유니터리성 (물리학)

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1. 개요
2. 해밀토니언 진화
- 2.1. 측정 결과에 대한 유니터리성의 영향
- 2.2. 해밀턴의 형태에 대한 의미
3. 산란 진폭과 광학 정리
- 3.1. 광학 정리
- 3.2. 유니터리성 경계
참조

1. 개요

유니터리성은 물리학에서 시간 진화 연산자가 유니터리 연산자일 때의 성질을 의미하며, 이는 해밀토니언이 에르미트 행렬임을 의미한다. 양자역학에서 유니터리성은 확률의 합이 1임을 보장하며, S-행렬의 유니터리성은 광학 정리를 유도한다. 광학 정리는 산란 과정의 확률 진폭과 단면적에 대한 경계를 설정하며, 이는 에너지 증가에 따라 무한정 증가하거나 특정 방식으로 감소해야 함을 의미한다.

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유니터리성 (물리학)
개요
분야	이론 물리학
하위 분야	양자장론, 끈 이론, 우주론
주요 개념
주요 개념	양자 역학, 일반 상대성 이론, 블랙홀, 정보 패러독스
관련된 학자	스티븐 호킹, 레너드 서스킨드, 조 폴친스키, 아메리
설명
유니터리성	유니터리성은 물리학 이론의 기본 속성으로, 시간 진화가 확률을 보존하도록 요구한다.
블랙홀 정보 패러독스	블랙홀 정보 패러독스는 유니터리성과 일반 상대성 이론의 결합에서 비롯되는 문제이다.
블랙홀 방화벽	블랙홀 방화벽은 블랙홀 사건 지평선 근처에 고에너지 입자로 이루어진 "방화벽"이 존재한다는 가설이다.
AMPS 패러독스	AMPS 패러독스는 블랙홀 방화벽 가설이 유니터리성, 등가 원리, 양자장론과의 모순을 야기한다는 주장이다.
해결 시도
보존 제안	유니터리성을 보존하기 위해 여러 가지 해결책이 제안되었다.
제안된 해결책	블랙홀 상보성 퍼지볼 중력자 웜홀
관련된 주제
관련된 주제	ER=EPR

2. 해밀토니언 진화

시간 독립적인 해밀토니언 $\hat{H}$ 에 의해 기술되는 계의 시간 변화는 유니터리 연산자 $U(t)$ 를 통해 나타낼 수 있다. 이 유니터리 연산자는 해밀토니언을 생성자(generator)로 가지며, 다음과 같이 표현된다.

$U(t) = e^{-i \hat{H} t/ \hbar}$

여기서 $\hbar$ 는 디랙 상수이다. 양자계의 시간 변화를 기술하는 방식에 따라 유니터리 연산자의 역할이 달라진다. 슈뢰딩거 묘사에서는 유니터리 연산자가 시간에 따라 변화하는 양자 상태 벡터에 직접 작용한다. 반면, 하이젠베르크 묘사에서는 상태 벡터는 시간에 따라 변하지 않고, 대신 관측가능량 연산자에 시간 의존성이 포함되어 시간에 따라 변화하게 된다.^[2]

2. 1. 측정 결과에 대한 유니터리성의 영향

양자역학에서 모든 상태는 힐베르트 공간의 벡터로 설명된다. 측정이 수행될 때는 특정 물리량(예: 운동량)에 대해 정의된 값을 갖는 벡터 기저를 사용하여 이 공간을 표현하는 것이 편리하다. 측정 연산자는 이러한 기저 벡터들을 기준으로 대각적이다.^[3]

측정 시 특정 결과를 얻을 확률은 상태 벡터

|\psi\rangle

와 해당 결과에 대응하는 기저 벡터

|\phi_i\rangle

사이의 내적으로 주어지는 확률 진폭에 의해 결정된다. 만약 상태가 시간

t

동안 해밀토니언

\hat{H}

에 의해 진화한 후 측정된다면, 확률 진폭은 다음과 같이 계산된다. 시간 진화 연산자

e^{-i\hat{H}t/\hbar}

를 사용하면,^[4]

:

\left\langle \phi_i \left| e^{-i\hat{H}t/\hbar} \psi \right.\right\rangle

이 값은 시간 진화 연산자의 에르미트 수반 성질과 해밀토니언이 에르미트 연산자(

\hat{H}^{\dagger} = \hat{H}

)라는 사실로부터 시간 진화 연산자

e^{-i\hat{H}t/\hbar}

가 유니터리 연산자임을 의미한다. 즉, 시간 진화 과정에서 상태 벡터의 노름(크기)이 보존된다.

보른 규칙에 따르면 확률 진폭의 절댓값 제곱이 특정 측정 결과를 얻을 확률이다. 시간 진화의 유니터리성은 모든 가능한 측정 결과에 대한 확률의 총합이 항상 1임을 보장한다. 이는 측정 결과의 확률적 해석에서 매우 중요한 성질로, 어떤 측정을 하든 가능한 결과 중 하나는 반드시 얻게 된다는 것을 의미한다. 또한, 유니터리성은 하이젠베르크 묘사에서 측정 연산자가 시간에 따라 어떻게 변하는지를 결정하며, 이를 통해 측정 결과가 시간에 따라 어떻게 전개될지 예측할 수 있게 한다.

2. 2. 해밀턴의 형태에 대한 의미

시간 전개 연산자가 유니터리하다는 것은 해밀토니언이 에르미트라는 것과 동치이다. 즉, 해밀토니언의 고윳값인 측정 가능한 에너지는 항상 실수라는 것을 의미한다.

3. 산란 진폭과 광학 정리

S-행렬은 입자들이 서로 부딪히는 산란 과정에서 물리적 상태가 어떻게 변하는지를 설명하는 데 사용된다. 이는 아주 긴 시간 동안 입자들의 상태 변화를 나타내는 시간 변화 연산자와 같다고 볼 수 있다. 시간 변화를 나타내는 연산자는 그 성질상 유니터리 연산자여야 하므로, S-행렬 역시 반드시 유니터리 연산자여야 한다. 만약 계산 결과 S-행렬이 유니터리하지 않다면, 이는 계산 과정에서 고려해야 할 중요한 상태(경계 상태)를 빠뜨렸을 가능성이 높다는 것을 의미한다.

3. 1. 광학 정리

S-행렬의 유니터리성은 무엇보다도 광학 정리를 함축한다. 이는 다음과 같이 이해할 수 있다.^[5]

S-행렬은 다음과 같이 표현될 수 있다.

:

S = 1 + i T

여기서

T

는 입자 간의 상호작용으로 인해 발생하는 S-행렬의 변화 부분을 나타낸다. 예를 들어,

T = 0

이면

S = 1

이 되어 상호작용이 전혀 일어나지 않고 모든 상태가 그대로 유지됨을 의미한다.

S-행렬의 유니터리성 조건은 다음과 같다.

:

S^{\dagger} S = 1

이 조건을

S = 1 + i T

에 적용하면 다음 관계식을 얻는다.

:

-i\left(T - T^{\dagger}\right) = T^{\dagger}T

이 식의 좌변은

T

와 그것의 에르미트 켤레(

T^\dagger

)의 차이에

-i

를 곱한 것이고, 우변은

T^\dagger T

이다. 우변의 의미를 파악하기 위해, 특정 초기 상태

|I\rangle

에서 특정 최종 상태

\langle F|

로 전이하는 행렬 원소를 살펴보자. 각 상태는 여러 입자를 포함할 수 있다. 해당 행렬 원소는 다음과 같다.

:

\left\langle F \left| T^{\dagger}T \right| I\right\rangle = \sum_i \left\langle F | T^{\dagger} | A_i \right\rangle \left\langle A_i | T | I\right\rangle

여기서

\{A_i\}

는 가능한 모든 중간 상태(껍질 상태, 즉 무한대에서의 입자 또는 입자들의 결합 상태)의 집합이다.

따라서, S-행렬의 유니터리성 조건은 산란 진폭과 관련된 양(

-i(T-T^\dagger)

)이, 초기 상태에서 가능한 모든 물리적 최종 상태로 산란되는 과정들의 기여도를 합한 것(

T^\dagger T

의 행렬 원소)과 같다는 것을 보여준다. 이는 광학 정리의 핵심 내용으로, 산란 진폭의 허수 부분이 전체 산란 단면적과 관련됨을 의미한다.

파인만 다이어그램의 관점에서 보면, 산란 진폭의 허수부는 다이어그램의 중간 상태에 나타나는 가상 입자들을 통해 계산된다. 유니터리성은 이러한 가상 입자들이 최종 상태로도 실제로 존재할 수 있는 입자(즉, 질량 껍질 위의 입자)로만 구성되어야 함을 요구한다. 이러한 조건을 만족시키기 위해 게이지 대칭이나, 경우에 따라 파데예프-포포프 유령과 같은 수학적 기법들이 사용된다.

3. 2. 유니터리성 경계

광학 정리에 따르면 모든 산란 과정에 대한 확률 진폭 M(=iT)은 다음 관계를 만족해야 한다.

:

|M|^2 = 2\operatorname{Im}(M)

이러한 유니터리성 경계는 진폭과 단면적이 에너지에 따라 무한정 증가할 수 없거나, 특정 공식에서 정해진 것보다 더 빠르게 감소해야 함을 의미한다. 예를 들어, 프루아사르 경계는 두 입자 산란의 전체 단면적이

c \ln^2 s

이하로 제한된다는 것을 보여준다. 여기서

c

는 상수이고,

s

는 질량 중심 에너지의 제곱이다(만델스탐 변수 참조).

참조

_[1] 웹인용 Alice and Bob Meet the Wall of Fire https://www.quantama[...] 2023-06-15
_[2] 웹인용 Lecture 5: Time evolution https://ocw.mit.edu/[...] MIT OpenCourseWare 2019-08-21
_[3] 서적 Quantum Mechanics (2 vol. set) 2006
_[4] 논문 The modern tools of quantum mechanics 2012
_[5] 서적 An introduction to quantum field theory CRC press 2018

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