이임학 군

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1. 개요
2. 슈발레 군의 구성
- 2.1. 슈발레 군과 슈타인버그 군
- 2.2. 리 군 (Ree group)
3. 유형별 리 군
참조

1. 개요

이임학 군은 딘킨 다이어그램의 자기 동형 사상과 프로베니우스 자기 동형 사상을 결합하여 구성되는 유한 단순군족으로, 슈발레 군, 슈타인버그 군과 함께 정의된다. 이들은 연결된 대수적 군의 점으로 표현되지 않는다는 특징을 가지며, 스즈키 군 (²B₂), 리 군 (²G₂), 그리고 ²F₄ 유형의 리 군이 존재한다. 특히, 리 군은 7차원 벡터 공간의 자기 동형 사상으로 표현되며, ²F₄ 유형의 리 군은 무팡 팔각형과 관련이 있다.

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이임학 군
이 군
리 그룹
분야	수학
하위 분야	군론
명명	림학 래
역사
처음으로 언급	림학 래 (1960) 자크 티츠 (1960)
성질
군 크기	\|(q^(3n)+1)q^(3n)(q^(n)-1)(q^(3n)+1)

2. 슈발레 군의 구성

클로드 슈발레는 주어진 딘킨 도표 $X$ 에 대응하는 분할 대수적 군을 구성하는 방법을 제시했다. 이 방법을 통해 특정 체 $F$ 위에서 정의되는 군 $X(F)$ 를 얻을 수 있다. 이렇게 구성된 군 $X(F)$ 는 중요한 자기 동형 사상들을 갖는데, 이는 체 $F$ 의 구조와 딘킨 도표의 대칭성으로부터 유래한다. 구체적으로, 체 $F$ 의 자기 동형 사상과 딘킨 도표 $X$ 의 자기 동형 사상은 각각 군 $X(F)$ 의 자기 동형 사상을 유도한다. 이러한 자기 동형 사상들의 고정점을 조사함으로써 슈발레 군, 슈타인버그 군, 리 군과 같은 다양한 유한 단순군들을 정의하고 연구할 수 있다.

2. 1. 슈발레 군과 슈타인버그 군

슈발레 군과 슈타인버그 군 모두 딘킨 도표

X

와 체

F

에 기반하여 정의될 수 있다. 이 두 종류의 군은 특정 자기 동형 사상의 고정점(fixed point)으로 구성된다는 공통점이 있지만, 사용하는 자기 동형 사상의 종류에서 차이가 있다.

딘킨 도표

X

와 체

F

가 주어졌을 때, 슈발레는

F

위에서 정의되는 분할 대수적 군

X(F)

를 구성했다. 이 군은 다음과 같은 두 종류의 자기 동형 사상을 가진다.

체 $F$ 의 모든 자기 동형 사상 $\sigma$ 는 군 $X(F)$ 의 자기 동형 사상 $\alpha_{\sigma}$ 를 유도한다.
딘킨 도표의 모든 자기 동형 사상 $\pi$ 는 군 $X(F)$ 의 자기 동형 사상 $\alpha_{\pi}$ 를 유도한다.

슈발레 군과 슈타인버그 군은 모두 체

F

의 대수적 폐포인

\bar{F}

에 대해, 군

X(\bar{F})

의 특정 자기 동형 사상

\alpha

의 고정점 군으로 정의될 수 있다. 즉,

\alpha(g) = g

를 만족하는 원소

g

들의 집합이다.

슈발레 군: 자기 동형 사상 $\alpha$ 가 프로베니우스 자기 동형 사상 $\phi$ 의 거듭제곱인 경우, 즉 $\alpha = \phi^n$ ( $n$ 은 양의 정수)일 때, 그 고정점들의 군이 슈발레 군이다. 이 군은 유한체 $F_{q^n}$ 위에서 정의된 군 $X(F_{q^n})$ 의 점들의 군과 같다.

슈타인버그 군: 자기 동형 사상 $\alpha$ 가 프로베니우스 자기 동형 사상 $\phi$ 와 딘킨 도표의 자기 동형 사상 $\pi$ 를 조합하여 만들어지는 경우이다. 구체적으로, 어떤 양의 정수 $m$ , $n$ 에 대해 $\alpha^m = \phi^n$ 을 만족하고, $m$ 이 $n$ 을 나누며 $m > 1$ 일 때, 그 고정점들의 군이 슈타인버그 군이다. 이 군은 유한체 상에서 정의된 군 $X$ 의 비틀린 형태(form, quasi-split form)의 점들의 군으로 해석될 수 있다.

요약하자면, 슈발레 군은 '순수한' 프로베니우스 자기 동형 사상의 고정점으로 정의되는 반면, 슈타인버그 군은 프로베니우스 자기 동형 사상과 딘킨 도표의 대칭성을 결합한 '비틀린' 자기 동형 사상의 고정점으로 정의된다. 이 '비틀림' 요소가 슈타인버그 군의 중요한 특징이다.

2. 2. 리 군 (Ree group)

슈발레 군과 슈타인버그 군은 체 ''F''의 대수적 폐포 위에서 정의된 군 ''X''(

\overline{F}

)의 특정 자기 동형 사상의 고정점으로 구성될 수 있다. 슈발레 군은 체 ''F''의 프로베니우스 자기 사상 ''φ''의 거듭제곱, 즉 ''α'' = ''φ''^''n''의 고정점으로 얻어진다. 슈타인버그 군은 프로베니우스 자기 사상 ''φ''의 거듭제곱과 딘킨 도표의 자기 동형 사상 ''π''를 결합한 형태, 즉 ''α''^''m'' = ''φ''^''n'' (단, ''m'' > 1이고 ''m''은 ''n''을 나눔)을 만족하는 자기 동형 사상 ''α''의 고정점으로 구성된다. 이 두 종류의 군은 유한체 상에서 정의된 대수적 군의 점들로 해석될 수 있다.

리 군은 이들과 유사하지만 중요한 차이점을 가진다. 리 군 역시 ''α''^''m'' = ''φ''^''n'' 형태의 자기 동형 사상 ''α''의 고정점으로 정의되지만, 슈타인버그 군과 달리 ''m''이 ''n''을 나누지 않는 경우에 해당한다. 구체적으로 리 군의 경우 ''m''=2이고 ''n''은 홀수이다.

리 군은 특정 조건 하에서만 존재한다. 표수가 2인 체 ''F'' 위의 군 B₂(''F'')와 F₄(''F''), 그리고 표수가 3인 체 ''F'' 위의 군 G₂(''F'')는 특별한 자기 동형 사상을 갖는다. 이 자기 동형 사상 ''α_π''는 대략적으로 말해, 뿌리의 길이를 무시하는 차수 2의 딘킨 도표 자기 동형 사상 ''π''에서 유래한다. 또한, 체 ''F''가 프로베니우스 자기 사상 ''φ''의 '제곱근'에 해당하는 자기 사상 ''σ'' (즉, ''σ''² = ''φ'')를 가질 때, 리 군은 ''α_π''(''g'') = ''α_σ''(''g'')를 만족하는 군 ''X''(''F'')의 원소 ''g''들의 집합으로 정의된다. 만약 체 ''F''가 완전체라면, ''α_π''와 ''α_φ''는 자기 동형 사상이 되고, 리 군은 ''X''(''F'')에서 대합 ''α_φ''/''α_π''의 고정점 군으로 표현될 수도 있다.

체 ''F''가 위수 ''p''^''k'' (''p'' = 2 또는 3)인 유한체일 경우, 프로베니우스 자기 사상의 제곱근이 되는 자기 사상 ''σ''는 지수 ''k''가 홀수일 때, 즉 ''k'' = 2''n'' + 1일 때 유일하게 존재한다. 따라서 이 경우 B₂(2^2''n''+1), F₄(2^2''n''+1), G₂(3^2''n''+1)의 부분군으로서 유한 리 군이 정의된다.

슈발레 군이나 슈타인버그 군과는 달리, 리 군은 주어진 체 위에서 정의된 어떤 연결 대수적 군의 점들로 표현되지 않는다는 중요한 특징을 갖는다. 즉, 리 군은 위수 ''p''^''n'' (''n''은 홀수)인 체에서 정의된 군의 차수 2 자기 동형 사상의 고정점이지만, 위수 ''p''^''n''/2에 해당하는 체가 존재하지 않기 때문에(일부 문헌에서는 존재하는 것처럼 표기하기도 함), 연결 대수적 군의 유리점으로 볼 수 없다.

3. 유형별 리 군

이임학은 특정 유형의 리 군에 대한 연구를 통해 새로운 유한 단순군 족을 발견하는 중요한 업적을 남겼다. 그는 스즈키 미치오가 발견한 스즈키 군(²B₂ 유형)이 로버트 스타인버그의 구성을 변형하여 B₂ 유형의 군으로부터 구성될 수 있음을 밝혔다. 이 아이디어를 확장하여, 이임학은 딘킨 도표 F₄ 및 G₂에 유사한 구성 방법을 적용함으로써 두 개의 새로운 유한 단순군 족, 즉 ²G₂ 유형과 ²F₄ 유형의 리 군을 발견하였다. 이 군들은 그의 이름을 따 이임학 군으로 불리기도 한다. 이 세 가지 유형의 군에 대한 자세한 설명은 각각의 하위 섹션에서 다룬다.

3. 1. ²B₂ 유형 (스즈키 군)

유형 ²B₂의 리 군은 스즈키 미치오鈴木通夫|스즈키 미치오^일본어 (1960)에 의해 처음 다른 방법으로 발견되었으며, 일반적으로 스즈키 군이라고 불린다. 이임학李林學|이임학^한국어은 이 군들이 로버트 스타인버그Robert Steinberg|로버트 스타인버그^영어 (1959)의 구성을 변형하여 B₂ 유형의 군으로부터 구성될 수 있다는 것을 알아차렸다. 이임학은 유사한 구성 방법이 딘킨 도표 F₄ 및 G₂에도 적용될 수 있으며, 이를 통해 두 개의 새로운 유한 단순군 족(이후 이임학 군으로 불림)을 발견했다.

3. 2. ²G₂ 유형

²G₂ 유형의 리 군(Ree groups) ²G₂(3^2''n''+1)는 리(Ree)에 의해 1960년에 소개되었으며, 그는 ²G₂(3)를 제외한 모든 군이 단순군임을 보였다. ²G₂(3)는 SL₂(8)의 자기 동형 군과 동형이다. 윌슨(Wilson)은 2010년에 리 군의 간소화된 구성을 제시했는데, 이는 3^2''n''+1개의 원소를 갖는 체 위의 7차원 벡터 공간의 자기 동형 사상으로, 쌍선형 형식, 삼선형 형식, 그리고 꼬인 선형성을 만족하는 곱을 보존하는 방식으로 정의된다.

리 군의 차수는 ''q''³(''q''³ + 1)(''q'' − 1)이며, 여기서 ''q'' = 3^2''n''+1이다.

슈르 승수(Schur multiplier)는 ''n'' ≥ 1인 경우와 ²''G''₂(3)′에 대해 자명하다. 외부 자기 동형 군은 차수 2''n'' + 1의 순환군이다. 이 리 군들은 때때로 Ree(''q''), R(''q''), 또는 E₂^*(''q'')로 표기되기도 한다.²G₂(''q'') 유형의 리 군은 ''q''³ + 1개의 점에 대해 이중 추이 순열 표현을 가지며, 더 정확하게는 S(2, ''q''+1, ''q''³+1) 슈타이너 시스템의 자기 동형 사상으로 작용한다. 또한, G₂(''q'')의 부분군이므로, ''q''개의 원소를 갖는 체 위의 7차원 벡터 공간에서도 작용한다.

리 군의 2-실로우 부분군은 차수가 8인 기본 아벨 군이다. 월터 정리(Walter's theorem)는 아벨 실로우 2-부분군을 갖는 비아벨 유한 단순군은 차원 2의 사영 특수 선형 군과 얀코 군 J1뿐임을 보여준다. 이 군들은 최초의 현대적인 산재군 발견에도 역할을 했다. 이들은 '''Z'''/2'''Z''' × PSL₂(''q'') 형태의 대합의 중심화자를 가지며, '''Z'''/2'''Z''' × PSL₂(5) 형태의 대합 중심화자를 갖는 군을 조사하는 과정에서 얀코는 산재군 ''J''₁을 발견했다. 클라이드만(Kleidman)은 1988년에 이들의 극대 부분군을 결정했다.²G₂ 유형의 리 군은 특징짓기가 매우 어렵다. 톰슨(Thompson)은 1967년, 1972년, 1977년에 이 문제를 연구했으며, 이러한 군의 구조가 특성 3인 유한체의 특정 자기 동형 사상 ''σ''에 의해 결정되고, 이 자기 동형 사상의 제곱이 프로베니우스 자기 동형 사상이라면 해당 군이 리 군임을 보일 수 있다는 것을 밝혔다. 그는 또한 자기 동형 사상 ''σ''가 만족해야 하는 복잡한 몇 가지 조건을 제시했다. 마지막으로 봄비에리(Bombieri)는 1980년에 소거 이론을 사용하여 톰슨의 조건이 178개의 작은 경우를 제외하고 모두 ''σ''² = 3임을 증명했으며, 이 예외적인 경우들은 오들리즈코(Odlyzko)와 헌트(Hunt)에 의해 컴퓨터를 사용하여 해결되었다. 봄비에리는 고렌슈타인(Gorenstein)이 1979년에 쓴 분류에 관한 기사를 읽고 이 문제에 관심을 갖게 되었는데, 고렌슈타인은 군론 외부의 전문가가 이 문제 해결에 기여할 수 있을 것이라고 제안한 바 있다. 엥게하르트(Enguehard)는 1986년에 톰슨과 봄비에리에 의한 이 문제의 해결 과정을 통합적으로 설명하는 논문을 발표했다.

3. 3. ²F₄ 유형

리 군(Ree group) ²F₄(2^2''n''+1)는 1961년 이임학에 의해 소개되었다. 이 군들은 ''n''=0인 경우, 즉 첫 번째 군 ²F₄(2)를 제외하고는 모두 단순군이다. ²F₄(2)는 1964년 자크 티츠(Jacques Tits)에 의해 지수 2를 갖는 단순 부분군을 가지는 것으로 밝혀졌으며, 이 부분군은 현재 티츠 군으로 알려져 있다. 2010년 로버트 윌슨(Robert Wilson)은 이차 형식, 삼차 형식 및 부분 곱셈을 보존하는, 위수 2^2''n''+1인 체 위의 26차원 벡터 공간 상의 대칭 변환으로 리 군 ²F₄(2^2''n''+1)의 간단한 구성을 제시했다.

리 군 ²F₄(2^2''n''+1)의 위수(order)는 다음과 같다.

:''q''¹²(''q''⁶ + 1)(''q''⁴ − 1)(''q''³ + 1)(''q'' − 1)

여기서 ''q'' = 2^2''n''+1이다.

이 군의 슈어 승수는 자명군(trivial group)이다.

외부 자기 동형 군은 위수가 2''n'' + 1인 순환군이다.

이러한 리 군들은 BN 쌍의 콕서터 군이 결정성을 가지지 않는다는 특이한 속성을 가진다. 즉, 이들의 콕서터 군은 위수 16의 이면각 군이다. 또한, 1983년 티츠는 모든 무팡 팔각형(Moufang octagon)이 ²F₄ 유형의 리 군으로부터 유도된다는 것을 보였다.

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