십육진법

3. 가분성

16(十六|shíliù^중국어)은 약수에 홀수가 포함되어 있지 않아, 십육진법으로는 3이나 5 등으로 나눌 수 없다. 단위 분수는 2의 거듭제곱과 1을 제외하고 모두 무한 소수가 된다.^[18] 따라서 소수 전개는 "3의 배수" 진법 (육진법 등)이나 "5의 배수" 진법 (십진법 등)보다 훨씬 불편하다.

나누어 떨어지지 않는 소수의 순환 부분은 밑줄로 표시한다. 10이 되는 십육진법은 인수에 홀수가 포함되어 있지 않기 때문에, 1/3이나 1/5와 같은 "1 ÷ 홀수"는 모두 나누어 떨어지지 않는다. 소수를 분수화해도 "m/홀수"가 되는 소수는 전혀 나타나지 않는다. 따라서, 짝수도 1/6 {1 ÷ (2 × 3)} 또는 1/A {1 ÷ (2 × 5)}와 같은 "1 ÷ 홀수에서 나누어 떨어지는 짝수"는 나누어 떨어지지 않는다. 6의 배수도 10의 배수도 역수로 하면 모두 나누어 떨어지지 않으므로, 단위 분수는 무한 소수로 가득 차 있으며, 역수가 유한 소수가 되는 예는 2의 거듭제곱뿐이다.^[18]

4. 컴퓨터에서의 16진수

컴퓨터에서 데이터는 주로 비트나 옥텟(바이트) 단위로 표현된다. 16진수는 이러한 이진 데이터를 간결하게 나타내는 데 매우 유용하다. 16진수 한 자리는 이진수 4자리(4비트)를 표현할 수 있어, 이진수보다 훨씬 짧게 데이터를 나타낼 수 있다.^[40]

16진수는 메모리 주소, 기계어, 데이터 표현 등 다양한 분야에서 사용된다. 예를 들어, 다음은 16진수로 표현된 16진수 덤프의 예시이다. 각 8비트 바이트는 2자리 16진수로, 시작 부분의 32비트 오프셋은 8자리 16진수로 표현되어 있다. 가독성을 위해 공백이 사용되었다.

4. 1. 진법 변환

16진수 (a_ma_m-1...a₁a₀.b₁b₂...b_k)는 다음과 같은 값을 나타낸다.^[39]

:$$$$

\left(

\sum_{i=0}^{m} a_i \cdot 16^{i}

\right) + \left(

\sum_{j=1}^{n} b_j \cdot 16^{-j}

\right) \,.



여기서 a_i는 정수부의 자리 값, b_i는 소수부의 자리 값을 나타내며, 0에서 15(F) 사이의 정수이다. 정수부와 소수부의 경계는 소수점으로 표시한다.

사진법(4진법)은 거의 사용되지 않지만, 16진법이나 2진법으로 쉽게 변환할 수 있다. 각 16진수 자릿수는 두 개의 4진수 자릿수에 해당하며, 각 4진수 자릿수는 두 개의 2진수 자릿수에 해당한다.

팔진법(8진법) 시스템도 비교적 쉽게 변환할 수 있지만, 2진법 및 4진법만큼은 아니다. 각 8진수 자릿수는 세 개의 2진수 자릿수에 해당한다. 따라서 8진법과 16진법 간 변환을 할 때는 2진법으로의 중간 변환을 거쳐 세 개 또는 네 개의 2진수 자릿수를 그룹화하여 변환할 수 있다.

4. 1. 1. 2진수와의 변환

하지만, 약간의 연습을 통해 1111₂를 16진수 F₁₆으로 바로 변환할 수 있다. 숫자가 커질수록 10진수보다 16진수를 사용하는 것이 훨씬 편리하다. 16진수로 변환할 때는 2진수 문자열을 4자리씩 묶어서 각 그룹을 하나의 16진수 숫자로 바꾸면 된다.^[25]

다음은 2진수를 10진수와 16진수로 변환하는 예시이다.

16진수에서 2진수로의 변환도 마찬가지로 간단하다.^[25]

다음 표는 0부터 15까지의 숫자를 2진법, 8진법, 10진법, 12진법, 16진법으로 나타낸 것이다.

2진수를 16진수로 변환하는 방법은 다음과 같다.

1. 2진수를 오른쪽부터 4자리씩 묶는다. 마지막 그룹이 4자리가 안 되면 왼쪽에 0을 추가한다.

• 예: (111010)₂ → (11, 1010)₂ → (0011, 1010)₂

• 예: (0011)₂ = (3)₁₆, (1010)₂ = (A)₁₆

• 예: (3A)₁₆

4. 1. 2. 10진수와의 변환

마이크로소프트 윈도우의 계산기 유틸리티를 프로그래머 모드로 설정하면 16진수, 10진수, 8진수, 2진수 간 변환이 가능하다.

5. 16진수의 응용

웹 색상은 HTML, CSS, X 윈도 시스템 등에서 `#`가 앞에 붙은 6개의 16진수(각각 빨강, 녹색, 파랑 구성 요소에 대해 두 개, 순서대로)로 표현할 수 있다. 예를 들어 자홍색은 `#FF00FF`로 표시된다.^[11] CSS는 구성 요소당 1개의 16진수 숫자를 사용하여 3자리 16진수 약어를 허용하는데, `#FA3`은 `#FFAA33` (황금빛 주황색: )의 약자이다.

유니코드 표준에서 문자 값은 `U+` 다음에 16진수 값을 사용하여 표시된다. 예를 들어 `U+00A1`은 느낌표 뒤집기(¡)이다.

MIME(이메일 확장) quoted-printable 인코딩에서 문자 코드는 `=`가 앞에 붙은 16진수 쌍으로 작성된다. `=Espa=F1a`는 "España"이다(F1은 ISO/IEC 8859-1 문자 집합에서 ''ñ''의 코드이다).^[12]

모든 IPv6 주소는 8개의 네 자리 16진수 그룹(때로는 hextet이라고 함)으로 작성할 수 있으며, 각 그룹은 콜론(`:`)으로 구분된다. 예를 들어, `2001:0db8:85a3:0000:0000:8a2e:0370:7334` 또는 선행 0을 제거하여 `2001:db8:85a3::8a2e:370:7334`로 줄여서 표시하는 것은 유효한 IPv6 주소이다 (IPv4 주소는 일반적으로 10진수로 작성된다).

GUID는 32개의 16진수로 작성되며, 종종 하이픈으로 구분된 불균등한 그룹으로 표현된다. 예를 들어 `3F2504E0-4F89-41D3-9A0C-0305E82C3301`이다.

6. 역사

16진법은 컴퓨터 개발 초기부터 사용되었으며, 여러 가지 표기법이 제안되었다. 초기에는 10부터 15까지의 숫자를 표현하기 위해 다양한 기호들이 사용되었다. 예를 들어, 스탠다드 웨스턴 오토매틱 컴퓨터(SWAC) (1950)와 Bendix G-15 (1956)에서는 'u', 'v', 'w', 'x', 'y', 'z'를 사용했고, ILLIAC I (1952)에서는 'K', 'S', 'N', 'J', 'F', 'L'을 사용했다.

현재 사용되는 A~F 표기법은 IBM System/360용 Fortran IV 매뉴얼이 출판된 1966년 이후 사실상 표준으로 자리 잡았다.^[38] 1968년, 브룩헤이븐 국립 연구소의 브루스 앨런 마틴(Bruce Alan Martin)은 A~F 표기법에 불만을 품고 비트 배열에 기반한 완전히 새로운 숫자를 고안하여 1968년에 제안했지만, 큰 지지를 얻지는 못했다.^[43]

'Hexadecimal'이라는 단어는 그리스어에서 6(ἕξ^el, hex)을 뜻하는 'hexa-'와 라틴어에서 10번째를 뜻하는 '-decimal'의 합성어이다. 도널드 커누스는 라틴어로 16진수를 표현한다면 'senidenary' 또는 'sedenary'가 올바른 표현일 것이라고 지적했다.^[44]

7. 기타

Base16(공백 없이 고유 명사로 사용)은 Base32, Base58, Base64와 같은 계열에 속하는 이진-텍스트 인코딩을 지칭하기도 한다.^[14]

이 경우 데이터는 4비트 시퀀스로 분할되며, 각 값(0에서 15까지 포함)은 ASCII 문자 집합에서 16개의 기호 중 하나를 사용하여 인코딩된다. ASCII 문자 집합의 16개 기호 중 어느 것이든 사용할 수 있지만, 실제로 16진수 표기법과 일치시키기 위해 ASCII 숫자 "0"–"9"와 문자 "A"–"F"(또는 소문자 "a"–"f")가 항상 선택된다.

Base16 인코딩에는 다음과 같은 몇 가지 장점이 있다.

• 대부분의 프로그래밍 언어에는 이미 ASCII로 인코딩된 16진수를 구문 분석하는 기능이 있다.
• 정확히 반 바이트인 4비트는 Base32 및 Base64의 5비트 또는 6비트보다 처리하기 쉽다.
• 기호 0–9 및 A–F는 16진수 표기법에서 보편적이므로 기호 조회 테이블에 의존하지 않고도 한눈에 쉽게 이해할 수 있다.
• 많은 CPU 아키텍처에는 반 바이트("니블"이라고도 함)에 액세스할 수 있는 전용 명령이 있어 Base32 및 Base64보다 하드웨어에서 더 효율적이다.

• 공간 효율성은 50%에 불과하다. 원래 데이터의 각 4비트 값이 8비트 바이트로 인코딩되기 때문이다. 반면에 Base32 및 Base64 인코딩은 각각 63% 및 75%의 공간 효율성을 갖는다.
• 대문자와 소문자를 모두 허용해야 하는 복잡성이 추가될 수 있다.

참조

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