유사 미분 연산자

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
- 3.1. 유사 국소성
4. 예시
5. 역사
6. 응용
- 6.1. 편미분 방정식 해 표현
- 6.2. 적분핵
참조

1. 개요

유사 미분 연산자는 유클리드 공간에서 정의되는 선형 연산자로서, 미분 연산자를 일반화한 개념이다. 함수 u(x)에 작용하여 x의 함수를 생성하며, 푸리에 변환과 기호(symbol)를 사용하여 표현된다. 유사 미분 연산자는 편미분 방정식을 풀거나 적분핵을 통해 표현하는 데 활용되며, 고전 유사 미분 연산자, 미분 연산자, 곱셈 연산자, 열 작용소, 분수 라플라시안 등 다양한 형태로 나타난다. 1960년대에 콘, 니런버그, 회르만데르 등에 의해 개발되었으며, 아티야-싱어 지표 정리의 증명에 기여했다.

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유사 미분 연산자
개요
유형	선형 연산자
분야	수학, 특히 미분 방정식 및 푸리에 해석
정의	푸리에 변환을 사용하여 정의되는 연산자
관련 개념	미분 연산자 적분 연산자 특이 적분 연산자 디리클레 형식
정의 및 속성
정의	유사 미분 연산자는 푸리에 변환을 사용하여 정의되는 선형 연산자이다.
기호	연산자의 특성을 나타내는 함수
속성	미분 연산자의 일반화 다양한 미분 방정식 문제 해결에 유용 미분 연산자와 유사한 대수적 구조를 가짐
예시
예시	미분 연산자 적분 연산자 힐베르트 변환 리스 포텐셜
응용
응용 분야	미분 방정식 편미분 방정식 푸리에 해석 신호 처리 양자 역학
역사
역사	1960년대에 처음 소개됨 조제프 J. 콘, 루이스 니렌버그, 라르스 회르만데르 등에 의해 발전됨
참고 문헌
참고 문헌	Hörmander, Lars (1985). The Analysis of Linear Partial Differential Operators III: Pseudo-Differential Operators. Springer. ISBN 3-540-13826-3. Taylor, Michael E. (1981). Pseudo-differential operators. Princeton University Press. ISBN 0-691-08282-0.
관련 항목
관련 항목	미분 연산자 푸리에 변환 편미분 방정식

2. 정의

유사 미분 연산자는 상수 계수를 갖는 선형 미분 연산자를 일반화한 것이다.

; 상수 계수 선형 미분 연산자

: 상수 계수의 선형 미분 연산자

:: $P(D) := \sum\nolimits_\alpha a_\alpha \, D^\alpha$

: 가 콤팩트 지지를 갖는 매끄러운 함수 $u$ 에 작용한다고 하자. 이 연산자는 푸리에 변환, 기호(symbol)라고 불리는 다항식 함수

:: $P(\xi) = \sum\nolimits_\alpha a_\alpha \, \xi^\alpha$

: 에 의한 곱셈, 푸리에 역변환의 세 요소의 합성으로 표현할 수 있다.

:: $P(D) u (x) = \frac{1}{(2 \pi)^n} \int_{\mathbb{R}^n} \int_{\mathbb{R}^n} e^{i (x - y) \xi} P(\xi) u(y)\, dy \, d\xi$

: 여기서, $\alpha=(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)$ 는 다중 지수, $a_\alpha$ 는 복소수이고,

: $D^\alpha=(-i \partial_1)^{\alpha_1} \cdots (-i \partial_n)^{\alpha_n}$

: 는 순차 편미분이며, $\partial_j$ 는 $j$ 번째 변수에 관한 미분이다.

; 편미분 방정식의 해 표현

: 기호 $P(\xi)$ 가 $\xi\in\mathbb R^n$ 의 모든 곳에서 0이 아닐 때, 편미분 방정식

:: $P(D)u = f$

: 를 풀기 위해, 양변에 푸리에 변환을 적용하여 얻는 "대수 방정식"

:: $P(\xi)\hat u(\xi) = \hat f(\xi)$

: 의 양변을 $P(\xi)$ 로 나누어

:: $\hat u(\xi) = \frac{1}{P(\xi)} \hat f (\xi)$

: 로 만든다. 역변환 공식에 의해, 해는

:: $u (x) = \frac{1}{(2 \pi)^n} \int e^{i x \xi} \frac{1}{P(\xi)} \hat f (\xi) \, d\xi$

: 이다.

: 여기서 다음 가정이 필요하다.

# $P(D)$ 는 "상수" 계수의 선형 미분 연산자

# 기호 $P(\xi)$ 는 0이 아니다.

# $u$ , $f$ 는 모두 푸리에 변환을 갖는다.

: $f$ 의 푸리에 변환을 명시적으로 쓰면,

: $u(x) = \frac{1}{(2 \pi)^n} \iint e^{i (x-y) \xi} \frac{1}{P(\xi)} f(y) \, dy \, d\xi$

:가 되며, 이는 $1/P(\xi)$ 가 다항식 함수가 아닌 더 일반적인 종류의 함수라는 점을 제외하면 위의 식과 같은 형태이다.

유사 미분 연산자는 유클리드 공간, 다양체, 분포 위에서 정의할 수 있으며, 고전 유사 미분 연산자라는 개념도 있다.

2. 1. 유클리드 공간에서의 정의

유클리드 공간

\mathbb R^n

위의 복소수 값 매끄러운 함수의 집합을

\mathcal C^\infty(\mathbb R^n)

이라 하고, 복소수 값 콤팩트 지지 매끄러운 함수의 집합을

\mathcal C^\infty_0(\mathbb R^n)

이라 한다.

\mathcal C^\infty_0(\mathbb R^n)

위에 작용하는 '''유사 미분 연산자'''는 다음과 같은 꼴의 선형 변환이다.

:

P(x,D)\colon\mathcal C^\infty_0(\mathbb R^n)\to\mathcal C^\infty(\mathbb R^n)

:

P(x,D)\colon u (x) \mapsto \frac1{(2 \pi)^n} \int_{\mathbb R^n} \exp(ix\cdot\xi)\tilde P(x,\xi) \hat u(\xi) \, d^n\xi

여기서

:

\hat u(\xi)=\int_{\mathbb R^n}\exp(-ix\cdot\xi)u(x)\,d^nx

는

u

의 푸리에 변환이며,

:

\tilde P\colon\mathbb R^n\times\mathbb R^n\to\mathbb R

:

\tilde P\colon(x,\xi)\mapsto P(x,\xi)

는 매끄러운 함수이다.

\tilde P(x,\xi)

를 유사 미분 연산자

P(x,D)

의 '''표상'''(symbol^영어)이라고 한다.

\mathbb R^n

위의 다중지표의 집합을

\mathbb N^n

으로 쓴다. 어떤 정수

m\in\mathbb Z

에 대하여 유사 미분 연산자

P(x,D)

의 표상

\tilde P(x,\xi)

가

:

\sup_{(x,\xi)\in\mathbb R^n\times\mathbb R^n}\frac

{(1+|\xi|)^{m-|\alpha|}} <\infty \qquad\forall\alpha,\beta\in\mathbb N^n

를 만족시킨다면,

P(x,D)

를 '''

m

차 유사 미분 연산자'''라고 한다.

m

차 표상들의 집합은 보통

S^m

으로 쓰며,

m

차 유사 미분 연산자의 집합은

\operatorname{\Psi DO}^m(\mathbb R^n)

으로 쓴다.

'''R'''^''n'' 위의 '''유사 미분 연산자''' ''P''(''x'',''D'')는 함수 ''u(x)''에 대한 값이 ''x''의 함수인 연산자이다.

:

\quad P(x,D) u (x) =\frac{1}{(2 \pi)^n} \int_{\mathbb{R}^n} e^{i x\cdot \xi} P(x,\xi) \hat{u}(\xi) \, d\xi

여기서

\hat{u}(\xi)

는 ''u''의 푸리에 변환이고 적분식의 기호 ''P''(''x'',ξ)는 특정 ''기호 클래스''에 속한다. 예를 들어, ''P''(''x'',ξ)가 다음 속성을 가진 '''R'''^''n'' × '''R'''^''n'' 위의 무한히 미분 가능한 함수인 경우

:

|\partial_\xi^\alpha \partial_x^\beta P(x,\xi)| \leq C_{\alpha,\beta} \, (1 + |\xi|)^{m - |\alpha|}

모든 ''x'',ξ ∈'''R'''^''n'', 모든 다중 지수 α,β, 일부 상수 ''C''_{α, β} 및 일부 실수 ''m''에 대해, 그러면 ''P''는 회르만더의 기호 클래스

\scriptstyle{S^m_{1,0}}

에 속한다. 해당 연산자 ''P''(''x'',''D'')는 '''m차 유사 미분 연산자'''라고 하며 클래스

\Psi^m_{1,0}

에 속한다.

x, \xi

를

R^n

의 원소로 하고,

(x, \xi)

로

R^{2n}

의 원소를 나타낸다.

임의의 다중 지표

\alpha, \beta

에 대해, 어떤 상수

C_{\alpha, \beta}

가 존재하여 다음 조건을 만족할 때,

C^{\infty}

함수

p(x, \xi)

를

S_{\rho, \delta}^m

클래스의 기호라고 한다. 단,

0 \leq \delta \leq \rho \leq 1

이고

\delta < 1

이다.

:

|\partial_{\xi}^{\alpha} D_{x}^{\beta} p(x, \xi) | \leq C_{\alpha, \beta} \langle \xi \rangle^{m + \delta | \beta | - \rho | \alpha | }

각

u \in \mathcal{S}

에 대해, 다음 선형 연산자

P : \mathcal{S} \to \mathcal{S}

를 (기호

p

에 대한) 의사 미분 연산자라고 한다.

:

P u (x) = (2\pi )^{-n} \int e^{i x \xi } p(x , \xi ) \hat{u} (\xi ) d \xi

2. 2. 다양체 위에서의 정의

매끄러운 다양체는 유클리드 공간의 열린집합

\{U_i\}_{i\in I}

들을 매끄러운 추이 사상

:

\phi_{ij}\colon U_i\cap U_j\to U_i\cap U_j

으로 이어붙여 만든다.

유클리드 공간의 열린집합

U,V,U',V'\subseteq\mathbb R^n

및 유사 미분 연산자

:

P\colon\mathcal C^\infty_0(U)\to\mathcal C^\infty(V)

및 미분 동형 ("좌표 변환")

:

\iota_U\colon U\to U'

:

\iota_V\colon V\to V'

이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 선형 변환

:

P'\colon\mathcal C^\infty_0(U')\to\mathcal C^\infty(V')

:

P'\colon u\mapsto \iota_V\circ P(f\circ\iota_U^{-1})

를 정의할 수 있으며, 또한

P'

역시 유사 미분 연산자임을 보일 수 있다. 또한, 만약

P

가

m

차 유사 미분 연산자라면

P'

역시

m

차 유사 미분 연산자이다. 따라서, 좌표 근방계에 조각마다 유사 미분 연산자를 정의한 뒤 이를 짜깁기하여 매끄러운 다양체 위의

m

차 유사 미분 연산자의 개념을 정의할 수 있다.^[3]

2. 3. 분포 위에서의 작용

R^n^영어 위의 분포 T : C^∞^₀(R^n) → R^영어가 주어졌다고 하자. R^n^영어 위의 유사 미분 연산자 P^영어의 표상이 콤팩트 지지라고 하자. 그렇다면, P^영어를 분포 T^영어 위에 작용하도록 확장할 수 있다. 구체적으로는 다음과 같다.

:PT : C^∞^₀ → R^영어

:⟨PT|u⟩ = ⟨T|P^*u⟩^영어

여기서

:P^* : C^∞^₀(R^n) → C^∞^₀(R^n)^영어

은 P^영어의 에르미트 수반이다.

이에 따라, 콤팩트 지지 표상의 유사 미분 연산자는 분포 공간 D'(R^n)^영어 위에 작용한다.

:P : D'(R^n) → D'(R^n)^영어

2. 4. 고전 유사 미분 연산자

유클리드 공간

\mathbb R^n

위의 매끄러운 함수 집합

\mathcal C^\infty(\mathbb R^n)

에 작용하는 유사 미분 연산자 중, 그 표상이 특정한 조건을 만족시키는 것들을 고전 유사 미분 연산자라고 한다.

어떤 정수

m

에 대하여, 유사 미분 연산자

P(x,D)

의 표상

\tilde P(x,\xi)

가 다음 조건을 만족시킨다면,

m

차 유사 미분 연산자라고 부른다.

:

\sup_{(x,\xi)\in\mathbb R^n\times\mathbb R^n}\frac

{(1+|\xi|)^{m-|\alpha|}} <\infty \qquad\forall\alpha,\beta\in\mathbb N^n

여기서

\mathbb N^n

은 다중지표의 집합이다.

m

차 표상

\tilde P\colon\mathbb R^n\times\mathbb R^n\to\mathbb R

에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 표상의 열

(\tilde P_i)_{i\in\mathbb N}

가 존재한다면,

\tilde P

를 '''고전 표상'''(classical symbol^영어)이라고 한다.^[3]

$\tilde P_i\colon\mathbb R^n\times\mathbb R^n\to\mathbb R$ 는 $i$ 차 동차함수이다. 즉, $\tilde P_i(\alpha x,\alpha\xi)=\alpha^i\tilde P_i(x,\xi)$ 이다.
콤팩트 지지 매끄러운 함수 $\phi\colon\mathbb R^n\to\mathbb R$ 에 대하여, 만약 $\phi(x)=1\forall x\in U$ 가 되는 0의 근방 $U\ni0$ 가 존재한다고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.
: $\tilde P(x,\xi)-\sum_{i=0}^{N-1}(1-\phi(\xi))\tilde P_{m-i}(x,\xi) \in S^{m-N}\qquad\forall N\in\mathbb Z^+$

'''고전 유사 미분 연산자'''(classical pseudodifferential operator^영어)는 그 표상이 고전 표상인 유사 미분 연산자이다.

3. 성질

$\mathbb R^n$ 위의, 표상이 $\tilde P\colon\mathbb R^n\times\mathbb R^n\to\mathbb R$ 인 유사 미분 연산자 $P(x,D)$ 에 대하여, 만약 $\tilde P(x,\xi)$ 가 콤팩트 지지 함수라면, $P(x,D)$ 의 상은 $\mathcal C^\infty_0(\mathbb R^n)$ 에 속한다. 즉, 다음과 같다.

: $P(x,D)\colon\mathcal C^\infty_0(\mathbb R^n)\to\mathcal C^\infty_0(\mathbb R^n)$ ^[3]

매끄럽고 유계된 계수를 갖는 m차 선형 미분 연산자는 m차 유사 미분 연산자이다. 두 유사 미분 연산자 ''P'', ''Q''의 합성 ''PQ''는 다시 유사 미분 연산자이며, ''PQ''의 기호는 ''P''와 ''Q''의 기호를 사용하여 계산할 수 있다. 유사 미분 연산자의 수반 및 전치는 유사 미분 연산자이다.

만약 ''m''차 미분 연산자가 (균일하게) 타원형이고 가역적이라면, 그 역은 −''m''차의 유사 미분 연산자이며, 그 기호를 계산할 수 있다. 이는 유사 미분 연산자 이론을 사용하여 선형 타원형 미분 방정식을 다소 명시적으로 풀 수 있다는 것을 의미한다.

3. 1. 유사 국소성

미분 연산자는 연산자의 영향을 결정하기 위해 점의 이웃에서 함수의 값만 필요하다는 의미에서 국소적이다. 유사 미분 연산자는 유사 국소적인데, 이는 분포에 적용될 때 분포가 이미 매끄러웠던 점에서 특이점을 생성하지 않는다는 것을 의미한다.

미분 연산자가 ''D'' = -id/d''x''를 사용하여

:

p(x, D)\,

''D''에 대한 다항식 ''p''(이것을 기호라고 함)의 형태를 가지며, 유사 미분 연산자는 더 일반적인 함수 클래스에서 기호를 갖는다. 종종 유사 미분 연산자의 분석에서 발생하는 문제를 기호를 포함하는 일련의 대수 문제로 줄일 수 있으며, 이는 마이크로 국소 분석의 본질이다.

4. 예시

$m$ 차 미분 작용소

에 대해, $m$ 차 미분 다항식

는 $\mathcal{S}^m_{1, 0}$ 에 속한다. 즉, $m$ 차 미분 작용소는 $m$ 차 미분 다항식을 표상으로 갖는 유사 미분 작용소이다.

heat operator|열 작용소^영어

는

를 표상으로 갖는다.

$0 < \alpha \leq 2$ 인 경우,

를 기호로 갖는 유사 미분 연산자가 존재하며, 이는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

이것을 fractional Laplacian|분수 라플라시안^영어이라고 한다.

는 $\mathcal{S}_{1, 0}^1$ 에 속한다. 이를 기호로 갖는 유사 미분 연산자는 다음과 같다.

이것은 $1 - \Delta$ 의 제곱근에 해당하며 $\Lambda$ 로도 표기된다. $\Lambda$ 는 편미분 방정식론에서 자주 사용된다.

4. 1. 미분 연산자

임의의 미분 연산자

:

\sum_{\alpha\in\mathbb N^n}c_\alpha\partial_x^\alpha

의 경우, 그 표상

:

\tilde P(\xi)=\sum_{\alpha\in\mathbb N^n}c_\alpha\xi^\alpha

을 정의하면 유사 미분 연산자

:

u(x)\mapsto\frac1{(2\pi)^n}\int_{\mathbb R^n}\exp(ix\cdot\xi) \tilde P(\xi) \hat u(x)\,d^n\xi

로 나타낼 수 있다.

마찬가지로, 임의의 매끄러운 함수

f\colon\mathbb R^n\to\mathbb R

에 대하여, 곱셈 연산자

:

u(x)\mapsto f(x)u(x)

역시 표상이

f(x)

인 유사 미분 연산자로 나타낼 수 있다.

선형 상수 계수 미분 연산자

:

P(D) := \sum_\alpha a_\alpha \, D^\alpha

는 '''R'''^''n''에서 콤팩트 지지를 갖는 매끄러운 함수

u

에 작용한다. 이 연산자는 푸리에 변환, ''곱셈'' ('''심볼'''이라고 불림)

:

P(\xi) = \sum_\alpha a_\alpha \, \xi^\alpha,

및 역 푸리에 변환의 합성으로 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

P(D) u (x) =\frac{1}{(2 \pi)^n} \int_{\mathbb{R}^n} \int_{\mathbb{R}^n} e^{i (x - y) \xi} P(\xi) u(y)\, dy \, d\xi

여기서,

\alpha = (\alpha_1,\ldots,\alpha_n)

는 다중 지수이고,

a_\alpha

는 복소수이며,

:

D^\alpha=(-i \partial_1)^{\alpha_1} \cdots (-i \partial_n)^{\alpha_n}

는 반복적인 편미분으로, ∂_''j''는 ''j''번째 변수에 대한 미분을 의미한다. 푸리에 변환 계산을 용이하게 하기 위해 상수

-i

를 도입한다.

$m$차 미분 작용소

:

p(x, D_x) = \sum_{| \alpha | \leq m } a_{\alpha } (x) D_x^{\alpha } \ (a_{\alpha } \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^n))

에 대해, $m$차 미분 다항식

:

p(x , \xi) = \sum_

4. 2. 곱셈 연산자

임의의 매끄러운 함수

f\colon\mathbb R^n\to\mathbb R

에 대하여, 곱셈 연산자

:

u(x)\mapsto f(x)u(x)

역시 표상이

f(x)

인 유사 미분 연산자

:

u(x)\mapsto\frac1{(2\pi)^n}\int_{\mathbb R^n}\exp(ix\cdot\xi) \tilde P(x) \hat u(\xi)\,d^n\xi

로 나타낼 수 있다.

4. 3. 열 작용소

heat operator|열 작용소^영어는 다음의 미분 연산자이다.

:

p(x, D_x) = \frac{\partial }{\partial x_1} - \sum_{2 \leq j \leq n} \frac{\partial^2 }{\partial x_j^2}

이 연산자는 다음의 함수를 표상으로 갖는다.

:

p(x , \xi) = i \xi_1 - \sum_{2 \leq j \leq n} \xi_j^2

4. 4. 분수 라플라시안

0 < \alpha \leq 2

일 때,

를 기호로 갖는 유사 미분 연산자가 존재하며, 이는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

이것을 분수 라플라시안(fractional Laplacian)이라고 부른다.

5. 역사

1960년대에 조지프 존 콘, 루이스 니런버그, 라르스 회르만데르 등이 유사 미분 연산자 이론을 개발하였다. 이후, 유사 미분 연산자의 개념은 아티야-싱어 지표 정리의 증명에 중요한 역할을 하였다.^[1]

유사 미분 연산자에 대한 연구는 1960년대 중반 콘, 니렌버그, 홤란더, Unterberger와 Bokobza의 연구를 통해 시작되었다.

이들은 아티야-싱어 지표 정리의 두 번째 증명에서 위상 K-이론을 통해 중요한 역할을 했다. 아티야와 싱어는 유사 미분 연산자 이론을 이해하는 데 도움을 준 홤란더에게 감사를 표했다.^[2]

6. 응용

유사 미분 연산자는 상수 계수를 갖는 선형 미분 연산자를 일반화한 것이다. 특히, 편미분 방정식, 그 중에서도 타원형 미분 방정식의 해를 구하는 데 유용하게 사용된다.

미분 작용소가 타원형이고 가역적이면, 그 역작용소는 차수가 반대인 유사 미분 연산자가 되며, 원래 미분 작용소의 기호를 통해 역작용소의 기호를 계산할 수 있다. 따라서, 타원형 선형 미분 방정식은 유사 미분 연산자 이론을 이용하여 해를 구할 수 있다.

미분 작용소는 국소적(local)인 반면, 유사 미분 연산자는 "의사 국소적(pseudo-local)"이다. 이는 슈바르츠 초함수에 유사 미분 연산자를 적용했을 때, 매끄러운(smooth) 점에서는 특이점(singularity)을 만들지 않는다는 것을 의미한다.

미분 작용소가 를 사용하여 형태 (여기서 는 를 변수로 하는 다항식, 즉 기호)로 표현되는 것처럼, 유사 미분 연산자는 더 일반적인 함수 클래스에서 기호를 갖는다. 이러한 특징 덕분에, 유사 미분 연산자에 대한 해석은 종종 그 기호를 포함하는 대수적인 문제로 귀결될 수 있으며, 이는 초국소 해석의 핵심 아이디어이다.

6. 1. 편미분 방정식 해 표현

편미분 방정식의 해를 구하기 위해, 다음과 같은 방정식을 고려한다.

:

P(D) \, u = f

양변에 푸리에 변환을 적용하면 다음의 대수적 방정식을 얻는다.

:

P(\xi) \, \hat u (\xi) = \hat f(\xi).

여기서 ''P''(ξ)가 ξ ∈ '''R'''^''n''일 때 0이 아니라는 조건을 만족하면, ''P''(ξ)로 나눌 수 있다.

:

\hat u(\xi) = \frac{1}{P(\xi)} \hat f(\xi)

푸리에 역변환 공식에 따라, 해는 다음과 같이 표현된다.

:

u (x) = \frac{1}{(2 \pi)^n} \int e^{i x \xi} \frac{1}{P(\xi)} \hat f (\xi) \, d\xi.

위의 과정에서 다음을 가정한다.

1. ''P''(''D'')는 상수 계수를 가진 선형 미분 연산자이다.

2. 기호 ''P''(ξ)는 0이 아니다.

3. ''u''와 ƒ는 모두 잘 정의된 푸리에 변환을 가진다.

마지막 가정은 분포 이론을 사용하여 약화될 수 있다.

ƒ의 푸리에 변환을 풀어서 쓰면, 해는 다음과 같이 표현된다.

:

u (x) = \frac{1}{(2 \pi)^n} \iint e^{i (x-y) \xi} \frac{1}{P(\xi)} f (y) \, dy \, d\xi.

이는 1/''P''(ξ)가 다항 함수가 아니라 더 일반적인 종류의 함수라는 점을 제외하면, 상수 계수 선형 미분 연산자를 나타내는 공식과 유사하다.

6. 2. 적분핵

유사 미분 연산자는 커널로 표현될 수 있다. 대각선 상의 커널의 특이점은 해당 연산자의 차수에 따라 달라진다. 실제로, 기호가 m ≤ 0인 미분 부등식을 만족하는 경우, 커널이 특이 적분 커널임을 보일 수 있다.

사상으로 보면, 유사 미분 연산자는 적분핵으로 나타낼 수 있다. 대각선 상의 적분핵의 특이성은 대응하는 연산자의 차수에 의존한다. 사실 표상(symbol)이 m ≤ 0에 대해 미분 부등식을 만족한다면, 적분핵이 특이 적분 커널이 됨을 보일 수 있다. 이 적분핵은 역 경계 문제에 대한 경계 조건의 특징화에 이용할 수 있다.

참조

_[1] 도서
_[2] 도서
_[3] 저널 Introduction to pseudo-differential operators 1999

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