타원형 미분 연산자

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 타원형 미분 연산자
- 2.2. 약타원형 연산자
3. 성질
4. 예시
5. 일반적인 정의 (영문, 일문 위키 참고)
6. 응용 (영문, 일문 위키 참고)
참조

1. 개요

타원형 미분 연산자는 리만 다양체와 매끄러운 벡터 다발 위에서 정의되는 미분 연산자의 한 종류로, 특정 부등식을 만족한다. 타원형 미분 연산자는 짝수 차수를 가지며, 타원형 미분 연산자로 정의되는 편미분 방정식을 타원형 편미분 방정식이라고 한다. 라플라시안과 라플라스형 연산자는 타원형 미분 연산자의 예시이며, 타원형 미분 연산자는 정칙성 정리, 디리클레 문제, 고유값 및 고유벡터, 반군 생성 등 다양한 성질을 갖는다. 또한 약타원형 미분 연산자, 강타원형 미분 연산자 등과 같은 관련 개념이 존재하며, 수학 및 물리학 등 다양한 분야에서 응용된다.

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타원형 미분 연산자

2. 정의

리만 다양체와 그 위의 벡터 다발에 대해, 특정 조건을 만족하는 미분 연산자를 타원형 미분 연산자라고 정의한다. 약타원형 연산자는 타원형 연산자보다 더 약한 조건으로 정의된다. 타원형 및 약타원형 미분 연산자에 대한 자세한 정의는 하위 섹션을 참고.

'''R'''^''d'' 내의 어떤 영역 $\Omega$ 위의 차수 ''m''의 선형 미분 연산자 ''L''은 다음과 같이 주어진다.

: $Lu = \sum_{|\alpha| \le m} a_\alpha(x)\partial^\alpha u\,$

여기서 $\alpha$ 는 다중 지수를 뜻한다.

$\Omega$ 내의 모든 ''x''와, '''R'''^''d'' 내의 영이 아닌 모든 $\xi$ 에 대해

: $\sum_{|\alpha| = m} a_\alpha(x)\xi^\alpha \neq 0 \,$

이 성립할 때, $L$ 을 ''타원형''이라고 한다.

많은 응용에서 이 조건은 충분히 강하지 않으므로, 대신 차수 ''m = 2k''의 연산자에 대해 다음의 '''균일 타원성 조건'''이 부과될 수도 있다.

: $(-1)^k\sum_{|\alpha| = 2k} a_\alpha(x) \xi^\alpha > C |\xi|^{2k}.\,$

여기서 ''C''는 어떤 양의 상수이다. 타원성은 최고차 항에만 의존한다.^[3]

비선형 연산자

: $L(u) = F(x, u, (\partial^\alpha u)_$

2. 1. 타원형 미분 연산자

리만 다양체

(M,g)

, 매끄러운 벡터 다발

E\twoheadrightarrow M

, 그리고

E

의 올 위에 매끄러운 양의 정부호 내적

\langle,\rangle

가 주어졌다고 하자.

유한 차수

k<\infty

의 미분 작용소

:

D\colon \Gamma^\infty(E)\to\Gamma^\infty(E)

가 다음 조건을 만족시킨다면,

D

를 '''타원형 미분 연산자'''라고 한다.

:

\inf_{(x,\xi)\in\mathrm T_x^*X\setminus X,\;v\in E_x}\frac{\langle\sigma_D(\overbrace{\xi,\xi,\ldots,\xi}^k,v),v\rangle}{\langle v,v\rangle (g^{-1}(\xi,\xi))^{k/2}}>0

여기서

\sigma_D

는 미분 연산자

D

의 주표상이다.

모든 타원형 미분 연산자는 짝수 차수이다. (홀수 차수일 경우

\sigma_D(-\xi,\ldots,-\xi,v)=-\sigma_D(\xi,\ldots,\xi,v)

가 된다.)

타원형 미분 연산자

D

로 정의되는 선형 편미분 방정식, 즉

:

Df=g\qquad(f,g\in \Gamma^\infty(E))

의 꼴의 선형 편미분 방정식을 '''타원형 편미분 방정식'''(elliptic partial differential equation^영어)이라고 한다.

L

을 '''R'''^''n''의 영역

\Omega

에 정의된 ''m''차 선형 미분 연산자라고 하고,

Lu = \sum_{|\alpha| \le m} a_\alpha(x)\partial^\alpha u

로 나타내자. 여기서

\alpha = (\alpha_1, \dots, \alpha_n)

은 다중 지표를 나타내고,

\partial^\alpha u = \partial^{\alpha_1}_1  \cdots \partial_n^{\alpha_n}u

는

x_i

에 대한

\alpha_i

차 편미분을 나타낸다.

그러면 모든

\Omega

내의 ''x''와 '''R'''^''n''의 모든 0이 아닌

\xi

에 대해

\sum_{|\alpha| = m} a_\alpha(x)\xi^\alpha \neq 0,

이 성립할 때

L

을 ''타원형''이라고 부른다. 여기서

\xi^\alpha = \xi_1^{\alpha_1} \cdots \xi_n^{\alpha_n}

이다.

많은 응용 분야에서 이 조건은 충분히 강력하지 않으며, 대신 ''균일 타원성 조건''이 ''m'' = 2''k''차 연산자에 대해 부과될 수 있다.

(-1)^k\sum_{|\alpha| = 2k} a_\alpha(x) \xi^\alpha > C |\xi|^{2k},

여기서 ''C''는 양의 상수이다. 타원성은 최고차항에만 의존한다는 점에 유의해야 한다.^[1]

비선형 연산자

L(u) = F\left(x, u, \left(\partial^\alpha u\right)_

2. 2. 약타원형 연산자

매끄러운 다양체

(M,g)

와 매끄러운 벡터 다발

E\twoheadrightarrow M

가 주어졌을 때, 모든

x\in X

및

\xi\in\mathrm T_x^*X\setminus\{0\}

에 대하여 주표상

\sigma_P(x,\xi)\colon E_x\to F_x

가 실수 벡터 공간의 동형 사상이면, 미분 연산자

P

를 '''약타원형 미분 연산자'''(弱楕圓型微分演算子, weakly elliptic operator^영어)라고 한다. 유한 개의 약타원형 미분 연산자의 합성은 약타원형 미분 연산자이다.

모든 타원형 미분 연산자는 약타원형 미분 연산자이다.

디랙 연산자와 같은 약타원형 1차 연산자는 제곱하여 라플라시안과 같은 강타원형 연산자가 될 수 있다.

약타원성은 프레드홀름 대체 정리, 쇼더 추정, 아티야-싱어 지표 정리에 충분히 강력하다.

3. 성질

2''k''차 타원형 연산자 ''L''의 계수가 2''k''개의 연속적인 도함수를 갖는다고 할 때, 디리클레 문제는 함수 ''f''와 몇 가지 적절한 경계값이 주어졌을 때, ''Lu = f''를 만족하고 적절한 경계값과 법선 도함수를 갖는 함수 ''u''를 찾는 것이다. Gårding 부등식, Lax-Milgram 보조정리, Fredholm 대안을 사용하면, 소볼레 공간 ''H''^''k''에서 약한 해 ''u''가 존재하기 위한 충분 조건을 찾을 수 있다.

예를 들어, '''예제 2'''와 같은 2차 타원형 연산자의 경우, 각 $f\in L^2(U)$ 에 대해, $Lu+\mu u=f \text{ in }U, u=0\text{ on }\partial U$ 경계값 문제의 고유한 해 $u\in H_{0}^{1}(U)$ 가 존재한다. (''γ>0''인 ''μ>γ'' 존재)

하지만 약한 해 ''u''는 고전적인 의미에서 ''Lu'' 표현이 잘 정의될 만큼 충분한 도함수를 갖지 못할 수 있다. 타원형 정칙성 정리에 따르면 ''f''가 제곱 적분 가능하면 ''u''는 실제로 ''2k''개의 제곱 적분 가능 약한 도함수를 갖는다. 특히 ''f''가 무한히 미분 가능하다면, ''u''도 그렇다.

모든 타원형 연산자는 쌍곡형 연산자이며, 그 기본 해는 0을 포함하지 않는 모든 이웃에서 무한히 미분 가능하다.

응용 사례로, 코시-리만 방정식을 만족하는 함수 $f$ 는 타원형 연산자를 형성하므로 매끄럽다.

경계가 ''C¹''인 열린 영역 ''U''에 대해 정의된 2차 타원형 연산자 ''L''(예시 2)에 대해, Lax-Milgram 보조정리를 적용하면, 각 ''μ>γ''에 대해 $L+\mu I: H_{0}^{1}(U)\rightarrow H_{0}^{1}(U)$ 가 가역성을 만족하는 수 ''γ>0''가 존재한다.

3. 1. 차수

2차원 이상 매끄러운 다양체 위의 타원형 미분 연산자는 항상 짝수 차수이다. 반면, 1차원 매끄러운 다양체(= 매끄러운 곡선) 위에서는 임의의 홀수 차수의 타원형 미분 연산자가 존재한다. 그러나 이 경우는 상미분 방정식에 해당하므로, 자명한 경우로 취급한다.

3. 2. 정칙성

리만 다양체

M

위의 매끄러운 벡터 다발

E

위의 자기 수반 타원형 미분 연산자

:

D\colon\Gamma^\infty(E)\to\Gamma^\infty(E)

에 대하여, 다음 두 조건이 성립한다.

$\dim\ker D<\infty$ . 다시 말해, 타원형 연산자로 정의된 동차 편미분 방정식 $Df=0$ 은 유한 개의 일차 독립 해를 갖는다.
$\Gamma^\infty(E)=\ker D\oplus \operatorname{im} D$

이를 '''타원형 정칙성 정리'''(elliptic regularity theorem^영어)라고 한다.

2''k''차수를 갖는 타원형 연산자 ''L''이 있고, 그 계수는 2''k''개의 연속적인 도함수를 갖는다고 할 때, 타원형 정칙성 정리는 ''f''가 제곱 적분 가능하면, ''u''는 실제로 ''2k''개의 제곱 적분 가능 약한 도함수를 갖는다는 것을 보장한다. 특히 ''f''가 무한히 미분 가능하다면, ''u''도 그렇다.

'''예제 2'''의 ''L''의 경우:

'''내부 정칙성''': ''m''이 자연수이고, $a^{ij},b^{j},c \in C^{m+1}(U), f\in H^{m}(U)$ 이며, $u\in H_{0}^{1}(U)$ 가 약한 해라면, 조밀한 폐포를 갖는 ''U''의 임의의 열린 집합 ''V''에 대해, $\|u\|_{H^{m+2}(V)}\le C(\|f\|_{H^{m}(U)}+\|u\|_{L^2(U)})$ 이며, 여기서 ''C''는 ''U, V, L, m''에 의존하므로 $u\in H_{loc}^{m+2}(U)$ 이고, 이는 소볼레 부등식에 의해 ''m''이 무한대일 때도 성립한다.
'''경계 정칙성''': $\partial U$ 가 $C^{m+2}$ 라는 가정과 함께, 위 조건은 ''V''를 ''U''로 대체한 후에도 여전히 성립한다. 즉, $u\in H^{m+2}(U)$ 이고, 이는 ''m''이 무한대일 때도 성립한다.

이러한 속성을 나타내는 모든 미분 연산자는 쌍곡형 연산자라고 불리며, 따라서 모든 타원형 연산자는 쌍곡형이다. 이 속성은 또한 타원형 연산자의 모든 기본 해가 0을 포함하지 않는 모든 이웃에서 무한히 미분 가능하다는 것을 의미한다.

응용 프로그램으로, 함수

f

가 코시-리만 방정식을 만족한다고 가정하자. 코시-리만 방정식은 타원형 연산자를 형성하므로,

f

는 매끄럽다.

3. 3. 준타원성

(매끄러운 함수 계수의) 모든 타원형 미분 연산자는 준타원형 미분 연산자이다. 그러나 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다. 어떤 타원형 연산자의 모든 기본해는 0을 포함하지 않는 임의의 근방에서 무한계 미분 가능함을 의미한다.

3. 4. 기타 성질 (영문, 일문 위키 참고)

타원형 미분 연산자는 가역성, 고유값 및 고유벡터, 반군 생성 등의 성질을 가지며, 프레드홀름 대체 정리, Schauder estimates|쇼더 추정^영어, 아티야-싱어 지표 정리와 관련이 있다.

경계가 ''C¹''인 열린 영역 ''U''에 대해 정의된 2차 타원형 연산자 ''L''(예시 2)의 경우:

가역성: 각 ''μ>γ''에 대해 $L+\mu I:L^2(U)\rightarrow L^2(U)$ 는 콤팩트 역을 갖는다. (단, ''γ>0''이고, ''μ>γ''이다.)
고유값과 고유벡터: ''A''가 대칭이고, ''bⁱ, c''가 0이면, (1) ''L''의 고유값은 실수, 양수, 가산적이며 무제한적이다. (2) ''L''의 고유벡터로 구성된 ''L²(U)''의 정규 직교 기저가 존재한다.
''L²(U)''에서 반군 생성: ''-L''은 ''L²(U)''에서 유계 선형 연산자 $\{S(t);t\geq 0\}$ 의 반군을 생성하며, 모든 $u_0\in L^2(U)$ 에 대해 ''L²(U)'' 노름에서 $\frac{d}{dt}S(t)u_0=-LS(t)u_0, \|S(t)\|\leq e^{\gamma t}$ 가 힐-요시다 정리에 의해 성립한다.

미분 연산자

D

가 '''약타원형'''(weakly elliptic)이라는 것은 모든 0이 아닌

\xi

에 대해

\sigma_\xi(D)

가 선형 동형 사상임을 의미한다.

D

가 (균일) '''강타원형'''(strongly elliptic)이라는 것은 어떤 상수

c>0

가 존재하여 다음이 성립함을 의미한다.

:

([\sigma_\xi(D)](v),v) \geq c\|v\|^2

여기서

(\cdot,\cdot)

는 내적이다. 라플라시안은 강타원형 연산자의 전형적인 예이다.

약타원성은 프레드홀름 대체 정리, Schauder estimates|쇼더 추정^영어, 아티야-싱어 지표 정리에 대해 충분히 강하다. 반면, 최대값 원리가 성립하고 고유값이 이산적이며 극한점이 ∞뿐이기 위해서는 강타원성이 필요하다.

4. 예시

리만 다양체 위의 라플라스 연산자와 라플라스형 연산자는 대표적인 타원형 미분 연산자의 예시이다.

리만 다양체 $(M,g)$ 위에 내적을 갖춘 매끄러운 벡터 다발 $E$ 위의 0차 미분 연산자 $D$ 가 타원형 미분 연산자가 될 필요충분조건은 모든 올에서 이차 형식 $\langle -,D_x-\rangle$ 가 양의 정부호 이차 형식이며, 다음과 같이 균등해야 한다.

: $\inf_{x\in X}\inf_{v\in E_x\setminus\{0\}}\frac{\langle v,D_xv\rangle}{\langle v,\rangle v}\ge0$

즉, $D_x$ 의 고윳값 가운데 최솟값을 $\lambda_{\min}(x)$ 라고 하면,

: $\inf_{x\in X}\lambda_{\min}(x)>0$

이어야 한다. 이는 연속 함수이므로, 만약 $M$ 이 콤팩트 공간이라면 이는 올별 양의 정부호성에 의하여 자동적으로 함의된다.

일반적으로, '''R'''^''n''의 영역 $\Omega$ 에 정의된 ''m''차 선형 미분 연산자 $L$ 은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

: $Lu = \sum_{|\alpha| \le m} a_\alpha(x)\partial^\alpha u$

여기서 $\alpha = (\alpha_1, \dots, \alpha_n)$ 은 다중 지표를 나타내고, $\partial^\alpha u = \partial^{\alpha_1}_1 \cdots \partial_n^{\alpha_n}u$ 는 $x_i$ 에 대한 $\alpha_i$ 차 편미분을 나타낸다.

모든 $\Omega$ 내의 ''x''와 '''R'''^''n''의 모든 0이 아닌 $\xi$ 에 대해 다음이 성립하면 $L$ 을 ''타원형''이라고 부른다.

: $\sum_{|\alpha| = m} a_\alpha(x)\xi^\alpha \neq 0,$

여기서 $\xi^\alpha = \xi_1^{\alpha_1} \cdots \xi_n^{\alpha_n}$ 이다.

많은 응용 분야에서 이 조건은 충분히 강력하지 않으며, 대신 ''m'' = 2''k''차 연산자에 대해 다음과 같은 ''균일 타원성 조건''이 부과될 수 있다.

: $(-1)^k\sum_{|\alpha| = 2k} a_\alpha(x) \xi^\alpha > C |\xi|^{2k},$

여기서 ''C''는 양의 상수이다. 타원성은 최고차항에만 의존한다.^[1]

비선형 연산자

: $L(u) = F\left(x, u, \left(\partial^\alpha u\right)_$

4. 1. 라플라스 연산자

리만 다양체 위의 라플라스 연산자는 2차 타원형 미분 연산자의 대표적인 예시이며, 그 상수는 1이다.^[3] 마찬가지로, 보다 일반적으로 리만 다양체 위의 라플라스형 연산자는 상수 1의 타원형 미분 연산자이다.'''R'''^''d''에서의 라플라시안의 -1배는 균일 타원형 연산자이다.^[3]

Δu = -∑_i=1^d ∂_i²u

이 라플라스 연산자는 정전기학에서 빈번하게 나타난다. ρ가 어떤 영역 Ω의 내부의 전하 밀도일 때, 전위 Φ는 다음 방정식을 만족한다.

ΔΦ = 4πρ

모든 ''x''에 대해 대칭적이고 양의 정부호인 행렬값 함수 ''A(x)''로, 성분이 ''a''^''ij''인 것이 주어졌을 때, 다음 연산자는 타원형이다.Lu = -∂_i(a^ij(x)∂_ju) + b^j(x)∂_ju + cu이것은 2계 발산 형식의 선형 타원형 미분 연산자 중 가장 일반적인 형태이다. 라플라스 연산자는 ''A = I''로 함으로써 얻어진다. 이러한 연산자는 편극 매질에 대한 정전기학에서도 나타난다.

4. 2. 라플라스형 연산자

리만 다양체 위의 라플라스형 연산자는 상수 1의 타원형 미분 연산자이다.^[3]

4. 3. 1차원 다양체 위의 타원형 미분 연산자

C^영어가 1차원 매끄러운 다양체(즉, 매끄러운 곡선)이고, 그 좌표를 t^영어라고 하자. 그 위의 (자명한 1차원 벡터 다발의) k^영어차 미분 연산자는 다음과 같다.:

\sum_{i=0}^k a_i(x) \frac{\mathrm d^i}{\mathrm dt^i}

이 미분 연산자가 k^영어차 타원형 미분 연산자일 필요충분조건은 임의의

t\in C

에 대하여

a_k(t) \ne 0

인 것이다.

4. 4. 기타 예시 (영문, 일문 위키 참고)

p-라플라시안은 다음과 같이 정의되는 비선형 타원형 연산자이다.

:

L(u) = -\sum_{i = 1}^d\partial_i (|\nabla u|^{p - 2}\partial_i u).\,

^[3]

이와 유사한 비선형 연산자는 빙상 역학에 나타난다. 글렌의 유동 법칙에 따라, 얼음의 Cauchy stress tensor|코시 응력 텐서^영어는 다음으로 주어진다.

:

\tau_{ij} = B\left(\sum_{k,l = 1}^3(\partial_lu_k)^2\right)^{-\frac{1}{3}}\cdot\frac{1}{2}(\partial_ju_i + \partial_iu_j)\,

^[3]

여기서 ''B''는 어떤 상수이다. 그러면, 정상 상태에서의 빙상의 속도는 다음 비선형 타원형 시스템의 해로 주어진다.

:

\sum_{j = 1}^3\partial_j\tau_{ij} + \rho g_i - \partial_ip = Q \,

^[3]

여기서 ρ는 얼음의 밀도, ''g''는 중력 가속도 벡터, ''p''는 압력, ''Q''는 어떤 외력항이다.

5. 일반적인 정의 (영문, 일문 위키 참고)

vector bundle^영어 사이의 (비선형) 미분 연산자에 대한 일반적인 정의는 다음과 같다.

$D$ 를 임의의 계수를 갖는 벡터 다발 사이의 (비선형일 수도 있는) 미분 연산자라고 하자. 일차 형식 $\xi$ 에 대한 주요 심볼 $\sigma_\xi(D)$ 을 취한다. 여기서 하는 일은 최고차 공변 미분 $\nabla$ 를 벡터장 $\xi$ 로 대체하는 것이다.

모든 0이 아닌 $\xi$ 에 대해 $\sigma_\xi(D)$ 가 선형 동형 사상이면 $D$ 가 ''약타원형''이라고 한다.

어떤 상수 $c > 0$ 에 대해,

$\left([\sigma_\xi(D)](v), v\right) \geq c\|v\|^2$

가 모든 $\|\xi\|=1$ 과 모든 $v$ 에 대해 성립하면 $D$ 가 (균일) ''강타원형''이라고 한다. 여기서 $(\cdot,\cdot)$ 는 내적이다. $\xi$ 는 코벡터장 또는 일차 형식이지만, $v$ 는 $D$ 가 작용하는 벡터 다발의 요소이다.

라플라시안 (또는 관례에 따라 그 음수)은 전형적인 (강) 타원형 연산자의 예이다. 강타원성이 가능하려면 $D$ 가 짝수 차수여야 한다. 그렇지 않으면 $\xi$ 와 그 음수를 모두 대입하는 것을 고려하면 된다. 반면에, 디랙 연산자와 같은 약타원형 1차 연산자는 제곱하여 라플라시안과 같은 강타원형 연산자가 될 수 있다. 약타원형 연산자의 합성은 약타원형이다.

약타원성은 프레드홀름 대체 정리, 쇼더 추정, 아티야-싱어 지표 정리에 충분히 강력하다. 반면에, 최대값 원리에는 강타원성이 필요하며, 고유값이 이산적이고 유일한 극한점이 무한대임을 보장하기 위해 필요하다.^[1]

6. 응용 (영문, 일문 위키 참고)

타원형 미분 연산자는 정전기학, 빙하 역학 등 다양한 분야에서 활용된다.

정전기학: 라플라시안은 정전기학에서 자주 등장하는 타원형 연산자의 대표적인 예시이다. 전하 밀도가 ρ인 영역 Ω에서 전위 Φ는 다음 방정식을 만족한다.^[1]

::-ΔΦ = 4πρ

빙하 역학: 글렌의 유동 법칙에 따라 얼음의 코시 응력 텐서를 계산하는 데 사용되는 p-라플라시안은 비선형 타원형 연산자의 예시이다. 이를 통해 정상 상태 빙상의 속도를 계산할 수 있다.^[2]

코시-리만 방정식과 같이 타원형 연산자를 형성하는 방정식의 해는 매끄럽다는 중요한 성질을 가진다.^[3]

참조

_[1] 문서
_[2] 문서
_[3] 문서

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