에르미트 다양체

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 에르미트 계량
- 2.2. 에르미트 다양체
3. 성질
- 3.1. 리만 구조
- 3.2. 천 접속 (Chern Connection)
4. 켈러 다양체
- 4.1. 적분 가능성
참조

1. 개요

에르미트 다양체는 정칙 접다발에 에르미트 계량을 갖는 복소다양체이며, 거의 에르미트 다양체는 정칙 접다발에 에르미트 계량을 갖는 거의 복소다양체이다. 에르미트 계량은 복소 벡터 다발의 각 올 위에 매끄럽게 변하는 양의 정부호 쌍선형 형식이다. 에르미트 다양체는 자연스러운 리만 계량을 가지며, 리만 계량과 연관된 (1,1)-형식 ω를 통해 부피 형식을 정의할 수 있다. 에르미트 다양체에서 가장 중요한 것은 켈러 다양체로, 에르미트 형식이 닫힌 형식인 에르미트 다양체이다.

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에르미트 다양체

2. 정의

개복소 다양체(또는 복소 다양체) $M$ 이 주어졌을 때, 접다발 $TM$ 위에 개복소구조 $J\in\Gamma^\infty(\operatorname{End}(TM))$ 가 주어져 $T^\pm M$ 을 정의할 수 있다.

'''에르미트 다양체''' $(M,h)$ 는 $T^\pm M$ 위에 에르미트 계량 $h\in\Gamma^\infty(T^{+*}M\otimes_{\mathbb C}T^{-*}M)$ 가 주어진 복소 다양체이다.

(거의) 복소 다양체 $M$ 위의 에르미트 구조는 다음 중 하나로 특정할 수 있다.

# 위에서 설명한 에르미트 계량 $h$

# 개복소 구조 $J$ 를 보존하는 리만 계량 $g$

# $J$ 를 보존하는 비퇴화 2-형식 $\omega$ 이며, 모든 0이 아닌 실수 접벡터 $u$ 에 대해 $\omega(u,Ju)>0$ 인 양의 정부호

많은 저자들이 $g$ 자신을 에르미트 계량이라고 부른다는 것에 주의한다.

2. 1. 에르미트 계량

매끄러운 다양체

M

위의

2n

차원 매끄러운 벡터 다발

E

에 개복소구조(almost complex structure)

J\in\Gamma^\infty(\operatorname{End}_{\mathbb R}(E))

(

J^2=-1

인 매끄러운 단면)가 주어졌다고 하자.

그렇다면,

E

위의 '''에르미트 계량'''(Hermitian metric)은 다음 두 성질을 만족시키는 매끄러운 단면

h\in\Gamma^\infty((E^+)^*\otimes_{\mathbb C}(E^-)^*)

이다. (

(-)^*

는 각 올에 대한 복소수 연속 쌍대 공간이다.)

$h_x(z^+,w^-)=\overline{h_x(z^-,w^+)}\in\mathbb C\qquad(\forall z,w\in E_x)$
$h_x(z^+,z^-)\in\mathbb R^+\qquad(\forall z\in E_x\setminus\{0\})$

여기서

\overline x

는 복소수의 복소켤레이다.

이를 국소 좌표계로 표현하면 다음과 같다.

E^+

의 첨자를

i,j,\dotsc

로,

E^-

의 첨자를

\bar i,\bar j,\dotsc

로 표기하고,

z\in E_x

에 대하여

z^+

의 성분을

z^i

로,

z^-

의 성분을

\bar z^{\bar i}

로 표기하면,

$h_{i\bar j}z^i\bar w^{\bar j}=\overline h_{i\bar j}z^i\bar w^{\bar j}\in\mathbb C\qquad(\forall z,w\in E_x)$
$h_{i\bar j}z^i\bar z^{\bar j}\in\mathbb R^+\qquad(\forall z\in E_x\setminus\{0\})$

첫째 조건은

h_{i\bar j}

가 에르미트 행렬을 이룬다는 것이며, 둘째 조건은 이 에르미트 행렬의 고윳값이 모두 양의 실수라는 것이다.

M

위의 복소 벡터 다발

E

에 대한 '''에르미트 계량'''은 각 올 위에 매끄럽게 변하는 양의 정부호 쌍선형 형식이다. 이러한 계량은 모든

M

의 점

p

에 대해,

(E\otimes\overline{E})^*

의 매끄러운 전역 단면

h

로 볼 수 있으며, 올

E_{p}

의 모든

\zeta

,

\eta

에 대해

:

h_p\mathord{\left(\eta, \bar\zeta\right)} = \overline{h_p\mathord{\left(\zeta, \bar\eta\right)}}

이고,

E_{p}

의 모든 0이 아닌

\zeta

에 대해

:

h_p\mathord{\left(\zeta, \bar\zeta\right)} > 0

이다.

'''에르미트 다양체'''는 정칙 접다발에 에르미트 계량을 갖는 복소다양체이다. 마찬가지로, '''거의 에르미트 다양체'''는 정칙 접다발에 에르미트 계량을 갖는 거의 복소다양체이다.

에르미트 다양체에서 계량은 국소 정칙 좌표

(z^\alpha)

로

:

h = h_{\alpha\bar\beta}\,dz^\alpha \otimes d\bar z^\beta

로 쓸 수 있으며, 여기서

h_{\alpha\bar\beta}

는 양의 정부호 에르미트 행렬의 성분이다.

에르미트 다양체 ''M'' 위의 에르미트 계량 ''h''는 기본 매끄러운 다양체 위에 리만 계량 ''g''를 정의한다. 계량 ''g''는 ''h''의 실수부로 정의된다.

:

g = {1 \over 2}\left(h + \bar h\right).

형식 ''g''는 복소화된 접다발인 ''TM''^'''C''' 위의 대칭 쌍선형 형식이다. ''g''는 켤레와 같으므로 ''TM'' 위의 실수 형식의 복소화이다. ''TM'' 위의 ''g''의 대칭성과 양의 정부호성은 ''h''의 해당 속성에서 따른다. 국소 정칙 좌표에서 계량 ''g''는 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

g = {1 \over 2}h_{\alpha\bar\beta}\,\left(dz^\alpha\otimes d\bar z^\beta + d\bar z^\beta\otimes dz^\alpha\right).

또한 ''h''에 (1,1) 차수의 복소 미분 형식 ω를 연관시킬 수도 있다. 형식 ω는 ''h''의 허수부의 음수로 정의된다.

:

\omega = {i \over 2}\left(h - \bar h\right).

다시 ω는 켤레와 같으므로 ''TM'' 위의 실수 형식의 복소화이다. 형식 ω는 '''연관된 (1,1) 형식''', '''기본 형식''', 또는 '''에르미트 형식'''이라고 불린다. 국소 정칙 좌표에서 ω는 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

\omega = {i \over 2}h_{\alpha\bar\beta}\,dz^\alpha\wedge d\bar z^\beta.

좌표 표현에서 분명하듯이, 세 가지 형식

h

,

g

,

\omega

중 하나가 다른 두 개를 고유하게 결정한다. 리만 계량

g

와 연관된 (1,1) 형식

\omega

는 다음과 같이 거의 복소 구조

J

와 관련이 있다.

:

\begin{align}\omega(u, v) &= g(Ju, v)\\g(u, v) &= \omega(u, Jv)\end{align}

모든 복소 접벡터

u

와

v

에 대해. 에르미트 계량

h

는 다음 항등식을 통해

g

와

\omega

에서 복구할 수 있다.

:

h = g - i\omega.

세 가지 형식 ''h'', ''g'', ω는 모두 거의 복소 구조

J

를 보존한다. 즉,

:

\begin{align}h(Ju, Jv) &= h(u, v) \\g(Ju, Jv) &= g(u, v) \\\omega(Ju, Jv) &= \omega(u, v)\end{align}

모든 복소 접벡터

u

와

v

에 대해.

따라서 (거의) 복소 다양체

M

위의 에르미트 구조는 다음 중 하나로 지정할 수 있다.

# 위에서 언급한 에르미트 계량

h

# 거의 복소 구조

J

를 보존하는 리만 계량

g

# 모든 0이 아닌 실수 접벡터

u

에 대해

\omega(u, Ju) > 0

과 같은 의미에서

J

를 보존하고 양의 정부호인 비퇴화 2-형식

\omega

.

2. 2. 에르미트 다양체

개복소다양체(또는 복소다양체)

M

이 주어졌을 때, 접다발

\mathrm TM

위에 개복소구조

J\in\Gamma^\infty(\operatorname{End}(\mathrm TM))

가 주어져

\mathrm T^\pm M

을 정의할 수 있다.

'''에르미트 다양체'''

(M,h)

는

\mathrm T^\pm M

위에 에르미트 계량

h\in\Gamma^\infty(\mathrm T^{+*}M\otimes_{\mathbb C}\mathrm T^{-*}M)

가 주어진 복소다양체이다.

M

위의 복소 벡터 다발

E

에 대한 '''에르미트 계량'''은 각 올 위에 매끄럽게 변하는 양의 정부호 쌍선형 형식이다. 이러한 계량은 모든

M

의 점

p

에 대해,

(E\otimes\overline{E})^*

의 매끄러운 전역 단면

h

로 볼 수 있으며, 다음이 성립한다.

:

h_p\mathord{\left(\eta, \bar\zeta\right)} = \overline{h_p\mathord{\left(\zeta, \bar\eta\right)}}

: 올

E_{p}

의 모든

\zeta

,

\eta

에 대해 성립.

:

h_p\mathord{\left(\zeta, \bar\zeta\right)} > 0

:

E_{p}

의 모든 0이 아닌

\zeta

에 대해 성립.

'''에르미트 다양체'''는 정칙 접다발에 에르미트 계량을 갖는 복소다양체이다. 마찬가지로, '''거의 에르미트 다양체'''는 정칙 접다발에 에르미트 계량을 갖는 거의 복소다양체이다.

에르미트 다양체에서 계량은 국소 정칙 좌표

(z^\alpha)

로

:

h = h_{\alpha\bar\beta}\,dz^\alpha \otimes d\bar z^\beta

로 쓸 수 있으며, 여기서

h_{\alpha\bar\beta}

는 양의 정부호 에르미트 행렬의 성분이다.

매끄러운 다양체

M

위의 복소 벡터 다발

E

에 대한 '''에르미트 계량'''은 각 섬유 위에서 매끄럽게 변하는 양의 정부호 에르미트 형식이다. 그러한 계량은 매끄러운 단면

:

h \in \Gamma(E\otimes\bar E)^*

이며,

E_p

의 임의의 원소

\zeta,\eta

에 대해

:

h_p(\eta, \bar\zeta) = \overline{h_p(\zeta, \bar\eta)}

이고,

E_p

의 임의의 0이 아닌 원소

\zeta

에 대해

:

h_p(\zeta,\bar\zeta) > 0

을 만족하는 단면으로 나타낼 수 있다.

3. 성질

모든 (거의) 복소다양체는 에르미트 계량을 갖는다. 이는 리만 계량에 대한 유사한 명제로부터 직접적으로 유도된다. 거의 복소다양체 ''M''에 임의의 리만 계량 ''g''가 주어지면, 다음과 같은 방식으로 거의 복소구조 ''J''와 호환되는 새로운 계량 ''g''′을 구성할 수 있다.

: $g'(u, v) = {1 \over 2}\left(g(u, v) + g(Ju, Jv)\right).$

거의 복소다양체 ''M''에 에르미트 계량을 선택하는 것은 ''M''에 U(''n'')-구조를 선택하는 것과 같다. 즉, ''M''의 틀 다발의 구조군을 GL(''n'', '''C''')에서 유니타리 군 U(''n'')으로 축소하는 것이다. 거의 에르미트 다양체 위의 '''유니타리 틀'''은 에르미트 계량에 관해 정규 직교인 복소 선형 틀이다.

모든 거의 에르미트 다양체 ''M''은 ''g''에 의해 결정되는 리만 부피 형식인 표준적인 부피 형식을 갖는다. 이 형식은 연관된 (1,1)-형식 $\omega$ 를 사용하여 다음과 같이 주어진다.

: $\mathrm{vol}_M = \frac{\omega^n}{n!} \in \Omega^{n,n}(M)$

여기서 $\omega^n$ 은 $\omega$ 를 n번 자기 자신과 쐐기곱한 것이다. 따라서 부피 형식은 ''M'' 위의 실수 (''n'',''n'')-형식이다. 국소 정칙 좌표에서 부피 형식은 다음과 같이 주어진다.

: $\mathrm{vol}_M = \left(\frac{i}{2}\right)^n \det\left(h_{\alpha\bar\beta}\right)\, dz^1 \wedge d\bar z^1 \wedge \dotsb \wedge dz^n \wedge d\bar z^n.$

정칙 벡터 다발에 대한 에르미트 계량도 고려할 수 있다.

3. 1. 리만 구조

모든 에르미트 다양체는 자연스러운 리만 계량을 가져, 리만 다양체를 이룬다. 이 경우 리만 계량은 다음과 같다.

:

g^{\mathbb C}=\frac12(h+\bar h)\in\Gamma^\infty\left(\mathrm T^*\!M\otimes_{\mathbb R}\mathrm T^*\!M\otimes_{\mathbb R}\mathbb C\right)

이 경우,

g^{\mathbb C}(u,v)=\bar g^{\mathbb C}

이므로, 이는

g\in\Gamma^\infty\left((\mathrm TM\otimes\mathrm TM)^*\right)

로 제약이 가능하며, 이는 리만 계량을 이룬다.

또한,

h

를 사용하여 다음과 같은 (1,1)-복소수 미분 형식

\omega\in\Omega^{1,1}(M)

를 정의할 수 있다.

:

\omega=\frac{\mathrm i}2(h-\bar h)

:

\omega_{\alpha\bar\beta}=\frac{\mathrm i}2h_{\alpha\bar\beta}\mathrm dz^\alpha\wedge\mathrm d\bar z^{\bar\beta}

에르미트 다양체 ''M'' 위의 에르미트 계량 ''h''는 기본 매끄러운 다양체 위에 리만 계량 ''g''를 정의한다. 계량 ''g''는 ''h''의 실수부로 정의된다.

:

g = {1 \over 2}\left(h + \bar h\right).

형식 ''g''는 복소화된 접다발인 ''TM''^'''C''' 위의 대칭 쌍선형 형식이다. ''g''는 켤레와 같으므로 ''TM'' 위의 실수 형식의 복소화이다. ''TM'' 위의 ''g''의 대칭성과 양의 정부호성은 ''h''의 해당 속성에서 따른다. 국소 정칙 좌표에서 계량 ''g''는 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

g = {1 \over 2}h_{\alpha\bar\beta}\,\left(dz^\alpha\otimes d\bar z^\beta + d\bar z^\beta\otimes dz^\alpha\right).

또한 ''h''에 (1,1) 차수의 복소 미분 형식 ω를 연관시킬 수도 있다. 형식 ω는 ''h''의 허수부의 음수로 정의된다.

:

\omega = {i \over 2}\left(h - \bar h\right).

다시 ω는 켤레와 같으므로 ''TM'' 위의 실수 형식의 복소화이다. 형식 ω는 다양하게 '''연관된 (1,1) 형식''', '''기본 형식''', 또는 '''에르미트 형식'''이라고 불린다. 국소 정칙 좌표에서 ω는 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

\omega = {i \over 2}h_{\alpha\bar\beta}\,dz^\alpha\wedge d\bar z^\beta.

세 가지 형식

h

,

g

,

\omega

중 하나가 다른 두 개를 고유하게 결정한다는 것은 좌표 표현에서 분명하다. 리만 계량

g

와 연관된 (1,1) 형식

\omega

는 다음과 같이 거의 복소 구조

J

와 관련이 있다.

:

\begin{align}\omega(u, v) &= g(Ju, v)\\g(u, v) &= \omega(u, Jv)\end{align}

모든 복소 접벡터

u

와

v

에 대해. 에르미트 계량

h

는 다음 항등식을 통해

g

와

\omega

에서 복구할 수 있다.

:

h = g - i\omega.

세 가지 형식 ''h'', ''g'', ω는 모두 거의 복소 구조

J

를 보존한다. 즉,

:

\begin{align}h(Ju, Jv) &= h(u, v) \\g(Ju, Jv) &= g(u, v) \\\omega(Ju, Jv) &= \omega(u, v)\end{align}

모든 복소 접벡터

u

와

v

에 대해.

따라서 (거의) 복소 다양체

M

위의 에르미트 구조는 다음 중 하나로 지정할 수 있다.

# 위에서 언급한 에르미트 계량

h

,

# 거의 복소 구조

J

를 보존하는 리만 계량

g

, 또는

# 모든 0이 아닌 실수 접벡터

u

에 대해

\omega(u,Ju) > 0

과 같은 의미에서

J

를 보존하고 양의 정부호인 비퇴화 2-형식

\omega

.

많은 저자가

g

자체를 에르미트 계량이라고 부른다는 점에 유의한다.

3. 2. 천 접속 (Chern Connection)

복소다양체

M

위의 해석적 벡터 다발

(E,J)

위에 에르미트 계량

h

가 주어졌다고 하자. 그렇다면,

E

위에는 다음 두 조건을 만족시키는 유일한 코쥘 접속

\nabla

가 존재한다. 이를 '''천 접속'''([陳]接續, Chern connection|천 접속^영어)이라고 한다.

$\nabla J=0$
$\nabla g=0$

만약

E=\mathrm TM

일 경우 (에르미트 다양체), 이는

\mathrm TM

위의 레비치비타 접속과는 다르며, 비틀림을 가진다. 다만, 만약 에르미트 다양체가 켈러 다양체인 경우, 비틀림이 0이며, 천 접속과 레비치비타 접속은 일치한다.

4. 켈러 다양체

에르미트 다양체 가운데 가장 중요한 부류는 켈러 다양체이다. 켈러 다양체는 에르미트 형식 $\omega$ 가 닫힌 형식인 에르미트 다양체이며, 다음 조건을 만족한다.

: $d\omega = 0$

이 경우 형식 $\omega$ 를 '''켈러 형식'''이라고 부른다. 켈러 형식은 심플렉틱 형식이므로, 켈러 다양체는 자연스럽게 심플렉틱 다양체가 된다.

수반하는 (1,1)-형식이 닫힌 概에르미트 다양체는 자연스럽게 '''概켈러 다양체'''라고 부른다. 임의의 심플렉틱 다양체에는 概켈러 다양체를 이루는 정합적인 概복소 구조가 들어간다.

4. 1. 적분 가능성

켈러 다양체는 적분 가능 조건을 만족하는 거의 에르미트 다양체이다. 이는 여러 동등한 방식으로 설명할 수 있다.

를 실수 차원이 인 거의 에르미트 다양체라고 하고, 를 의 레비-치비타 접속이라고 하자. 다음은 이 켈러 다양체이기 위한 동등한 조건이다.

는 닫혀 있고 는 적분 가능하다.

의 홀로노미 군은 와 관련된 유니타리 군 에 포함된다.

이러한 조건들의 동치는 2개 중 3개의 유니타리 군의 성질에 해당한다.

특히, 이 에르미트 다양체인 경우, dω = 0 조건은 외견상 훨씬 강력한 조건 과 동등하다. 켈러 이론의 풍부함은 부분적으로 이러한 속성 때문이다.

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