아즈마야 대수

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1. 개요

아즈마야 대수는 가환환 위의 단위 결합 대수로, 가군으로서 자유 가군과 동형이며 포락 대수와 행렬 대수의 텐서곱이 동형인 조건을 만족한다. 스킴 위의 아즈마야 대수는 구조층을 가지며 에탈 국소적으로 행렬 대수 층과 동형인 대수 층이다. 아즈마야 대수는 가환환 위에서 여러 동치 조건을 가지며, 스킴 위에서는 브라우어 군을 정의하는 데 사용된다. 브라우어 군은 아즈마야 대수의 동치류 집합으로, 텐서곱과 반대 대수를 통해 군 구조를 가진다. 체 위의 아즈마야 대수는 중심 단순 대수와 같으며, 스콜렘-뇌터 정리는 아즈마야 대수의 자기 동형에 대한 중요한 성질을 제공한다. 아즈마야 대수는 수론, 특히 유리 마닌의 연구와 하세 원리에 대한 마닌 장애 등 디오판토스 기하학에 응용된다.

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아즈마야 대수

2. 정의

가환 국소환 $(R,\mathfrak m)$ 위의 '''아즈마야 대수''' $\phi\colon R\to A$ 는 다음 조건을 만족시키는 $R$ -단위 결합 대수이다.^[7]

$R$ -가군으로서 양의 유한 차원 자유 가군 $R^n$ 과 동형이다.
$a\otimes_Rb\mapsto(x\mapsto axb)$ 에 의하여, $A\otimes_RA^{\operatorname{op}}\cong\operatorname{Mat}(n;R)=\operatorname{End}(_RA)$ 이다.

여기서

A\otimes_RA^{\operatorname{op}}=A^{\operatorname e}

는

A

의 enveloping algebra|포락 대수^eng이다.

스킴

(X,\mathcal O_X)

위의 '''아즈마야 대수'''

\mathcal A

는 다음 조건을 만족시키는

\mathcal O_X

-단위 결합 대수 층이다.^[7]

$\mathcal A$ 는 $\mathcal O_X$ -가군층으로서 연접층이며, 각 닫힌 점 $x\in X$ 에 대하여, 줄기 $\mathcal A_x$ 는 가환 국소환 $\mathcal O_{X,x}$ 위의 아즈마야 대수이다.

2. 1. 가환환 위의 아즈마야 대수

'''아즈마야 대수'''^[1]^[2]란 가환환

R

위의

R

-대수

A

로서 다음의 동치 조건 중 하나를 만족하는 것이다.

$A$ 는 $R$ 위의 아즈마야 대수이다.
$_RA$ 는 충실한 가군이며, 사영 가군이며, $A\otimes_RA^{\operatorname{op}}\to\operatorname{End}(_RA)$ 는 $R$ -단위 결합 대수의 동형 사상이다.^[8]
$_RA$ 는 유한 생성 가군이며, 모든 극대 아이디얼 $\mathfrak m\subseteq R$ 에 대하여 $A/\mathfrak mA$ 는 $R/\mathfrak m$ -중심 단순 대수이다.^[8]
$R$ -대수 $B$ 가 존재하여, $R$ -대수의 텐서곱 $B \otimes_R A$ 가 $R$ 과 모리타 동치이다.
$R$ -대수 $A^{\mathrm{op}} \otimes_R A$ 는 $R$ 과 모리타 동치이며, 여기서 $A^{\mathrm{op}}$ 는 $A$ 의 반대환 대수이다.
$A$ 의 환의 중심은 $R$ 이고, $A$ 는 분리가능 대수이다.
$A$ 는 $R$ -유한 생성 가군으로서, 충실한 가군이며 사영 가군이고, 텐서곱 $A \otimes_R A^{\mathrm{op}}$ 는 $A$ 의 자기 준동형 사상 $x\mapsto axb$ 을 보내는 사상을 통하여 $\text{End}_R(A)$ 와 동형이다.

2. 2. 스킴 위의 아즈마야 대수

스킴

(X,\mathcal O_X)

위의 '''아즈마야 대수'''

\mathcal A

는 다음 조건을 만족시키는

\mathcal O_X

-단위 결합 대수 층이다.^[7]

$\mathcal A$ 는 $\mathcal O_X$ -가군층으로서 연접층이다.
각 닫힌 점 $x\in X$ 에 대하여, 줄기 $\mathcal A_x$ 는 가환 국소환 $\mathcal O_{X,x}$ 위의 아즈마야 대수이다.

원래 그로텐디크 세미나에 따르면, 스킴

X

위의 아즈마야 대수는 에탈 국소적으로 행렬 대수 층과 동형인

\mathcal{O}_X

-대수의 층

\mathcal{A}

이다. 단, 각 행렬 대수 층이 양의 계수를 갖는다는 조건이 추가되어야 한다. 이 정의는

(X,\mathcal{O}_X)

위의 아즈마야 대수를 층

M_n(\mathcal{O}_X)

의 '꼬인 형태'로 만든다. 한편, 밀른(Milne)의 ''Étale Cohomology''에서는 각 점

x

에서의 층

\mathcal{A}

의 줄기

\mathcal{A}_x

가 국소환

\mathcal{O}_{X,x}

위의 아즈마야 대수인

\mathcal{O}_X

-대수의 층

\mathcal{A}

라는 정의를 사용한다.^[7]

두 아즈마야 대수

\mathcal{A}_1

과

\mathcal{A}_2

는 다음 조건을 만족할 때 '''동치'''라고 한다.^[1]

:

\mathcal{A}_1 \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathrm{End}_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{E}_1) \simeq \mathcal{A}_2 \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathrm{End}_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{E}_2)

여기서

\mathrm{End}_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{E}_i)

는

\mathcal{E}_i

의 자기 준동형 층이다.

스킴

X

의 브라우어 군

B(X)

(체의 브라우어 군과 유사함)은 아즈마야 대수의 동치류들의 집합이다. 이 집합 위에서의 군 연산은 층의 텐서곱

\otimes_{\mathcal{O}_X}

으로 주어지며, 아즈마야 대수

\mathcal{A}

의 동치류

[\mathcal{A}]

의 역원은 그것의 반대 대수

[\mathcal{A}^{\operatorname{op}}]

의 동치류이다. 이는

H^2_{\text{et}}(X,\mathbb{G}_m)

으로 정의되는 '''코호몰로지 브라우어 군'''과는 구별된다.

3. 브라우어 군

스킴 $S$ 위의 두 아즈마야 대수 $\mathcal A$ , $\mathcal A'$ 에 대하여, 그 텐서곱 $\mathcal A\otimes_{\mathcal O_X}\mathcal A'$ 역시 $S$ 위의 아즈마야 대수가 된다. 이러한 성질 때문에 $S$ 위의 아즈마야 대수들은 텐서곱 연산에 대해 모노이드 구조를 가진다.

아즈마야 대수들을 분류하기 위해 브라우어 동치(Brauer-equivalent^영어)라는 동치 관계를 정의할 수 있다.^[7] 이 동치 관계는 텐서곱 연산을 보존하므로, 아즈마야 대수의 브라우어 동치류들은 텐서곱에 대해 모노이드를 이룬다. 더 나아가, 이 모노이드는 실제로는 군 구조를 가지며, 이를 스킴 $S$ 의 '''브라우어 군'''(Brauer group^영어)이라고 부르고 $\operatorname{Br}(S)$ 로 표기한다. 브라우어 군에서 어떤 아즈마야 대수 $\mathcal A$ 의 동치류 $[\mathcal A]$ 에 대한 역원은 그 반대 대수층 $\mathcal A^{\operatorname{op}}$ 의 동치류 $[\mathcal A^{\operatorname{op}}]$ 이다.

체 $R$ 위에서는 브라우어 군을 아즈마야 대수의 '''유사류'''^[1]를 이용하여 정의할 수도 있으며, 에탈 코호몰로지를 이용한 코호몰로지적 정의도 존재한다. 체의 경우 이러한 여러 정의들이 서로 동등한 군을 정의한다. 브라우어 군은 아즈마야 대수의 분류에서 핵심적인 역할을 수행한다.

3. 1. 브라우어 동치

스킴

S

위의 두 아즈마야 대수

\mathcal A

,

\mathcal A'

에 대하여, 만약 다음 조건을 만족시키는

\mathcal O_X

-국소 자유 가군층

\mathcal E

및

\mathcal E'

이 존재한다면, 서로 '''브라우어 동치'''(Brauer-equivalent^영어)라고 한다.^[7]

:

\mathcal A\otimes_{\mathcal O_X}\underline{\operatorname{End}}(_{\mathcal O_X}\mathcal E)\cong\mathcal A'\otimes_{\mathcal O_X}\underline{\operatorname{End}}(_{\mathcal O_X}\mathcal E')

여기서

\underline{\operatorname{End}}(_{\mathcal O_X}\mathcal E)

는 가군층

\mathcal E

의 자기 준동형 사상들로 이루어진 층이다.

이 관계는

S

위의 아즈마야 대수들 사이에 동치 관계를 정의한다. 또한, 브라우어 동치 관계는 텐서곱 연산을 보존한다. 즉, 만약

\mathcal A_1

과

\mathcal A_1'

이 브라우어 동치이고

\mathcal A_2

와

\mathcal A_2'

가 브라우어 동치라면, 이들의 텐서곱

\mathcal A_1\otimes_{\mathcal O_X}\mathcal A_2

와

\mathcal A_1'\otimes_{\mathcal O_X}\mathcal A_2'

도 서로 브라우어 동치이다.

따라서

S

위의 아즈마야 대수들의 브라우어 동치류 집합은 텐서곱 연산에 대해 모노이드 구조를 가진다. 이 모노이드는 실제로 군을 이루며, 이를

S

의 '''브라우어 군'''(Brauer group^영어)

\operatorname{Br}(S)

이라고 부른다. 브라우어 군에서, 아즈마야 대수

\mathcal A

의 동치류

[\mathcal A]

의 역원은 그 반대 대수층

\mathcal A^{\operatorname{op}}

의 동치류

[\mathcal A^{\operatorname{op}}]

이다.

체

R

위에서 브라우어 군은 아즈마야 대수의 '''유사류'''^[1]를 이용하여 정의될 수도 있다. 두

R

-대수

A, A'

가 유사하다는 것은, 어떤 자연수

n, m

에 대해 다음 링 동형이 성립하는 것을 의미한다.

:

A\otimes_R M_n(R) \cong A'\otimes_R M_m(R)

여기서

M_n(R)

은

R

위의

n \times n

행렬환이다. 이 유사 관계 역시 동치 관계이며, 텐서곱과 호환된다. 즉,

A_1 \sim A_1'

이고

A_2 \sim A_2'

이면

A_1\otimes_R A_2 \sim A_1'\otimes_R A_2'

가 성립한다. 따라서 동치류 사이에 텐서곱 연산

[A_1]\otimes [A_2] = [A_1\otimes_R A_2]

을 잘 정의할 수 있으며, 이 연산에 대해 동치류 집합은 군 구조를 이룬다. 이 군이 바로 체

R

의 브라우어 군

\text{Br}(R)

이다.

3. 2. 브라우어 군의 정의

스킴

S

위의 두 아즈마야 대수

\mathcal A

,

\mathcal A'

에 대하여, 이들의 텐서곱

\mathcal A\otimes_{\mathcal O_X}\mathcal A'

역시

S

위의 아즈마야 대수를 이룬다. 따라서,

S

위의 아즈마야 대수들은 텐서곱 연산에 대하여 모노이드 구조를 가진다.

스킴

S

위의 두 아즈마야 대수

\mathcal A

,

\mathcal A'

가 '''브라우어 동치'''(Brauer-equivalent^영어)라는 것은, 다음 조건을 만족시키는

\mathcal O_X

-국소 자유 가군층

\mathcal E

및

\mathcal E'

이 존재하는 경우를 말한다.^[7]

:

\mathcal A\otimes_{\mathcal O_X}\underline{\operatorname{End}}(_{\mathcal O_X}\mathcal E)\cong\mathcal A'\otimes_{\mathcal O_X}\underline{\operatorname{End}}(_{\mathcal O_X}\mathcal E')

여기서

\underline{\operatorname{End}}(_{\mathcal O_X}\mathcal E)

는 가군층

\mathcal E

의 자기 준동형 사상들로 이루어진 대수층을 의미한다.

브라우어 동치는

S

-아즈마야 대수들 사이의 동치 관계를 형성한다. 이 동치 관계는 텐서곱 연산을 보존하므로,

S

-아즈마야 대수의 브라우어 동치류들은 텐서곱에 대하여 모노이드를 이룬다. 더 나아가, 이 모노이드는 실제로 군 구조를 가지며, 이를

S

의 '''브라우어 군'''(Brauer group^영어)이라고 부르고

\operatorname{Br}(S)

로 표기한다. 브라우어 군에서, 아즈마야 대수

\mathcal A

의 동치류

[\mathcal A]

의 역원은 그 반대 대수층

\mathcal A^{\operatorname{op}}

의 동치류

[\mathcal A^{\operatorname{op}}]

이다. 즉,

[\mathcal A] \otimes [\mathcal A^{\operatorname{op}}] = [\mathcal A \otimes \mathcal A^{\operatorname{op}}]

는 브라우어 군의 항등원(단위 행렬 대수층의 동치류)과 같다.

가환환

R

위의 아즈마야 대수

A, A'

에 대해, 어떤 자연수

n, m

에 대하여 다음의 환 동형이 존재하면 두 대수가 '''유사'''(similar)하다고 정의할 수도 있다.^[1]

:

A\otimes_RM_n(R) \cong A'\otimes_RM_m(R)

여기서

M_n(R)

은

R

위의

n \times n

행렬환을 나타낸다. 이 유사 관계는 동치 관계이며, 텐서곱 연산을 보존한다. 즉,

A_1 \sim A_1'

이고

A_2 \sim A_2'

이면

A_1\otimes_RA_2 \sim A_1'\otimes_RA_2'

가 성립한다. 따라서 유사 동치류들 사이에 텐서곱 연산

[A_1]\otimes [A_2] = [A_1\otimes_R A_2]

를 잘 정의할 수 있다. 이 연산은 유사 동치류들의 집합에 군 구조를 부여하며, 이 군을

R

의 '''브라우어 군'''이라고 부르고

\text{Br}(R)

로 표기한다.

체

R

위에서는 에탈 코호몰로지를 이용한 정의도 가능하다. '''코호몰로지 브라우어 군'''은 다음과 같이 정의된다.

:

\text{Br}_\text{coh}(R) := \text{H}_{et}^2(\text{Spec}(R),\mathbb{G}_m)_\text{tors}

여기서

\text{H}_{et}^2

는 2차 에탈 코호몰로지 군,

\text{Spec}(R)

는 환

R

의 스펙트럼,

\mathbb{G}_m

은 곱셈 군 스킴,

()_\text{tors}

는 꼬임 부분군을 나타낸다.

R

이 체일 경우, 아즈마야 대수의 유사류로 정의된 브라우어 군

\text{Br}(R)

과 코호몰로지 브라우어 군

\text{Br}_\text{coh}(R)

은 서로 동형이다.

3. 3. 코호몰로지적 관점

스킴

S

의 브라우어 군

\operatorname{Br}S

에서

\mathbb G_{\operatorname m}

계수의 2차 에탈 코호몰로지 군으로 가는 표준적인 단사 군 준동형이 존재한다.^[7]

:

\iota\colon\operatorname{Br}S\to\operatorname H^2_{\operatorname{\acute et}}(S;\mathbb G_{\operatorname m})

구체적으로 이는 다음과 같다.

S

위의 아즈마야 대수

\mathcal A

가 주어졌을 때, 작은 에탈 위치

S_{\operatorname{\acute et}}

위에 특정 올범주

\mathcal F_{\mathcal A}

가 존재한다. 이 올범주의 대상은 유한 차원

\mathcal O_U

-국소 자유 가군층

\mathcal E

와 동형 사상

\alpha\colon\underline{\operatorname{End}}(_{\mathcal O_U}\mathcal E)\to\mathcal A\otimes_{\mathcal O_S}{\iota_U}_*\mathcal O_U

의 순서쌍

(\mathcal E,\alpha)

이다.

이 올범주는 스택이자 제르브이며,

\mathbb G_{\operatorname m}

(가역 정칙 함수들의 층)는 그 위에 다음과 같이 작용한다.

:

\mathbb G_{\operatorname m}(U)=\Gamma(U,\mathcal O_U^\times)\to\operatorname{Aut}_U(\mathcal E,\alpha)

:

\left(g\in\Gamma(U,\mathcal O_U^\times)\right)\mapsto(g\cdot\colon\mathcal E\to\mathcal E)

따라서, 이 제르브는 2차 에탈 코호몰로지 군

\operatorname H^2_{\operatorname{\acute et}}(S;\mathbb G_{\operatorname m})

의 원소를 나타낸다.

만약

S

가 유한 개의 연결 성분만을 갖는다면, 단사 군 준동형

\iota\colon\operatorname{Br}S\hookrightarrow\operatorname H_{\operatorname{\acute et}}^2(S;\mathbb G_{\operatorname m})

의 상은 꼬임 부분군

\operatorname{Tors}(\operatorname H_{\operatorname{\acute et}}^2(S;\mathbb G_{\operatorname m}))

에 포함된다. 즉, 이 경우 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

:

\operatorname{Br}S\subseteq\operatorname{Tors}(\operatorname H_{\operatorname{\acute et}}^2(S;\mathbb G_{\operatorname m}))\subseteq\operatorname H_{\operatorname{\acute et}}^2(S;\mathbb G_{\operatorname m})

체

R

위에서, 에탈 코호몰로지를 사용하여 아즈마야 대수를 분류하는 코호몰로지적 분류가 존재한다. 이 그룹은 브라우어 군이라고 불리며, 링

R

위의 아즈마야 대수의 '''유사류'''^[1]로 정의될 수도 있다. 여기서 두 아즈마야 대수

A, A'

는 어떤 자연수

n, m

에 대해 다음의 링 동형이 존재하면 유사하다고 한다.

:

A\otimes_RM_n(R) \cong A'\otimes_RM_m(R)

이 관계는 실제로 동치 관계이며,

A_1 \sim A_1'

,

A_2 \sim A_2'

이면

A_1\otimes_RA_2 \sim A_1'\otimes_RA_2'

가 성립하므로,

:

[A_1]\otimes [A_2] = [A_1\otimes_R A_2]

는 잘 정의된 연산이다. 이는 이러한 동치류 집합에 그룹 구조를 형성하며, 이를 '''브라우어 군'''이라고 부르고

\text{Br}(R)

로 표기한다. 또 다른 정의는 에탈 코호몰로지 군의 꼬임 부분군으로 주어지는데,

:

\text{Br}_\text{coh}(R) := \text{H}_{et}^2(\text{Spec}(R),\mathbb{G}_m)_\text{tors}

이것을 '''코호몰로지 브라우어 군'''이라고 부른다. 이 두 정의는

R

이 체일 때 일치한다.

갈루아 코호몰로지를 사용하여 브라우어 군을 정의하는 또 다른 동치 정의가 있다. 체 확대

E/F

에 대해 다음과 같이 정의되는 코호몰로지적 브라우어 군이 존재한다.

:

\text{Br}^\text{coh}(E/F):= H^2_{\text{Gal}}(\text{Gal}(E/F), E^\times)

그리고

F

에 대한 코호몰로지적 브라우어 군은 다음과 같이 정의된다.

:

\text{Br}^\text{coh}(F) = \underset{E/F}{\text{colim}} H^2_{\text{Gal}}(\text{Gal}(E/F), E^\times)

여기서 colimit는 모든 유한 갈루아 체 확대를 대상으로 한다.

비아르키메데스 국소체

F

위에서, 예를 들어 ''p''진수

\mathbb{Q}_p

와 같은 경우, 국소체론은 아벨 군의 동형사상을 제공한다:^[4]

:

\text{Br}^\text{coh}(F) \cong \Q/\Z.

이는 아벨 체 확대

E_2/E_1/F

가 주어지면, 갈루아 군의 다음 완전 짧은 열이 존재하기 때문이다.

:

0 \to \text{Gal}(E_2/E_1) \to \text{Gal}(E_2/F) \to \text{Gal}(E_1/F) \to 0

국소체론으로부터, 다음 가환 그림이 존재한다:^[5]

:

\begin{matrix}H^2_{\text{Gal}}(\text{Gal}(E_2/F),E_1^\times) &\to& H^2_{\text{Gal}}( \text{Gal}(E_1/F),E_1^\times) \\\downarrow & & \downarrow \\\left(\frac{1}{[E_2:E_1]}\Z\right)/\Z & \to & \left(\frac{1}{[E_1:F]}\Z\right)/\Z\end{matrix}

여기서 수직 사상은 동형사상이고, 수평 사상은 단사 사상이다.

쿠머 시퀀스^[6]를 상기하면,

1 \to \mu_n \to \mathbb{G}_m \xrightarrow{\cdot n} \mathbb{G}_m \to 1

은 체

F

에 대한 코호몰로지에서 긴 완전 시퀀스를 제공한다. 힐베르트 정리 90에 의해

H^1(F,\mathbb{G}_m) = 0

이므로, 다음과 같은 짧은 완전 시퀀스가 존재한다.

:

0 \to H^2_{et}(F,\mu_n) \to \text{Br}(F) \xrightarrow{\cdot n} \text{Br}(F) \to 0

이는

n

제곱근

\mu_n

을 계수로 갖는 두 번째 에탈 코호몰로지 군이 브라우어 군의

n

-꼬임 부분군과 같음을 보여준다.

:

H^2_{et}(F,\mu_n) = \text{Br}(F)_{n\text{-tors}}.

갈루아 기호, 또는 노름-나머지 기호는

n

-꼬임 밀너 K-이론 군

K_2^M(F)\otimes \Z /n

에서 에탈 코호몰로지 군

H^2_{et}(F,\mu_n^{\otimes 2})

으로의 사상으로, 다음과 같이 표기된다.

:

R_{n,F}:K_2^M(F)\otimes_\Z \Z /n\Z \to H^2_{et}(F,\mu_n^{\otimes 2})

^[6]

이것은 에탈 코호몰로지에서의 컵 곱과 힐베르트 정리 90 동형사상의 합성에서 유래한다.

:

\chi_{n,F}:F^*\otimes_\Z\Z/n \to H^1_\text{et}(F,\mu_n)

따라서

:

R_{n,F}(\{a,b\}) = \chi_{n,F}(a)\cup \chi_{n,F}(b)

이 사상은

H^2_\text{et}(F,\mu_n) = \text{Br}(F)_{n\text{-tors}}

를 통해 인수분해되는데, 여기서

\{a,b \}

에 대한 클래스는 순환 대수

[A(\sigma, b)]

로 표현된다. 쿠머 확대

E/F

에 대해

E = F(\sqrt[n]{a})

이고, 순환 군의 생성자

\sigma \in \text{Gal}(E/F)

를 취하여

[A(\sigma,b)]

를 구성한다. 갈루아 코호몰로지와 에탈 코호몰로지를 통해 동등하지만 다른 구성도 있다. 자명한

\text{Gal}(\overline{F}/F)

-가군에 대한 다음의 짧은 완전열을 고려해 보자.

:

0 \to \Z \to \Z \to \Z /n \to 0

다음의 긴 완전열은 다음 사상을 생성한다.

:

H^1_\text{Gal}(F,\Z /n) \xrightarrow{\delta} H^2_\text{Gal}(F,\Z )

다음의 고유한 문자

:

\chi:\text{Gal}(E/F) \to \Z /n

는

\chi(\sigma) = 1

이며, 다음의 고유한 올림이 존재한다.

:

\overline{\chi}:\text{Gal}(\overline{F}/F) \to \Z /n

그리고

:

\delta(\overline{\chi})\cup (b) = [A(\sigma,b)] \in \text{Br}(F)

여기서 클래스

(b)

는 힐베르트 정리 90 사상

\chi_{n,F}(b)

에서 온 것이다. 그러면, 원시

n

제곱근

\zeta \in \mu_n \subset F

이 존재하므로, 다음 클래스도 존재한다.

:

\delta(\overline{\chi})\cup(b) \cup (\zeta) \in H^2_\text{et}(F,\mu_n^{\otimes 2})

이것은 정확히 클래스

R_{n,F}(\{a,b\})

이다. 노름 나머지 동형 정리에 의해,

R_{n,F}

는 동형사상이며

\text{Br}(F)_{n\text{-tors}}

의

n

-꼬임 클래스는 순환 대수

[A(\sigma,b)]

에 의해 생성된다.

4. 성질

아즈마야 대수는 정의되는 기반 환의 종류에 따라 다양한 특징을 보이며, 여러 중요한 대수적 성질을 가진다.

체 위에서 정의될 경우, 아즈마야 대수는 중심 단순 대수와 동일한 개념으로 취급되며, 아르틴-베더번 정리와 같은 고전적인 결과들을 통해 그 구조가 상세히 밝혀져 있다. 이는 나눗셈 대수 위의 행렬환으로 표현될 수 있음을 의미한다.

보다 일반적인 가환환 위에서는 아즈마야 대수의 정의가 가군 이론과 밀접하게 연관된다. 예를 들어, 아즈마야 대수는 특정 조건을 만족하는 충실하고 사영적인 가군으로 특징지어질 수 있다.

구조적인 측면에서 중요한 정리 중 하나는 스콜렘-뇌터 정리이다. 이 정리는 아즈마야 대수의 자기 동형 사상이 국소적으로는 항상 내부 자기 동형, 즉 특정 가역원을 이용한 켤레 변환으로 표현될 수 있음을 보여준다.^[7] 스콜렘-뇌터 정리는 아즈마야 대수의 분류와 관련된 브라우어 군 이론 및 에탈 코호몰로지 이론에서 핵심적인 역할을 수행한다.

특히 대수적 수체와 같은 특정 환 위에서는 앨버트-브라우어-하세-뇌터 정리와 같은 국소-대역 원리가 성립하기도 한다. 이는 대수의 국소적인 성질(각 자리에서의 완비화)이 대역적인 성질(원래 수체 위의 구조)을 결정함을 의미하며, 대수적 수론에서 중요한 함의를 가진다.

이러한 다양한 성질들로 인해 아즈마야 대수는 환론, 대수기하학, 대수적 K이론 등 현대 수학의 여러 분야에서 중요한 연구 대상으로 다루어진다.

4. 1. 체 위의 아즈마야 대수

체

K

위의 단위 결합 대수

f\colon K\to A

에 대하여 다음 조건들은 서로 동치이다.

$A$ 는 $K$ 위의 아즈마야 대수이다.
$f$ 는 단사 함수이며, $A$ 의 중심 $\operatorname Z(A)$ 이 $K$ 와 같고, $A$ 의 $K$ -벡터 공간으로서의 차원 $\dim_KA$ 는 유한하다.
$A$ 는 양의 정수 차원을 갖는 $K$ -벡터 공간이며, 다음 조건을 만족시키는 유한 차수 분해 가능 확대 $L/K$ 및 양의 정수 $n\in\mathbb Z^+$ 이 존재한다.
* $A\otimes_KL\cong\operatorname{Mat}(n;K)$ (여기서 $\operatorname{Mat}(n;K)$ 는 $K$ 성분의 $n \times n$ 행렬환이다.)

이와 같이, 체 위의 아즈마야 대수를 '''중심 단순 대수'''(中心單純代數, central simple algebra^영어)라고 한다.

체

k

위의 아즈마야 대수는 중앙 단순 대수와 동일하기 때문에, 아르틴-베더번 정리에 의해 완전히 분류될 수 있다. 이러한 대수들은 중심이

k

인 어떤 나눗셈 대수

D

에 대한 행렬환

\mathrm{M}_n(D)

와 동형이다. 예를 들어, 사원수 대수는 중앙 단순 대수의 한 예이다.

4. 2. 가환환 위의 아즈마야 대수

가환환

R

위의 단위 결합 대수

A

에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.

$A$ 는 $R$ 위의 아즈마야 대수이다.
$_RA$ 는 충실한 가군이며, 사영 가군이며, $A\otimes_RA^{\operatorname{op}}\to\operatorname{End}(_RA)$ 는 $R$ -단위 결합 대수의 동형 사상이다.^[8]
$_RA$ 는 유한 생성 가군이며, 모든 극대 아이디얼 $\mathfrak m\subseteq R$ 에 대하여 $A/\mathfrak mA$ 는 $R/\mathfrak m$ -중심 단순 대수이다.^[8]

4. 3. 스콜렘-뇌터 정리

'''스콜렘-뇌터 정리'''(Skolem–Noether theorem^영어)는 아즈마야 대수의 중요한 구조적 결과 중 하나로, 아즈마야 대수의 모든 자기 동형은 내부 자기 동형임을 밝힌다.^[7] 구체적으로, 스킴

S

위의 아즈마야 대수

\mathcal A

의 임의의 자기 동형

f\colon\mathcal A\to\mathcal A

가 주어졌을 때,

S

의 아핀 열린 덮개

\{U_i\}_{i\in I}

와 각

U_i

에 대응하는 가역원

u_i\in\operatorname{Unit}(\Gamma(U_i,\mathcal A))

가 존재하여, 각 열린 부분

U_i

에서 자기 동형

f

는 다음과 같이 표현된다.^[7]

:

f|_{U_i}\colon a\mapsto u_iau_i^{-1}\qquad\forall i\in I

여기서

\operatorname{Unit}(-)

는 환의 가역원군을,

\Gamma

는 층의 단면 집합을 의미한다. 즉,

\mathcal A

의 가역원군

\mathcal A^*

에서 자기 동형군

\operatorname{Aut}(\mathcal A)

로 가는 사상

:

\begin{cases} \mathcal A^* \to \operatorname{Aut}(\mathcal A) \\ u \mapsto (a \mapsto uau^{-1}) \end{cases}

은 국소적으로 전사 함수이다.

특히,

S=\operatorname{Spec}K

가 체

K

의 스펙트럼일 경우, 모든

K

-중심 단순 대수

A

의 자기 동형

f\colon A\to A

는 어떤 가역원

u\in\operatorname{Unit}(A)

를 이용하여

f(a) = uau^{-1}

형태로 나타낼 수 있다.

스콜렘-뇌터 정리는 브라우어 군

\operatorname{Br}S

과 에탈 코호몰로지의 관계를 이해하는 데 중요한 역할을 한다. 스킴

S

의 브라우어 군

\operatorname{Br}S

에서 곱셈 군

\mathbb G_{\operatorname m}

을 계수로 가지는 2차 에탈 코호몰로지 군

\operatorname H^2_{\operatorname{\acute et}}(S;\mathbb G_{\operatorname m})

으로 가는 표준적인 단사 군 준동형

\iota

가 존재한다.^[7]

:

\iota\colon\operatorname{Br}S\hookrightarrow\operatorname H^2_{\operatorname{\acute et}}(S;\mathbb G_{\operatorname m})

구체적으로, 이 준동형은 다음과 같이 구성된다.

S

위의 아즈마야 대수

\mathcal A

가 주어졌을 때, 작은 에탈 위치

S_{\operatorname{\acute et}}

위에 올범주

\mathcal F_{\mathcal A}

를 정의할 수 있다. 에탈 위치의 대상

\left(\iota_U\colon(U,\mathcal O_U)\to(S,\mathcal O_S)\right)\in S_{\operatorname{\acute et}}

에 대하여, 올

\mathcal F_{\mathcal A}(U)

는 다음과 같다:

대상 $(\mathcal E,\alpha)$ 는 유한 차원 $\mathcal O_U$ -국소 자유 가군층 $\mathcal E$ 와 동형 사상 $\alpha\colon\underline{\operatorname{End}}(_{\mathcal O_U}\mathcal E)\to\mathcal A\otimes_{\mathcal O_S}{\iota_U}_*\mathcal O_U$ 의 순서쌍이다.
사상 $(E,\alpha)\to(E',\alpha')$ 은 적절한 가환 그림들을 만족시키는 동형 사상 $E\to E'$ 이다.

이 올범주

\mathcal F_{\mathcal A}

는 스택이자 제르브이며, 곱셈 군

\mathbb G_{\operatorname m}

는 그 위에 다음과 같이 작용한다:

:

\mathbb G_{\operatorname m}(U)=\Gamma(U,\mathcal O_U^\times)\to\operatorname{Aut}_U(\mathcal E,\alpha)

:

\left(g\in\Gamma(U,\mathcal O_U^\times)\right)\mapsto(g\cdot\colon\mathcal E\to\mathcal E)

따라서, 이 제르브는 2차 에탈 코호몰로지 군

\operatorname H^2_{\operatorname{\acute et}}(S;\mathbb G_{\operatorname m})

의 원소를 표현한다. 스콜렘-뇌터 정리는 이 구성에서 아즈마야 대수의 유사류를 코호몰로지적으로 분류하는 데 핵심적인 역할을 한다. 즉, 아즈마야 대수는 어떤

n

에 대해 구조군

\operatorname{PGL}_n

(사영 일반 선형군)을 가지며, 체흐 코호몰로지 군

\check{H}^1(S_{\operatorname{\acute et}},\operatorname{PGL}_n)

이 이러한 구조를 분류한다. 이는 짧은 완전열

:

1 \to \mathbb G_{\operatorname m} \to \operatorname{GL}_n \to \operatorname{PGL}_n \to 1

과 코호몰로지 긴 완전열을 통해

\operatorname H^2_{\operatorname{\acute et}}(S;\mathbb G_{\operatorname m})

과 연결된다.

또한, 만약

S

가 유한 개의 연결 성분만을 갖는다면, 단사 군 준동형

\iota

의 상은 꼬임 부분군

\operatorname{Tors}(\operatorname H_{\operatorname{\acute et}}^2(S;\mathbb G_{\operatorname m}))

에 포함된다. 즉, 다음 포함 관계가 성립한다:

:

\operatorname{Br}S\subseteq\operatorname{Tors}(\operatorname H_{\operatorname{\acute et}}^2(S;\mathbb G_{\operatorname m}))

4. 4. 수체 위의 중심 단순 대수

대수적 수체

K

위의 중심 단순 대수

A

가 주어졌다고 하자. '''앨버트-브라우어-하세-뇌터 정리'''(Albert–Brauer–Hasse–Noether theorem^eng)에 따르면, 만약 모든 자리

v

에 대하여

:

A\otimes_KK_v\cong\operatorname{Mat}(\dim_KA;K_v)

라면,

A\cong\operatorname{Mat}(\dim_KA;K)

이다. 이는 대수적 수론의 국소-대역 원리의 한 예이다. 이에 따라, 대수적 수체 위의 중심 단순 대수의 분류는 국소체 위의 중심 단순 대수의 분류로 귀결된다.

5. 예시

아즈마야 대수는 다양한 대수적, 기하학적 구조 위에서 정의되며 여러 중요한 예시를 포함한다. 가장 기본적인 경우는 체 위에서 정의되는 경우로, 이는 중앙 단순 대수와 동일한 개념이다.^[3] 또한 가환 국소환 위에서도 아즈마야 대수를 생각할 수 있으며, 이는 해당 환의 잉여류체 위의 중심 단순 대수와 깊은 연관성을 가진다.

브라우어 군 연구에서 중요한 역할을 하는 순환 대수 역시 아즈마야 대수의 한 종류이다. 더 나아가 대수기하학의 관점에서는 스킴 위에서 정의되는 아즈마야 대수를 다루는데, 이는 국소적으로 행렬 대수 층과 동형인 대수 층으로 이해할 수 있다. 구체적으로 정수환의 특정 국소화 위에서의 사원수 대수나 사영 공간 위에서 벡터 다발의 자기 사상층을 이용해 구성된 대수 등이 스킴 위 아즈마야 대수의 예시에 해당한다.^[1]

5. 1. 체 위의 예시

체

k

위의 아즈마야 대수는 중앙 단순 대수와 동일하며, 아르틴-베더번 정리에 의해 완전히 분류된다. 구체적으로, 이러한 대수들은 중심이

k

인 어떤 나눗셈 대수

D

에 대한 행렬환

\mathrm{M}_n(D)

와 동형이다. 예를 들어, 사원수 대수는 중앙 단순 대수의 대표적인 예시이다.

5. 2. 국소환 위의 예시

가환 국소환

(R,\mathfrak{m})

이 주어졌을 때,

R

-대수

A

가 아즈마야 대수일 필요충분조건은

A

가

R

-가군으로서 양의 유한 계수를 갖는 자유 가군이고, 대수

A\otimes_R(R/\mathfrak{m})

가 체

R/\mathfrak{m}

위의 중심 단순 대수라는 것이다. 따라서 모든 예는

R/\mathfrak{m}

위의 중심 단순 대수에서 나온다.

5. 3. 순환 대수

아즈마야 대수에는 순환 대수(cyclic algebra)라는 중요한 종류가 포함된다. 이 순환 대수들의 유사성 클래스는 주어진 체

K

위의 모든 아즈마야 대수의 유사성 클래스, 즉 브라우어 군

\text{Br}(K)

의 모든 원소를 생성한다.

구체적으로, 차수가

n

인 유한 순환 갈루아 체 확장

L/K

가 주어졌다고 하자. 이때 갈루아 군

\text{Gal}(L/K)

의 생성자

\sigma

와

K

의 0이 아닌 원소

b \in K^*

를 이용하여 순환 대수를 정의할 수 있다. 이 순환 대수는 일종의 꼬인 다항식 환

L[x]_\sigma

(때로는

A(\sigma,b)

로 표기)으로 구성되며, 다음 두 조건을 만족하는 원소

x

에 의해 생성된다.

$x^n = b$
모든 $l \in L$ 에 대해 $l \cdot x = \sigma(l) \cdot x$ (교환 법칙)

이 순환 대수

L[x]_\sigma

는

L

위의 벡터 공간으로 볼 수 있으며, 기저(basis)는

1, x, x^2, \ldots, x^{n-1}

이다. 이 기저 원소들 사이의 곱셈은 다음과 같이 정의된다.

x^i \cdot x^j = \begin{cases}x^{i + j} & \text{ 만약 } i + j < n \\x^{i + j - n}b & \text{ 만약 } i + j \geq n \\\end{cases}

또한, 기하학적인 관점에서 정수적인 다양체^[3]

X/K

가 주어지면, 이와 관련된 몫 체 확장

\text{Frac}(X_L)/\text{Frac}(X)

에 대한 순환 대수도 존재한다.

5. 4. 스킴 위의 예시

스킴

X

위의 아즈마야 대수는 구조층

\mathcal{O}_X

위의 대수 층으로, 국소적으로 행렬 대수 층과 동형인 성질을 가진다. 이는 스킴 위의 행렬 대수 층을 '꼬아놓은' 형태로 볼 수 있다. 다음은 스킴 위 아즈마야 대수의 구체적인 예시들이다.

=== Spec(Z[1/n]) 위의 사원수 대수 ===

체 위에서 정의되는 사원수 대수를 정수환의 국소화

\Z[1/n]

위의 대수로 일반화하여 스킴

\text{Spec}(\Z[1/n])

위에서 생각할 수 있다.

a, b

를

\Z[1/n]

의 원소라고 할 때, 사원수 대수

A_{a,b}

는 다음과 같이 정의된다.

:

A_{a,b} = \frac{\Z[1/n]\langle i, j, k \rangle}{i^2 - a, j^2 - b, ij - k, ji + k}

이 대수에 대응하는

\mathcal{O}_X

-대수의 층

\mathcal{A}_{a,b}

는 스킴

X = \text{Spec}(\Z[1/n])

위의 아즈마야 대수가 된다.

여기서 스킴을

\text{Spec}(\Z)

전체가 아닌 열린 부분 스킴

\text{Spec}(\Z[1/n])

으로 제한하는 이유는 사원수 대수의 '분할' 조건과 관련이 있다. 사원수 대수

A_{a,b}

가 소수

p

에 대응하는 점

(p)

에서 분할 대수(즉, 행렬 대수와 동형)가 될 필요충분조건은 힐베르트 기호

(a,b)_p = 1

이다. 이 조건은

n

의 소인수를 제외한 거의 모든 소수

p

에 대해 성립한다. 따라서

\text{Spec}(\Z[1/n])

위에서는

\mathcal{A}_{a,b}

가 대부분의 점에서 행렬 대수와 유사한 성질을 가지게 되어 아즈마야 대수의 조건을 만족시키기 용이하다.

===

\mathbb{P}^n_k

위의 아즈마야 대수 ===

사영 공간

\mathbb{P}^n_k

위에서도 아즈마야 대수를 구성할 수 있다. 한 가지 방법은 체

k

위의 아즈마야 대수

A

와

\mathbb{P}^n_k

위의 벡터 다발

\mathcal{E}

의 자기 사상층

\mathcal{End}_k(\mathcal{E})

를 이용하는 것이다. 이 둘의 텐서 곱

\mathcal{End}_k(\mathcal{E})\otimes_k A

는

\mathbb{P}^n_k

위의 아즈마야 대수를 이룬다.^[1]

예를 들어,

\mathbb{P}^n_k

위의 벡터 다발

\mathcal{E} = \mathcal{O}(a)\oplus \mathcal{O}(b)

(여기서

\mathcal{O}(m)

은 세르 뒤틀림 층)을 생각해보자. 이 벡터 다발의 자기 사상층은 다음과 같은 행렬 형태의 층으로 주어진다.

:

\mathcal{End}_k(\mathcal{O}(a)\oplus \mathcal{O}(b)) = \begin{pmatrix} \mathcal{O} & \mathcal{O}(b-a) \\ \mathcal{O}(a-b) & \mathcal{O} \end{pmatrix}

이 자기 사상층

\mathcal{End}_k(\mathcal{E})

자체도

\mathbb{P}^n_k

위의 (계수가 2인) 아즈마야 대수이다.

더 나아가, 이 자기 사상층

\mathcal{End}_k(\mathcal{E})

에 체

k

위의 임의의 아즈마야 대수

A

(예:

k

위의 사원수 대수)를 텐서 곱한

\mathcal{A} = \mathcal{End}_k(\mathcal{E})\otimes_k A

역시

\mathbb{P}^n_k

위의 아즈마야 대수가 된다.

6. 역사

체 위의 아즈마야 대수(중심 단순 대수)는 나눗셈환의 분류와 관련하여 19세기 말부터 연구되기 시작했다.

1878년에 페르디난트 게오르크 프로베니우스는 오늘날의 용어로 실수체 $\mathbb R$ 의 브라우어 군 $\operatorname{Br}(\mathbb R)\cong\mathbb Z/2$ 을 계산하였다 (프로베니우스 정리).^[9] 1905년 조지프 웨더번은 유한체의 브라우어 군이 자명하다는 것을 증명하였는데 (웨더번 소정리),^[10] 이는 현대적인 용어로 표현한 것이다. 그러나 웨더번의 첫 증명에는 약간의 결함이 있었으며, 레너드 유진 딕슨이 최초로 올바른 증명을 발표하였다.^[11]

브라우어 군은 리하르트 브라우어가 1932년에 정의하였다.^[12]

아즈마야 고로는 1951년에 "고유 극대 중심 대수"(proper maximally central algebra^영어)라는 이름으로 이 개념을 도입하였다.^[13]^[8] 다만, 아즈마야는 이 용어를 정의할 때 자유 가군이어야 한다는 조건을 추가하였다. 이후 1964년에서 1965년 사이 니콜라 부르바키 세미나에서 알렉산더 그로텐디크가 아즈마야의 정의를 일반화하여 스킴 위의 아즈마야 대수를 정의하였고, "아즈마야 대수"라는 용어를 처음 사용하였다.^[14]^[15]

7. 응용

아즈마야 대수는 디오판토스 기하학에서 중요한 응용 분야를 가지며, 특히 유리 마닌의 연구에서 그 중요성이 부각된다. 하세 원리에 대한 마닌 장애는 스킴의 브라우어 군을 사용하여 정의된다.

참조

_[1] 서적 Étale cohomology https://www.jmilne.o[...] Princeton University Press 1980
_[2] 논문 Azumaya categories https://link.springe[...]
_[3] 문서
_[4] 서적 Local Fields https://www.worldcat[...] Springer New York 1979
_[5] 웹사이트 Lectures on Cohomological Class Field Theory https://ocw.mit.edu/[...]
_[6] 서적 Algebraic K-Theory https://www.worldcat[...] Birkhäuser Boston 1994
_[7] 서적 Étale cohomology http://press.princet[...] Princeton University Press 1980
_[8] 저널 "''K''-theory of Azumaya algebras" Queen’s University Belfast 2010-09
_[9] 저널 Ueber lineare Substitutionen und bilineare Formen http://resolver.sub.[...] 1878
_[10] 저널 A theorem on finite algebras https://archive.org/[...] 1905-07-01
_[11] 저널 In pursuit of the finite division algebra theorem and beyond: Joseph H. M. Wedderburn, Leonard E. Dickson, and Oswald Veblen 1983
_[12] 저널 Über die algebraische Struktur von Schiefkörpern http://resolver.sub.[...] 1932
_[13] 저널 On maximally central algebras http://projecteuclid[...]
_[14] 서적 Dix exposés sur la cohomologie des schémas Masson, North-Holland 1968
_[15] 저널 Exposé № 297. Le groupe de Brauer: II. Théories cohomologiques http://www.numdam.or[...]

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