양-밀스 질량 간극 가설

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1. 개요
2. 배경
3. 문제의 상세 설명
4. 4차원 퍼텐셜
5. 양-밀스 이론의 중요성
- 5.1. 쿼크 가둠
참조

1. 개요

양-밀스 질량 간극 가설은 4차원 양자 게이지 이론의 완전한 수학적 예시를 찾는 문제로, 클레이 수학 연구소의 밀레니엄 문제 중 하나이다. 이 문제는 양-밀스 이론이 질량 간극을 가지는지를 증명하는 것으로, 이는 이론 내에서 최소 질량을 가진 입자의 존재를 의미한다. 이 가설은 4차원 양자장 이론의 구성적 정의와 질량 간극의 존재를 수학적으로 엄밀하게 증명하는 것을 요구하며, 특히 비가환 리 군을 갖는 양-밀스 이론에서 색 가둠 현상과 관련된 글루볼의 질량 간극을 밝히는 것이 중요하다.

2. 배경

아서 제프와 에드워드 위튼은 클레이 연구소의 공식 문제 설명을 통해, 4차원 시공간에서 양자 게이지 이론의 완전한 수학적 예시와 상세한 정의가 아직 발견되지 않았음을 강조했다.^[1] 이는 수리물리학적 엄밀성을 만족하는 양-밀스 이론의 존재 증명이 중요한 이유 중 하나이다.

4차원에서 알려진 대부분의 상호작용하는 양자장 이론은 컷오프 규모를 가지는 유효 이론이다. 이들 모델은 베타 함수가 양수일 때 란다우 극을 가지는 경향이 있으며, UV 고정점의 존재 여부가 불분명하다. 따라서 이러한 이론들이 모든 규모에서 잘 정의된다면, 이는 자명한(자유장 이론) 것일 가능성이 있다.

그러나 양자 양-밀스 이론은 점근적 자유로 인해 자명한 적외 고정점을 가지므로 예외에 해당한다. 이는 4차원에서 가장 간단한 자명하지 않은 구성적 양자장 이론이다. 비가환 리 군에서 양자 양-밀스 이론은 색가둠 속성을 나타내는 것으로 알려져 있다.

양-밀스 질량 간극 가설은 Wightman 공리를 만족하고 질량 간극의 존재를 보이는 양자장 이론(QFT) 구축을 요구한다.^[1]

2. 1. 양자장 이론

아서 제프와 에드워드 위튼은 4차원 시공간에서 양자 게이지 이론에 대한 완전한 수학적 예시와 상세한 정의가 아직 발견되지 않았다고 언급했다.^[1]

4차원에서 알려진 대부분의 자명하지 않은(상호작용하는) 양자장 이론은 컷오프 규모를 가지는 유효 이론이다. 베타 함수가 양수인 대부분의 모델은 란다우 극을 가지는 것으로 보이며, UV 고정점의 존재 여부가 불분명하다. 따라서 이러한 양자장 이론이 모든 규모에서 잘 정의된다면, 이는 자명한(자유장 이론) 것일 가능성이 있다.

양자 양-밀스 이론은 점근적 자유로 인해 자명한 적외 고정점을 가지므로 예외에 해당한다. 이는 4차원에서 가장 간단한 자명하지 않은 구성적 양자장 이론이다. (양자 색역학은 쿼크를 포함하므로 더 복잡하다.)

비가환 리 군에서 양자 양-밀스 이론은 색가둠 속성을 나타내는 것으로 알려져 있다.

밀레니엄 문제는 Wightman 공리를 만족하고 질량 간극의 존재를 보이는 양자장 이론(QFT) 구축을 요구한다.^[1] Wightman 공리의 4가지 내용은 다음과 같다.

;W0 (상대론적 양자역학에 대한 가정)

: 양자역학은 존 폰 노이만에 따라 기술되며, 순수한 상태는 분리 가능 복소 힐베르트 공간의 광선으로 주어진다. 푸앵카레 군은 힐베르트 공간에서 유니타리적으로 작용하며, 위치 의존적인 연산자인 '''''양자장'''''이 푸앵카레 군의 표현을 형성한다. 시공간 평행 이동 군은 가환적이므로, 연산자는 동시에 대각화할 수 있다. 이 군의 생성자는 에너지-운동량 4-벡터로 변환되는 4개의 자기 수반 연산자

P_j,j=0,1,2,3

를 제공한다. 에너지-운동량의 동시 스펙트럼은 전방 원뿔에 포함된다.

::

P_0\geq 0,\;\;\;\;P_0^2 - P_jP_j\geq 0.

:힐베르트 공간에는 푸앵카레 군의 작용에 대해 불변하는 고유한 상태인 진공이 존재한다.

;W1 (장의 영역 및 연속성에 대한 가정)

:각 테스트 함수 ''f''에 대해, 진공을 포함하는 힐베르트 상태 공간의 조밀한 부분 집합에서 정의되는 연산자 집합

A_1(f),\ldots ,A_n(f)

과 켤레 연산자가 존재한다. 장 ''A''는 연산자 값을 갖는 템퍼링된 분포이다. 힐베르트 상태 공간은 진공에 작용하는 장 다항식에 의해 생성된다(순환성 조건).

;W2 (장의 변환 법칙)

:장은 푸앵카레 군의 작용에 대해 공변하며, 스핀이 정수가 아닌 경우 로렌츠 군 또는 SL(2,'''C''')의 어떤 표현 S에 따라 변환된다.

::

U(a,L)^{\dagger}A(x)U(a,L)=S(L)A(L^{-1}(x-a)).

;W3 (국소 가환성 또는 미시적 인과성)

:두 장의 지지대가 공간적으로 분리된 경우, 장은 서로 가환하거나 반가환한다.

진공의 순환성과 고유성은 별도로 고려되기도 한다. 또한, 점근적 완전성 속성(힐베르트 상태 공간이 충돌 S 행렬에 나타나는 점근적 공간

H^{in}

과

H^{out}

에 의해 생성됨)과 공리에 의해 요구되지 않는 질량 간극(에너지-운동량 스펙트럼이 0과 어떤 양의 숫자 사이에 간극이 존재)이 있다.

2. 2. 양-밀스 이론

양-밀스 이론은 비가환 게이지군을 기반으로 하는 양자장 이론의 한 종류이다. 점근적 자유성을 특징으로 가지며, 이는 이론이 높은 에너지에서 약하게 상호작용한다는 것을 의미한다. 즉, 이 이론은 자명한 UV 고정점을 가진다. 따라서 4차원에서 가장 간단한 비자명 구성적 QFT이다.

양자 색역학(QCD)은 쿼크를 포함하는 양-밀스 이론의 한 예시이다. QCD는 색 가두기 현상을 설명하는데, 이는 쿼크와 글루온이 강하게 상호작용하여 색전하를 띤 입자들이 개별적으로 존재할 수 없고, 글루볼과 같이 색중성인 입자들만 관측 가능하다는 것을 의미한다.^[14] 글루볼이 존재한다면 질량을 가지므로, 질량 간극의 존재가 기대된다.

2. 3. 질량 간극

양자장론에서 '''질량 간극'''은 진공과 다음으로 낮은 에너지 준위 사이의 에너지 차이를 말한다. 진공의 에너지는 정의상 0이며, 모든 에너지 상태가 평면파의 입자로 생각될 수 있다고 가정하면, 질량 간극은 가장 가벼운 입자의 질량이다.

주어진 실수장

\phi(x)

에 대해, 2점 함수가 다음 속성을 갖는다면 이론에 질량 간극이 있다고 말할 수 있다.

:

\langle\phi(0,t)\phi(0,0)\rangle\sim \sum_nA_n\exp\left(-\Delta_nt\right)

여기서

\Delta_0>0

은 해밀토니안 스펙트럼에서 가장 낮은 에너지 값이며, 따라서 질량 간극이다. 이 양은 다른 장으로 일반화하기 쉬우며, 격자 계산에서 일반적으로 측정된다. 이러한 방식으로 양-밀스 이론이 격자에서 질량 간극을 갖는다는 것이 증명되었다.^[6]^[7]

3. 문제의 상세 설명

이 문제는 Wightman 공리를 만족하고 질량 간극이 존재함을 보이는 양자장론(QFT) 구축을 요구한다.

문제는 다음과 같다.^[8]

:임의의 콤팩트 단순 게이지군 G에 대해, 비자명한 양-밀스 이론이 $\mathbb{R}^4$ 위에 존재하며, 질량 간극 Δ > 0을 가짐을 증명하라. 존재함은 Streater|Wightman|1964^영어, Osterwalder|Schrader|1973^영어 및 Osterwalder|Schrader|1975^영어에 언급된 것과 최소한 동등 이상으로 강력한 공리적 성질을 확립하는 것을 포함한다.

이 진술에서, 양-밀스 이론은 소립자물리학의 표준 모형의 기초가 되는 것과 유사한 비가환적인 양자장론이다. $\mathbb{R}^4$ 는 4차원 유클리드 공간이며, Δ는 이 이론에 의해 예측되는 최소 질량을 가진 입자의 질량이다.

따라서, 수상자가 되기 위해서는 다음을 증명해야 한다.

양-밀스 이론이 존재하며, 현대 수리물리학, 특히 구성적 장론을 특징짓는 엄밀성의 기준을 충족하는 것.^[9]^[10]

그 이론이 예측하는 힘장(力場)에서 최소 질량을 갖는 입자의 질량이 엄밀히 양수라는 것.

예를 들어, G=SU(3) (강력)인 경우, 글루볼의 질량에 하한이 존재하며, 그보다 가벼워질 수 없음을 증명해야 한다.

4. 4차원 퍼텐셜

아인슈타인의 방정식은 시공간 곡률이 물질-에너지 함량에 의해 생성된다는 것이다.

:

\Delta\phi=f

여기서

\Delta

는 라플라스-벨트라미 연산자이며, 이는

M

이 평탄할 때 라플라스 연산자와 같다.

:

\Delta G_n(\mathbf r)=-\delta^{(n)}(\mathbf r)

여기서

\delta^{(n)}

는

n

차원 디랙 델타 함수다.

가우스 법칙의 결과로 퍼텐셜 V의 음의 라플라시안은 디랙 델타 함수와 같다.

:

\Delta V(\mathbf x) = -4\pi k Q\delta(\mathbf x).

물질(또는 전하)의 보다 일반적인 분포는 포아송 방정식을 갖는 컨볼루션에 의해 얻어진다.

:

\Delta V(\mathbf x) = -4\pi k \rho(\mathbf x)

여기서 ρ는 분포 함수이다. 아인슈타인 방정식은 시공간 곡률이 물질-에너지 함량에 의해 생성된다는 것이다. 상수 γ는 아인슈타인 방정식과 관련된 4차원 퍼텐셜에서도 유사한 역할을 한다.^[15]

:

R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} R g_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = \frac{8 \pi G}{c^4} T_{\mu\nu},

여기서

R_{\mu\nu}

는 리치 곡률 텐서,

R

은 스칼라 곡률,

g_{\mu\nu}

는 미터법 텐서,

\Lambda

는 우주 상수,

G

는 뉴턴의 중력 상수,

c

는 진공에서의 빛의 속도,

T_{\mu\nu}

는 응력-에너지 텐서이다. 아인슈타인 방정식의 왼쪽은 계량 텐서의 라플라시안의 비선형 유사체이며, 약한 장 한계에서 축소된다.

5. 양-밀스 이론의 중요성

양-밀스 이론은 4차원 양자장 이론에서 특별한 위치를 차지한다. 4차원에서 상호작용하는 대부분의 양자장 이론은 컷오프 규모를 가지는 유효장론이며, 베타 함수가 양수이므로 란다우 극을 가질 것으로 예상된다. 이는 이러한 이론들이 모든 규모에서 잘 정의된다면 자명한(trivial) 자유장 이론이 될 수 있음을 의미한다.^[8]

그러나 게이지군이 아벨 군이 아니고 쿼크를 포함하지 않는 양자 양-밀스 이론은 예외이다. 이 이론은 점근적 자유성을 가지므로 자명한 UV 고정점을 갖는다. 따라서 양-밀스 이론은 4차원에서 가장 간단한 비자명 구성적 양자장 이론 중 하나이다.^[8] 양자 색역학(QCD)은 쿼크를 포함하기 때문에 더 복잡한 이론이다.

5. 1. 쿼크 가둠

이론 물리학에서는 비가환 리 군에 대한 양자 양-밀스 이론이 색가둠 속성을 갖는 것으로 알려져 있다. 그러나 수리물리학에서는 더 엄밀한 증명을 요구한다.^[13] QCD 스케일(정확히는 쿼크가 없으므로 가둠 스케일) 이상에서는 색 전하가 색역학적 플럭스 튜브로 연결되어 선형적인 포텐셜을 만든다. 따라서 고립된 색 전하나 글루온은 존재할 수 없다. 가둠이 없다면 질량이 없는 글루온을 볼 수 있겠지만, 가둠 때문에 글루온의 색 중성 결합 상태인 글루볼만 관찰된다. 글루볼이 존재한다면 질량을 가지며,^[14] 이것이 질량 간극이 예상되는 이유이다.

참조

_[1] 웹사이트 Quantum Yang-Mills theory https://www.claymath[...] 2023-06-20
_[2] 서적 PCT, spin and statistics, and all that Princeton University Press 2000
_[3] Harvtxt 1973
_[4] 간행물 The Unsolvable Problem https://www.scientif[...] 2018-10-01
_[5] 뉴스 Paradox at the heart of mathematics makes physics problem unanswerable https://www.nature.c[...] 2015-12-09
_[6] 간행물 Glueballs and k -strings in SU( N ) gauge theories: calculations with improved operators
_[7] 간행물 Glueball spectrum and matrix elements on anisotropic lattices
_[8] 문서 Quantum Yang-Mills theory. http://www.claymath.[...]
_[9] 문서 PCT, Spin and Statistics and all That W. A. Benjamin 1964
_[10] 문서 'Axioms for Euclidean Green’s functions' 1973, 1975
_[11] 간행물 Glueballs and k-strings in SU(N) gauge theories : calculations with improved operators
_[12] 간행물 Glueball Spectrum and Matrix Elements on Anisotropic Lattices
_[13] 문서
_[14] 문서
_[15] 서적 The pleasures of pi, e and other interesting numbers, Einstein's Field Equations and Their Physical Implications World Scientific Pub., Springer 2006, 2000

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