖는다고 단언한다.

3. 증명

국소좌표계를 사용하면, 편의상 $M\subset\mathbb R^{\dim M}$ 이고 $N=\mathbb R^{\dim N}$ 으로 가정할 수 있다. 따라서 사드의 정리는 다음 명제로부터 쉽게 증명할 수 있다.^[6]

1. n차원 유클리드 공간의 열린 부분집합 G에서 $R^n$ 으로 가는 n변수 함수 f = (f₁, ..., f_n)가 있다.

2. f가 미분가능한 G의 점들을 임의로 모은 집합 E에 대하여, 적당한 음이 아닌 실수 상수 $\mu$ 에 대하여 f의 야코비안 행렬식이 $|J(f)|\le\mu$ 를 만족한다면, E에서 $\lambda^{*}(f(E)) \le\mu\lambda^{*}(E)$ 가 성립한다. (여기서 $\lambda^{*}$ 는 외측도 기호)

이 명제에서 $\mu=0$ 을 취하면 사드의 정리가 되므로, 이 명제를 증명하면 곧바로 사드의 정리를 증명할 수 있다. 이 명제는 다음과 같은 단계를 통해 증명할 수 있다.^[6]

1. 우선 E에서 임의의 양수 k에 대하여 적당한 양수 l이 존재하여 (0, l]에 속하는 모든 수 m에 대해 부등식 $\lambda^{*}(f(B(x, m))) \le (|J(f)| + k)\lambda(B(x, m))$ 이 성립함을 증명한다.

2. 다음으로, E가 유계라고 가정할 수 있음을 증명한다.

3. E가 유계라고 가정하면, 적당한 열린 집합 H가 존재하여 임의의 양수 k에 대해 E ⊂ H ⊂ G와 $\lambda(H) < \lambda^{*}(E) + k$ 를 만족한다.

4. 1을 이용하면 임의의 x ∈ E에 대해 적당한 l(x) > 0이 존재하여 (0, l(x)]에 속하는 모든 m에 대해 B(x, m) ⊂ H이고, $\lambda^{*}(f(B(x, m))) \le (\mu + k)\lambda(B(x, m))$ 을 얻는다.

5. E에 속하는 x와 (0, l(x)/5]에 속하는 m에 대하여 B(x, m)은 E에 대한 비탈리 조건을 만족한다. 따라서 비탈리 덮음 보조정리를 이용하면 F에 속하는 적당한 교차하지 않는 열린 공들 B₁, B₂, ...에 대하여 어떤 영집합을 제외하면 $E \subset \bigcup^{\infty}_{a=1} B_a$ 가 성립한다.

6. 이상으로부터 $\lambda^{*}(f(E)) \le (\mu+k)(\sum^{s-1}_{a=1}\lambda(B_a) + \sum^{\infty}_{a=s}5^n\lambda(B_a))$ 가 성립함을 증명한다.

7. $\sum^{\infty}_{a=1}\lambda(B_a) \le \lambda(H)$ 이므로, 6의 부등식에서 s를 무한대로 가져가는 극한을 취하면 $\lambda^{*}(f(E)) \le (\mu+k)\lambda(H) < (\mu+k)(\lambda^{*}(E) + k)$ 를 얻는데, k는 임의이므로 증명이 끝난다.

이는 유클리드 공간에 대한 사드의 정리를 바탕으로, 다양체에 가산 개수의 국소 좌표 공간을 붙여넣는 것을 생각함으로써 유도된다. "측도 0인 집합의 가산 개수의 합집합은 측도 0이다"라는 것과, 국소 좌표 공간의 부분 집합에 대해 "측도 0이라는 성질은, 미분 동형에 의해서도 변하지 않는다"는 것으로부터, 각각의 국소 좌표에서 논의하면 되기 때문이다.

4. 역사

미국의 수학자 아서 사드가 1942년에 증명하였고,^[7] 1965년에 일반화하였다.^[8]^[9] 1939년 앤서니 P. 모스가 m=1인 경우를 증명하였다.^[2] 스티븐 스메일은 무한차원 바나흐 다양체에 대한 버전을 증명하였다.^[3]

1965년 사드는 $f:N\rightarrow M$ 이 $k\geq \max\{n-m+1, 1\}$ 에 대해 $C^k$ 이고, $A_r\subseteq N$ 이 $x\in N$ 인 점들의 집합으로서 $df_x$ 의 랭크가 $r$ 보다 엄격하게 작다면, $f(A_r)$ 의 ''r''차원 하우스도르프 측도는 0이라고 하여 그의 정리를 더욱 일반화했다.^[4] 특히 $f(A_r)$ 의 하우스도르프 차원은 최대 ''r''이다.^[5]

5. 확장 및 응용

사드의 정리는 특이점 이론의 기본적인 정리 중 하나이다. 모스 이론, 브라우어 고정점 정리 등 위상수학의 여러 정리에서 활용된다. 무한 차원 바나흐 다양체로의 확장은 비선형 편미분 방정식 연구에 응용될 수 있으며, 제어 이론, 최적화 문제 등 공학 분야에서도 응용된다.

1939년에 모스가 ''m'' = 1인 경우를 증명하였고,^[2] 1942년에 사드가 일반적인 경우를 증명하였다.^[3] 스메일은 무한 차원의 바나흐 공간에 대한 증명을 제시했다.

이 정리는 고도의 해석학을 사용해 증명되는 강력한 정리이다. 위상수학에서는 상수 사상이 아닌 매끄러운 사상은 적어도 하나의 정칙값을 가진다는 따름정리를 이끌어내기 위해 자주 사용된다.

5. 1. 하우스도르프 측도를 이용한 일반화

1965년, 사드는 그의 정리를 더욱 일반화하여 f(A_r)의 r차원 하우스도르프 측도는 0이라고 진술했다.^[4] 여기서 A_r은 df_x의 랭크가 r보다 작은 점 x들의 집합이다. f(A_r)의 하우스도르프 차원은 최대 r이다.^[5]

참조

_[1] 논문 The measure of the critical values of differentiable maps http://www.ams.org/b[...]
_[2] 논문 The behaviour of a function on its critical set 1939-01
_[3] 논문 An Infinite Dimensional Version of Sard's Theorem
_[4] 논문 Hausdorff Measure of Critical Images on Banach Manifolds
_[5] 웹사이트 Show that f(C) has Hausdorff dimension at most zero https://math.stackex[...] 2013-07-18
_[6] 서적 Lebesgue Integration on Euclidian Space Jones and Bartlett Mathematics
_[7] 저널 The measure of the critical values of differentiable maps
_[8] 저널 Hausdorff Measure of Critical Images on Banach Manifolds https://archive.org/[...] 1965
_[9] 저널 Errata to ''Hausdorff measures of critical images on Banach manifolds''

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