자이페르트 올공간

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 표준올 원환체
- 2.2. 자이페르트 올공간과 다양체
3. 분류
- 3.1. 기호 체계
- 3.2. 기호 변환 규칙
4. 기본군
- 4.1. 완전열
- 4.2. 생성원과 관계식
5. 오일러 지표
- 5.1. 오비폴드 오일러 지표
6. 역사
7. 한국의 자이페르트 다양체 연구
8. 응용
참조

1. 개요

자이페르트 올공간은 3차원 다양체를 밑공간으로 하고 원을 올로 갖는 올다발이며, 자이페르트 다양체는 이러한 올다발 구조를 잊은 공간을 의미한다. 3차원 다양체의 분류 연구에서 중요한 역할을 했으며, 콤팩트 자이페르트 올공간은 기호를 사용하여 분류할 수 있다. 자이페르트 올공간의 기본군은 완전열을 만족하며, 오일러 지표는 밑공간의 오비폴드 오일러 지표를 통해 계산된다. 헤르베르트 자이페르트가 1933년에 처음 도입했다.

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자이페르트 올공간
기본 정보
유형	3-다양체
연구	매듭 이론, 3-다양체, 클라인 병, 기하학적 위상수학
정의
정의	모든 점이 원섬유의 이웃을 갖는 섬유화된 3-다양체
기본 공간	2차원 궤적 공간, 대개 2차원 궤적 오비폴드
구조 그룹	원군 U(1)
불변량
자이페르트 불변량	유클리드 운동 그룹의 산술 클래스 기본 그룹
예시
예시	렌즈 공간 원환면 다발 Brieskorn 구
관련 개념
관련 개념	타원 곡면 자이페르트 곡면 올다발 오비폴드

2. 정의

유리수 $r\in\mathbb Q$ 에 대하여, 원기둥 $B_2\times I=\{z\in\mathbb C\colon|z|\le1\}\times[0,1]$ 의 양끝을 다음과 같은 사상으로 이어붙여 얻는 몫공간을 생각하자.

: $(z,0)\sim(\exp(2\pi ir)z,1)$ ( $z\le1$ )

이 몫공간은 3차원 원환체 $B_2\times S^1$ 와 위상동형이며, 이를 '''표준올 원환체'''(standard fibered torus^영어)라고 한다. 만약 $r\in\mathbb Z$ 라면 이를 '''일반적 표준올 원환체'''(ordinary standard fibered torus^영어)라고 하며, 아니라면 '''예외적 표준올 원환체'''(exceptional standard fibered torus^영어)라고 한다.

서로소 정수 $(a,b)$ 쌍(여기서 $a>0$ )에 해당하는 '''표준 섬유 다발 원환면'''은 $2\pi b/a$ 각도로 회전하여 주어진 원반의 자기 동형 사상의 곡면 다발이다(원에 의한 자연스러운 섬유화 포함). $a=1$ 이면 중간 섬유를 '''보통''' 섬유라고 부르고, $a>1$ 이면 중간 섬유를 '''특이''' 섬유라고 부른다.

'''자이페르트 올공간'''은 다음과 같은 성질을 만족시키는 올다발 $\pi\colon M\twoheadrightarrow B$ 이다.

$M$ 은 3차원 다양체이며, $B$ 는 2차원 오비폴드다. $\pi$ 의 올은 원 $S^1$ 이다.
모든 올 $\pi^{-1}(b)$ ( $b\in B$ )은 표준올 원환체와 올다발로서 동형인 근방을 가진다.

이 경우,

B

의 오비폴드 특이점들은 예외적 올들에 대응하고, 나머지 점들은 일반적 올에 대응한다. 콤팩트 자이페르트 올공간은 유한 개의 예외적 올들을 가진다.

'''자이페르트 다양체'''(Seifert manifold^영어)는 올다발 구조를 잊은 자이페르트 올공간이다. 렌즈 공간과 같은 일부 다양체들은 서로 다른 여러 자이페르트 올구조를 가질 수 있다.

2. 1. 표준올 원환체

유리수

r\in\mathbb Q

에 대하여, 원기둥

B_2\times I=\{z\in\mathbb C\colon|z|\le1\}\times[0,1]

의 양끝을 다음과 같은 사상으로 이어붙여 얻는 몫공간을 생각하자.

:

(z,0)\sim(\exp(2\pi ir)z,1)

(

z\le1

)

이 몫공간은 3차원 원환체

B_2\times S^1

와 위상동형이며, 이를 '''표준올 원환체'''(standard fibered torus^영어)라고 한다.

만약

r\in\mathbb Z

라면 이를 '''일반적 표준올 원환체'''(ordinary standard fibered torus^영어)라고 하며, 아니라면 '''예외적 표준올 원환체'''(exceptional standard fibered torus^영어)라고 한다.

thumb

서로소 정수

(a,b)

쌍(여기서

a>0

)에 해당하는 '''표준 섬유 다발 원환면'''은

2\pi b/a

각도로 회전하여 주어진 원반의 자기 동형 사상의 곡면 다발이다(원에 의한 자연스러운 섬유화 포함).

a=1

이면 중간 섬유를 '''보통''' 섬유라고 부르고,

a>1

이면 중간 섬유를 '''특이''' 섬유라고 부릅니다.

2. 2. 자이페르트 올공간과 다양체

자이페르트 올공간은 3차원 다양체를 밑공간으로, 원을 올로 갖는 올다발

\pi\colon M\twoheadrightarrow B

이다. 여기서 밑공간

B

는 2차원 오비폴드이다. 모든 올

\pi^{-1}(b)

(

b\in B

)은 표준올 원환체와 올다발로서 동형인 근방을 가진다.

표준올 원환체는 원기둥

B_2\times I=\{z\in\mathbb C\colon|z|\le1\}\times[0,1]

의 양끝을

(z,0)\sim(\exp(2\pi ir)z,1)

(

z\le1

,

r\in\mathbb Q

) 사상으로 이어붙여 얻는 몫공간으로, 3차원 원환체

B_2\times S^1

와 위상동형이다.

r\in\mathbb Z

이면 일반적 표준올 원환체, 아니면 예외적 표준올 원환체라고 한다.

thumb

B

의 오비폴드 특이점들은 예외적 올들에 대응하고, 나머지 점들은 일반적 올에 대응한다. 콤팩트 자이페르트 올공간은 유한 개의 예외적 올들을 가진다.

서로소 정수

(a,b)

쌍(여기서

a>0

)에 해당하는 표준 섬유 다발 원환면은

2\pi b/a

각도로 회전하여 주어진 원반의 자기 동형 사상의 곡면 다발이다(원에 의한 자연스러운 섬유화 포함).

a=1

이면 중간 섬유를 보통 섬유,

a>1

이면 중간 섬유를 특이 섬유라고 부른다.

올다발 구조를 잊은 자이페르트 올공간을 '''자이페르트 다양체'''(Seifert manifold^영어)라고 한다. 렌즈 공간과 같은 일부 다양체들은 서로 다른 여러 자이페르트 올구조를 가질 수 있다.

3. 분류

콤팩트 자이페르트 올공간은 다음과 같은 기호를 사용하여 분류할 수 있다.

: $\{(\varepsilon,g);r_1,r_2,\dots\}$

여기서

$\varepsilon\in\{\mathsf o_1,\mathsf o_2,\mathsf n_1,\mathsf n_2,\mathsf n_3,\mathsf n_4\}$ 은 다음과 같은 뜻을 가진다.

기호	다른 기호	B	M	$\pi_1(B)$ 의 올들의 방향에 대한 작용	B의 다양체 피복의 종수
o₁	Oo	가향	가향
o₂	No	가향	비가향
n₁	NnⅠ	비가향	비가향	모두 보존
n₂	On	비가향	가향	모두 역전
n₃	NnⅡ	비가향	비가향	정확히 하나의 생성원만이 보존	≥2
n₄	NnⅢ	비가향	비가향	정확히 두 개의 생성원만이 보존	≥3

$r_i\in\mathbb Q$ 는 $r_i$ -표준올 원환체의 존재를 나타낸다.

헤르베르트 자이페르트는 다음과 같은 불변량을 사용하여 모든 닫힌 자이페르트 올공간을 분류했다. 자이페르트 다양체는 다음과 같은 기호로 표시된다.

:

\{b, (\varepsilon,g);(a_1,b_1),\dots,(a_r,b_r)\}\,

여기서

\varepsilon

는 6개의 기호 중 하나이며 (

o_1,o_2,n_1,n_2,n_3,n_4\,

또는 자이페르트의 원래 표기법으로는 Oo, No, NnI, On, NnII, NnIII) 그 의미는 위에서 설명한것과 같다.

''g''는 궤도 표면의 기본 2-다양체의 종수이다.
''b''는 정수이며, 'M'이 가향 불가능하면 0 또는 1로 정규화되고, 일부 $a_i$ 가 2이면 0으로 정규화된다.
$(a_1,b_1),\ldots,(a_r,b_r)$ 는 각 ''r''개의 예외적 궤도의 유형을 결정하는 숫자 쌍이다. 'M'이 가향 가능할 때는 $0< b_i < a_i$ 로 정규화되고, 'M'이 가향 불가능할 때는 $0< b_i \le a_i/2$ 로 정규화된다.

기호

:

\{b, (\epsilon,g);(a_1,b_1),\ldots ,(a_r,b_r)\}

를 가지는 자이페르트 올공간은

:

\{0, (\epsilon,g);\}

기호를 가지는 자이페르트 올공간에서 유형 ''b''와

b_i/a_i

의 섬유를 추가하는 수술을 사용하여 구성할 수 있다.

자이페르트 올공간의 기호는 다음과 같이 바꾸어도 같은 자이페르트 올공간에 대응한다.

만약 $\sum_in_i=0$ 이고 $n_i\in\mathbb Z$ 라면 모든 $r_i$ 에 대하여 $r_i\mapsto r_i+n_i$ 로 바꾸어도 상관없다.
$r=0$ 인 올은 마음대로 추가하거나 생략할 수 있다.
$M$ 이 비가향이라면, $r_i$ 의 부호는 상관없다.

헤르베르트 자이페르트가 제시한 기호 표현 방식에서도 유사한 변환 규칙이 적용된다.

$a_i$ 와 $b_i$ 의 부호를 동시에 바꾸어도 동일하다.
''b''에 1을 더하고, 각 $b_i$ 에서 $a_i$ 를 빼도 동일하다. 즉, 각 유리수 $(b,b_1/a_1, \ldots ,b_r/a_r$ 에 정수를 더하되 그 합은 일정하게 유지되어야 한다.
다양체가 가향 불가능한 경우, $b_i$ 의 부호를 바꾸어도 동일하다.
유형 (1,0)의 섬유를 추가해도 동일하다.

이러한 변환 규칙을 통해 모든 기호는 고유한 정규화된 기호와 동일하게 만들 수 있으며, 정규화되지 않은 기호를 사용할 때는 유형

(1,b)

의 섬유를 추가하여 정수 ''b''를 0으로 설정할 수 있다.

두 개의 닫힌 자이페르트 가향 또는 비가향 올공간은 가향 또는 비가향 올공간으로 동일한 정규화된 기호를 가질 때만 동형이다. 그러나 렌즈 공간과 같이, 몇몇 다양체는 여러 종류의 자이페르트 올공간을 가질 수 있기 때문에, 두 자이페르트 다양체가 서로 다른 정규화된 기호를 가짐에도 위상 동형일 수 있다.

합

b+\sum b_i/a_i

는 가향 올공간의 불변량이며, 'B'의 유한한 덮개를 취한 후 올공간이 자명해질 때에만 0이 된다.

올공간 ''B''의 '''올공간 오일러 지표'''

\chi(B)

는 다음과 같이 주어진다.

:

\chi(B) = \chi(B_0) - \sum(1-1/a_i)

,

여기서

\chi(B_0)

는 올공간 ''B''의 기본 위상 표면

B_0

의 일반적인 오일러 지표이다. ''M''의 동작은 'B'의 올공간 오일러 지표의 부호에 크게 의존한다.

3. 1. 기호 체계

콤팩트 자이페르트 올공간은 모두 분류되었으며, 그 분류는 다음과 같다. 자이페르트 올공간은 다음과 같은 기호를 가진다.

:

\{(\varepsilon,g);r_1,r_2,\dots\}

여기서

$\varepsilon\in\{\mathsf o_1,\mathsf o_2,\mathsf n_1,\mathsf n_2,\mathsf n_3,\mathsf n_4\}$ 은 다음과 같은 뜻을 가진다.

기호	다른 기호	B	M	$\pi_1(B)$ 의 올들의 방향에 대한 작용	B의 다양체 피복의 종수
o₁	Oo	가향	가향
o₂	No	가향	비가향
n₁	NnⅠ	비가향	비가향	모두 보존
n₂	On	비가향	가향	모두 역전
n₃	NnⅡ	비가향	비가향	정확히 하나의 생성원만이 보존	≥2
n₄	NnⅢ	비가향	비가향	정확히 두 개의 생성원만이 보존	≥3

$r_i\in\mathbb Q$ 는 $r_i$ -표준올 원환체의 존재를 나타낸다.

자이페르트 올공간의 기호는 다음과 같이 바꾸어도 같은 자이페르트 올공간에 대응한다.

만약 $\sum_in_i=0$ 이고 $n_i\in\mathbb Z$ 라면 모든 $r_i$ 에 대하여 $r_i\mapsto r_i+n_i$ 로 바꾸어도 상관없다.
$r=0$ 인 올은 마음대로 추가하거나 생략할 수 있다.
$M$ 이 비가향이라면, $r_i$ 의 부호는 상관없다.

헤르베르트 자이페르트는 다음과 같은 불변량을 사용하여 모든 닫힌 자이페르트 올공간을 분류했다. 자이페르트 다양체는 다음과 같은 기호로 표시된다.

:

\{b, (\varepsilon,g);(a_1,b_1),\dots,(a_r,b_r)\}\,

여기서

\varepsilon

는 6개의 기호 중 하나이며 (

o_1,o_2,n_1,n_2,n_3,n_4\,

또는 자이페르트의 원래 표기법으로는 Oo, No, NnI, On, NnII, NnIII) 그 의미는 위에서 설명한것과 같다.

''g''는 궤도 표면의 기본 2-다양체의 종수이다.
''b''는 정수이며, 'M'이 가향 불가능하면 0 또는 1로 정규화되고, 일부 $a_i$ 가 2이면 0으로 정규화된다.
$(a_1,b_1),\ldots,(a_r,b_r)$ 는 각 ''r''개의 예외적 궤도의 유형을 결정하는 숫자 쌍이다. 'M'이 가향 가능할 때는 $0< b_i < a_i$ 로 정규화되고, 'M'이 가향 불가능할 때는 $0< b_i \le a_i/2$ 로 정규화된다.

기호

:

\{b, (\epsilon,g);(a_1,b_1),\ldots ,(a_r,b_r)\}

를 가지는 자이페르트 올공간은

:

\{0, (\epsilon,g);\}

기호를 가지는 자이페르트 올공간에서 유형 ''b''와

b_i/a_i

의 섬유를 추가하는 수술을 사용하여 구성할 수 있다.

두 개의 닫힌 자이페르트 가향 또는 비가향 올공간은 가향 또는 비가향 올공간으로 동일한 정규화된 기호를 가질 때만 동형이다. 그러나 렌즈 공간과 같이, 몇몇 다양체는 여러 종류의 자이페르트 올공간을 가질 수 있기 때문에, 두 자이페르트 다양체가 서로 다른 정규화된 기호를 가짐에도 위상 동형일 수 있다.

합

b+\sum b_i/a_i

는 가향 올공간의 불변량이며, 'B'의 유한한 덮개를 취한 후 올공간이 자명해질 때에만 0이 된다.

올공간 ''B''의 '''올공간 오일러 지표'''

\chi(B)

는 다음과 같이 주어진다.

:

\chi(B) = \chi(B_0) - \sum(1-1/a_i)

,

여기서

\chi(B_0)

는 올공간 ''B''의 기본 위상 표면

B_0

의 일반적인 오일러 지표이다. ''M''의 동작은 'B'의 올공간 오일러 지표의 부호에 크게 의존한다.

3. 2. 기호 변환 규칙

콤팩트 자이페르트 올공간은 특정한 기호를 사용하여 표현되며, 이 기호는 다음과 같은 규칙에 따라 변환되어도 동일한 공간을 나타낸다.

$\sum_in_i=0$ 이고 $n_i\in\mathbb Z$ 라면 모든 $r_i$ 에 대하여 $r_i\mapsto r_i+n_i$ 로 바꿀 수 있다.
$r=0$ 인 올은 자유롭게 추가하거나 제거할 수 있다.
$M$ 이 비가향이라면, $r_i$ 의 부호는 상관없다.

헤르베르트 자이페르트가 제시한 기호 표현 방식에서도 유사한 변환 규칙이 적용된다.

$a_i$ 와 $b_i$ 의 부호를 동시에 바꾸어도 동일하다.
''b''에 1을 더하고, 각 $b_i$ 에서 $a_i$ 를 빼도 동일하다. 즉, 각 유리수 $(b,b_1/a_1, \ldots ,b_r/a_r$ 에 정수를 더하되 그 합은 일정하게 유지되어야 한다.
다양체가 가향 불가능한 경우, $b_i$ 의 부호를 바꾸어도 동일하다.
유형 (1,0)의 섬유를 추가해도 동일하다.

이러한 변환 규칙을 통해 모든 기호는 고유한 정규화된 기호와 동일하게 만들 수 있으며, 정규화되지 않은 기호를 사용할 때는 유형

(1,b)

의 섬유를 추가하여 정수 ''b''를 0으로 설정할 수 있다.

4. 기본군

''M''의 기본군은 다음 완전열을 만족한다.

: $\pi_1(S^1)\rightarrow\pi_1(M)\rightarrow\pi_1(B)\rightarrow1$

여기서 π₁(B)는 밑공간 ''B''의 오비폴드 기본군이다. (이는 기본 위상 다양체의 기본군과 동일하지 않다). 군 π₁(S¹)의 상은 순환적이고 정규적이며, 임의의 정규 올에 의해 표현되는 요소 ''h''에 의해 생성되지만, π₁(S¹)에서 π₁(M)으로의 사상은 항상 단사적이지 않다.

''M''의 기본군은 생성원과 관계를 통해 다음과 같은 표현을 갖는다.

''B'' 가향:

: $\langle u_1,v_1,...u_g,v_g,q_1,...q_r,h|u_ih=h^{\epsilon}u_i, v_ih=h^{\epsilon}v_i,q_ih=hq_i, q_j^{a_j}h^{b_j}=1, q_1...q_r[u_1,v_1]...[u_g,v_g]=h^b\rangle$

여기서 ε은 유형 ''o''₁에 대해 1이고 유형 ''o''₂에 대해 −1이다.

''B'' 비가향:

: $\langle v_1,...,v_g,q_1,...q_r,h| v_ih=h^{\epsilon_i}v_i,q_ih=hq_i, q_j^{a_j}h^{b_j}=1, q_1...q_rv_1^2...v_g^2=h^b\rangle$

여기서 ε_''i''는 해당 생성원 ''v''_''i''가 올의 방향을 보존하는지 또는 반전하는지에 따라 1 또는 −1이다. (따라서 유형 ''n''₁의 경우 모든 ε_''i''는 1이고, 유형 ''n''₂의 경우 모든 −1이고, 유형 ''n''₃의 경우 처음 하나만 1이고, 유형 ''n''₄의 경우 처음 두 개만 1이다.)

4. 1. 완전열

자이페르트 다양체 ''M''의 기본군은 다음과 같은 완전열을 만족한다.

:

\pi_1(S^1)\rightarrow\pi_1(M)\rightarrow\pi_1(B)\rightarrow1

여기서 π₁(B)는 밑공간 ''B''의 오비폴드 기본군을 나타낸다. 군 π₁(S¹)의 상은 순환적이고 정규적이며, 임의의 정규 올에 의해 표현되는 요소 ''h''에 의해 생성된다. π₁(S¹)에서 π₁(M)으로의 사상은 항상 단사적이지 않을 수 있다.

''M''의 기본군은 생성원과 관계를 통해 다음과 같이 표현할 수 있다.

''B'' 가향:

:

\langle u_1,v_1,...u_g,v_g,q_1,...q_r,h|u_ih=h^{\epsilon}u_i, v_ih=h^{\epsilon}v_i,q_ih=hq_i, q_j^{a_j}h^{b_j}=1, q_1...q_r[u_1,v_1]...[u_g,v_g]=h^b\rangle

여기서 ε은 유형 ''o''₁에 대해 1이고 유형 ''o''₂에 대해 −1이다.

''B'' 비가향:

:

\langle v_1,...,v_g,q_1,...q_r,h| v_ih=h^{\epsilon_i}v_i,q_ih=hq_i, q_j^{a_j}h^{b_j}=1, q_1...q_rv_1^2...v_g^2=h^b\rangle

여기서 ε_''i''는 해당 생성원 ''v''_''i''가 올의 방향을 보존하는지 또는 반전하는지에 따라 1 또는 −1이다. (따라서 유형 ''n''₁의 경우 모든 ε_''i''는 1이고, 유형 ''n''₂의 경우 모든 −1이고, 유형 ''n''₃의 경우 처음 하나만 1이고, 유형 ''n''₄의 경우 처음 두 개만 1이다.)

4. 2. 생성원과 관계식

''M''의 기본군은 생성원과 관계를 통해 다음과 같은 표현을 갖는다.

밑공간 B가 가향인 경우:

:

\langle u_1,v_1,...u_g,v_g,q_1,...q_r,h|u_ih=h^{\epsilon}u_i, v_ih=h^{\epsilon}v_i,q_ih=hq_i, q_j^{a_j}h^{b_j}=1, q_1...q_r[u_1,v_1]...[u_g,v_g]=h^b\rangle

여기서 ε은 유형 ''o''₁에 대해 1이고 유형 ''o''₂에 대해 −1이다.

밑공간 B가 비가향인 경우:

:

\langle v_1,...,v_g,q_1,...q_r,h| v_ih=h^{\epsilon_i}v_i,q_ih=hq_i, q_j^{a_j}h^{b_j}=1, q_1...q_rv_1^2...v_g^2=h^b\rangle

여기서 ε_''i''는 해당 생성원 ''v''_''i''가 올의 방향을 보존하는지 또는 반전하는지에 따라 1 또는 −1이다. (따라서 유형 ''n''₁의 경우 모든 ε_''i''는 1이고, 유형 ''n''₂의 경우 모든 −1이고, 유형 ''n''₃의 경우 처음 하나만 1이고, 유형 ''n''₄의 경우 처음 두 개만 1이다.)

''M''의 기본군은 완전열에 적합하며, 군

\pi_1(S^1)

의 상은 순환적이고 정규적이며, 임의의 정규 올에 의해 표현되는 요소 ''h''에 의해 생성된다.

5. 오일러 지표

자이페르트 올공간의 오일러 지표는 밑공간의 오비폴드 오일러 지표를 통해 계산될 수 있다.

: χ(B) = χ(B₀) - Σ (1 - 1/a_i)

여기서 χ(B₀)는 밑공간 B의 기본 위상 표면의 일반적인 오일러 지표를 나타낸다.

오일러 지표의 부호에 따라 자이페르트 다양체의 기하학적 구조가 달라진다. 양의 오일러 지표는 구면기하학, 0은 유클리드 기하학 또는 닐 기하, 음의 오일러 지표는 ''SL''₂('''R''') 기하학을 갖는다.

5. 1. 오비폴드 오일러 지표

밑공간 B의 오비폴드 오일러 지표는 다음과 같이 계산된다.

: χ(B) = χ(B₀) - Σ (1 - 1/a_i)

여기서 χ(B₀)는 밑공간 B의 기본 위상 표면의 일반적인 오일러 지표를 나타낸다.

6. 역사

헤르베르트 자이페르트가 1933년에 자이페르트 다양체를 도입하였다.^[1] 자이페르트 다양체는 최초로 완전히 분류된 3차원 다양체였으며, 이후 3차원 다양체의 분류는 기하화 추측의 증명으로 완성되었다.

7. 한국의 자이페르트 다양체 연구

8. 응용

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