선형 시불변 시스템

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1. 개요
2. 주요 특징
3. 연속 시간 시스템과 이산 시간 시스템
- 3.1. 연속 시간 시스템 (Continuous-Time Systems)
- 3.2. 이산 시간 시스템 (Discrete-Time Systems)
4. 시스템 속성
- 4.1. 인과성 (Causality)
- 4.2. 안정성 (Stability)
5. 응용 분야
참조

1. 개요

선형 시불변 시스템(LTI 시스템)은 선형성과 시불변성을 모두 만족하는 시스템으로, 입력 신호에 대한 시스템의 응답이 선형적이며 시간의 흐름에 따라 변하지 않는 특징을 가진다. LTI 시스템은 수학적으로 분석하기 용이하며, 임펄스 응답이라는 단일 함수로 완전히 특성화될 수 있다. LTI 시스템은 연속 시간 시스템과 이산 시간 시스템으로 나뉘며, 임펄스 응답, 컨볼루션, 주파수 영역 분석 등을 통해 분석된다. 주요 속성으로는 인과성과 안정성이 있으며, 통신, 신호 처리, 제어 시스템 등 다양한 분야에 응용된다.

2. 주요 특징

LTI 시스템은 선형성(Linearity)과 시불변성(Time Invariance)이라는 두 가지 중요한 특징을 갖는다.

선형성: 입력 $x(t)$ 와 출력 $y(t)$ 사이의 관계가 선형 매핑임을 의미한다. 즉, 상수 $a$ 에 대해 $ax(t)$ 에 대한 출력은 $ay(t)$ 이고, 다른 입력 $x'(t)$ 의 출력이 $y'(t)$ 이면, $x(t)+x'(t)$ 에 대한 출력은 $y(t)+y'(t)$ 이다. 이는 중첩의 원리라고도 불린다.^[3]
시불변성: 시스템에 입력을 현재 또는 ''T''초 후에 적용하든, 출력은 ''T''초의 시간 지연을 제외하고 동일하다. 즉, 입력 $x(t)$ 에 대한 출력이 $y(t)$ 이면, 입력 $x(t-T)$ 에 대한 출력은 $y(t-T)$ 이다. 따라서 시스템은 입력이 적용되는 시간에 의존하지 않는다.^[3]

LTI 시스템은 임펄스 응답으로 완전히 특징지을 수 있다. 출력

y(t)

는 입력

x(t)

와 임펄스 응답

h(t)

의 컨볼루션이다. 이를 연속 시간 시스템이라고 한다. 이산 시간 선형 시불변 시스템도 마찬가지로 정의되며,

y_{i} = x_{i} * h_{i}

로 표현된다. 여기서 ''y'', ''x'', ''h''는 시퀀스이며, 컨볼루션은 적분 대신 이산 합계를 사용한다.^[3]

LTI 시스템은 전달 함수를 사용하여 ''주파수 영역''에서도 특징지을 수 있다. 전달 함수는 임펄스 응답의 라플라스 변환(이산 시간 시스템의 경우 Z 변환)이다. 주파수 영역에서 시스템 출력은 전달 함수와 입력 변환의 곱이다. 즉, 시간 영역의 컨볼루션은 주파수 영역의 곱셈과 같다.^[3]

모든 LTI 시스템에서, 고유 함수와 변환의 기저 함수는 복소수 지수 함수이다. 입력이 복소 파형

A_s e^{st}

이면, 출력은 입력에 복소 상수를 곱한

B_s e^{st}

형태이다. 비율

B_s/A_s

는 주파수

s

에서의 전달 함수이다.^[3]

정현파는 복소 공액 주파수를 가진 복소 지수 함수의 합이므로, 입력이 정현파이면 출력도 정현파이며, 다른 진폭과 위상을 가질 수 있지만, 정상 상태에서는 항상 동일한 주파수를 갖는다. LTI 시스템은 입력에 없는 주파수 성분을 생성할 수 없다.^[3]

LTI 시스템 이론은 상수 계수를 갖는 선형 미분 방정식으로 모델링할 수 있는 시스템을 설명하는 데 유용하다. 예로는 저항, 인덕터, 캐패시터로 구성된 RLC 회로, 이상적인 스프링-질량-댐퍼 시스템 등이 있다.^[3]

2. 1. 선형성 (Linearity)

선형 시스템은 중첩의 원리를 만족하는 시스템이다. 즉, 두 개 이상의 입력 신호의 합에 대한 시스템의 출력은 각 입력 신호에 대한 출력의 합과 같다. 입력 신호

x_1(t)

에 대한 출력이

y_1(t)

이고, 입력 신호

x_2(t)

에 대한 출력이

y_2(t)

일 때, 입력 신호

a x_1(t) + b x_2(t)

(

a

와

b

는 상수)에 대한 출력은

a y_1(t) + b y_2(t)

가 된다.

좀 더 풀어서 설명하면, 시스템의 입력과 출력 관계는 중첩 특성을 갖는다. 입력

x(t) = x_1(t) + x_2(t) \,

가 있을 때, 시스템의 출력은

y(t) = y_1(t) + y_2(t) \,

가 된다. 여기서

y_n(t)

는 입력이

x_n(t)

일 때의 출력을 의미한다.

이러한 중첩 특성이 있는 경우, 임의의 유리수 스칼라에 대해 스케일링 특성도 얻을 수 있다. 입력

x(t)

에 의한 출력이

y(t)

일 때, 입력

c x(t)

에 의한 출력은

c y(t)

가 된다.

형식적으로 나타내면, 선형계는 다음과 같은 특성을 나타낸다. 시스템에 다음 입력을 준다고 가정한다.

x(t) = \sum_n c_n x_n(t) \,

이면, 그 시스템의 출력은

y(t) = \sum_n c_n y_n(t) \,

가 된다. 여기서

c_n

은 임의의 상수이며,

y_n(t)

는 입력이

x_n(t)

만일 때의 출력을 의미한다.

2. 2. 시불변성 (Time Invariance)

시불변 시스템은 입력 신호가 시간 지연되면 출력 신호도 동일하게 시간 지연되는 시스템이다. 즉, 시스템의 동작 특성이 시간에 따라 변하지 않는다.

예를 들어, 어떤 시스템에 입력 신호

x(t)

를 넣었을 때 출력

y(t)

가 나왔다고 가정한다. 만약 이 시스템이 시불변이라면, 동일한 입력 신호를

T

초만큼 늦게 (

x(t-T)

) 입력하면 출력 역시

T

초만큼 늦게 (

y(t-T)

) 나타난다.

다시 말해, 시스템은 입력이 언제 들어오는지에 영향을 받지 않고, 오직 입력 신호의 형태에만 반응한다. 이러한 특성 덕분에 시불변 시스템은 분석하고 예측하기가 더 쉽다.

LTI 시스템 이론의 기본적인 성과는, 임의의 LTI 시스템을 임펄스 응답이라고 불리는 단일 함수로 완전히 나타낼 수 있다는 것이다. 시스템의 출력은, 임펄스 응답을 갖는 시스템에 대한 입력의 단순한 컨볼루션이다. 이 해석 기법은 시간 영역의 관점이라고 말해지는 경우가 많다. 이산 시간 선형 시프트 불변 시스템에서도 마찬가지이며, 그 경우의 신호는 이산 시간의 표본군이며, 컨볼루션은 그 열에 대한 것이다.

2. 3. 임펄스 응답 (Impulse Response)

LTI 시스템은 임펄스 응답이라는 단일 함수로 완전히 특성화될 수 있다. 임펄스 응답은 시스템에 단위 임펄스 함수(디랙 델타 함수 또는 크로네커 델타 함수)를 입력했을 때의 출력이다. 임펄스 응답을 알면, 컨볼루션 연산을 통해 임의의 입력 신호에 대한 시스템의 출력을 계산할 수 있다.^[3]

연속 시간 시스템에서 '''임펄스 응답'''은

h(t) \mathrel{\stackrel{\text{def}}{=}} O_t\{\delta(u);\ u\}.

로 쓸 수 있다. 마찬가지로,

:

h(t - \tau) \mathrel{\stackrel{\text{def}}{=}} O_{t-\tau}\{\delta(u);\ u\} = O_t\{\delta(u - \tau);\ u\}.

이산 시간 시스템에서 임펄스 응답은 다음과 같이 정의된다.

:

h[n] \mathrel{\stackrel{\text{def}}{=}} O_n\{\delta[m];\ m\}.

디랙 델타 함수를 입력했을 때, 델타 함수는 이상적인 임펄스이므로 LTI 변환의 결과가 임펄스 응답이 된다. 이를 식으로 나타내면 다음과 같다.

:

(h * \delta)(t) = \int_{-\infty}^{\infty} h(t - \tau) \, \delta (\tau) \, d \tau = h(t)

여기서 델타 함수의 시프트 속성이 이용되었다. 따라서

h(t)

는 해당 시스템의 임펄스 응답이다.

임펄스 응답을 사용하면, 임의의 입력에 대한 응답을 구할 수 있다. 다시

\delta(t)

의 시프트 속성을 사용하여, 임의의 입력을 델타 함수군의 중첩으로 나타낼 수 있다. 이 입력을 시스템에 적용하면 다음과 같다.

:

\mathcal{H} x(t) = \int_{-\infty}^\infty x(\tau) h(t-\tau) \,d\tau

시스템에 관한 모든 정보는 임펄스 응답

h(t)

에 포함되어 있다.

이산 시간 시스템에 이산 델타 함수

\delta[n]

을 입력했을 때, 델타 함수는 이상적인 임펄스이므로 LTI 변환의 결과가 임펄스 응답이 된다. 이를 식으로 나타내면 다음과 같다.

:

(h * \delta) [n] = \sum_{m=-\infty}^{\infty} h[n - m] \, \delta [m] = h[n]

여기서 델타 함수의 시프트 속성이 이용되었다. 따라서

h[n]

은 해당 시스템의 임펄스 응답이다. 즉,

h[n] = \mathcal{H} \delta[n]

이 성립한다.

이후, 신호(수열)와 값(스칼라)을 구분하여 표기하기 위해

x_m \equiv x[n=m]

으로 한다.

임펄스 응답을 사용하면, 임의의 입력에 대한 응답을 구할 수 있다. 다시

\delta[n]

의 시프트 속성을 이용하여, 임의의 입력을 델타 함수군의 중첩으로 나타낼 수 있다.

:

x[n] = \sum_{m=-\infty}^{\infty} x_m \delta[n-m]

이들을 사용하여 이산 시간 LTI 시스템을 기술하면 다음과 같다.

:

\begin{align}y[n] & = \mathcal{H} x[n] \\& = \mathcal{H} \sum_{m=-\infty}^{\infty} x_m \delta[n-m] \\& = \sum_{m=-\infty}^{\infty} x_m \ \mathcal{H} \delta[n-m] \quad (\because \text{선형성}) \\& = \sum_{m=-\infty}^{\infty} x_m h[n-m] \quad (\because \text{시불변성}) \\& = (x*h)[n] \quad (\because \text{Convolution 정의}) \\\end{align}

즉, 이산 시간 LTI 시스템은 입력과 임펄스 응답의 컨볼루션 합을 출력하며, 그 동작은

h[n]

으로 완전히 표현된다.

2. 4. 컨볼루션 (Convolution)

컨볼루션은 LTI 시스템에서 입력과 출력 사이의 관계를 설명하는 수학적 연산이다. 연속 시간 시스템에서는 컨볼루션 적분, 이산 시간 시스템에서는 컨볼루션 합으로 나타난다. 출력 신호는 입력 신호와 시스템의 임펄스 응답을 컨볼루션하여 계산한다.^[3]

연속 시간 시스템에서 컨볼루션 적분은 다음과 같다.

y(t) = (x * h)(t) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} x(t - \tau)\cdot h(\tau) \, \mathrm{d}\tau

= \int\limits_{-\infty}^\infty x(\tau)\cdot h(t - \tau) \,\mathrm{d}\tau

(가환성)

여기서 $h(t)$ 는 시스템의 임펄스 응답, 즉 입력이 디랙 델타 함수 $x(\tau) = \delta(\tau)$ 일 때의 출력이다. $y(t)$ 는 입력 함수 $x(\tau)$ 의 가중 평균에 비례하며, 가중 함수는 $h(-\tau)$ 를 $t$ 만큼 이동시킨 것이다. $t$ 가 변하면서 가중 함수는 입력 함수의 다른 부분을 강조한다. 만약 $h(\tau)$ 가 모든 음수 $\tau$ 에 대해 0이면, $y(t)$ 는 시간 $t$ 이전의 $x$ 값에만 의존하게 되므로, 이 시스템은 인과적이다.^[4]

이산 시간 시스템에서는 컨볼루션 합은 다음과 같다.

y[n] = \sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k] \cdot h[n - k]

= \sum_{k=-\infty}^{\infty} x[n-k] \cdot h[k]

(교환성)

연산자 $O_n$ 은 함수 ''x''[''k'']의 가중 평균으로 해석 가능하다. 가중 함수는 ''h''[−''k'']를 ''n''만큼 이동시킨 것이다. ''n''이 변하면 가중 함수는 입력 함수의 다른 부분을 강조한다. ''n''=0에서 임펄스에 대한 시스템의 응답은 이동되지 않은 가중 함수의 "시간" 반전된 복사본이다. ''h''[''k'']가 음수 ''k''에 대해 모두 0이면 시스템은 인과 시스템이다.

2. 5. 주파수 영역 분석 (Frequency Domain Analysis)

LTI 시스템은 푸리에 변환, 라플라스 변환, Z 변환과 같은 주파수 영역 변환을 사용하여 분석할 수 있다. 지수 함수는 고유 함수 특성을 가지므로, LTI 시스템 분석에 유용하다.^[1]^[2]

주파수 영역에서 LTI 시스템은 전달 함수로 표현되며, 이는 시스템의 임펄스 응답을 주파수 영역으로 변환한 것이다.

연속 시간 시스템에서는 일방 라플라스 변환

:

H(s) \mathrel{\stackrel{\text{def}}{=}} \mathcal{L}\{h(t)\} \mathrel{\stackrel{\text{def}}{=}} \int_0^\infty h(t) e^{-s t} \, \mathrm{d} t

를 통해 임펄스 응답

h(t)

로부터 고유값을 구한다. 특히

\omega \in \mathbb{R}

이고

j \mathrel{\stackrel{\text{def}}{=}} \sqrt{-1}

일 때,

e^{j \omega t}

형태의 순수 정현파가 중요하다.^[1] 푸리에 변환

H(j \omega) = \mathcal{F}\{h(t)\}

는 순수 복소 정현파의 고유값을 제공한다.^[1]

이산 시간 시스템에서는 Z 변환

:

H(z) \mathrel{\stackrel{\text{def}}{=}} \mathcal{Z}\{h[n]\} \mathrel{\stackrel{\text{def}}{=}} \sum_{n=-\infty}^\infty h[n] z^{-n}

을 통해 임펄스 응답

h[n]

으로부터 고유값을 구한다. 특히

\omega \in \mathbb{R}

인

e^{j \omega n}

형태의 순수 정현파가 중요하다.^[2] 이산 시간 푸리에 변환(DTFT)

H(e^{j \omega}) = \mathcal{F}\{h[n]\}

는 순수한 정현파의 고유값을 제공한다.^[2]

라플라스 변환은 특정 값보다 작은 모든 ''t'' 값에 대해 0인 일방 신호에 사용되며, 푸리에 변환은 무한 신호 시스템 분석에 사용된다.^[1] Z 변환은 t<0에서 0인 일방 신호에, 이산 시간 푸리에 변환 푸리에 급수는 주기적 신호 분석에 사용된다.^[2]

주파수 영역 분석을 통해 시스템의 주파수 응답, 안정성, 필터링 특성 등을 파악할 수 있다.

2. 5. 1. 전달 함수 (Transfer Function)

라플라스 변환을 사용하면 임펄스 응답으로부터 고유값을 얻을 수 있는데, 특히 순수 정현파 (즉,

e^{j \omega t}

형태의 지수 함수, 여기서

\omega \in \mathbb{R}

이고

j \mathrel{\stackrel{\text{def}}{=}} \sqrt{-1}

)가 중요하다.^[1] 푸리에 변환

H(j \omega) = \mathcal{F}\{h(t)\}

는 순수 복소 정현파에 대한 고유값을 제공한다.^[1]

H(s)

와

H(j\omega)

는 모두 '''시스템 함수''', '''시스템 응답''', 또는 '''전달 함수'''라고 불린다.^[1]

이러한 두 변환의 컨볼루션 속성으로 인해 시스템의 출력을 제공하는 컨볼루션은 변환 영역에서 곱셈으로 변환될 수 있다.^[1] 즉,

:

y(t) = (h*x)(t) \mathrel{\stackrel{\text{def}}{=}} \int_{-\infty}^\infty h(t - \tau) x(\tau) \, \mathrm{d} \tau \mathrel{\stackrel{\text{def}}{=}} \mathcal{L}^{-1}\{H(s)X(s)\}.

^[1]

시스템 응답을 직접 사용하여 라플라스 변환이 있는 시스템에서 특정 주파수 성분을 처리하는 방식을 결정할 수 있다.^[1] 복소수 주파수에서 시스템 응답 (임펄스 응답의 라플라스 변환)을 평가하면 주파수 ''f''에 대한 시스템 이득인 |''H''(''s'')|를 얻는다.^[1] 해당 주파수 성분에 대한 출력과 입력 간의 상대 위상 시프트는 마찬가지로 arg(''H''(''s''))로 제공된다.^[1]

Z 변환

:

H(z) = \mathcal{Z}\{h[n]\} = \sum_{n=-\infty}^\infty h[n] z^{-n}

은 임펄스 응답으로부터 고유값을 얻는 정확한 방법이다.^[2] 특히 순수한 정현파, 즉

\omega \in \mathbb{R}

인

e^{j \omega n}

형태의 지수 함수에 관심이 있다.^[2] 이것들은 또한

z = e^{j \omega}

으로

z^n

으로 쓸 수 있다.^[2] 이산 시간 푸리에 변환(DTFT)

H(e^{j \omega}) = \mathcal{F}\{h[n]\}

는 순수한 정현파의 고유값을 제공한다.^[2]

H(z)

와

H(e^{j\omega})

는 둘 다 '''시스템 함수''', '''시스템 응답''', 또는 '''전달 함수'''라고 불린다.^[2]

이 두 변환의 컨벌루션 속성으로 인해 시스템의 출력을 제공하는 컨벌루션은 변환 도메인에서 곱셈으로 변환될 수 있다.^[2] 즉,

:

y[n] = (h*x)[n] = \sum_{m=-\infty}^\infty h[n-m] x[m] = \mathcal{Z}^{-1}\{H(z)X(z)\}.

^[2]

연속 시간 시스템 분석에서 라플라스 변환 전달 함수와 마찬가지로, Z 변환을 사용하면 시스템을 더 쉽게 분석하고 시스템의 동작에 대한 통찰력을 얻을 수 있다.^[2]

3. 연속 시간 시스템과 이산 시간 시스템

LTI 시스템은 시간 영역에 따라 연속 시간 시스템과 이산 시간 시스템으로 구분할 수 있다. 연속 시간 시스템은 연속적인 시간에서 신호를 처리하며, 이산 시간 시스템은 이산적인 시간(샘플)에서 신호를 처리한다.

연속 시간 시스템에 대응하는 거의 모든 개념은 이산 시간 시스템에도 존재한다.^[1] 이산 시간 시스템은 더 큰 연속 시간 시스템의 일부로 구성되는 경우가 많다. 예를 들어, 디지털 녹음 시스템은 아날로그 소리를 입력받아 디지털화하고, 필요에 따라 디지털 신호를 처리한 후, 다시 아날로그 소리로 변환하여 사람이 들을 수 있도록 재생한다.^[1]

실제 시스템에서 얻어지는 이산 시간 신호는 일반적으로 연속 시간 신호를 균일하게 표본화한 것이다. 연속 시간 신호 $x(t)$ 는 샘플링 회로와 아날로그-디지털 변환기를 거쳐 이산 시간 신호 $x_n \mathrel{\stackrel{\text{def}}{=}} x(nT)$ 로 변환된다. 여기서 ''T''는 샘플링 주기를 의미한다. 샘플링 전에는 입력 신호가 나이퀴스트 필터를 통과하여 "폴딩 주파수" 1/(2T) 이상의 주파수 성분을 제거하는데, 이는 필터링된 신호에서 정보 손실을 방지하기 위함이다. 필터링을 거치지 않으면 폴딩 주파수(또는 나이퀴스트 주파수) 이상의 주파수 성분은 앨리어싱되어 원래 신호를 왜곡한다.^[1]

3. 1. 연속 시간 시스템 (Continuous-Time Systems)

지수 함수

A e^{s t}

(여기서

A, s \in \mathbb{C}

)는 선형, 시불변 연산자의 고유함수이다. 입력이

x(t) = A e^{s t}

일 때, 임펄스 응답

h(t)

를 갖는 시스템의 출력은 합성곱의 교환 법칙에 의해 다음과 같이 표현된다.

:

\mathcal{H} f = A e^{s t} \int_{-\infty}^{\infty} h(\tau) \, e^{-s \tau} \, \mathrm{d} \tau = \overbrace{\underbrace{A e^{s t}}_{\text{Input}}}^{f} \overbrace{\underbrace{H(s)}_{\text{Scalar}}}^{\lambda}

여기서 스칼라

H(s) \mathrel{\stackrel{\text{def}}{=}} \int_{-\infty}^\infty h(t) e^{-s t} \, \mathrm{d} t

는 매개변수 ''s''에만 의존한다. 따라서 시스템의 응답은 입력의 스케일링된 버전이며,

A e^{s t}

는 LTI 시스템의 고유함수이고, 해당 고유값은

H(s)

이다.

LTI 연산자의 예시는 다음과 같다.

미분:
$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left( c_1 x_1(t) + c_2 x_2(t) \right) = c_1 x'_1(t) + c_2 x'_2(t)$ (선형)
$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} x(t-\tau) = x'(t-\tau)$ (시불변)
미분의 라플라스 변환은 라플라스 변수 ''s''와의 곱셈으로 변환된다: $\mathcal{L}\left\{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}x(t)\right\} = s X(s)$

평균 연산자:
$\mathcal{A}\left\{x(t)\right\} \mathrel{\stackrel{\text{def}}{=}} \int_{t-a}^{t+a} x(\lambda) \, \mathrm{d} \lambda$
적분의 선형성에 의해 선형이다.
시불변이다.
박스카 함수 $\Pi(t)$ 와의 컨볼루션으로 표현 가능하다.

시간을 독립 변수로 하는 시스템에서 임펄스 응답은 2차원 함수로 표현될 수 있지만, 시간 불변성에 의해 1차원으로 환원될 수 있다. 입력 신호

x(t)

에 대한 선형 작용소

\mathcal{H}

는 중첩 적분으로 표현되는 선형 사상이 된다.

:

y(t_1) = \int_{-\infty}^{\infty} h(t_1, t_2) \, x(t_2) \, d t_2

선형 작용소

\mathcal{H}

가 시간 불변이면,

h(t_1, t_2) = h(t_1 - t_2, 0)

이 되고, 이는 컨볼루션 적분으로 표현된다.

:

y(t_1) = \int_{-\infty}^{\infty} h(t_1 - t_2) \, x(t_2) \, d t_2 = (h * x) (t_1)

디랙 델타 함수를 입력했을 때, LTI 변환의 결과는 임펄스 응답이 된다.

:

(h * \delta)(t) = \int_{-\infty}^{\infty} h(t - \tau) \, \delta (\tau) \, d \tau = h(t)

임펄스 응답

h(t)

를 사용하면 임의의 입력에 대한 응답을 구할 수 있으며, 시스템에 관한 모든 정보는 임펄스 응답에 포함되어 있다.

지수 함수가 고유 함수라는 성질은 LTI 시스템 해석에 유용하다. 라플라스 변환

:

H(s) = \mathcal{L}\{h(t)\} = \int_{-\infty}^\infty h(t) e^{-s t} d t

을 사용하면 임펄스 응답으로부터 고유값을 얻을 수 있다. 푸리에 변환

H(j \omega) = \mathcal{F}\{h(t)\}

에 의해 순수 복소 정현파의 고유값을 구할 수 있다.

H(s)

와

H(j\omega)

는 모두 '''시스템 함수''', '''시스템 응답''', '''전달 함수''' 등으로 불린다.

라플라스 변환은 ''t''가 어떤 값보다 작을 때 신호가 0이 되는 신호에 사용되며, 푸리에 변환은 무한히 이어지는 신호를 처리하는 시스템 해석에 사용된다. 이러한 변환은 컨벌루션 속성이 있어 시스템 출력을 주는 컨벌루션을 개별적으로 변환한 후 곱을 구하는 형태로 변환할 수 있다.

:

y(t) = (h*x)(t) = \int_{-\infty}^\infty h(t - \tau) x(\tau) d \tau = \mathcal{L}^{-1}\{H(s)X(s)\}

3. 2. 이산 시간 시스템 (Discrete-Time Systems)

이산 시간 시스템은 이산적인 시간(샘플)에 대한 입력 및 출력 신호를 처리하는 시스템이다. 디지털 필터, 디지털 신호 처리 시스템 등이 이산 시간 LTI 시스템의 예시이다. 이산 시간 LTI 시스템은 차분 방정식으로 모델링될 수 있다.^[1] 많은 경우, 이산 시간 시스템은 연속 시간 시스템을 샘플링하여 얻어진다.^[1]

연속 시간 시스템의 거의 모든 것은 이산 시간 시스템에도 상응하는 것이 존재한다.^[1] 이산 시간(DT) 시스템은 실제로 더 큰 연속 시간(CT) 시스템의 일부인 경우가 많다. 예를 들어, 디지털 녹음 시스템은 아날로그 사운드를 받아 디지털화하고, 디지털 신호를 처리한 다음, 사람들이 들을 수 있도록 아날로그 사운드를 재생한다.^[1]

실제 시스템에서 얻은 DT 신호는 일반적으로 CT 신호의 균일하게 샘플링된 버전이다. 만약

x(t)

가 CT 신호라면, 샘플링 회로가 아날로그-디지털 변환기 전에 사용되어 이를 DT 신호로 변환한다.^[1]

x_n \mathrel{\stackrel{\text{def}}{=}} x(nT) \qquad \forall \, n \in \mathbb{Z},

여기서 ''T''는 샘플링 주기이다. 샘플링 전에, 입력 신호는 일반적으로 "폴딩 주파수" 1/(2T) 이상인 주파수를 제거하는 소위 나이퀴스트 필터를 거친다. 이는 필터링된 신호에서 어떠한 정보도 손실되지 않도록 보장한다. 필터링 없이, 폴딩 주파수(또는 나이퀴스트 주파수) ''이상''의 모든 주파수 성분은 DT 신호가 폴딩 주파수보다 낮은 주파수 성분만 지원할 수 있기 때문에 다른 주파수로 앨리어싱되어(따라서 원래 신호를 왜곡) 나타난다.^[1]

이산 시간 입력 신호

x[n]

에 대해 이산 시간 출력 신호

y[n]

을 반환하는 이산 시간 LTI 시스템

\mathcal{H}

에 관해서는, 연속 시간 LTI 시스템에 관한 거의 모든 사항이 대응된다.^[1]

DT 시스템은 더 큰 CT 시스템의 일부가 되는 경우가 대부분이다. 예를 들어, 디지털 녹음 시스템은 아날로그 음향을 입력으로 하여, 이를 디지털화하고, 필요에 따라 디지털 신호를 처리하며, 최종적으로 재생하여 인간이 들을 수 있도록 아날로그로 되돌린다.^[1]

형식적으로, 연구되는 DT 신호의 대부분은 CT 신호를 일정 간격으로 표본화한 것이다. CT 신호를

x(t)

라고 할 때, 아날로그-디지털 변환 회로에 의해 DT 신호

x[n]

으로 다음과 같이 변환된다.^[1]

x[n] = x(nT)

여기서 ''T''는 표본화 간격이다. DT 신호가 원래 신호를 정확하게 표현하기 위해서는 입력 신호의 주파수 범위를 제한하는 것이 매우 중요하다. 표본화 정리에 따르면, DT 신호는

1/(2T)

까지의 범위의 주파수만 다룰 수 있다. 그렇지 않으면, 고주파 성분이 해당 범위에 앨리어싱으로 나타난다.^[1]

4. 시스템 속성

시스템의 중요한 특성으로는 인과성과 안정성이 있다.

인과성: 인과성은 독립 변수가 시간인 물리적 시스템에 필수적이지만, 이미지 처리와 같은 다른 경우에는 제약 조건이 없을 수 있다.
안정성: 불안정한 시스템도 분석하고 구축할 수 있지만, 전체 전달 함수가 안정적인 더 큰 시스템의 일부로만 유용하다.

시간을 독립 변수로 하는 시스템을 가정하고, 임펄스 응답이 2차원 함수인 시스템을 고려하면, 시간 불변성에 의해 1차원으로 줄일 수 있다. 입력 신호

x(t)

(

t \in \mathbb{R}

)에 대한 선형 작용소

\mathcal{H}

는 2차원 함수

h(t_1, t_2)

(

t_1, t_2 \in \mathbb{R}

)로 표현된다.

선형성으로 인해 시스템의 동작은 중첩 적분으로 표현되는 선형 사상이 된다:

y(t_1) = \int_{-\infty}^{\infty} h(t_1, t_2) \, x(t_2) \, d t_2

\mathcal{H}

가 시간 불변이면,

h(t_1, t_2) = h(t_1 - t_2, 0)

이 되고, 이는 컨볼루션 적분으로 표현된다:

y(t_1) = \int_{-\infty}^{\infty} h(t_1 - t_2) \, x(t_2) \, d t_2 = (h * x) (t_1)

디랙 델타 함수를 입력하면 LTI 변환의 결과는 임펄스 응답이 된다:

(h * \delta)(t) = \int_{-\infty}^{\infty} h(t - \tau) \, \delta (\tau) \, d \tau = h(t)

임펄스 응답

h(t)

는 시스템의 모든 정보를 포함한다. 임의의 입력은 델타 함수 군의 중첩으로 표현 가능하며, 이를 통해 시스템의 응답을 구할 수 있다.

고유 함수는 연산자의 출력이 입력 함수에 스케일링을 가한 동일한 함수가 되는 입력 함수를 의미한다. 지수 함수

e^{s t}

(

s \in \mathbb{C}

)는 선형 시불변 연산자의 고유 함수이며, 라플라스 변환을 통해 임펄스 응답으로부터 고유값을 얻을 수 있다.

푸리에 변환은 무한히 이어지는 신호 처리에 사용되며, 컨벌루션 정리를 이용하여 시스템 출력을 개별 변환 후 곱으로 표현할 수 있다:

y(t) = (h*x)(t) = \int_{-\infty}^\infty h(t - \tau) x(\tau) d \tau = \mathcal{L}^{-1}\{H(s)X(s)\}

도함수와 평균화 연산자는 LTI 연산자의 예시이다.

이산 시간 시스템의 경우, 입력 신호

x[n]

(

n \in \mathbb{Z}

)에 대한 선형 작용소

\mathcal{H}

는 2차원 함수

h[n_1, n_2]

(

n_1, n_2 \in \mathbb{Z}

)로 표현된다. 선형성과 시간 불변성을 통해 합성곱 총합으로 표현된다:

y[n_1] = \sum_{n_2=-\infty}^{\infty} h[n_1 - n_2] \, x[n_2] = (h * x) [n_1]

지수 함수

z^n = e^{sT n}

(

n \in \mathbb{Z}

)는 선형 시불변 연산자의 고유 함수이며, Z 변환을 통해 임펄스 응답으로부터 고유값을 얻을 수 있다.

Z 변환은 일반적으로 ''t''가 특정 값보다 작을 때 신호가 0이 되는 신호에 사용되며, 푸리에 변환은 무한히 이어지는 신호 처리에 사용된다. 컨벌루션 정리를 이용하여 시스템 출력을 개별 변환 후 곱으로 표현할 수 있다:

y[n] = (h*x)[n] = \sum_{m=-\infty}^\infty h[n-m] x[m] = \mathcal{Z}^{-1}\{H(s)X(s)\}

지연 연산자와 평균화 연산자는 이산 시간 LTI 연산자의 예시이다.

연속 시간 시스템과 달리, 인과성이 없는 이산 시간 시스템도 구현 가능하다. 비인과성 FIR 시스템에 지연을 추가하여 인과성을 갖게 할 수 있다.

4. 1. 인과성 (Causality)

시스템의 출력이 현재 및 과거의 입력에만 의존하고 미래의 입력에는 의존하지 않는 경우 해당 시스템은 인과적이다. 인과성은 물리적 시스템의 필수적인 속성이다. 인과적 LTI 시스템의 임펄스 응답은 연속 시간에서는

t < 0

에서 0이고, 이산 시간에서는

n < 0

에서 0이다.^[5]

인과성의 필요충분 조건은 다음과 같다.

연속 시간:

:

h(t) = 0 \quad \forall t < 0,

이산 시간:

:

h[n] = 0 \ \forall n < 0,

여기서

h(t)

는 연속 시간 시스템의 임펄스 응답이고,

h[n]

은 이산 시간 시스템의 임펄스 응답이다.

일반적으로 양측 라플라스 변환으로부터 인과성을 결정하는 것은 불가능하지만, 시간 영역에서 작업할 때 일반적으로 인과성을 필요로 하는 단측 라플라스 변환을 사용한다. 이산 시간 시스템의 경우, 역변환이 고유하지 않기 때문에 Z 변환으로부터 인과성을 일반적으로 결정하는 것은 불가능하지만, 수렴 영역이 지정되면 인과성을 결정할 수 있다.

4. 2. 안정성 (Stability)

BIBO^영어 안정(Bounded-Input Bounded-Output Stability)은 시스템의 중요한 특성 중 하나이다. 안정적인 시스템은 모든 유계 입력에 대해 유한한 출력을 생성한다.

연속 시간 LTI 시스템의 경우, 주파수 영역에서 안정성은 전달 함수의 모든 극점(pole)이 복소 평면의 좌반면에 위치해야 한다는 것을 의미한다. 이는 수렴 영역이 허수 축(

s = j\omega

)을 포함해야 함을 뜻한다.^[1] 라우스-후르비츠 안정 판별법을 사용하여 특성 다항식의 계수로부터 안정성을 판별할 수 있다.

이산 시간 LTI 시스템의 경우, 주파수 영역에서 안정성은 전달 함수의 모든 극점이 단위 원 안에 위치해야 한다는 것을 의미한다. 즉, 수렴 영역이 단위 원(

|z| = 1

)을 포함해야 한다.^[2] 줄리 안정성 판별법을 사용하여 특성 다항식의 계수로부터 안정성을 판별할 수 있다.

예를 들어, 임펄스 응답이 싱크 함수와 같은 이상적인 저역 통과 필터는 BIBO 안정하지 않다. 싱크 함수는 유한한 L¹ 노름을 갖지 않기 때문이다. 따라서, 특정 유계 입력에 대해 이상적인 저역 통과 필터의 출력은 무한대가 될 수 있다.^[3]

5. 응용 분야

LTI 시스템 이론은 전기 회로, 신호 처리, 제어 이론 등 다양한 공학 및 과학 분야에서 널리 응용된다.

참조

_[1] 서적 MIMO Signals and Systems Springer
_[2] 서적
_[3] 문서 Welcome!
_[4] 문서 Exercises
_[5] 서적

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