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이면체

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목차

1. 개요

이면체는 두 개의 평면 다각형을 "등을 맞대고" 연결하여 깊이가 없는 각기둥의 퇴화된 형태로 볼 수 있는 다면체이다. 이는 알렉산드로프의 유일성 정리에서 나타나며, 구면 타일링으로도 표현될 수 있다. 정다각형 두 개로 구성된 정이면체는 슐래플리 기호 {n,2}로 표시된다. 이면체는 무한각형 이면체로 확장될 수 있으며, 정이포체와 같은 고차원 개념으로 일반화된다.

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이면체
다면체 정보
이름정n각형 이면체의 집합
육각형 이면체
구면에서 육각형 이면체를 예시로 나타냄
종류정다면체 또는 구면 타일링
면n각형 2개
모서리n
꼭짓점n
꼭짓점 배열n.n
슐레플리 기호{n,2}
위토프 기호2 n 2
대칭군Dnh, [2,n], (*22n), 4n차
회전 대칭군Dn, [2,n]+, (22n), 2n차
쌍대호소헤드론

2. 다면체로서의 이면체

''이면체''는 두 (평면) ''n''각형을 "뒷면끼리" 붙여서 높이가 없는 물체의 축퇴된 각기둥으로 생각할 수 있다. 다각형은 반드시 일치해야 하며, 하나가 다른것의 거울상으로 붙여야 한다.

이면체는 어떤 볼록 다면체의 표면의 길이를 지역적으로 유한한 개수의 꼭짓점의 양의 부족각의 합이 4π가 되는 유클리드 예외로 특성화하는 알렉산드로프의 유일성 이론에서 나타났다. 이 특성화는 또한 이면체의 표면의 거리를 보류해서, 알렉산드로프의 이론의 진술은 이면체가 볼록한 다면체로 고려해야 한다고 요구한다.[11]

'''이면체'''는 두 개의 (평면) ''n''각형 다각형 밑면이 "등을 맞대고" 연결되어 깊이가 없는 각기둥의 퇴화된 형태라고 볼 수 있다. 다각형은 합동이어야 하지만, 하나가 다른 하나의 거울상인 방식으로 붙여야 한다. 이는 두 면 사이의 거리가 0일 경우에만 적용된다; 거리가 0보다 크면, 면은 무한 다각형이다 (폭이 0보다 큰 아페이로곤 호소헤드론의 이각 면과 약간 유사하며, 무한 스트라이프를 갖는다).

이면체는 알렉산드로프의 유일성 정리에서 발생할 수 있는데, 이 정리는 임의의 볼록 다면체의 표면에서 거리를, 4π로 합산되는 양의 각 결손을 가진 유한 개의 점을 제외하고 국소적으로 유클리드 거리로 특징짓는다. 이 특징은 이면체의 표면에서도 성립하므로, 알렉산드로프 정리는 이면체가 볼록 다면체로 간주되어야 한다고 요구한다.[4]

일부 이면체는 다른 다면체 집합의 하한 구성원으로서 나타날 수 있다. 이각을 밑면으로 하는 각기둥은 사각 이면체이며, 이각을 밑면으로 하는 피라미드는 삼각 이면체이다.

정다각형 두 개로 구성된 정이면체는 슐래플리 기호 {''n'',2}로 표시되며, 각각 슐래플리 기호 {''n''}를 갖는다.[5]

2. 1. 알렉산드로프의 유일성 정리

이면체는 알렉산드로프의 유일성 정리에서 나타나는데, 이 정리는 볼록 다면체의 표면의 길이를 지역적으로 유한한 개수의 꼭짓점의 양의 부족각의 합이 4π가 되는 유클리드 예외로 특성화한다.[11][4] 이 특성화는 이면체의 표면의 거리를 보류해서, 알렉산드로프의 이론은 이면체가 볼록한 다면체로 고려해야 한다고 요구한다.[11][4]

2. 2. 다른 다면체와의 관계

이면체는 두 개의 평면 ''n''각형 다각형 밑면이 등을 맞대고 연결되어 깊이가 없는 각기둥의 퇴화된 형태라고 볼 수 있다. 다각형은 합동이어야 하지만, 하나가 다른 하나의 거울상인 방식으로 붙여야 한다. 이는 두 면 사이의 거리가 0일 경우에만 적용된다.[4]

이면체는 알렉산드로프의 유일성 정리에서 발생할 수 있는데, 이 정리는 임의의 볼록 다면체의 표면에서 거리를, 4π로 합산되는 양의 각 결손을 가진 유한 개의 점을 제외하고 국소적으로 유클리드 거리로 특징짓는다. 이 특징은 이면체의 표면에서도 성립하므로, 알렉산드로프 정리는 이면체가 볼록 다면체로 간주되어야 한다고 요구한다.[4]

일부 이면체는 다른 다면체 집합의 하한 구성원으로서 나타날 수 있다. 이각을 밑면으로 하는 각기둥은 사각 이면체이며, 이각을 밑면으로 하는 피라미드는 삼각 이면체이다.

정다각형 두 개로 구성된 정이면체는 슐래플리 기호 {''n'',2}로 표시되며, 각각 슐래플리 기호 {''n''}를 갖는다.[5]

3. 구면 타일링으로서의 이면체

구면 타일링으로써, ''이면체''는 구를 덮는 ''n''각형 면 두개를 가지는 축퇴되지 않은 형태로 존재할 수 있다. 각각의 면은 반구를 이루고, 꼭짓점은 대원을 따라서 있다. (꼭짓점의 간격이 같다면 ''정다각형''이다.)

정다면체 {2,2}는 자기쌍대이면서 호소헤드론인 동시에 이면체이다.

정이면체: (구면 타일링)
그림
100px
100px
100px
100px
|100px]]
슐레플리{2,2}{3,2}{4,2}{5,2}{6,2}...
면2 {2}2 {3}2 {4}2 {5}2 {6}
모서리와
꼭짓점		23456



'''구면 이면체'''는 구면 다각형 두 개로 이루어져 있으며, 이 두 다각형은 대원 적도 위에 동일한 ''n''개의 정점을 공유합니다. 구면 이면체의 각 다각형은 반구를 채웁니다.

'''정규 구면 이면체'''는 정규 구면 다각형 두 개로 이루어져 있으며, 이 두 다각형은 대원 적도 위에 동일한 ''n''개의 정점을 공유하고 있으며, 정점들은 균등하게 배치됩니다.

style="text-align:center;"|정규 이면체 군 · *''n''22 대칭 변형 정규 이면체 타일링: ''nn''
공간구면유클리드 공간
타일링
이름		모노고날
이면체		디고날
이면체		트리고날
이면체		정사각형
이면체		오각형
이면체		...아페이로고날
이면체
타일링
이미지		...
|85px]]
슐래플리
기호		{1,2}{2,2}{3,2}{4,2}{5,2}...{∞,2}
면2 {1}2 {2}2 {3}2 {4}2 {5}...2 {∞}
변 및
정점		12345...∞
정점
배열		1.12.23.34.45.5...∞.∞


3. 1. 정이면체

이면체는 구면 타일링으로 표현될 수 있으며, 이 때 ''n''각형 면 두 개가 구를 덮는 형태로 존재한다. 각 면은 반구를 이루고, 꼭짓점은 대원을 따라 위치한다. 꼭짓점 간격이 동일하면 ''정다각형''이 된다.

정다면체 {2,2}는 자기쌍대이며, 호소헤드론인 동시에 이면체이다.

정이면체: (구면 타일링)
그림|100px]]
슐레플리{2,2}{3,2}{4,2}{5,2}{6,2}...
면2 {2}2 {3}2 {4}2 {5}2 {6}
모서리와
꼭짓점		23456



'''구면 이면체'''는 구면 다각형 두 개로 이루어져 있으며, 이 두 다각형은 대원 적도 위에 동일한 ''n''개의 정점을 공유한다. 구면 이면체의 각 다각형은 반구를 채운다.

'''정규 구면 이면체'''는 정규 구면 다각형 두 개로 이루어져 있으며, 이 두 다각형은 대원 적도 위에 동일한 ''n''개의 정점을 공유하고 있으며, 정점들은 균등하게 배치된다.

style="text-align:center;"|정규 이면체 군 · *''n''22 대칭 변형 정규 이면체 타일링: ''nn''
공간구면유클리드 공간
타일링
이름		모노고날
이면체		디고날
이면체		트리고날
이면체		정사각형
이면체		오각형
이면체		...아페이로고날
이면체
타일링
이미지		...|85px]]
슐래플리
기호		{1,2}{2,2}{3,2}{4,2}{5,2}...{∞,2}
면2 {1}2 {2}2 {3}2 {4}2 {5}...2 {∞}
변 및
정점		12345...∞
정점
배열		1.12.23.34.45.5...∞.∞


4. 무한각형 이면체

극한에서는 이면체는 2차원 테셀레이션으로 무한각형 이면체가 된다.

''n''이 무한대로 커지면, ''n''각 쌍각뿔은 2차원 테셀레이션으로서 무한각 쌍각뿔이 된다.

5. 이포체 (Ditopes)

정이포체는 슐레플리 기호가 {''p'',...''q'',''r'',2}인 이면체의 ''n''차원 해석이다. 이것은 모든 ridge {''p'',...''q''}를 공유하는 facet {''p'',...''q'',''r''} 두 개를 가지고 있다. 정규 ''디토프''는 슐래플리 기호 {''p'',...,''q'',''r'',2}를 갖는 이면체의 ''n''차원 유사체이다. 그것은 모든 모서리, {''p'',...,''q''}를 공유하는 두 개의 면, {''p'',...,''q'',''r''}을 갖는다.

6. 한국 사회와 이면체

참조

[1] 논문 Topological Lensing in Spherical Spaces
[2] 간행물 On the volume of unbounded polyhedra in the hyperbolic space http://www.emis.de/j[...] 2017-02-14
[3] 간행물 Flat zipper-unfolding pairs for Platonic solids
[4] 간행물 On flat polyhedra deriving from Alexandrov's theorem
[5] 서적 Regular Polytopes https://archive.org/[...] Dover Publications Inc. 1973-01
[6] 서적 Abstract Regular Polytopes https://archive.org/[...] Cambridge University Press 2002-12
[7] 논문 Topological Lensing in Spherical Spaces
[8] 간행물 On the volume of unbounded polyhedra in the hyperbolic space http://www.emis.ams.[...] 2017-11-08
[9] 간행물 Flat zipper-unfolding pairs for Platonic solids
[10] 서적 Regular Polytopes Dover Publications Inc.
[11] 간행물 On flat polyhedra deriving from Alexandrov's theorem
[12] 서적 Abstract Regular Polytopes Cambridge University Press 2002-12


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