섭동 이론 (양자역학)

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1. 개요
2. 시간 무관 섭동 이론 (레일리-슈뢰딩거 섭동 이론)
- 2.1. 낮은 차수에서의 계산
- 2.2. 겹침이 있는 경우
3. 시간 의존 섭동 이론
- 3.1. 다이슨 급수
- 3.2. 페르미 황금률
4. 섭동 이론의 적용과 한계
- 4.1. 섭동 이론의 적용
- 4.2. 섭동 이론의 한계
참조

1. 개요

섭동 이론은 양자역학에서 해밀토니안에 작은 변화(섭동)가 가해졌을 때, 원래 시스템의 에너지 준위와 파동 함수가 어떻게 변화하는지 근사적으로 계산하는 방법이다. 시간 무관 섭동 이론은 섭동항이 시간에 의존하지 않는 경우를 다루며, 레일리-슈뢰딩거 섭동 이론이라고도 불린다. 시간 의존 섭동 이론은 섭동항이 시간에 의존하는 경우에 사용되며, 다이슨 전개를 통해 시간 변화 연산자를 계산한다. 섭동 이론은 슈타르크 효과, 양자 조화 진동자, 양자 전기역학 등 다양한 양자계에 적용되며, 페르미 황금률과 같은 중요한 결과를 도출한다. 그러나 섭동항이 너무 크거나, 결합 상태, 솔리톤과 같은 집단 현상을 설명하는 데는 한계가 있다.

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섭동 이론 (양자역학)
개요
분야	양자역학
하위 분야	수학 물리학
유형	근사법
개발
개발자	에르빈 슈뢰딩거 막스 보른 베르너 하이젠베르크 파스쿠알 요르단 폴 디랙 에리크 홀트헨스 칼 윌리엄 울 그레고르 벤츨
상세 정보
섭동	작은 변화 또는 수정
해밀토니안	양자 시스템의 총 에너지 연산자
고유값	연산자의 특정 상태에 대한 가능한 측정값
고유상태	연산자가 작용할 때 그 모양이 변하지 않는 상태
축퇴	둘 이상의 선형 독립적인 고유상태가 동일한 고유값을 가짐
시간 독립 섭동 이론	해밀토니안이 시간에 따라 변하지 않는 경우
시간 의존 섭동 이론	해밀토니안이 시간에 따라 변하는 경우
페르미의 황금률	하나의 고유상태에서 다른 고유상태로의 전이율을 계산하는 공식
디랙의 시간 의존 섭동 이론	시간에 따라 변하는 섭동에 대한 양자 시스템의 진화를 다룸
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레일리-슈뢰딩거 섭동 이론	시간 독립적인 섭동 이론의 한 형태
윅의 정리	양자장론에서 연산자의 시간 순서가 있는 곱을 정규 순서가 있는 곱으로 표현하는 데 사용되는 정리
다체 섭동 이론	상호 작용하는 여러 입자를 포함하는 시스템에 섭동 이론을 적용
관련 주제
관련 항목	양자역학 양자장론 근사법 변분법 수학 물리학

2. 시간 무관 섭동 이론 (레일리-슈뢰딩거 섭동 이론)

시간 무관 섭동 이론은 존 윌리엄 스트럿 레일리가 고전역학에서 다룬 섭동 이론^[18]을 바탕으로 에르빈 슈뢰딩거가 1926년에 도입하였으며^[19], 섭동항이 시간에 의존하지 않는 경우를 다룬다. 레일리-슈뢰딩거 섭동 이론이라고도 불린다. 이 이론은 비섭동 해밀토니안의 고유 상태와 에너지 준위를 알고 있을 때, 섭동된 해밀토니안의 고유 상태와 에너지 준위를 섭동항의 멱급수로 전개하여 근사적으로 계산한다.

해밀토니언 $H$ 가 다음과 같이 주어져 있고,

: $H = H_0 + \lambda H_1 \;, \quad |\lambda| \ll 1$

H₀에 대한 완비적인 파동함수를 알 때, H에 대한 슈뢰딩거 방정식의 해를 근사적으로 구한다. 여기서 H₀를 해밀토니언의 비섭동항(非攝動項, unperturbed term^영어), H₁을 섭동항(攝動項, perturbing term^영어)이라 한다.

비섭동 해밀토니언 H₀의 에너지 고유 상태를 $|\psi_n^{(0)}\rangle$ , 이에 대응되는 에너지 준위를 $E_n^{(0)}$ 이라고 하면,

: $H_0 | \psi_n^{(0)} \rangle = E_n^{(0)} | \psi_n^{(0)} \rangle$ .

로 나타낼 수 있다. 이 비섭동 고유 기저는 정규화되어 있으며,

: $\langle\psi_m^{(0)}|\psi_n^{(0)}\rangle=\delta_{mn}$ .

여기서 $\delta_{mn}$ 은 크로네커 델타이다.

시간 무관 섭동 이론의 목표는 해밀토니언에 섭동항 $\lambda H_1$ 을 더했을 때, 섭동된 해밀토니언 $H=H_0+\lambda H_1$ 의 에너지 고유 상태 $|\psi_n(\lambda)\rangle$ 와 에너지 준위 $E_n(\lambda)$ 을 구하는 것이다. 즉 다음식을 계산하는 것이다.

: $\left( H_0 +\lambda H_1 \right) | \psi_n \rangle = E_n | \psi_n \rangle$

비섭동 에너지 고유 상태 $|\psi_n^{(0)}\rangle$ 는 힐베르트 공간의 완비 기저를 이루므로, 섭동된 에너지 고유 상태 $|\psi_n\rangle$ 를 비섭동 에너지 고유 상태 $|\psi_n^{(0)}\rangle$ 의 선형결합으로 나타낼 수 있다.

: $| \psi_n(\lambda)\rangle = \sum_k| \psi_k^{(0)} \rangle\langle\psi_k^{(0)}|\psi_n(\lambda)\rangle$ .

상태 벡터는 임의의 상수를 곱해도 같은 상태를 나타내므로, 편의상 $\langle\psi_k^{(0)}|\psi_n(\lambda)\rangle=1$ 로 놓는다.

섭동항이 매우 작다고 가정하면 ( $\lambda\ll1$ ), 섭동된 에너지 준위 $E_n(\lambda)$ 과 섭동된 에너지 고유 상태 $|\psi_n(\lambda)\rangle$ 를 $\lambda$ 에 대한 테일러 급수로 전개할 수 있다.

: $E_n(\lambda) = \sum_{i=0}^\infty \lambda^i E_n^{(i)} = E_n^{(0)} + \lambda E_n^{(1)} + \lambda^2 E_n^{(2)} + \cdots$

: $|\psi_n(\lambda)\rangle = \sum_{i=0}^\infty \lambda^i|\psi_n^{(i)}\rangle = |\psi_n^{(0)}\rangle+\lambda|\psi_n^{(1)}\rangle +\lambda^2|\psi_n^{(2)}\rangle + \cdots$ .

여기서 $|\psi_n^{(i)}\rangle$ 와 $E_n^{(i)}$ 는 구하고자 하는 테일러 계수이며, $\langle\psi_n^{(0)}|\psi_n\rangle=1$ 로 놓았으므로, 다음이 성립한다.

: $\langle\psi_n^{(0)}|\psi_n^{(i)}\rangle=0$ ( $i>0$ ).

이 테일러 급수 전개를 섭동된 시간 무관 슈뢰딩거 방정식에 대입하면 다음을 얻는다.

: $( H_0+\lambda H_1)\sum_{i=0}^\infty \lambda^i|\psi_n^{(i)}\rangle=\left( \sum_{i=0}^\infty \lambda^i E_n^{(i)} \right)\sum_{i=0}^\infty \lambda^i|\psi_n^{(i)}\rangle$ .

섭동된 에너지 준위와 고유 상태를 구하는 방법은 "낮은 차수에서의 계산"과 "겹침이 있는 경우" 절에 자세히 설명되어있다.

섭동 이론은 실제 양자계의 묘사를 위한 중요한 도구인데, 이는 어느 정도 복잡한 해밀토니안에 대한 슈뢰딩거 방정식의 정확한 해를 구하는 것은 매우 어렵기 때문이다.

2. 1. 낮은 차수에서의 계산

1차 섭동에서 에너지 보정은 섭동항의 기댓값으로 주어지며, 고유 상태 보정은 비섭동 고유 상태들의 선형 결합으로 표현된다. 2차 섭동에서는 에너지 보정이 섭동항의 제곱에 비례하며, 고유 상태 보정은 더욱 복잡한 형태를 갖는다.

테일러 급수 전개의 1차 항은 다음과 같다.

:

E_n^{(1)}=\langle\psi_n^{(0)}|H_1|\psi_n^{(0)}\rangle

:

|\psi_n^{(1)}\rangle=-P_nH_1|\psi_n^{(0)}\rangle

:

\qquad=-\sum_{m\ne n}\frac1{E_m^{(0)}-E_n^{(0)}}|\psi_m^{(0)}\rangle\langle\psi_m^{(0)}|H_1|\psi_n^{(0)}\rangle

.

$E_n^{(1)}$ 은 1차 에너지 보정으로, 비섭동 상태 $|\psi_n^{(0)}\rangle$ 에서 섭동항 $H_1$ 의 기댓값이다.
$|\psi_n^{(1)}\rangle$ 은 1차 고유 상태 보정으로, 비섭동 고유 상태 $|\psi_m^{(0)}\rangle$ 들의 선형 결합으로 나타낼 수 있다. 각 항의 계수는 에너지 차이 $(E_m^{(0)}-E_n^{(0)})$ 에 반비례하고, 섭동항 $H_1$ 의 행렬 요소 $\langle\psi_m^{(0)}|H_1|\psi_n^{(0)}\rangle$ 에 비례한다.

테일러 급수 전개의 2차 항은 다음과 같다.

:

E_n^{(2)}=\langle\psi_n^{(0)}|H_1|\psi_n^{(1)}\rangle

:

|\psi_n^{(2)}\rangle=P_n\left(E_n^{(1)}|\psi_n^{(1)}\rangle-H_1|\psi_n^{(1)}\rangle\right)

:

\qquad=\sum_{m\ne n}\frac1{E_m-E_n}|\psi_m^{(0)}\rangle\langle\psi_m^{(0)}|\left(E_n^{(1)}|\psi_n^{(1)}\rangle-H_1|\psi_n^{(1)}\rangle\right)

.

$E_n^{(2)}$ 는 2차 에너지 보정으로, 1차 고유 상태 보정 $|\psi_n^{(1)}\rangle$ 과 섭동항 $H_1$ 의 곱으로 표현된다.
$|\psi_n^{(2)}\rangle$ 는 2차 고유 상태 보정으로, 1차 에너지 보정과 1차 고유 상태 보정, 그리고 섭동항과 1차 고유 상태 보정의 곱으로 구성된다.

2. 2. 겹침이 있는 경우

에너지 준위에 겹침이 있는 경우, 섭동 이론을 적용하기 전에 겹침이 있는 고유 상태들을 적절히 선형 결합하여 섭동항에 대해 대각화해야 한다.

원래 해밀토니안(

\hat H_0

)이 겹침(축퇴)이 있는 에너지 준위를 가진 경우, 섭동 이론을 적용하기 위해서는 특별한 고려가 필요하다. 겹침이 있다는 것은 서로 다른 상태들이 동일한 에너지를 갖는다는 것을 의미한다.
문제점:겹침이 있는 경우, 섭동 이론의 일반적인 공식에서 분모에

E_m^{(0)} - E_n^{(0)}

항이 나타나는데,

E_m^{(0)} = E_n^{(0)}

이면 이 항이 0이 되어 발산하게 된다. 따라서 일반적인 섭동 이론 공식을 그대로 적용할 수 없다.
해결 방법:1. 겹침 부분 공간 설정: 겹침이 있는 에너지 준위에 해당하는 고유 상태들을 모아 부분 공간(겹침 부분 공간)을 정의한다.

2. 섭동항 대각화: 이 부분 공간 내에서 섭동항(

\lambda \hat V

)을 대각화하는 새로운 기저를 찾는다. 즉, 다음을 만족하는 기저

|\psi^{(0)}_{nk}\rangle

를 찾는다.

$\langle\psi^{(0)}_{nl} | \hat V | \psi^{(0)}_{nk}\rangle = V_{nl,nk} \delta_{lk}$ (여기서 $\delta_{lk}$ 는 크로네커 델타)

3. 새로운 기저 사용: 이 새로운 기저를 사용하여 섭동 이론을 전개한다. 겹침이 없는 경우와 유사하게 섭동된 에너지와 고유 상태를 계산할 수 있다.
1차 섭동 에너지:새로운 기저에서 1차 섭동 에너지는 다음과 같이 주어진다.

:

E^{(1)}_{nk} = V_{nk,nk} = \langle\psi^{(0)}_{nk} | \hat V | \psi^{(0)}_{nk}\rangle

즉, 섭동항의 대각 행렬 요소가 1차 섭동 에너지가 된다.
2차 섭동 에너지:2차 섭동 에너지는 다음과 같이 주어진다.

:

E_{nk}=E_n^{0}+\lambda V_{nk,nk}+\lambda^2\sum\limits_{m\ne n}\frac{\left|V_{m,nk}\right|^2}{E_n^{(0)}-E_m^{(0)}}+\mathcal O(\lambda^3)\,,

1차 섭동 상태:1차 섭동 상태는 다음과 같이 주어진다.

:

\left|\psi_{nk}\right\rangle =\left|\psi^{(0)}_{nk}\right\rangle+\lambda\sum\limits_{m\ne n}\frac{V_{m,nk}}{E^{(0)}_m-E^{(0)}_n}\left(

\left|\psi^{(0)}_m\right\rangle

+\sum\limits_{l\ne k}\frac{V_{nl,m}}{E^{(1)}_{nl}-E^{(1)}_{nk}}\left|\psi^{(0)}_{nl}\right\rangle\right)+\mathcal O(\lambda^2) \, .
핵심:겹침이 있는 경우, 섭동 이론을 적용하기 전에 겹침이 있는 상태들을 적절히 선형 결합하여 섭동항에 대해 대각화해야 한다. 이렇게 하면 섭동 이론의 발산 문제를 해결하고, 섭동된 에너지와 고유 상태를 올바르게 계산할 수 있다.

3. 시간 의존 섭동 이론

시간 의존 섭동 이론은 비섭동 해밀토니언 $H_0$ 는 시간에 의존하지 않지만, 섭동항 $\lambda H_1(t)$ 가 시간 $t$ 에 직접적으로 의존하는 경우를 다룬다. 이런 경우에는 보통 상호작용 묘사에서 다이슨 전개를 사용한다. 이는 프리먼 다이슨이 양자 전기역학을 다루기 위해 도입하였다.^[20]

상호작용 묘사란 상태 벡터는 $\lambda H_1$ 을 따라 변화하고, 연산자는 $H_0$ 을 따라 변화하는 묘사이다. 슈뢰딩거 묘사와 하이젠베르크 묘사의 중간으로 볼 수 있다.

시간 의존 섭동 이론은 폴 디랙에 의해 시작되어 존 아치볼드 휠러, 리처드 파인만, 프리먼 다이슨에 의해 더 발전되었으며,^[12] 시간 의존적인 섭동이 시간 독립적인 해밀토니안에 가해지는 효과를 연구한다.^[13] 시간 의존 섭동된 해밀토니안은 시간에 의존하므로, 에너지 준위와 고유 상태도 시간에 의존한다.

디랙의 시간 의존 섭동 이론에서 섭동되지 않은 시스템에 대한 에너지 기저 ${|n\rangle}$ 를 선택하고, 섭동되지 않은 시스템이 시간 = 0에서 해밀토니안의 고유 상태 $|j\rangle$ 인 경우, 이후 시간에서의 상태는 슈뢰딩거 묘사(상태 벡터가 시간에 따라 진화하고 연산자가 일정한)에서 단지 위상에 의해서만 변화한다.

: $|j(t)\rang = e^{-iE_j t /\hbar} |j\rang ~.$

시간 의존적인 섭동 해밀토니안을 도입하면. 섭동된 시스템의 해밀토니안은

: $H = H_0 + V(t) ~.$

$|\psi(t)\rang$ 를 시간 에서의 섭동된 시스템의 양자 상태라고 하면, 이는 시간 의존 슈뢰딩거 방정식을 따른다.

: $H |\psi(t)\rang = i\hbar \frac{\partial}{\partial t} |\psi(t)\rang ~.$

각 순간의 양자 상태는 $|n\rang$ 의 완전한 고유 기저의 선형 결합으로 표현될 수 있다. 여기서 $c_n(t)$ 는 진폭이라고 부르는 복소수 함수이다. 절대 진폭 $\left|c_n(t)\right|^2$ 의 제곱은 시스템이 시간 $t$ 에 상태 $n$ 에 있을 확률이다.

: $\left|c_n(t)\right|^2 = \left|\lang n|\psi(t)\rang\right|^2 ~.$

시간 의존 섭동 이론은 다양한 현상에 대한 정량적 설명에 사용되는 유용한 도구이며,^[12] 예를 들어 다음과 같다.

현상
양성자-양성자 산란
물질의 광이온화
도체의 격자 결함에 의한 전자의 산란
핵에 의한 중성자 산란
물질의 전기 감수율
핵 반응로의 중성자 흡수 단면적

3. 1. 다이슨 급수

'''다이슨 급수'''(Dyson series^영어)는 상호작용 묘사에서 시간 변화 연산자를

\lambda

에 대한 다항식으로 전개한 것이다. 프리먼 다이슨이 양자 전기역학을 다루기 위해 도입하였다.^[20]

시각

t_0

의 상태를 시각

t

의 상태로 바꾸는 시간 변화 연산자

U(t,t_0)

는 다음과 같이 시간 순서 행렬 지수(time-ordered matrix exponential^영어)로 나타낼 수 있는데, 이것이 다이슨 전개다.

:

U(t,t_0)=\mathcal T\left[\exp\int_{t_0}^t(-i\lambda/\hbar)H_1(s)\,ds\right]

::

=1+(-i\lambda/\hbar)\int_{t_0}^tH_1(t_1)\,dt_1+(-i\lambda/\hbar)^2\int_{t_1}^t\int_{t_0}^tH_1(t_2)H_1(t_1)\,dt_1\,dt_2+(-i\lambda/\hbar)^3\int_{t_2}^t\int_{t_1}^t\int_{t_0}^tH_1(t_3)H_1(t_2)H_1(t_1)\,dt_1\,dt_2\,dt_3+\cdots

.

여기서

\mathcal T[\cdots]

는 '''시간 순서 기호'''(time-ordering symbol^영어)로, 연산자의 곱을 시간 순서에 따라 재배열한다. 만약

t_0 이면,

:

\mathcal T[A(t_3)A(t_0)A(t_1)A(t_2)]=A(t_3)A(t_2)A(t_1)A(t_0)

이다. 다이슨 급수를 통해 전이 확률 진폭 등을 계산할 수 있다.

3. 2. 페르미 황금률

페르미 황금률은 시간 의존 섭동 이론에서 유도되는 중요한 결과이다. 이 규칙은 특정 에너지에서의 상태 밀도와 양자 상태 간의 전이 속도를 관련시킨다.^[12]

4. 섭동 이론의 적용과 한계

대부분의 해밀토니언은 해석적인 해를 구하기 매우 어렵다. 하지만 섭동 이론을 이용하면, 이미 풀린 단순한 해밀토니언을 바탕으로 복잡한 해밀토니언의 에너지 준위와 에너지 고유 상태를 계산할 수 있다.

어떤 계의 해밀토니언이 $H$ 이고, 이 해밀토니언의 일부분 H₀에 대한 완비적인 파동함수를 알고 있으며, 이 둘의 차이가 작다고 가정하자. 그렇다면 이 둘의 차이에 대한 해밀토니언 λH₁이 H₀를 살짝 건드려(섭동하여) 슈뢰딩거 방정식의 해를 보정하는 것으로 생각할 수 있다. 여기서 H₀는 해밀토니언의 비섭동항(unperturbed term^영어), H₁은 섭동항(perturbing term^영어)이라고 한다.

간단히 말해, 해밀토니언 $H$ 가 다음과 같이 주어져 있고,

: $H = H_0 + \lambda H_1 \;, \quad |\lambda| \ll 1$

H₀에 대한 완비적인 파동함수를 알 때, H에 대한 슈뢰딩거 방정식의 해를 근사적으로 구하는 것이 섭동 이론이다.

섭동 이론은 슈뢰딩거 방정식이 시간에 의존하지 않는 경우와 시간에 의존하는 경우 두 종류가 있다. 따라서 크게 시간 무관 섭동 이론(time-independent perturbation theory^영어)와 시간 의존 섭동 이론(time-dependent perturbation theory^영어)으로 나뉜다.

섭동 이론은 실제 양자계의 묘사를 위한 중요한 도구인데, 이는 어느 정도 복잡한 해밀토니안에 대한 슈뢰딩거 방정식의 정확한 해를 구하는 것이 매우 어렵기 때문이다. 예를 들어 수소 원자, 양자 조화 진동자 및 상자 속 입자와 같이 정확한 해를 알고 있는 해밀토니안들은 대부분의 시스템을 적절하게 설명하기에는 너무 이상적이다. 하지만 섭동 이론을 사용하면 이러한 간단한 해밀토니언의 알려진 해를 사용하여 더 복잡한 다양한 시스템에 대한 해를 생성할 수 있다.

섭동 이론은 현재 문제가 정확하게 해결될 수 없지만, 정확히 해결 가능한 문제의 수학적 설명에 "작은" 항을 추가하여 공식화할 수 있는 경우 적용할 수 있다. 예를 들어, 섭동적인 전기 퍼텐셜을 수소 원자의 양자역학적 모델에 추가함으로써, 전기장의 존재로 인해 수소의 스펙트럼 선에서 발생하는 미세한 변화(스타크 효과)를 계산할 수 있다.

하지만 섭동 이론은 근사적인 방법이며, 몇 가지 한계를 가지고 있다. 섭동 이론에 의해 생성된 표현식은 정확하지 않지만, 팽창 매개변수가 매우 작을 때 정확한 결과를 도출할 수 있다. 일반적으로 결과는 멱급수 형태로 표현되며, 더 높은 차수까지 합산될 때 정확한 값으로 수렴하는 경향을 보인다. 그러나 특정 차수 이후에는 급수가 발산하여 결과가 점점 더 나빠질 수 있다. 이러한 발산 급수를 수렴 급수로 변환하는 방법이 있으며, 변분법을 통해 가장 효율적으로 큰 팽창 매개변수에 대해 평가할 수 있다. 실제로 수렴 섭동 전개는 종종 느리게 수렴하는 반면, 발산 섭동 전개는 때때로 낮은 차수에서 정확한 해와 비교하여 좋은 결과를 제공한다.^[1]

양자 전기역학(QED) 이론에서, 전자–광자 상호작용을 섭동적으로 처리하며, 전자의 자기 모멘트 계산이 실험과 소수점 11자리까지 일치하는 것으로 밝혀졌다.^[2] QED 및 기타 양자장론에서 파인만 다이어그램으로 알려진 특별한 계산 기술을 사용하여 멱급수 항을 체계적으로 합산한다.

4. 1. 섭동 이론의 적용

섭동 이론은 다양한 양자계에 적용될 수 있는 중요한 도구이다. 그 이유는 대부분의 복잡한 해밀토니언은 정확한 해를 구하기 매우 어렵기 때문이다. 섭동 이론을 통해, 이미 해를 알고 있는 간단한 해밀토니안에 "작은" 항을 추가하여 복잡한 시스템의 해를 근사적으로 계산할 수 있다.

몇 가지 구체적인 예시는 다음과 같다.

수소 원자의 스타크 효과: 수소 원자에 외부 전기장을 가하면 스펙트럼 선에 미세한 변화가 발생한다. 섭동 이론을 사용하여 이 변화를 계산할 수 있다.
양자 조화 진동자: 양자 조화 진동자에 사차항( $\lambda x^4$ )을 추가하면 에너지 준위가 변화한다. 섭동 이론을 통해 이 변화를 계산할 수 있다. 예를 들어, 바닥 상태 에너지의 1차 보정항은 다음과 같이 주어진다.

:

E_0^{(1)} = \frac{3}{4}\frac{\hbar^2 \lambda}{m^2 \omega^2}

.

양자-수학적 진자: 해밀토니안이 다음과 같이 주어지는 양자-수학적 진자를 생각해 보자.

:

H=-\frac{\hbar^2}{2 m a^2} \frac{\partial^2}{\partial \phi^2}-\lambda \cos \phi

:이 경우, 포텐셜 에너지

-\lambda \cos \phi

를 섭동항으로 사용하여 1차 및 2차 에너지 보정을 계산할 수 있다.

양자 전기역학(QED): 섭동 이론은 양자 전기역학(QED)에서도 중요한 역할을 한다. 전자의 자기 모멘트 계산은 섭동 이론을 통해 실험 결과와 소수점 11자리까지 일치하는 정밀한 결과를 얻을 수 있다.^[2] 파인만 다이어그램과 같은 특수한 계산 기술을 사용하여 멱급수 항을 체계적으로 계산한다.

이 외에도 섭동 이론은 라비 진동, 페르미 황금률, 뮤온 스핀 분광법, 섭동된 각 상관 관계 등 다양한 양자 현상을 설명하는 데 사용된다.

4. 2. 섭동 이론의 한계

섭동 이론은 섭동항이 충분히 작을 때만 유효하다. 예를 들어 양자 색역학에서 쿼크와 글루온 장의 상호작용은 낮은 에너지에서 섭동적으로 처리할 수 없는데, 이는 결합 상수가 너무 커서 보정이 작아야 한다는 조건을 만족하지 못하기 때문이다.^[1]

섭동 이론은 단열적으로 생성되지 않는 상태, 특히 결합 상태와 솔리톤과 같은 집단 현상을 설명하는 데 어려움이 있다. 예를 들어, 자유 입자 시스템에 매력적인 상호작용이 도입되면, 초전도 현상에서 포논 매개 유도 전도 전자 간의 인력으로 쿠퍼 쌍이 형성되는 것처럼, 완전히 새로운 고유 상태 집합이 만들어질 수 있다. 이러한 경우에는 변분법이나 WKB 근사와 같은 다른 근사 방법을 사용해야 한다.

섭동 이론의 계산은 고차항으로 갈수록 복잡해지며, 발산 급수가 나타날 수도 있다.^[1]

참조

_[1] 논문 Large orders and summability of eigenvalue perturbation theory: A mathematical overview
_[2] 논문 Tenth-order QED lepton anomalous magnetic moment: Eighth-order vertices containing a second-order vacuum polarization
_[3] 논문 Density functional theory across chemistry, physics and biology 2014-02-10
_[4] 논문 Quantisierung als Eigenwertproblem
_[5] 서적 Theory of Sound Macmillan
_[6] 논문 Aspects of perturbation theory in quantum mechanics: The BenderWuMathematica® package 2018-07-01
_[7] 서적 Modern Quantum Mechanics Addison Wesley
_[8] 서적 Quantum Mechanics: Non-relativistic Theory Pergamon Press
_[9] 논문 Hamiltonian truncation in Anti-de Sitter spacetime 2021
_[10] 서적 Symmetry and Strain-induced Effects in Semiconductors Wiley
_[11] 논문 General Theory of Effective Hamiltonians https://www.academia[...]
_[12] 간행물 Time-Dependent Perturbations in Quantum Mechanics https://doi.org/10.1[...] Springer International Publishing 2023-10-24
_[13] 서적 Quantum Mechanics North Holland, John Wiley & Sons
_[13] 서적 Modern Quantum Mechanics Addison-Wesley
_[14] 논문 Duality in Perturbation Theory and the Quantum Adiabatic Approximation
_[15] 논문 Quantum adiabatic approximation and the geometric phase
_[16] 논문 A strongly perturbed quantum system is a semiclassical system
_[17] 서적 Quantum Mechanics; Non-relativistic Theory Pergamon Press
_[18] 서적 The Theory of Sound Macmillan
_[19] 저널 Quantisierung als Eigenwertproblem
_[20] 저널 The $S$ matrix in quantum electrodynamics

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