절대 갈루아 군

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요
2. 정의
3. 성질
- 3.1. 노이키르히-우치다 정리
- 3.2. 역문제
4. 예
5. 대한민국 관점에서의 연구 동향
참조

1. 개요

절대 갈루아 군은 체 K의 분해 가능 폐포 K^sep의 K에 대한 갈루아 군으로 정의되며, K 위에서 항등인 K^sep의 자기 동형 사상들로 구성된 군이다. 절대 갈루아 군은 노이키르히-우치다 정리를 통해 대수적 수체의 구조를 결정하는 중요한 역할을 하며, 모든 사영 프로유한군은 의사 대수적으로 닫힌 체의 절대 갈루아 군으로 실현될 수 있다. 절대 갈루아 군의 예시로는 대수적으로 닫힌 체의 자명군, 실수체의 위수 2 순환군, 유한체의 프로유한 완비화 등이 있으며, 유리수체의 절대 갈루아 군 구조는 아직 밝혀지지 않았다.

더 읽어볼만한 페이지

갈루아 이론 - 갈루아 군
갈루아 군은 체의 확대에 대한 자기 동형군으로, 갈루아 이론의 기본 정리에 따라 체론과 군론을 연결하며, 사유한군 구조를 가지고 갈루아 코호몰로지와 관련된다.
갈루아 이론 - 프로베니우스 사상
표수가 소수 p인 가환환 R에서 프로베니우스 사상은 r을 r^p로 보내는 환 준동형으로, 환의 표수가 p인 환의 범주에 대한 항등 함자에서 자체로의 자연 변환을 나타내며, 체 K가 표수가 0이거나 양의 표수를 갖고 프로베니우스 사상이 자기 동형 사상인 경우 완전체라고 한다.
대수적 수론 - 아이디얼
아이디얼은 유사환에서 환의 원소와의 곱셈에 대해 닫혀 있는 부분군으로, 왼쪽, 오른쪽, 양쪽 아이디얼로 나뉘며 가환환에서는 세 개념이 일치하고, 환 준동형사상의 핵으로 나타나 잉여환을 정의하는 데 사용되며, 아이디얼 수 개념에서 유래하여 추상대수학의 주요 개념으로 확장되었다.
대수적 수론 - 밀너 환
밀너 환은 체 위의 가역원군으로 정의되는 등급환으로, 각 등급 성분인 밀너 K군은 대수적 K-이론, 고차 류체론, 갈루아 코호몰로지, 에탈 코호몰로지, 이차 형식 등 여러 수학 분야와 연결되는 심오한 추측들과 연관된다.

절대 갈루아 군

2. 정의

임의의 체 K에 대해, 그 분해 가능 폐포 K^sep는 K의 갈루아 확대를 이룬다. K가 완전체일 때, K^sep는 대수적 폐포 $\bar K$ 와 같다. 이는 예를 들어 표수가 0인 체나 유한체에 대하여 성립한다. K의 '''절대 갈루아 군'''은 그 갈루아 군 Gal(K^sep/K) (즉, K 위에서 항등인 K^sep의 자기 동형 사상들이 함수의 합성에 따라 이루는 군)으로 정의된다.

체 K의 절대 갈루아 군은 K^sep의 선택에 의존하지만, 동형 아래 유일하다. 구체적으로, L/K와 σ(L)/σ(K)가 분해 가능 폐포이며, σ∈Isom(L/K, σ(L)/σ(K))가 그 사이의 K-대수 동형일 때, Gal(σ(L)/σ(K)) = σ∘Gal(L/K)∘σ^-1이다.

3. 성질

체 $K$ 의 절대 갈루아 군은 분해 가능 폐포 $K^{\operatorname{sep}}$ 의 선택에 의존하지만, 동형 아래 유일하다. 구체적으로, $L/K$ 와 $\sigma(L)/\sigma(K)$ 가 분해 가능 폐포이고, $\sigma\in\operatorname{Isom}(L/K,\sigma(L)/\sigma(K))$ 가 그 사이의 $K$ -대수 동형일 때, 다음이 성립한다.

: $\operatorname{Gal}(\sigma(L)/\sigma(K))=\sigma\circ\operatorname{Gal}(L/K)\circ\sigma^{-1}$

3. 1. 노이키르히-우치다 정리

'''노이키르히-우치다 정리'''(Neukirch–Uchida theorem^영어)에 따르면, 임의의 두 대수적 수체

K_1

,

K_2

및 절대 갈루아 군 사이의 위상군 동형 사상

:

\phi\colon\operatorname{Gal}(\bar K_1/K_1)\xrightarrow\cong\operatorname{Gal}(\bar K_2/K_2)

에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 유일한 체 동형 사상

\sigma\colon\bar K_1\xrightarrow\cong\bar K_2

가 존재한다.

:

\sigma(K_1)=K_2

:

\phi(g)=\sigma\circ g\circ\sigma^{-1}\qquad\forall g\in\operatorname{Gal}(\bar K_1/K_1)

이를 그림으로 나타내면 다음과 같다.

:

\begin{matrix}K_1 & \hookrightarrow & \bar{K_1} & \xrightarrow[\cong]g & \bar{K_1} \\{\scriptstyle\sigma|_{K_1}}\downarrow & & \downarrow{\scriptstyle\sigma} & & \downarrow{\scriptstyle\sigma} \\K_2 & \hookrightarrow & \bar{K_2} & \xrightarrow[\phi(g)]{\cong} & \bar{K_2}\end{matrix}

특히, 임의의 두 대수적 수체

K_1

,

K_2

에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

$\operatorname{Gal}(\bar{K_1}/K_1)\cong\operatorname{Gal}(\bar{K_2}/K_2)$
$K_1\cong K_2$

노이키르히-우치다 정리는 대수적 수체의 절대 갈루아 군의 모든 동형사상이 체 자기 동형사상에서 발생한다고 주장한다. 특히 수체의 두 절대 갈루아 군은 기저 체가 동형사상일 때에만 동형사상이다.

3. 2. 역문제

모든 사유한군은 어떤 갈루아 확대의 갈루아 군과 동형이지만,^[27] 모든 사유한군이 어떤 절대 갈루아 군과 동형인 것은 아니다. 예를 들어, 아르틴-슈라이어 정리에 따르면, 유한 절대 갈루아 군은 자명군이거나 2차 순환군이다.

모든 사영 사유한군은 어떤 유사 대수적으로 닫힌 체의 절대 갈루아 군과 동형이다. 이 결과는 알렉산데르 루보츠키(אלכסנדר לובוצקי^he)와 라우 판덴드리스(Lou van den Dries^nl)가 증명하였다.^[27]

4. 예

유한체의 절대 갈루아 군은 프로유한 정수 군과 동형이다.^[1] 이는 다음과 같이 표현된다.

: $\hat{\mathbf{Z}} = \varprojlim \mathbf{Z}/n\mathbf{Z}.$

여기서 프로베니우스 자기동형사상 Fr은 ''G_K''의 정규(위상적) 생성자이며, Fr(''x'') = ''x^q'' (여기서 ''x''는 ''K''^alg의 원소, ''q''는 ''K''의 원소 개수)로 정의된다.

p-진수 '''Q'''_''p''의 유한 확장 ''K''에 대해, ''p'' ≠ 2인 경우 그 절대 갈루아 군은 [''K'':'''Q'''_''p''] + 3개의 원소에 의해 생성되며, 생성자와 관계에 대한 명시적인 설명이 존재한다. 이는 우베 얀센과 카이 윙버그의 결과이다.^[6]^[7] ''p'' = 2인 경우에도 일부 결과가 알려져 있지만, '''Q'''₂의 구조는 알려져 있지 않다.^[8]

절대 갈루아 군이 결정된 또 다른 경우는 대수적 수 체의 가장 큰 전체 실수 부분체이다.^[9]

4. 1. 대수적으로 닫힌 체

대수적으로 닫힌 체의 절대 갈루아 군은 자명군이다.^[1]

4. 2. 실수체

실수체의 절대 갈루아 군은 2차 순환군이며, 항등 함수와 복소켤레로 이루어진다.^[1] 이는 복소수체 '''C'''가 실수체 '''R'''의 분리 가능한 폐포이고 ['''C''':'''R'''] = 2이기 때문이다.

4. 3. 유한체

유한체

\mathbb F_q

의 절대 갈루아 군은 정수환의 사유한 완비화와 동형이다.^[28]

:

\operatorname{Gal}(\bar{\mathbb F_q}/\mathbb F_q)\cong\hat\mathbb Z=\varprojlim_n\mathbb Z/n\mathbb Z\cong\prod_p\mathbb Z_p

또한, 프로베니우스 사상

:

\operatorname{Frob}_{\mathbb F_q}\in\operatorname{Gal}(\bar{\mathbb F_q}/\mathbb F_q)

:

\operatorname{Frob}_{\mathbb F_q}\colon x\mapsto x^q

은 그 위상 생성원(topological generator^영어)을 이룬다. 즉, 이를 생성원으로 하는 순환군은 절대 갈루아 군의 조밀 부분군이다.^[1]

4. 4. 유리수체와 샤파레비치 추측

유리수체의 절대 갈루아 군

\operatorname{Gal}(\bar\mathbb Q/\mathbb Q)

의 구조는 아직 알려지지 않았다. 예를 들어, 유리수체의 최대 아벨 확대

\mathbb Q^{\operatorname{ab}}=\mathbb Q(\mu)

의 절대 갈루아 군

\operatorname{Gal}(\bar{\mathbb Q}/\mathbb Q^{\operatorname{ab}})

이 가산 계수 자유 사유한군인지 여부는 알려지지 않았다. 이를 '''샤파레비치 추측'''(Shafarevich's conjecture^영어)이라고 하며, 이고리 샤파레비치가 추측하였다.^[29] 만약 샤파레비치 추측이 참이라면,

\mathbb Q^{\operatorname{ab}}

의 임의의 유한 확대의 절대 갈루아 군 역시 자유 사유한군이다.

유리수체의 최대 아벨 확대 ''K''의 절대 갈루아 군은 자유 부유한 군일 것이라고 예상되고 있다('''샤파레비치 추측''').^[24]

4. 5. 유리 함수체

임의의 대수적으로 닫힌 체

K

의 유리 함수체

K(t)

의 절대 갈루아 군은 계수

|K|

의 자유 사유한군이며, 따라서

K(t)

의 임의의 유한 확대의 절대 갈루아 군 역시 자유 사유한군이다. 이는 아드리앙 두아디(Adrien Douady^프랑스어)가 리만 존재 정리를 사용하여 표수 0에 대하여 증명하였다.^[31] 일반적인 경우는 데이비드 하베터(David Harbater^영어)^[32]와 플로리안 포프(Florian Pop^ro)^[33]가 증명하였으며, 댄 하란(Dan Haran^영어)과 모셰 자르덴(Moshe Jarden^영어)이 대수적으로 재증명하였다.^[34]

복소수체 위의 유리 함수체의 절대 갈루아 군은 자유 사유한군이다. 이는 리만 존재 정리에 기원을 둔 정리로, 아드리앙 두아디(Adrien Douady^프랑스어)에 의해 증명되었다.^[15]

보다 일반적으로, 임의의 대수적으로 닫힌 체 ''C''에 대해, 유리 함수체 ''K'' = ''C''(''x'')의 절대 갈루아 군은 자유이며 그 계수는 ''C''의 농도와 같다는 것이 알려져 있다. 이는 데이비드 하베터(David Harbater^영어)와 플로리안 포프(Florian Pop^ro)에 의해 증명되었고, 이후 댄 하란과 모셰 자르덴에 의해 대수적인 방법으로 다른 증명이 주어졌다.^[16]^[17]^[18]

4. 6. p진 국소체

p진수

\mathbb Q_p

의 유한 확대

K

의 절대 갈루아 군은

p \ne 2

인 경우 위상 유한 표시 사유한군이며,

[\mathbb K:\mathbb Q_p]+3

개의 위상 생성원 및 2개의 관계에 의한 표시를 갖는다. 이는 우베 얀센(Uwe Jannsen^de)과 카이 빙베르크(Kay Wingberg^de)가 증명하였다.^[35]^[29]^[30]

p=2

인 경우는 완전한 묘사가 알려져 있지 않다.^[29]^[30]

5. 대한민국 관점에서의 연구 동향

대한민국에서는 유리수체 및 유한체의 절대 갈루아 군에 대한 연구와 샤파레비치 추측과 관련된 연구가 활발하게 진행되고 있으며, 이는 정수론, 대수기하학, 암호학 등 다양한 분야에 응용될 가능성을 제시한다.

참조

_[1] 간행물 Szamuely 2009
_[2] 간행물 Douady 1964
_[3] 간행물 Harbater 1995
_[4] 간행물 Pop 1995
_[5] 간행물 Haran 2000
_[6] 간행물 Jannsen 1982
_[7] 간행물 Neukirch 2000
_[8] 간행물 Neukirch 2000
_[9] 웹사이트 qtr http://math.uci.edu/[...] 2019-09-04
_[10] 간행물 Neukirch 2000
_[11] 간행물 Mináč & Tân 2016
_[12] 간행물 Harpaz & Wittenberg 2023
_[13] 간행물 Fried & Jarden 2008
_[14] 간행물 Fried & Jarden 2008
_[15] 간행물 Douady 1964
_[16] 간행물 Harbater 1995
_[17] 간행물 Pop 1995
_[18] 간행물 Haran 2000
_[19] 간행물 Jannsen 1982
_[20] 간행물 Neukirch 2000
_[21] 간행물 Neukirch 2000
_[22] 웹사이트 qtr http://math.uci.edu/[...] 2019-09-04
_[23] 학회자료 Braids, Galois groups and some arithmetic functions https://www.mathunio[...] 1990
_[24] 간행물 Neukirch 2000
_[25] 간행물 Fried & Jarden 2008
_[26] 간행물 Fried & Jarden 2008
_[27] 서적 Field arithmetic Springer 2008
_[28] 인용 Galois Groups and Fundamental Groups Cambridge University Press 2009
_[29] 서적 Cohomology of number fields Springer 2000
_[30] 서적 Cohomology of number fields Springer 2008
_[31] 저널 Détermination d’un groupe de Galois 1964
_[32] 서적 Recent developments in the inverse Galois problem https://www2.math.up[...] American Mathematical Society 1995
_[33] 저널 'Étale Galois covers of affine smooth curves. The geometric case of a conjecture of Shafarevich. On Abhyankar’s conjecture' 1995
_[34] 저널 The absolute Galois group of $C(x)$ 2000
_[35] 저널 Die Struktur der absoluten Galoisgruppe $\mathfrak p$ -adischer Zahlkörper https://epub.uni-reg[...] 1982
_[36] 웹인용 qtr http://math.uci.edu/[...] 2019-09-04

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com