위험중립측도

2. 위험중립측도의 정의

이성적인 투자자들은 위험을 감수하는 데 대한 대가를 요구하므로 자산의 가격은 필연적으로 해당 자산이 가지는 위험의 크기를 반영하게 된다. 따라서 미래에 큰 가치를 지닐 것으로 기대되는 자산이라도 위험, 즉 가격변동성이 크거나 투자자들이 위험에 민감하다면 현재가치가 상대적으로 낮게 평가되는 경향이 있다. 따라서 특정 자산의 적정가격을 알기 위해서는 우선 자산이 가진 위험의 크기와 투자자들의 위험선호도를 파악하여 이에 맞는 할인율을 적용하여야 한다. 하지만 이러한 요소들은 시장에서 뚜렷한 형태로 나타나지 않기 때문에 이를 측정하여 할인율을 구하는 것은 매우 어렵다. 따라서 이러한 어려움을 극복할 수 있는 대안으로 제시된 방법이 위험중립측도를 활용한 가격결정이다. 위험중립측도는 모든 투자자들이 위험에 대해 완전히 무관심한 것으로 가정하며, 그렇기 때문에 위험중립측도 하에서는 가격결정 과정에서 위험의 크기나 투자자들의 위험선호도를 고려할 필요가 없다. 또한 위험중립측도 하에서 나타나는 자산의 적정가격은 실제측도(physical measure)에서도 성립하며, 그러므로 실제 시장에서도 특정 자산이 위험중립측도 하에서 갖는 적정가격을 그대로 활용할 수 있다.

위험중립 측도란 무엇인지 기억하거나, 금융에 대해 잘 모르는 일반 확률 전문가에게 설명하는 가장 쉬운 방법은 다음과 같다.

# 변환된 확률 변수의 확률 측도. 일반적으로 이 변환은 [수익](수익)의 효용 함수이다. 위험중립 측도는 선형 효용을 가진 수익의 기댓값에 해당하는 측도이다.

# ''내재된'' 확률 측도, 즉 관련 [금융 상품](금융 상품)의 현재 관측/게시/거래 가격에서 내재된 측도이다. 관련 상품이란 고려 중인 확률 공간의 사건과 인과적으로 연결된 상품(즉, 기초 자산 가격 및 파생 상품)을 의미하며,

# 알려진 수익 모형을 가정하고 수익에서 선형(위험중립) 효용을 사용하여 정의된 내재 확률 측도(일종의 역 문제를 해결)이다. 즉, 현재 가격이 위험중립 측도 하에서 미래 수익의 예상 현재 가치인 방정식을 풀어서 위험중립 측도를 구하려고 한다. 고유한 위험중립 측도라는 개념은 여러 파생 상품에서 가격을 책정하여 고유한 위험중립 측도를 ''만들'' 때 가장 유용하다. 이는 가상적인 미거래 가격의 일관성을 암시하고, 입찰/매도 가격이 보이는 시장에서 차익 거래 기회를 이론적으로 제시하기 때문입니다.

또한, 금융의 대부분의 소개 응용 분야에서 고려되는 수익은 미래 시점의 가격에 대한 지식만 있다면 결정론적이라는 점에 주목할 가치가 있다. 이러한 기술을 사용하기 위해 이것이 반드시 필요한 것은 아니다.

자산 가격은 투자자가 일반적으로 더 많은 위험을 감수하는 것에 대해 더 많은 이익을 요구하기 때문에 자산의 위험에 결정적으로 의존한다. 따라서 내일 실현될 위험한 금액에 대한 오늘날의 가격은 일반적으로 예상 가치와 다를 것이다. 대부분의 경우 투자자는 위험 회피적이며 오늘의 가격은 예상치보다 ''낮아'' 위험을 감수하는 사람들에게 보상한다.

완전 시장에서 차익 거래 기회 없음의 경우, 이 계산을 수행하는 다른 방법이 있다는 것이 밝혀졌다. 먼저 기댓값을 구한 다음 투자자의 위험 선호도를 조정하는 대신, 미래 결과의 확률을 한 번에 조정하여 모든 투자자의 위험 프리미엄을 포함시킨 다음 이 새로운 확률 분포, 즉 ''위험 중립 측도''에서 기댓값을 구할 수 있다. 주요 이점은 위험 중립 확률이 발견되면 단순히 예상 수익의 현재 가치를 취함으로써 ''모든'' 자산의 가격을 책정할 수 있다는 사실에서 비롯된다. 실제 현실 세계의 확률을 사용했다면 모든 증권이 서로 다른 조정이 필요했을 것이다(위험도가 다르기 때문에).

차익 거래 부재는 위험 중립 측도의 존재에 매우 중요하다. 실제로, 자산 가격 결정의 기본 정리에 의해, 차익 거래 없음의 조건은 위험 중립 측도의 존재와 동일하다. 시장의 완전성 또한 중요한데, 불완전한 시장에서는 서로 다른 위험 중립 측도에 해당하는 자산에 대한 다양한 가격이 존재하기 때문이다. 시장 효율성은 단 하나의 가격("일물일가의 법칙")이 있음을 의미한다고 주장하는 것이 일반적이다. 가격 책정에 적합한 위험 중립 측도는 순전히 수학적인 논증이 아닌 경제적 논증을 사용하여 선택해야 한다.

흔한 실수는 구성된 확률 분포를 실제 세계의 확률과 혼동하는 것이다. 실제 세계에서 투자자는 위험 프리미엄을 요구하는 반면, 위험 중립 확률에서는 모든 자산이 동일한 기대 수익률, 즉 무위험 이자율 (또는 단기 이자율)을 가지며 따라서 그러한 프리미엄을 포함하지 않는다는 것을 알 수 있기 때문에, 이 둘은 다를 것이다. 위험 중립 가격 책정 방법은 겉으로는 인위적으로 보일지라도 편리하고 강력한 다른 많은 유용한 계산 도구로 간주되어야 한다.

위험 중립 측도는 파생 상품의 가치를 공식으로 쉽게 표현할 수 있게 해준다. 미래 시점 $T$에 파생 상품(예: 주식에 대한 콜 옵션)이 $H\_T$ 단위를 지불한다고 가정한다. 여기서 $H\_T$는 시장을 설명하는 확률 공간에 대한 확률 변수이다. 또한 현재(시간 0)부터 시간 $T$까지의 할인 계수가 $DF(0,\; T)$라고 가정한다. 그러면 오늘날 파생 상품의 공정 가치는 다음과 같다.

:$H\_0\; =\; DF(0,T)\; \backslash operatorname\{E\}\_Q(H\_T).$

여기서 방정식을 푸는 모든 마팅게일 확률 측도 $Q$는 위험 중립 측도이다.

리스크 중립 확률은 자산 가격이 마팅게일이 되는 가상의 확률을 가리킨다. 확률 공간 $(\backslash Omega,\backslash mathcal\; F,\backslash mathbb\; P)$ 상에서 리스크 중립 확률 측도 $\backslash widetilde\{\backslash mathbb\; P\}$는 다음 두 조건을 만족하는 확률 측도를 말한다.

# $\backslash mathbb\; P$와 $\backslash widetilde\{\backslash mathbb\; P\}$는 동치(상호 절대 연속)이다.

# 임의의 금융 자산의 가격과 그 인컴 게인의 합을 무위험 자산의 이자율로 할인한 것은 리스크 중립 확률 측도 $\backslash widetilde\{\backslash mathbb\; P\}$ 하에서 (국소)마팅게일이 된다.

예를 들어, 이산 시간 모델의 경우, 임의의 금융 자산 $i$의 가격 $p\_\{i,t\}$에 대해 다음 식이 성립한다.

:$p\_\{i,t\}\; =\; \backslash widetilde\{E\}\_t\backslash left[\backslash frac\{p\_\{i,t+1\}\; +\; d\_\{i,t+1\}\}\{1\; +\; r\_\{\backslash mathrm\; f,t+1\}\}\backslash right]$

여기서 $d\_\{i,t+1\}$는 금융 자산 $i$의 시점 $t+1$에서의 인컴 게인이며, $r\_\{\backslash mathrm\; f,t+1\}$은 무위험 자산의 이자율이다. $\backslash widetilde\{E\}\_t$는 확률 측도 $\backslash widetilde\{\backslash mathbb\; P\}$에 의한, 시점 $t$까지의 정보로 조건화된 조건부 기대값이다.

연속 시간 모델의 경우, 인컴 게인의 확률 과정이 구분적으로 연속이라면, 다음과 같은 방정식이 성립한다.

:$p\_\{i,t\}\; =\; \backslash widetilde\{E\}\_t\backslash left[\backslash int\_0^s\backslash exp\backslash left\backslash \{-\backslash int\_0^ur\_\{\backslash mathrm\; f,t+v\}d\; v\backslash right\backslash \}d\_\{i,t+u\}d\; u\; +\; \backslash exp\backslash left\backslash \{-\backslash int\_0^sr\_\{\backslash mathrm\; f,t+u\}d\; u\backslash right\backslash \}p\_\{i,t+s\}\backslash right]$

단, 여기서의 무위험 자산의 이자율 $r\_\{\backslash mathrm\; f,t\}$는 지수 금리에 의한 연속 시간에서의 이자율이 된다.

2. 1. 동치 마팅게일 측도

• $Q\backslash approx\; P$, 즉 $Q$는 $P$와 동치이다.
• 프로세스 $\backslash left(\; \backslash frac\{S^i\_t\}\{B\_t\}\; \backslash right)\_t$는 $Q$에 대해 (국소) 마팅게일이다. $\backslash forall\; \backslash ,\; i=1,\backslash dots,d$.^[2]

2. 2. 측도 변환