시공간 대수

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요

시공간 대수(STA)는 시간꼴 벡터와 세 개의 공간꼴 벡터를 기반으로 구축된 기하 대수의 한 유형이다. STA는 디랙 행렬과 유사한 속성을 가지며, 스칼라, 벡터, 이중 벡터, 유사 벡터 및 유사 스칼라를 포함하는 기저를 생성한다. STA는 기하 대수에서의 곱셈 규칙을 따르며, 벡터 곱, 내적, 외적과 같은 연산을 정의한다. STA는 파울리 대수의 짝수 부분 대수를 형성하며, 로렌츠 변환 및 기타 변환을 통해 기하학적 객체를 변환하는 데 사용된다. STA는 비상대론적 물리학에서 파울리 입자를 설명하고, 상대론적 물리학에서 디랙 입자와 전자기학을 표현하는 데 활용된다. 또한, 일반 상대성 이론의 새로운 공식화인 게이지 이론 중력(GTG)에도 적용된다.

더 읽어볼만한 페이지

클리퍼드 대수 - 트위스터 이론
트위스터 이론은 3+1차원 시공간을 4차원 트위스터 공간으로 사상하며, 양자 중력 이론 연구에 기여하고 양-밀스 이론 및 아인슈타인 방정식 해를 구성하는 데 사용되며 끈 이론과의 통합을 시도하는 등 다양한 연구가 진행되고 있다.
클리퍼드 대수 - 점대칭
점대칭은 유클리드 공간에서 한 점을 기준으로 다른 점을 대칭시키는 기하학적 변환으로, 분자 구조 및 결정학에서 물질의 특성에 영향을 미친다.
민코프스키 시공간 - 세계선
세계선은 시공간에서 물체의 경로를 나타내는 개념으로, 물체의 역사와 궤적을 시각적으로 보여주며 다양한 물리 이론과 철학적 논쟁에서 중요한 역할을 한다.
민코프스키 시공간 - 고유 시간
고유 시간은 시공간에서 물체가 실제로 경험하는 시간 간격으로, 세계선을 따라 적분한 값으로 계산되며 로렌츠 변환에 대해 불변하는 양으로, 상대성 이론에서 시간 간격을 정의하고 쌍둥이 역설과 같은 상대론적 효과를 설명하는 데 사용된다.
수리물리학 - 라플라스 변환
라플라스 변환은 함수 f(t)를 복소수 s를 사용하여 적분을 통해 다른 함수 F(s)로 변환하는 적분 변환이며, 선형성을 가지고 미분방정식 풀이 등 공학 분야에서 널리 사용된다.
수리물리학 - 불확정성 원리
불확정성 원리는 1927년 베르너 하이젠베르크가 발표한 양자역학의 기본 원리로, 입자의 위치와 운동량 등 짝을 이루는 물리량들을 동시에 정확하게 측정하는 것이 불가능하며, 두 물리량의 불확정성은 플랑크 상수에 의해 제한된다.

시공간 대수
개요
분야	수학, 물리학
하위 분야	기하학적 대수
유형	클리포드 대수
역사
창시자	윌리엄 킹던 클리포드
개발자	데이비드 헤스테네스 앤서니 라스앤비 크리스 도란
수학적 세부 사항
기본 공간	민코프스키 공간
대수 구조	기하학적 대수 G(M4)
응용 분야	상대성 이론 양자 역학
관련 개념
관련 항목	클리포드 대수 기하학적 대수 파울리 대수 디랙 대수 바일 대수

2. 구조

시공간 대수(STA)는 시간꼴 벡터 $\gamma_0$ 와 세 개의 공간꼴 벡터 $\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3$ 이 이루는 직교 기저와 이들 사이의 곱셈 규칙으로 구축된다. 이 곱셈 규칙은 민코프스키 계량을 따르며, 디랙 행렬과 유사한 성질을 갖는다. 하지만 STA에서는 행렬 표현이 필수는 아니다.

임의의 STA 벡터 쌍 $a,b$ 에 대해, 벡터(기하) 곱 $ab$ , 내적(점) 곱 $a \cdot b$ 및 외적(외적, 쐐기) 곱 $a \wedge b$ 가 존재하며, 벡터 곱은 내적과 외적의 합으로 표현된다.

: $a \cdot b = \frac{ab +ba}{2} = b \cdot a, \quad a \wedge b= \frac{ab-ba}{2} = - b \wedge a, \quad ab = a \cdot b + a \wedge b$

내적은 실수(스칼라)를, 외적은 이중 벡터를 생성한다. 두 벡터의 내적이 0이면 직교하고, 외적이 0이면 평행하다.

기저 벡터들의 곱은 하나의 스칼라 $\{1\}$ , 네 개의 벡터 $\{\gamma_{0}, \gamma_{1}, \gamma_{2}, \gamma_{3}\}$ , 여섯 개의 이중 벡터 $\{\gamma_{0}\gamma_{1}, \, \gamma_{0}\gamma_{2},\, \gamma_{0}\gamma_{3}, \, \gamma_{1}\gamma_{2}, \, \gamma_{2}\gamma_{3}, \, \gamma_{3}\gamma_{1}\}$ , 네 개의 유사 벡터(삼중 벡터) $\{I\gamma_{0}, I\gamma_{1}, I\gamma_{2}, I\gamma_{3}\}$ , 그리고 하나의 유사 스칼라 $\{I\}$ 를 포함하는 텐서 기저를 생성한다. 여기서 $I=\gamma_{0} \gamma_{1} \gamma_{2} \gamma_{3}$ 이며, 유사 스칼라는 모든 짝수 차수 STA 요소와는 교환법칙이 성립하지만, 모든 홀수 차수 STA 요소와는 반교환법칙이 성립한다.

2. 1. 기저 벡터

STA는 하나의 시간꼴 기저 벡터(

\gamma_0

)와 세 개의 공간꼴 기저 벡터(

\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3

)를 가진다. 이들은 직교 기저를 이루며, 다음 곱셈 규칙을 따른다.

:

\gamma_\mu \gamma_\nu + \gamma_\nu \gamma_\mu = 2 \eta_{\mu \nu}

여기서

\eta_{\mu \nu}

는 부호수 (+ − − −)인 민코프스키 계량이다.

따라서,

\gamma_0^2 = {+1}

,

\gamma_1^2 = \gamma_2^2 = \gamma_3^2 = {-1}

이고, 그렇지 않으면

\gamma_\mu \gamma_\nu = - \gamma_\nu \gamma_\mu

이다.

이러한 기저 벡터

\gamma_k

의 성질은 디랙 행렬과 동일하지만, 시공간 대수에서 행렬 표현을 사용할 필요는 없다.

정규 직교 기저 벡터는 시간형 벡터

\gamma_{0}

와 3개의 공간형 벡터

\gamma_{1},\gamma_{2},\gamma_{3}

이다. 민코프스키 계량 텐서의 0이 아닌 항은 대각 항으로,

(\eta_{00}, \eta_{11}, \eta_{22}, \eta_{33})=(1, -1, -1, -1)

이다.

\mu , \nu = 0,1,2,3

에 대해 다음이 성립한다.

:

\gamma_{\mu} \cdot \gamma_{\nu} = \frac{\gamma_{\mu} \gamma_{\nu}+ \gamma_{\nu} \gamma_{\mu}}{2} = \eta_{\mu \nu}, \quad \gamma_{0} \cdot \gamma_{0}=1, \ \gamma_{1} \cdot \gamma_{1}=\gamma_{2} \cdot \gamma_{2}=\gamma_{3} \cdot \gamma_{3}=-1, \quad \text{ otherwise } \ \gamma_{\mu} \gamma_{\nu} = - \gamma_{\nu} \gamma_{\mu}

2. 2. 곱셈 규칙

기저 벡터 간의 곱셈은 민코프스키 계량을 따른다.

:

\gamma_\mu \gamma_\nu + \gamma_\nu \gamma_\mu = 2 \eta_{\mu \nu}

여기서

\eta_{\mu \nu}

는 부호수 (+ − − −)인 민코프스키 계량이다.

따라서,

\gamma_0^2 = {+1}

,

\gamma_1^2 = \gamma_2^2 = \gamma_3^2 = {-1}

이고, 그렇지 않으면

\gamma_\mu \gamma_\nu = - \gamma_\nu \gamma_\mu

이다.

이러한 성질은 디랙 행렬과 동일하지만, 시공간 대수에서 행렬 표현을 사용할 필요는 없다.

2. 3. 생성 기저

시공간 대수(STA)는 1개의 스칼라

1

, 4개의 벡터

\gamma_0, \gamma_1, \gamma_2, \gamma_3

, 6개의 쌍벡터

\gamma_0\gamma_1, \, \gamma_0\gamma_2,\, \gamma_0\gamma_3, \, \gamma_1\gamma_2, \, \gamma_2\gamma_3, \, \gamma_3\gamma_1

, 4개의 유사벡터

i\gamma_0, i\gamma_1, i\gamma_2, i\gamma_3

, 그리고 하나의 유사스칼라

i

로 이루어진 기저를 생성한다. 여기서

i=\gamma_0 \gamma_1 \gamma_2 \gamma_3

이다.

3. 상호 틀

직교 기저와 연관된 상호 기저를 정의하여 벡터의 성분을 추출하고, 지수 조작에 사용한다.^[1]

3. 1. 상호 기저

\gamma_\mu \cdot \gamma^\nu = {\delta_\mu}^\nu

를 만족하는 상호 기저

\{\gamma^\mu\}

를 정의한다. 직교 기저

\{ \gamma_{0}, \gamma_{1}, \gamma_{2}, \gamma_{3} \}

와 연관된 상호 기저 집합

\{ \gamma^{0}, \gamma^{1}, \gamma^{2}, \gamma^{3} \}

는 다음 방정식을 만족한다.^[1]

:

\gamma_{\mu} \cdot \gamma^{\nu} = \delta^{\nu}_{\mu} , \quad \mu, \nu =0,1,2,3

이 상호 프레임 벡터들은 부호만 다르며,

\gamma^0 = \gamma_0

이지만

\gamma^1 = -\gamma_1, \ \ \gamma^2 = -\gamma_2, \ \ \gamma^3 = -\gamma_3

이다.^[1]

벡터

a

는 기저 벡터 또는 상호 기저 벡터

a = a^{\mu} \gamma_{\mu} = a_{\mu} \gamma^{\mu}

를 사용하여 나타낼 수 있으며, 아인슈타인 표기법에 따라

\mu = 0, 1, 2, 3

에 대해 합산한다. 벡터와 기저 벡터 또는 상호 기저 벡터의 내적은 벡터 성분을 생성한다.^[1]

:

\begin{align}a \cdot \gamma^{\nu} &= a^\nu , \quad \nu=0,1,2,3 \\ a \cdot \gamma_{\nu} &= a_\nu , \quad \nu=0,1,2,3 \end{align}

계량 텐서와 지수 조작은 지수를 올리거나 내린다.^[1]

:

\begin{align} \gamma_{\mu} &= \eta_{\mu \nu} \gamma^{\nu} ,  \quad \mu, \nu =0,1,2,3 \\ \gamma^{\mu} &= \eta^{\mu \nu} \gamma_{\nu} , \quad \mu, \nu =0,1,2,3 \end{align}

3. 2. 벡터 표현

벡터는 아인슈타인 표기법에 따라 기저 벡터

\gamma_\mu

또는 상호 기저 벡터

\gamma^\mu

를 사용하여

a = a^\mu \gamma_\mu = a_\mu \gamma^\mu

와 같이 좌표로 나타낼 수 있다. 여기서

\mu = 0, 1, 2, 3

에 대한 합이다. 좌표는 기저 벡터 또는 그 역수로 내적을 취하여 추출할 수 있다.

:

\begin{align}a \cdot \gamma^\nu &= a^\nu \\ a \cdot \gamma_\nu &= a_\nu .\end{align}

직교 기저

\{ \gamma_{0}, \gamma_{1}, \gamma_{2}, \gamma_{3} \}

와 연관된 상호 기저 집합

\{ \gamma^{0}, \gamma^{1}, \gamma^{2}, \gamma^{3} \}

는 다음 방정식을 만족한다.

:

\gamma_{\mu} \cdot \gamma^{\nu} = \delta^{\nu}_{\mu} , \quad \mu, \nu =0,1,2,3

이 상호 프레임 벡터들은 부호만 다르며,

\gamma^0 = \gamma_0

이지만

\gamma^k = -\gamma_k

(

k = 1, 2, 3

)이다. 계량 텐서와 지수 조작은 지수를 올리거나 내린다.

:

\begin{align} \gamma_{\mu} &= \eta_{\mu \nu} \gamma^{\nu} ,  \quad \mu, \nu =0,1,2,3 \\ \gamma^{\mu} &= \eta^{\mu \nu} \gamma_{\nu} , \quad \mu, \nu =0,1,2,3 \end{align}

4. 시공간 기울기

시공간 기울기는 유클리드 공간의 기울기와 마찬가지로 방향 미분 관계를 만족하도록 정의되며, 편미분을 사용하여 표현된다.

4. 1. 정의

시공간 기울기는 유클리드 공간의 기울기와 마찬가지로, 다음과 같은 방향 미분 관계를 만족하도록 정의된다.

:

a \cdot \nabla F(x)= \lim_{\tau \rightarrow 0} \frac{F(x + a\tau) - F(x)}{\tau} .

이는 기울기를 다음과 같이 정의해야 함을 요구한다.

:

\nabla = \gamma^\mu \frac{\partial}{\partial x^\mu} = \gamma^\mu \partial_\mu .

x = ct \gamma_0 + x^k \gamma_k

를 사용하여 명시적으로 작성하면, 이 편미분들은 다음과 같다.

:

\partial_0 = \frac{1}{c} \frac{\partial}{\partial t}, \quad \partial_k = \frac{\partial}{\partial {x^k}}

4. 2. 편미분

x = ct \gamma_0 + x^k \gamma_k

를 사용하여 명시적으로 작성하면, 이 편미분은 다음과 같다.

:

\partial_0 = \frac{1}{c} \frac{\partial}{\partial t}, \quad \partial_k = \frac{\partial}{\partial {x^k}}

5. 시공간 분할

시공간 대수에서 '''시공간 분할'''은 선택된 기준 틀을 사용하여 4차원 시공간을 3차원 공간과 1차원 시간으로 분리하는 과정이다. 이는 시간꼴 기저 벡터 $\gamma_0$ 에 의한 곱셈을 통해 이루어지며, 4-벡터를 스칼라 시간꼴 및 쌍벡터 공간꼴 구성원소로 분할한다.^[3]

시공간 분할의 예시는 다음과 같다.^[1]

예시
$x \gamma_0 = x^0 + \mathbf{x}$
$p \gamma_0 = E + \mathbf{p}$
$v \gamma_0 = \gamma (1 + \mathbf{v})$ (로런츠 인자 $\gamma$ )
$\nabla \gamma_0 = \partial_t - \nabla$ ^[2]

5. 1. 정의

시공간 대수(STA)에서 시공간 분할은 선택된 기준틀을 사용하여 4차원 공간을 (3+1)차원 공간으로 사영하는 두 가지 연산이다.

선택한 시간 축의 붕괴로 쌍벡터에 걸쳐 있는 3차원 공간을 생성한다.
4차원 공간을 선택한 시간 축에 투영하여 스칼라의 1차원 공간을 생성한다.^[3]

이는 시간꼴 기저 벡터

\gamma_0

와의 곱셈을 통해 이루어진다. 이 곱셈은 4개의 벡터를 스칼라 시간꼴 및 쌍벡터 공간꼴 구성원소로 분할한다.

x = x^\mu \gamma_\mu

에 대해, 다음과 같이 표현된다.

:

\begin{align}x \gamma_0 &= x^0 + x^k \gamma_k \gamma_0 \\\gamma_0 x &= x^0 - x^k \gamma_k \gamma_0\end{align}

이때 쌍벡터

\gamma_k \gamma_0

들은 공간적 기저 역할을 한다. 파울리 행렬 표기법을 사용하여

\sigma_k = \gamma_k \gamma_0

과 같이 나타낼 수 있다. 시공간 대수의 공간 벡터는 굵은 글씨체로 표시된다. 그러면,

\gamma_0

-시공간 분할

x \gamma_0

과 그 반대

\gamma_0 x

는 다음과 같다.

:

\begin{align}x \gamma_0 &= x^0 + x^k \sigma_k = x^0 + \mathbf{x} \\\gamma_0 x &= x^0 - x^k \sigma_k = x^0 - \mathbf{x}\end{align}

여기서

\mathbf{x} = x^k \sigma_k

이다.

5. 2. 공간 기저

쌍벡터

\gamma_k \gamma_0

는 공간적 기저 역할을 한다. 파울리 행렬 표기법을 사용하여

\sigma_k = \gamma_k \gamma_0

과 같이 적을 수 있다. 시공간 대수(STA)의 공간 벡터는 굵은 글씨체로 표시된다. 그러면,

\gamma_0

-시공간 분할

x \gamma_0

과 그 반대

\gamma_0 x

는 다음과 같다:^[1]

:

\begin{align}x \gamma_0 &= x^0 + x^k \sigma_k = x^0 + \mathbf{x} \\ \gamma_0 x &= x^0 - x^k \sigma_k = x^0 - \mathbf{x} \end{align}

여기서

\mathbf{x} = x^k \sigma_k

이다.

하지만 위 공식은 부호수 (+ - - -)를 가진 민코프스키 계량에서만 작동한다. 두 부호수 모두에서 작동하는 시공간 분할의 형태는

\sigma_k = \gamma_k \gamma^0

및

\sigma^k = \gamma_0 \gamma^k

를 사용하는 대체 정의를 사용해야 한다.

6. 다중 벡터 나눗셈

시공간 대수는 멱등원 $\tfrac{1}{2}(1 \pm \gamma_0\gamma_i)$ 과 0이 아닌 영인자 $1 + \gamma_0\gamma_i, 1 - \gamma_0\gamma_i$ 를 포함하기 때문에 나눗셈 대수가 아니다.^[1] 이들은 각각 빛원뿔로의 사영 및 이러한 사영에 대한 직교성 관계로 해석될 수 있다. 그러나 어떤 경우에는 하나의 다중 벡터를 다른 다중 벡터로 나누고 그 결과를 이해하는 것이 가능하다.^[1]

7. 부분대수

STA의 짝수 차수 원소(스칼라, 이중 벡터, 유사 스칼라)는 파울리 대수(Cl_3,0)와 동형인 짝수 부분대수를 형성한다.^[1] 대수에서 짝수 부분대수로의 일련의 과정은 물리적 공간의 대수, 사원수 대수, 복소수 및 실수의 대수로 이어진다. Cl(1,3) 내의 실수 시공간 스피너의 짝수 STA 부분대수 Cl⁺(1,3)은 기저 원소를 가진 유클리드 공간 '''R'''³의 클리포드 기하 대수 Cl(3,0)와 동형이다.^[5]

7. 1. 파울리 대수와의 관계

STA의 짝수 차수 원소(스칼라, 이중 벡터, 유사 스칼라)는 APS 또는 파울리 대수에 해당하는 클리포드 Cl_3,0('''R''') 짝수 부분대수를 형성한다.^[1] STA 이중 벡터는 APS 벡터 및 의사 벡터와 동일하다. STA 부분대수는 STA 이중 벡터

( \gamma_{1} \gamma_{0}, \gamma_{2} \gamma_{0},\gamma_{3} \gamma_{0})

를

(\sigma_{1}, \sigma_{2}, \sigma_{3})

로, STA 이중 벡터

( \gamma_{3} \gamma_{2}, \gamma_{1} \gamma_{3},\gamma_{2} \gamma_{1})

를

( I \sigma_{1}, I \sigma_{2},I \sigma_{3})

로 이름을 변경하여 더욱 명확해진다.^[2]^[3] 파울리 행렬

\hat{\sigma}_{1}, \hat{\sigma}_{2}, \hat{\sigma}_{3}

는

\sigma_{1}, \sigma_{2}, \sigma_{3}

에 대한 행렬 표현이다.^[3]

(\sigma_{1}, \sigma_{2}, \sigma_{3})

의 임의의 쌍에 대해, 0이 아닌 내적은

\sigma_{1} \cdot \sigma_{1}=\sigma_{2} \cdot \sigma_{2} =\sigma_{3} \cdot \sigma_{3}=1

이며, 0이 아닌 외적은 다음과 같다.^[3]^[4]

:

\begin{align}\sigma_{1} \wedge \sigma_{2}&= I \sigma_{3} \\\sigma_{2} \wedge \sigma_{3}&= I \sigma_{1} \\\sigma_{3} \wedge \sigma_{1}&= I \sigma_{2} \\\end{align}

대수에서 짝수 부분대수로의 일련의 과정은 물리적 공간의 대수, 사원수 대수, 복소수 및 실수의 대수로 이어진다. Cl(1,3) 내의 실수 시공간 스피너의 짝수 STA 부분대수 Cl⁺(1,3)은 기저 원소를 가진 유클리드 공간 '''R'''³의 클리포드 기하 대수 Cl(3,0)와 동형이다. 옥토니언 곱을 사용한 페이노 평면으로 Cl⁺(1,3)의 시공간 대수 스피너를 나타낸 그림은 다음과 같다.^[5]

Cl⁺(1,3)에서 옥토니언 곱을 사용한 시공간 대수 스피너를 페이노 평면으로 나타낸 그림

7. 2. 짝수 부분대수

STA의 짝수 차수 원소(스칼라, 이중 벡터, 유사 스칼라)는 APS 또는 파울리 대수에 해당하는 클리포드 Cl_3,0('''R''') 짝수 부분대수를 형성한다.^[1] STA 이중 벡터는 APS 벡터 및 의사 벡터와 동일하다. STA 부분대수는 STA 이중 벡터

( \gamma_{1} \gamma_{0}, \gamma_{2} \gamma_{0},\gamma_{3} \gamma_{0})

를

(\sigma_{1}, \sigma_{2}, \sigma_{3})

로, STA 이중 벡터

( \gamma_{3} \gamma_{2}, \gamma_{1} \gamma_{3},\gamma_{2} \gamma_{1})

를

( I \sigma_{1}, I \sigma_{2},I \sigma_{3})

로 이름을 변경하여 더욱 명확해진다.^[1]^[2] 파울리 행렬

\hat{\sigma}_{1}, \hat{\sigma}_{2}, \hat{\sigma}_{3}

는

\sigma_{1}, \sigma_{2}, \sigma_{3}

에 대한 행렬 표현이다.^[2]

(\sigma_{1}, \sigma_{2}, \sigma_{3})

의 임의의 쌍에 대해, 0이 아닌 내적은

\sigma_{1} \cdot \sigma_{1}=\sigma_{2} \cdot \sigma_{2} =\sigma_{3} \cdot \sigma_{3}=1

이며, 0이 아닌 외적은 다음과 같다.^[2]^[1]

:

\begin{align}\sigma_{1} \wedge \sigma_{2}&= I \sigma_{3} \\\sigma_{2} \wedge \sigma_{3}&= I \sigma_{1} \\\sigma_{3} \wedge \sigma_{1}&= I \sigma_{2} \\\end{align}

대수에서 짝수 부분대수로의 일련의 과정은 물리적 공간의 대수, 사원수 대수, 복소수 및 실수의 대수로 이어진다. Cl(1,3) 내의 실수 시공간 스피너의 짝수 STA 부분대수 Cl⁺(1,3)은 기저 원소를 가진 유클리드 공간 '''R'''³의 클리포드 기하 대수 Cl(3,0)와 동형이다. 옥토니언 곱을 사용한 페이노 평면으로 Cl⁺(1,3)의 시공간 대수 스피너를 나타낸 그림은 다음과 같다.^[3]

8. 변환

STA는 로렌츠 변환, 쌍대 회전, 등급 반전, 역전, 클리포드 켤레 등 다양한 변환을 제공한다. 로렌츠 변환은 로렌츠 군을 이루는 변환으로, 회전 변환과 쌍곡선 회전(로렌츠 부스트)을 포함한다. 쌍대 회전은 시공간 요소를 유사 스칼라를 이용하여 변환한다. 등급 반전은 모든 r-벡터의 부호를 변경하며, 역전은 벡터 곱의 순서를 반전시킨다. 클리포드 켤레는 역전과 등급 반전을 결합한 변환이다. 이러한 변환들은 반전의 성질을 갖는다.^[4]

8. 1. 로렌츠 변환

기하 대수에서 벡터

v

를 회전시키려면 다음 공식을 사용한다.

:

v' = e^{-\beta \frac{\theta}{2}} \ v \ e^{\beta \frac{\theta}{2}}

여기서

\theta

는 회전할 각도이고,

\beta

는 회전 평면을 나타내는 정규화된 쌍벡터로,

\beta\tilde{\beta}=1

이다.

주어진 공간형 쌍벡터의 경우,

\beta^2 = -1

이므로 오일러 공식이 적용되어^[3] 회전은 다음과 같이 나타난다.

:

v' = \left(\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) - \beta \sin\left(\frac{\theta}{2}\right)\right) \ v \ \left(\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) + \beta \sin\left(\frac{\theta}{2}\right)\right)

.

주어진 시간형 쌍벡터의 경우,

\beta^2 = 1

이므로 "시간을 통한 회전"은 분할 복소수에 대한 유사한 방정식을 사용한다.

:

v' = \left(\cosh\left(\frac{\theta}{2}\right) - \beta \sinh\left(\frac{\theta}{2}\right)\right) \ v \ \left(\cosh\left(\frac{\theta}{2}\right) + \beta \sinh\left(\frac{\theta}{2}\right)\right)

.

이 방정식을 해석하면, 시간 방향을 따라 이러한 회전은 단순히 쌍곡선 회전이다. 이것들은 특수 상대성 이론에서의 로렌츠 부스트와 동일하다.

이 두 변환 모두 로렌츠 변환으로 알려져 있으며, 이들의 결합된 집합은 로렌츠 군이다. 시공간 대수(STA)에서 임의의 기저(기준 좌표계에 해당)에서 다른 기저로 객체를 변환하려면 하나 이상의 이러한 변환을 사용해야 한다.^[2]

8. 2. 기타 변환

기하 대수에서 벡터

v

를 회전시키는 공식은 다음과 같다.

:

v' = e^{-\beta \frac{\theta}{2}} \ v \ e^{\beta \frac{\theta}{2}}

여기서

\theta

는 회전각,

\beta

는 회전 평면을 나타내는 정규화된 쌍벡터(

\beta\tilde{\beta}=1

)이다.

공간형 쌍벡터의 경우

\beta^2 = -1

이므로 오일러 공식이 적용되어^[2] 회전은 다음과 같이 나타난다.

:

v' = \left(\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) - \beta \sin\left(\frac{\theta}{2}\right)\right) \ v \ \left(\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) + \beta \sin\left(\frac{\theta}{2}\right)\right)

.

시간형 쌍벡터의 경우

\beta^2 = 1

이므로, "시간을 통한 회전"은 분할 복소수와 유사한 방정식을 사용한다.

:

v' = \left(\cosh\left(\frac{\theta}{2}\right) - \beta \sinh\left(\frac{\theta}{2}\right)\right) \ v \ \left(\cosh\left(\frac{\theta}{2}\right) + \beta \sinh\left(\frac{\theta}{2}\right)\right)

.

이는 시간 방향을 따른 쌍곡선 회전으로, 특수 상대성 이론의 로렌츠 부스트와 동일하다.

이 두 변환은 모두 로렌츠 변환으로 불리며, 이들을 합쳐 로렌츠 군이라 한다. STA에서 기준 좌표계에 해당하는 임의의 기저에서 다른 기저로 객체를 변환하려면 이러한 변환을 하나 이상 사용해야 한다.^[1]

모든 시공간 요소

A

는 유사 스칼라와의 곱셈을 통해 변환되어 쌍대 요소

A I

를 형성한다.^[3] 쌍대 회전은 시공간 요소

A

를 유사 스칼라

I

를 사용하여 각도

\phi

로 요소

A^{\prime}

로 변환하는 것이다.^[1]

:

A^{\prime}=e^{I \phi} A

쌍대 회전은 0이 아닌 제곱을 갖는 유사 스칼라를 포함하는 비특이 클리포드 대수에 대해서만 발생한다.^[1]

등급 반전(주요 반전, 반전)은 모든 r-벡터

A_{r}

를

A^{\ast}_{r}

로 변환한다.^[1]^[4]

:

A^{\ast}_{r}=(-1)^{r} \ A_{r}

역전 변환은 모든 시공간 요소를 벡터 곱의 합으로 분해한 다음, 각 곱의 순서를 반전시켜 발생한다.^[1]^[4] 멀티벡터

A

가 벡터 곱

a_{1} a_{2} \ldots a_{r-1}a_{r}

로 표현될 때, 역전은

A^{\dagger}

이다.

:

A=a_{1} a_{2} \ldots a_{r-1} a_{r}, \quad A^{\dagger}=a_{r} a_{r-1 }\ldots a_{2} a_{1}

시공간 요소

A

의 클리포드 켤레는 역전과 등급 반전 변환을 결합한 것으로,

\tilde{A}

로 표시된다.^[4]

:

\tilde{A}=A^{\ast \dagger}

등급 반전, 역전, 클리포드 켤레 변환은 반전이다.^[4]

9. 비상대론적 물리학의 STA 표현

시공간 대수(STA)는 파울리 입자를 행렬 이론 대신 실수 기반 이론으로 설명할 수 있게 해준다. STA 접근 방식은 행렬 스피너 표현 $| \psi \rangle$ 를 짝수 등급 시공간 부분 대수의 원소 $\mathbf{\sigma_1 , \sigma_2 , \sigma_3}$ 와 유사 스칼라 $I = \sigma_1 \sigma_2 \sigma_3$ 를 사용하여 STA 표현 $\psi$ 로 변환한다.

: $| \psi \rangle =\begin{vmatrix}\operatorname{cos(\theta/2) \ e^{-i \phi/2}} \\\operatorname{sin(\theta/2) \ e^{+i \phi/2}}\end{vmatrix} =\begin{vmatrix}a^{0}+ia^{3} \\$

a^{2}+ia^{1}

\end{vmatrix} \mapsto \psi = a^{0}+a^{1} \mathbf{I \sigma_{1}}+a^{2} \mathbf{I \sigma_{2}}+a^{3} \mathbf{I \sigma_{3}}

여기서 벡터

\sigma_{3}

는 임의로 선택된 고정된 벡터이며, 고정된 회전을 통해 다른 고정 벡터

\sigma^{\prime}_{3}

를 생성할 수 있다.

9. 1. 파울리 방정식

시공간 대수(STA)는 행렬 이론 대신 파울리 입자를 실수 이론으로 설명할 수 있게 해준다.^[4] 파울리 입자의 행렬 이론 설명은 다음과 같다.

:

i \hbar \, \partial_t \Psi = H_S \Psi - \frac{e \hbar}{2mc} \, \hat\sigma \cdot \mathbf{B} \Psi ,

여기서

\Psi

는 스피너이고,

i

는 기하학적 해석이 없는 허수 단위이며,

\hat\sigma_i

는 파울리 행렬('hat' 표기법은

\hat\sigma

가 행렬 연산자이며 기하 대수학의 원소가 아님을 나타낸다)이다.

H_S

는 슈뢰딩거 해밀토니안이다.

STA에서 파울리 입자는 ''실 파울리-슈뢰딩거 방정식''으로 설명된다.^[5]

:

\partial_t \psi \, i \sigma_3 \, \hbar = H_S \psi - \frac{e \hbar}{2mc} \, \mathbf{B} \psi \sigma_3 ,

여기서

i

는 단위 유사 스칼라

i = \sigma_1 \sigma_2 \sigma_3

이며,

\sigma_3

와 짝수 다중 벡터

\psi

는 기하 대수의 원소이고,

H_S

는 다시 슈뢰딩거 해밀토니안이다. 헤스테네스는 자기장을 포함하는 항을 빼면 이 이론이 슈뢰딩거 이론으로 환원된다는 점을 강조하기 위해 이를 ''실 파울리-슈뢰딩거 이론''이라고 부른다.

10. 상대론적 물리학의 STA 표현

STA(시공간 대수)는 상대론적 양자역학과 전자기학을 간결하게 표현한다.

상대론적 양자 파동함수는 스피너 장으로 표현될 수 있는데, 이 방정식은 스핀을 허수 유사 스칼라와 연결하는 것으로 해석된다. 또한 국소적으로 변화하는 벡터 및 스칼라 값 관찰 가능 항목에 대한 틀을 제공하며, 슈뢰딩거가 제안한 양자 역학의 치터베베궁 해석을 지원하도록 확장되었다.

STA를 통해 디랙 입자를 행렬 이론 대신 실수 이론으로 설명할 수 있고, 맥스웰 방정식은 벡터 미적분학의 4개 방정식 대신 하나의 방정식으로 표현 가능하며, 대전된 입자에 대한 로렌츠 힘도 단순화된다.^[1]^[2]

10. 1. 디랙 방정식

시공간 대수(STA)는 행렬 이론 대신 실수 이론으로 디랙 입자를 설명할 수 있게 해준다.^[10] 행렬 이론에서 디랙 입자는 다음과 같이 설명된다.^[10]

:

\hat \gamma^\mu (\mathbf{j} \partial_\mu - e \mathbf{A}_\mu) |\psi\rangle = m |\psi\rangle

여기서

\hat \gamma

는 디랙 행렬이다. 시공간 대수에서 디랙 입자는 다음 방정식으로 설명된다.^[10]

:

\nabla \psi \, i \sigma_3 - \mathbf{A} \psi = m \psi \gamma_0

여기서

\psi

와

\sigma_3

는 기하 대수의 원소이며,

\nabla = \gamma^\mu \partial_\mu

는 시공간 벡터 도함수이다.

10. 2. 디랙 스피너

상대론적 양자 파동함수는 때때로 스피너 장

:

\psi = e^{\frac{1}{2} ( \mu + \beta i + \phi )}

으로 표현된다. 여기서

\phi

는 쌍벡터이다.^[6]^[7]

:

\psi = R (\rho e^{i \beta})^\frac{1}{2}

데이비드 헤스테네스의 미분에 따르면,

\psi = \psi(x)

는 시공간에서 짝수 다중 벡터 값 함수이며,

R = R(x)

는 유니모듈러 스피너(또는 "회전자"^[8])이고,

\rho = \rho(x)

와

\beta = \beta(x)

는 스칼라 값 함수이다.^[6]

이 방정식은 스핀을 허수 유사 스칼라와 연결하는 것으로 해석된다.^[9]

R

은

\gamma_\mu

벡터들의 틀에서

e_\mu

벡터들의 다른 틀으로

e_\mu = R \gamma_\mu \tilde{R}

작용에 의한 로런츠 회전으로 여겨진다.^[8] 여기서 물결 기호는 ''반전''을 나타낸다(기하적 대수의 회전 참조).

이것은 국소적으로 변화하는 벡터 및 스칼라 값 관찰 가능 항목에 대한 틀을 제공하고 원래 슈뢰딩거가 제안한 양자 역학의 치터베베궁 해석을 지원하도록 확장되었다.

헤스테네스는 자신의

\psi

에 대한 표현을 경로 적분 공식에서 이에 대한 파인만의 표현과 비교했다.

:

\psi = e^{i \Phi_\lambda / \hbar}

여기서

\Phi_\lambda

는

\lambda

-경로에 대한 고전적인 작용이다.^[6]

시공간 대수는 행렬 이론 대신 실수 이론의 관점에서 디랙 입자를 설명할 수 있게 한다.

10. 3. 전자기학

STA(시공간 대수)를 사용하면 맥스웰 방정식을 벡터 미적분학의 4개 방정식 대신 하나의 방정식으로 표현하고, 대전된 입자에 대한 로렌츠 힘도 단순화할 수 있다.^[1]^[2]

10. 3. 1. 페러데이 쌍벡터

STA(시공간 대수)에서, 전기장과 자기장은 페러데이 텐서와 동일한 페러데이 쌍벡터(Faraday bivector)로 알려진 단일 쌍벡터장으로 통합될 수 있다.^[1] 이는 다음과 같이 정의된다.

:

F = \vec{E} + I c \vec{B} ,

여기서

E

와

B

는 통상적인 전기장과 자기장이며,

I

는 STA 유사 스칼라(pseudoscalar)이다.^[1] 성분으로

F

를 전개하면 다음과 같다.

:

F = E^i \sigma_i + I c B^i \sigma_i = E^1 \gamma_1 \gamma_0 + E^2 \gamma_2 \gamma_0 + E^3 \gamma_3 \gamma_0 - c B^1 \gamma_2 \gamma_3 - c B^2 \gamma_3 \gamma_1 - c B^3 \gamma_1 \gamma_2 .

별도의

\vec E

와

\vec B

장은 다음을 사용하여

F

에서 복구할 수 있다.

:

\begin{align}E = \frac{1}{2}\left(F - \gamma_0 F \gamma_0\right), \\I c B = \frac{1}{2}\left(F + \gamma_0 F \gamma_0\right) .\end{align}

\gamma_0

항은 주어진 기준 프레임을 나타내며, 따라서 다른 기준 프레임을 사용하면 표준 특수 상대성 이론에서와 마찬가지로 겉보기에 다른 상대적 장이 발생한다.^[2]

페러데이 쌍벡터는 상대론적 불변량이므로, 그 제곱에서 추가 정보를 찾을 수 있으며, 두 개의 새로운 로렌츠 불변량(스칼라, 유사 스칼라)을 제공한다.

:

F^2 = E^2 - c^2 B^2 + 2 I c \vec{E} \cdot \vec{B} .

스칼라 부분은 전자기장의 라그랑지안 밀도에 해당하고, 유사 스칼라 부분은 덜 자주 보이는 로렌츠 불변량이다.^[3]

10. 3. 2. 맥스웰 방정식

STA는 맥스웰 방정식을 벡터 미적분학의 4개 방정식 대신 하나의 방정식으로 단순화한다.^[1] 전하 밀도와 전류 밀도는 단일 시공간 벡터로 통합될 수 있으며, 이는 4-벡터와 동일하다. 시공간 전류

J

는 다음과 같다.^[2]

:

J = c \rho \gamma_0 + J^i \gamma_i ,

여기서 구성 요소

J^i

는 고전적인 3차원 전류 밀도의 구성 요소이다. 이러한 방식으로 이 양들을 결합하면 고전적 전하 밀도가

\gamma_0

에 의해 주어지는 시간꼴 방향으로 이동하는 전류에 불과하다는 것을 특히 명확하게 알 수 있다.

앞서 정의한 시공간 기울기와 함께 전자기장과 전류 밀도를 결합하면, STA에서 맥스웰의 네 가지 방정식을 모두 단일 방정식으로 결합할 수 있다.^[1]

:

\nabla F = \mu_0 c J

이러한 양이 모두 STA에서 공변하는 객체라는 사실은 방정식의 로렌츠 공변성을 자동으로 보장하며, 이는 네 개의 개별 방정식으로 분리하는 것보다 훨씬 쉽게 증명할 수 있다.

이러한 형태에서는 전하 보존과 같은 맥스웰 방정식의 특정 속성을 증명하는 것도 훨씬 간단하다. 임의의 바이벡터 장에 대해, 시공간 기울기의 발산이

0

이라는 사실을 사용하면 다음과 같이 정리할 수 있다.^[3]

:

\begin{align}\nabla \cdot \left[\nabla F\right] &= \nabla \cdot \left[\mu_0 c J\right] \\0 &= \nabla \cdot J .\end{align}

이 방정식은 전류 밀도의 발산이 0이라는 것을 의미하며, 즉 시간 경과에 따른 총 전하 및 전류 밀도가 보존된다는 것을 명확하게 보여준다.

10. 3. 3. 포텐셜 공식

표준 벡터 미적분학에서는 전기 스칼라 포텐셜과 자기 벡터 포텐셜이라는 두 가지 포텐셜 함수가 사용된다. 시공간 대수(STA)의 도구를 사용하면 이 두 객체를 단일 벡터장

A

로 결합할 수 있는데, 이는 텐서 미적분학에서 전자기 4-포텐셜과 유사하다. STA에서 이는 다음과 같이 정의된다.

:

A = \frac{\phi}{c} \gamma_0 + A^k \gamma_k

여기서

\phi

는 스칼라 포텐셜이고,

A^k

는 자기 포텐셜의 성분이다. 이 필드는 정의상 베버/미터(V⋅s⋅m⁻¹)의 SI 단위를 갖는다.

전자기장은 또한 다음을 사용하여 이 포텐셜장으로 표현될 수 있다.

:

\frac{1}{c} F = \nabla \wedge A .

그러나 이 정의는 고유하지 않다. 두 번 미분 가능한 스칼라 함수

\Lambda(\vec x)

에 대해, 다음으로 주어진 포텐셜

:

A' = A + \nabla \Lambda

는 또한 원래의

F

와 동일한 값을 주는데, 그 이유는 다음과 같다.

:

\nabla \wedge \left(A + \nabla \Lambda\right)= \nabla \wedge A + \nabla \wedge \nabla \Lambda= \nabla \wedge A .

이 현상을 게이지 자유도라고 한다. 주어진 문제를 가장 간단하게 만들기 위해 적절한 함수

\Lambda

를 선택하는 과정을 게이지 고정이라고 한다. 그러나 상대론적 전기역학에서는

\nabla \cdot \vec{A} = 0

인 로렌츠 조건이 종종 부과된다.

STA 맥스웰 방정식을 포텐셜

A

로 재구성하기 위해, 먼저

F

를 위의 정의로 대체하면 다음과 같다.

:

\begin{align}\frac{1}{c} \nabla F &= \nabla \left(\nabla \wedge A\right) \\&= \nabla \cdot \left(\nabla \wedge A\right) + \nabla \wedge \left(\nabla \wedge A\right) \\&= \nabla^2 A + \left(\nabla \wedge \nabla\right) A = \nabla^2 A + 0\\&= \nabla^2 A\end{align}

이 결과를 대입하면, STA에서 전자기학의 포텐셜 공식은 다음과 같다.

:

\nabla^2 A = \mu_0 J

10. 3. 4. 라그랑지안 공식

텐서 미적분학과 유사하게 STA의 잠재적 공식은 자연스럽게 적절한 라그랑지안 밀도로 이어진다.^[1]

'''전자기 라그랑지안 밀도:'''

:

\mathcal L = \frac{1}{2} \epsilon_0 F^2 - J \cdot A

장에 대한 멀티벡터 값을 갖는 오일러-라그랑주 방정식을 유도할 수 있으며, 스칼라가 아닌 것에 대한 편미분을 취하는 수학적 엄밀성을 느슨하게 유지하면 관련 방정식은 다음과 같다.^[2]

:

\nabla \frac{\partial \mathcal L}{\partial \left(\nabla A\right)} - \frac{\partial \mathcal L}{\partial A} = 0.

이 형식으로부터 포텐셜 방정식을 다시 유도하려면, 로렌츠 게이지(Lorenz gauge)에서 시작하여^[3]

:

\nabla \cdot A = 0.

이 과정을 선택된 게이지에 관계없이 수행할 수 있지만, 이렇게 하면 결과 과정이 훨씬 더 명확해진다. 기하 곱의 구조로 인해 이 조건을 사용하면

\nabla \wedge A = \nabla A

가 된다.

F = c \nabla A

를 대입하면, 위에서 언급한 포텐셜 장

A

에 대한 운동 방정식과 동일한 방정식을 쉽게 얻을 수 있다.

10. 4. 대칭성

전역 위상 대칭성은 디랙 방정식을 변경하지 않는 파동 함수의 상수 전역 위상 이동이다.^[1] 국소 위상 대칭성은 게이지 변환과 전자기 사중 포텐셜이 수반될 경우 디랙 방정식을 변경하지 않는 공간적으로 변화하는 위상 이동이며, 다음과 같은 결합된 치환으로 표현된다.^[2]

:

\psi \mapsto \psi e^{\alpha (x) I \sigma_{3}} , \quad eA \mapsto eA- \nabla \alpha (x)

이러한 방정식에서, 국소 위상 변환은 파동 함수

\psi

에 적용되는 짝수 등급 시공간 부분 대수

I

및

\sigma_{3}

를 가진 시공간 위치

x

에서의 위상 이동

\alpha (x)

이다. 게이지 변환은 입자 전기 전하

e

를 가진 전자기 사중 포텐셜

A

에서 위상 이동의 기울기

\nabla \alpha(x)

를 뺀 것이다.^[2]

이산 대칭성은 파동 함수

\psi

에 적용되는 패리티

(\hat{P})

, 전하 켤레

(\hat{C})

및 시간 반전

(\hat{T})

이며, 그 효과는 다음과 같다.^[3]

:

\begin{align} \hat{P}| \psi \rangle &\mapsto \gamma_{0} \psi (\gamma_{0} x \gamma_{0}) \gamma_{0} \\\hat{C}| \psi \rangle &\mapsto \psi \sigma_{1} \\\hat{T}| \psi \rangle &\mapsto I \gamma_{0} \psi (\gamma_{0} x \gamma_{0}) \gamma_{1}\end{align}

11. 일반 상대성 이론의 새로운 공식화

시공간 대수(STA)는 게이지 이론 중력(GTG)과 같은 일반 상대성 이론의 새로운 공식화에 사용된다. 케임브리지 대학 연구진이 제안한 GTG는 민코프스키 공간에 곡률을 유도하고, "사건을 시공간으로 임의로 매끄럽게 다시 사상"하는 게이지 대칭을 이용한다. GTG는 블랙홀 처리와 양자역학 및 디랙 방정식으로의 확장에 대한 가능성을 보여준다.

11. 1. 게이지 이론 중력 (GTG)

케임브리지 대학의 라센바이, 도란 및 굴은 게이지 대칭을 사용하여 민코프스키 공간에 곡률을 유도하는 게이지 이론 중력(GTG)을 제안했다. 게이지 대칭은 "사건을 시공간으로 임의로 매끄럽게 다시 사상"하는 것을 의미한다.

이는 다음과 같은 측지선 방정식을 유도한다.

:

\frac{d}{d \tau} R = \frac{1}{2} (\Omega - \omega) R

및 공변 미분

:

D_\tau = \partial_\tau + \frac{1}{2} \omega ,

여기서

\omega

는 중력 퍼텐셜과 관련된 접속이며,

\Omega

는 전자기장과 같은 외부 상호 작용이다.

이 이론은 슈바르츠실트 해의 형태가 특이점에서 분해되지 않기 때문에 블랙홀 처리에 대한 몇 가지 가능성을 보여준다. 일반 상대성이론의 결과는 대부분 수학적으로 재현되었으며, 고전 전자기학의 상대론적 공식화는 양자역학 및 디랙 방정식으로 확장되었다.

참조

_[1] 서적 Advances in the interplay between quantum and gravity physics https://archive.org/[...] Springer 2002
_[2] 기타 2002
_[3] 서적 Understanding Geometric Algebra for Electromagnetic Theory https://books.google[...] Wiley 2011
_[4] 기타 Oersted Medal Lecture 2002
_[5] 기타 Oersted Medal Lecture 2002
_[6] 서적 Maximum Entropy and Bayesian Methods http://geocalc.clas.[...] Springer 2012
_[7] 웹인용 Imaginary numbers are not real – the geometric algebra of spacetime http://www.mrao.cam.[...] 1993
_[8] 저널 Spacetime physics with geometric algebra http://geocalc.clas.[...] 2003-06
_[9] 저널 Oersted Medal Lecture 2002: Reforming the mathematical language of physics http://geocalc.clas.[...] 2003
_[10] 서적 Spacetime algebra and electron physics Academic Press 1996

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com