전신 방정식

3. 전개

전신 방정식은 전송 선로의 분포 정수 모델을 기반으로 한다. 전송 선로는 단위 길이당 저항(R), 인덕턴스(L), 컨덕턴스(G), 커패시턴스(C)를 가지는 무한히 작은 요소들로 구성된 것으로 간주된다.

24 게이지 전화 폴리에틸렌 절연 케이블(PIC)의 대표적인 파라미터 데이터는 다음과 같다 (약 21.1°C에서).^[2]

위 표에서 R과 L의 변화는 주로 표피 효과와 근접 효과 때문이다. 커패시턴스가 일정하게 유지되는 것은 의도적인 설계의 결과이다. G의 변화는 다음 함수 형태를 따른다.^[4]

:$G(f)\; =\; G\_1\; \backslash cdot\; \backslash left(\; \backslash frac\; \{f\}\{f\_1\}\backslash right)^\{g\_\backslash mathrm\{e\}\}$

여기서 $G(f)$는 주파수의 함수로서의 전도율이고, $G\_1$, $f\_1$과 $g\_e$는 모두 실수 상수이다. $g\_\backslash mathrm\{e\}$는 1.0에 가깝다.

일반적으로 저항 손실은 $f^\{1/2\}$에 비례하여 증가하고 유전 손실은 $f^\{g\_\backslash mathrm\{e\}\}$에 비례하여 증가하며, 여기서 $g\_\backslash mathrm\{e\}\; \backslash approx\; 1$이므로, 충분히 높은 주파수에서는 유전 손실이 저항 손실을 초과하게 된다. 실제로, 그 지점에 도달하기 전에 더 나은 유전체를 가진 전송선이 사용된다. 장거리 강성 동축 케이블에서는 매우 낮은 유전 손실을 얻기 위해 고체 유전체를 간격을 두고 플라스틱 스페이서로 대체하여 중심 도체를 축상에 유지할 수 있다.

공간 변수 ''x''와 시간 변수 ''t''의 실수 값 함수 ''u''( ''x'', ''t'' )에 대해,

:$$

\frac{\partial ^2 u}{\partial t^2} - \frac{\partial ^2 u}{\partial x^2} +\gamma u=0



로 주어지는 쌍곡형 2계 편미분 방정식을 '''전신 방정식'''이라고 한다. 특히 γ=0인 경우에는, 일반적인 파동 방정식에 해당한다.

n차원 공간 변수 '''x'''=(''x''₁,…,''x''_n)와 시간 변수 ''t''의 실수 값 함수 ''u''( ''x'', ''t'' )에 대해서도 다음과 같은 편미분 방정식을 전신 방정식이라고 한다.

:$$

\frac{\partial ^2 u}{\partial t^2} - \nabla^2 u +\gamma u=0



단, ∇²는 n차원에서의 라플라스 연산자이다.

:$$

\nabla^2=\frac{\partial ^2}{\partial x_1^{\, 2}} + \frac{\partial ^2}{\partial x_2^{\, 2}}

+ \cdots + \frac{\partial ^2}{\partial x_n^{\, 2}}



전신 방정식은 다음과 같은 표준형으로 표현되는 경우가 많다.

::$$

\left [ \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2}{\partial t^2} - \nabla^2

+ \frac{1}{\kappa^2} \frac{\partial}{\partial t} + \mu^2 \right ]

u(\boldsymbol{x},t) = 0



이러한 경우에도 다음과 같은 변환을 통해 위의 형식으로 귀착된다.

::$$

\chi(\boldsymbol{x},t) = e^{\frac{c^2}{2\kappa^2}t}\cdot u(\boldsymbol{x},t)

, \quad

s=ct, \quad

\gamma=\mu^2-\frac{c^2}{4\kappa^2}



::$$

\frac{\partial ^2 \chi}{\partial s^2} - \nabla^2 \chi + \gamma \chi=0

3. 1. 전신 방정식 유도

3. 2. 전파 속도

4. 분산 소자

전신 방정식은 맥스웰 방정식에서 파생된다. 실제로는 도체가 2포트 네트워크의 무한한 일련의 기본 구성 요소로 구성되어 있으며, 각 구성 요소는 전송 선로의 미소한 짧은 세그먼트를 나타낸다고 가정한다.

• 도체의 분산 저항 및 전도도 $R$은 직렬 저항(옴/단위 길이)으로 표시된다. 고주파에서는 표피 효과로 인해 $R$이 주파수의 제곱근에 비례하여 증가한다.^[2]
• 분산 인덕턴스 $L$(전선 주변의 자기장, 자기 인덕턴스 등)은 직렬 인덕터(헨리/단위 길이)로 표시된다.
• 두 도체 사이의 커패시턴스 $C$는 분로 커패시터(패럿/단위 길이)로 표시된다.
• 두 도체를 분리하는 유전체 재료의 저항 및 전도도 $G$는 신호선과 반환선 사이의 분로 저항(지멘스/단위 길이)으로 표시된다. $G$는 유전체의 전기 저항 및 전도도와 유전 손실을 모두 포함한다.

• 인덕턴스 $L$: 전류를 자기장에 저장된 에너지와 연결한다. 이는 전류에 관성을 부여하여, 주어진 지점에서 전류 흐름을 변화시키기 어렵게 만든다. 큰 $L$ 값은 파동을 느리게 하고, 선로의 특성 임피던스를 증가시킨다.
• 커패시턴스 $C$: 전압을 전기장에 저장된 에너지와 연결한다. 각 도체 내 전자의 상호 작용을 제어하며, 파동의 속도와 전압을 감소시킨다. 큰 $C$ 값은 복원력을 약화시켜 파동을 느리게 하고, 특성 임피던스를 낮춘다.
• 저항 $R$: 두 선로 내부 저항의 합으로, 전류를 옴 손실과 연결한다. 선로를 따라 전압 강하를 유발하며, 일반적으로 무선 주파수에서 유도 전기 리액턴스에 비해 작아 0으로 간주되기도 한다.
• 컨덕턴스 $G$: 선로 간 전류 누설을 나타내며, 전압을 유전체 손실과 연결한다. 전류를 감소시키며, 전선 절연이 좋은 경우 서셉턴스에 비해 작아 0으로 간주되기도 한다.

$R$과 $L$의 변화는 주로 표피 효과와 근접 효과 때문이다. 커패시턴스가 일정하게 유지되는 것은 의도적인 설계 결과이다.^[2]

$G$의 변화는 "역률은... 주파수에 독립적인 경향이 있는데, 이는 각 주기 동안 손실되는 에너지의 비율이... 넓은 주파수 범위에서 초당 사이클 수에 실질적으로 독립적이기 때문이다."라는 Terman의 언급^[3]에서 추론할 수 있다.

$G(f)\; =\; G\_1\; \backslash cdot\; \backslash left(\; \backslash frac\; \{f\}\{f\_1\}\backslash right)^\{g\_\backslash mathrm\{e\}\}$ 형태의 함수에서 $g\_\backslash mathrm\{e\}$는 1.0에 가깝고, 이는 Terman의 언급과 일치한다. Chen은 유사한 형태의 방정식을 제시한다.^[4]

일반적으로 저항 손실은 $f^\{1/2\}$에 비례하여 증가하고 유전 손실은 $f^\{g\_\backslash mathrm\{e\}\}$ ($g\_\backslash mathrm\{e\}\; \backslash approx\; 1$)에 비례하여 증가하므로, 충분히 높은 주파수에서는 유전 손실이 저항 손실을 초과한다. 실제로, 그 지점에 도달하기 전에 더 나은 유전체를 가진 전송선이 사용된다. 장거리 강성 동축 케이블에서는 매우 낮은 유전 손실을 얻기 위해 고체 유전체를 간격을 둔 플라스틱 스페이서로 대체하여 중심 도체를 축상에 유지할 수 있다.

5. 손실 없는 전송

$\backslash omega\; L\; \backslash gg\; R$ 및 $\backslash omega\; C\; \backslash gg\; G$일 때, 전선의 저항과 절연 컨덕턴스는 무시할 수 있으며, 전송 선로는 이상적인 무손실 구조로 간주된다. 이 경우 모델은 $L$ 및 $C$ 요소에만 의존한다. 전신 방정식은 전송 선로 상의 전압 $V$와 전류 $I$ 사이의 관계를 설명하며, 각 값은 위치 $x$와 시간 $t$의 함수이다.

:$\backslash begin\{align\}$

V &= V(x,t) \\

I &= I(x,t)

\end{align}

전송선 방정식은 한 쌍의 결합된 1차 편미분 방정식으로 구성된다. 첫 번째 방정식은 유도 전압이 케이블 인덕턴스를 통한 전류의 시간에 따른 변화율과 관련이 있음을 보여주고, 두 번째 방정식은 케이블 커패시턴스에 의해 소모되는 전류가 전압의 시간에 따른 변화율과 관련이 있음을 보여준다.

:$$

\frac{\partial V}{\partial x} = - L \frac{\partial I}{\partial t}



:$$

\frac{\partial I}{\partial x} = - C \frac{\partial V}{\partial t}



이 방정식들을 결합하면 전압 $V$와 전류 $I$에 대한 파동 방정식을 얻을 수 있다.

:$$

\begin{align}

\frac{\partial^2 V}{\partial t^2} - {\tilde v}^2 \frac{\partial^2 V}{\partial x^2} &= 0 \\

\frac{\partial^2 I}{\partial t^2} - {\tilde v}^2 \frac{\partial^2 I}{\partial x^2} &= 0

\end{align}



여기서 $\{\backslash tilde\; v\}\; \backslash equiv\; \backslash frac\{\; 1\; \}\{\; \backslash sqrt\{\; L\; C\; \}\; \}$는 전송 선로를 통과하는 파동의 전파 속도이다. 이상적인 평행 도체로 만들어지고 그 사이에 진공이 있는 전송 선로의 경우, 이 속도는 빛의 속도와 같다.

손실이 없는 경우 $(\; R\; =\; G\; =\; 0\; )$, 전압에 대한 파동 방정식의 일반적인 해는 전진파와 후진파의 합으로 나타낼 수 있다.

:$V(x,t)\; =\; f\_1(\; x\; -\; \{\backslash tilde\; v\}\; t\; )\; +\; f\_2(\; x\; +\; \{\backslash tilde\; v\}\; t\; )$

여기서,

• $f\_1$과 $f\_2$는 어떤 두 해석 함수도 될 수 있으며,
• $\{\backslash tilde\; v\}\; \backslash equiv\; \backslash frac\{\; 1\; \}\{\; \backslash sqrt\{\; L\; C\; \}\; \}$는 파형의 전파 속도 (''위상 속도''라고도 함)이다.

5. 1. 정현파 정상 상태

6. 손실 있는 전송

손실 요소 $R$과 $G$를 무시하기 어려울 정도로 클 경우, 선로의 기본 세그먼트를 설명하는 미분 방정식은 다음과 같다.^[13]

:$$\backslash begin\{align\}$$

\frac{\partial}{\partial x} V(x,t) &= -L \frac{\partial}{\partial t} I(x,t) - R \, I(x,t) \, , \\[6pt]

\frac{\partial}{\partial x} I(x,t) &= -C \frac{\partial}{\partial t} V(x,t) - G \, V(x,t) \, .

\end{align}

위의 두 방정식을 $x$에 대해 미분하고 약간의 대수를 사용하면, 각각 하나의 미지수만 포함하는 한 쌍의 쌍곡선 편미분 방정식을 얻는다.^[13]

:$$\backslash begin\{align\}$$

\frac{\partial^2}{\partial x^2} V &= L C \frac{\partial^2}{\partial t^2} V + \left( R C + G L \right) \frac{\partial}{\partial t} V + G R V , \\[6pt]

\frac{\partial^2}{\partial x^2} I &= L C \frac{\partial^2}{\partial t^2} I + \left( R C + G L \right) \frac{\partial}{\partial t} I + G R I .

\end{align}

이 방정식은 $V$와 $I$와 그들의 1차 도함수에 추가 항이 있는 균질 파동 방정식과 유사하다. 이러한 추가 항은 신호가 시간과 거리에 따라 감쇠하고 퍼지게 한다. 전송 선로에 손실이 약간만 있는 경우 ($R\; \backslash ll\; \backslash omega\; L$ 및 $G\; \backslash ll\; \backslash omega\; C$) 신호 강도는 $e^\{-\backslash alpha\; x\}$로 거리에 따라 감쇠하며, 여기서 $\backslash alpha\; \backslash approx\; \backslash frac\{R\}\{\; 2\; Z\_0\; \}\; +\; \backslash frac\{\; G\; Z\_0\; \}\{2\}\; ~$이다.^[13]

7. 전신 방정식의 해와 회로 소자

전신 방정식의 해는 회로 소자로 직접 삽입될 수 있다. 존슨(Johnson)은 ABCD 파라미터를 사용하여 2포트 네트워크로 표현할 수 있음을 보였다.^[10]

ABCD 2포트 네트워크의 정의 방정식은 다음과 같다.^[10]

$$\backslash begin\{align\}$$

V_1 &= V_2 \cosh( \gamma x) + I_2 Z_\mathsf{o} \sinh(\gamma x) \, , \\[1ex]

I_1 &= \frac{V_2}{ Z_\mathsf{o} } \sinh (\gamma x) + I_2 \cosh(\gamma x) \, .

\end{align}

여기서

$$Z\_\backslash mathsf\{o\}\; \backslash equiv\; \backslash sqrt\{\; \backslash frac\{\; R\_\backslash omega\; +\; j\; \backslash omega\; L\_\backslash omega\; \}\{\; G\_\backslash omega\; +\; j\; \backslash omega\; C\_\backslash omega\; \}\; \}\; ,$$

$$\backslash gamma\; \backslash equiv\; \backslash sqrt\{\; \backslash left(\; R\_\backslash omega\; +\; j\; \backslash omega\; L\_\backslash omega\; \backslash right)\; \backslash left(\; G\_\backslash omega\; +\; j\; \backslash omega\; C\_\backslash omega\; \backslash right)\; \}\; ,$$

이다. , , , 는 주파수의 함수일 수 있음을 강조하기 위해 로 아래 첨자화되어 있다.

$V\_1$과 $I\_1$은 $V\_2$와 의 함수로 제공된다. 전압과 전류 관계는 대칭이므로, 위 방정식에서 $V\_2$와 $I\_2$를 $V\_1$과 $I\_1$의 함수로 나타내도 동일한 관계를 얻는다. 이때 아래 첨자 "1"과 "2"가 반전되고, 항의 부호는 "1"←"2" 방향이 "2"→"1" 방향으로 반전되면서 변경된다.

동축 케이블과 같은 불균형 전송선의 경우, 아래 그림과 같은 등가 회로를 사용하여 모델링할 수 있다.^[14]

• \frac{\partial ^2 V}{\partial x^2}+RGV=0

• \frac{\partial ^2 I}{\partial x^2}+RGI=0

8. 다양한 물리 현상과 전신 방정식

전신 방정식은 다양한 물리 현상을 설명하는 데 사용되는 쌍곡형 2계 편미분 방정식이다. 공간 변수 ''x''와 시간 변수 ''t''를 사용하는 실수 값 함수 ''u''(''x'', ''t'')에 대해 다음과 같이 표현된다.

:$$

\frac{\partial ^2 u}{\partial t^2} - \frac{\partial ^2 u}{\partial x^2} +\gamma u=0



여기서 γ=0인 경우에는 일반적인 파동 방정식에 해당한다.

n차원 공간 변수 '''x'''=(''x''₁,…,''x''_n)와 시간 변수 ''t''의 실수 값 함수 ''u''(''x'', ''t'')에 대해서는 다음과 같이 표현된다.

:$$

\frac{\partial ^2 u}{\partial t^2} - \nabla^2 u +\gamma u=0



여기서 ∇²는 n차원에서의 라플라스 연산자이다.

전신 방정식은 시간 ''t''에 대한 1계 도함수나 물리적인 계수를 포함하는 형태로 표현될 수 있으며, 변환을 통해 위의 형식으로 귀착된다.

8. 1. 도체 내 전자기장

8. 2. 감쇠가 있는 현의 진동

8. 3. 클라인-고든 방정식

참조

_[1] 서적 The Maxwellians Cornell University Press 2005
_[2] 서적 Subscriber Loop Signaling and Transmission Handbook https://archive.org/[...] IEEE Press 1995
_[3] 서적 Radio Engineers' Handbook McGraw-Hill 1943
_[4] 서적 Home Networking Basics Prentice Hall 2004
_[5] 서적 Electromagnetics McGraw-Hill
_[6] 서적 Engineering Electromagnetics https://archive.org/[...] McGraw-Hill
_[7] 서적 Electromagnetic Concepts and Applications Prentice-Hall
_[8] 서적 Elements of Electromagnetics Saunders College Publishing
_[9] 서적 Time-Harmonic Electromagnetic Fields McGraw-Hill
_[10] 서적 Transmission lines and Filter Networks Macmillan
_[11] 서적 Transmission Lines with Pulse Excitation Academic Press
_[12] 서적 High Speed Signal Propagation Prentice-Hall
_[13] 서적 Transmission Lines and Lumped Circuits Academic Press 2001
_[14] 웹사이트 SPICE Simulation of Transmission Lines by the Telegrapher's Method http://i.cmpnet.com/[...] 2010-06
_[15] 서적 http://books.google.[...]