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프로베니우스 사상

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목차

1. 개요

프로베니우스 사상은 표수가 소수인 가환환에서 정의되는 환 준동형 사상으로, 거듭제곱 연산을 통해 표현된다. 이는 '신입생의 꿈'으로 불리는 특징적인 성질을 가지며, 복소수 체와 같은 체에서는 성립하지 않는다. 프로베니우스 사상은 절대 프로베니우스 사상, 산술·기하 프로베니우스 사상, 상대 프로베니우스 사상 등 스킴에 대한 다양한 정의를 제공하며, 수론에서 중요한 역할을 한다. 특히, 대수적 수론에서 프로베니우스 원소는 국소체 및 대역체의 비분기 확대에 대해 정의되며, 유체론의 아르틴 기호 정의에 핵심적으로 사용된다. 페르디난트 게오르크 프로베니우스가 1896년에 처음 도입했다.

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프로베니우스 사상
프로베니우스 사상
소수체 Fp에 대한 프로베니우스 자기 동형 사상 Fr.
소수체 Fp에 대한 프로베니우스 자기 동형 사상 Fr.
정의
정의역환
공역환
유형환 준동형사상
성질
특징환의 특징이 소수 p인 경우, 각 원소를 p 제곱하는 사상임.
자기 동형 사상일 조건: 환이 완전체일 때.
관련 개념
관련 개념갈루아 이론
유한체
참고 문헌
참고 문헌{{Citation|citation


link = Serge Lang


Verlag

387-95385-X

2. 정의

가환환 R의 환의 표수가 소수 p라고 하자. 그렇다면 R의 '''프로베니우스 사상''' \operatorname{Frob}_R\colon R\to R은 다음과 같이 정의된다.

:\operatorname{Frob}_R\colon r\mapsto r^p

이는 환 준동형을 이룬다. 이는 다음과 같은 '''신입생의 꿈'''(新入生-, freshman’s dream영어) 또는 '''1학년의 꿈'''이라고 불리는 항등식 때문이다.

:(r+s)^p=\sum_{i=0}^p \binom{p}{i} r^is^{p-i}=r^p+s^p\qquad\forall r,s\in R\qquad\left(\because p\mid \binom pi\qquad\forall 1\le i\le p-1\right)

이 항등식은 복소수체 위에서는 성립하지 않는다 (예를 들어, (1+1)^p=2^p\ne 2=1^p+1^p이다).[1]

프로베니우스 자기 사상 ''F''는 다음과 같이 정의된다.

:F(r) = r^p

3. 스킴의 프로베니우스 사상

유한체 \(\mathbb F_p\) 위의 스킴 \(X\)에 대한 프로베니우스 사상에는 다음과 같은 종류가 있다.


  • 절대 프로베니우스 사상: 스킴 \(X\)의 구조 층의 각 아핀 부분 스킴에서 프로베니우스 사상을 정의하고, 이를 짜깁기하여 얻는 사상이다.
  • 산술 프로베니우스 사상: \(X\)와 \(S\)의 절대 프로베니우스 사상의 올곱으로 정의되는 사상이다.
  • 기하 프로베니우스 사상: \(S\)의 절대 프로베니우스 사상이 자기 동형 사상일 때, 그 역함수와의 올곱으로 정의되는 사상이다.
  • 상대 프로베니우스 사상: 올곱의 보편 성질을 이용하여 정의되는 사상으로, 절대 프로베니우스 사상을 상대적인 상황으로 확장한 개념이다.


scheme의 사상 φ : ''X'' → ''S''가 있고, ''S''와 ''X''의 절대 프로베니우스 사상을 각각 ''F''''S''와 ''F''''X''라고 하자. ''X''(''p'')를 ''F''''S''에 의한 ''X''의 기저 변환으로 정의한다. 그러면 위의 다이어그램이 가환하고, 사각형은 데카르트 제곱이 된다. 사상 ''F''''X''/''S''는 상대 프로베니우스이다.


\(S = \operatorname{Spec} \mathbb F_p\)인 경우(또는 \(\operatorname{Frob}_S = \operatorname{id}_S\)인 경우) 상대 프로베니우스 사상은 절대 프로베니우스 사상과 같다.

3. 1. 절대 프로베니우스 사상

소수 p가 주어졌을 때, 유한체 \mathbb F_p 위의 스킴 X/\operatorname{Spec}\mathbb F_p를 생각하자. X의 임의의 아핀 부분 스킴 U에 대하여, \Gamma(U,\mathcal O_X)는 K-단위 결합 대수이므로 프로베니우스 사상을 갖는다. 프로베니우스 사상은 자연 변환이므로, 이러한 아핀 부분 스킴들의 프로베니우스 사상들을 서로 짜깁기할 수 있다. 이렇게 짜깁기하여 얻어지는 \mathbb F_p-스킴 사상 \operatorname{Frob}_X\colon X\to X을 X의 '''절대 프로베니우스 사상'''이라고 한다.[4]

절대 프로베니우스 사상은 다음과 같은 자연 변환을 이룬다.

:\operatorname{Frob}_{/\mathbb F_p}\colon\operatorname{Id}_{\operatorname{Sch}/\operatorname{Spec}\mathbb F_p}\Rightarrow \operatorname{Id}_{\operatorname{Sch}/\operatorname{Spec}\mathbb F_p}

여기서 \operatorname{Id}_{\operatorname{Sch}/\operatorname{Spec}\mathbb F_p}는 \mathbb F_p-스킴의 범주 \operatorname{Sch}/\operatorname{Spec}\mathbb F_p의 항등 함자이다.

절대 프로베니우스 사상은 차수 p의 순전히 분리 불가능한 사상이며, 미분은 0이다. 또한 곱을 보존한다. 즉, 임의의 두 스킴 X와 Y에 대해 F_{X\times Y} = F_X \times F_Y이다.

만약 X가 S-스킴이고 S의 프로베니우스 사상이 항등 사상이라면, 절대 프로베니우스 사상은 S-스킴의 사상이 된다. 그러나 일반적으로는 그렇지 않다. 예를 들어, 링 A = \mathbf{F}_{p^2}를 생각하고, X와 S를 모두 \operatorname{Spec} A로, 구조 사상 X \to S를 항등 사상으로 설정하면, A에서의 프로베니우스 사상은 a를 a^p로 보내는 것이 되는데, 이는 \mathbf{F}_{p^2}-대수의 사상이 아니다.

3. 1. 1. 산술·기하 프로베니우스 사상

\mathbb F_p-스킴 S 위의 스킴 f\colon X\to S가 주어졌을 때, S의 절대 프로베니우스 사상 \operatorname{Frob}_S\colon S\to S와의 올곱을 취하여 함자

:X^{(p/S)}=X\times_S\operatorname{Frob}_S

를 정의할 수 있다. 이를 '''프로베니우스 스칼라 확대'''(extension of scalars by Frobenius영어)라고 한다.[4] 이 경우 표준적으로 존재하는 사영 사상

:\operatorname{Frob}_{\operatorname a,X/S}\colon X^{(p/S)}\to X

을 '''산술 프로베니우스 사상'''(arithmetic Frobenius morphism영어)이라고 한다.[4]

:\begin{matrix}

X^{(p/S)}&\overset{\operatorname{Frob_a}}\to&X\\

\downarrow&&\downarrow\\

S&\underset{\operatorname{Frob}}\to&S

\end{matrix}

만약 S의 절대 프로베니우스 사상 \operatorname{Frob}_S\colon S\to S이 자기 동형 사상이라면 (예를 들어, S가 완전체의 스펙트럼이라면), \operatorname{Frob}_S^{-1}에 대한 올곱

:X^{(p^{-1}/S)}=X\times_S\operatorname{Frob}_S^{-1}

을 생각할 수 있다. 이 경우 표준적으로 존재하는 사영 사상

:\operatorname{Frob}_{\operatorname g,X/S}\colon X^{(p^{-1}/S)}\to X

을 '''기하 프로베니우스 사상'''(geometric Frobenius morphism영어)이라고 한다.[4]

:\begin{matrix}

X^{(p^{-1}/S)}&\overset{\operatorname{Frob_g}}\to&X\\

\downarrow&&\downarrow\\

S&\underset{\operatorname{Frob}^{-1}}\to&S

\end{matrix}

산술 프로베니우스와 기하 프로베니우스에서, 스키마 X/S의 '''산술 프로베니우스 사상'''은 다음과 같은 사상이다.

:F^a_{X/S} : X^{(p)} \to X \times_S S \cong X

이는

:F^a_{X/S} = 1_X \times F_S

로 정의된다. 즉, 1_X에 의한 F_S의 밑변환이다.

R = A[X_1, \ldots, X_n] / (f_1, \ldots, f_m)이고,

:R^{(p)} = A[X_1, \ldots, X_n] / (f_1, \ldots, f_m) \otimes_A A_F

일 때, 산술 프로베니우스는 다음과 같은 준동형사상이다.

:\sum_i \left(\sum_\alpha a_{i\alpha} X^\alpha\right) \otimes b_i \mapsto \sum_i \sum_\alpha a_{i\alpha} b_i^p X^\alpha

만약 R^{(p)}을

:R^{(p)} = A[X_1, \ldots, X_n] / \left (f_1^{(p)}, \ldots, f_m^{(p)} \right )

와 같이 다시 쓰면, 이 준동형사상은

:\sum a_\alpha X^\alpha \mapsto \sum a_\alpha^p X^\alpha

가 된다.

S의 절대 프로베니우스 사상이 F_S^{-1}로 역전가능하다고 가정하고, S_{F^{-1}}를 S-스키마 F_S^{-1} : S \to S로 표기하면, F_S^{-1}에 의한 X의 스칼라 확장

:X^{(1/p)} = X \times_S S_{F^{-1}}

이 존재한다.

만약

:R = A[X_1, \ldots, X_n] / (f_1, \ldots, f_m)

이라면, F_S^{-1}에 의한 스칼라 확장은

:R^{(1/p)} = A[X_1, \ldots, X_n] / (f_1, \ldots, f_m) \otimes_A A_{F^{-1}}

이다.

또한,

:f_j = \sum_\beta f_{j\beta} X^\beta

이면,

:f_j^{(1/p)} = \sum_\beta f_{j\beta}^{1/p} X^\beta

와 같이 쓸 수 있고, 다음과 같은 동형사상이 존재한다.

:R^{(1/p)} \cong A[X_1, \ldots, X_n] / (f_1^{(1/p)}, \ldots, f_m^{(1/p)})

S-스키마 X의 '''기하 프로베니우스 사상'''은 다음과 같은 사상이다.

:F^g_{X/S} : X^{(1/p)} \to X \times_S S \cong X

이는

:F^g_{X/S} = 1_X \times F_S^{-1}

로 정의된다. 즉, 1_X에 의한 F_S^{-1}의 밑변환이다.

''A''와 ''R''의 예를 계속해서 보면, 기하 프로베니우스는

:\sum_i \left(\sum_\alpha a_{i\alpha} X^\alpha\right) \otimes b_i \mapsto \sum_i \sum_\alpha a_{i\alpha} b_i^{1/p} X^\alpha

와 같이 정의된다.

\{f_j^{(1/p)}\}의 관점에서 R^{(1/p)}을 다시 쓰면, 기하 프로베니우스는

:\sum a_\alpha X^\alpha \mapsto \sum a_\alpha^{1/p} X^\alpha

가 된다.

3. 1. 2. 상대 프로베니우스 사상

\mathbb F_p-스킴 S 위의 스킴 f\colon X\to S가 주어졌을 때, 올곱의 보편 성질에 따라 다음 그림을 가환 그림으로 만드는 유일한 스킴 사상 \operatorname{Frob}_{/S}\colon X\to X^{(p/S)}가 존재한다.

:\begin{matrix}

&&X\\

&{\scriptstyle f}\swarrow&\downarrow\scriptstyle\exists!&\searrow\scriptstyle{\operatorname{Frob}}\\

S&\leftarrow&X^{(p/S)}&\underset{\operatorname{Frob_a}}\to&X\\

&\scriptstyle{\operatorname{Frob}}\searrow&&\swarrow\scriptstyle f\\

&&S

\end{matrix}

이를 '''상대 프로베니우스 사상'''(relative Frobenius morphism영어)이라고 한다.[4] 이는 다음과 같은 자연 변환을 이룬다.

:\operatorname{Frob}_{/S}\colon\operatorname{Id}_{\operatorname{Sch}/S}\to\operatorname{Id}_{\operatorname{Sch}/S}

S=\operatorname{Spec}\mathbb F_p인 경우(또는 \operatorname{Frob}_S=\operatorname{id}_S인 경우) 상대 프로베니우스 사상은 절대 프로베니우스 사상과 같다.

S-스킴 X의 상대 프로베니우스 사상은 다음과 같이 정의된다.

:F_{X/S} = (F_X, 1_S)

:F_{X/S} : X \to X^{(p)}

절대 프로베니우스 사상은 자연스러우므로, 상대 프로베니우스 사상은 S-스킴의 사상이다.

예를 들어, A-대수

:R = A[X_1, \ldots, X_n] / (f_1, \ldots, f_m)

을 생각하면,

:R^{(p)} = A[X_1, \ldots, X_n] / (f_1^{(p)}, \ldots, f_m^{(p)})

을 얻는다. 상대 프로베니우스 사상은

:\sum_i \sum_\alpha X^\alpha \otimes a_{i\alpha} \mapsto \sum_i \sum_\alpha a_{i\alpha}X^{p\alpha}

에 의해 정의되는 준동형 사상 R^{(p)} \to R이다.

상대 프로베니우스 사상은 밑 변환과 일관성을 가지는데, X^{(p/S)} \times_S S'와 (X \times_S S')^{(p/S')}의 자연스러운 동형 아래에서

:F_{X / S} \times 1_{S'} = F_{X \times_S S' / S'}

이 성립한다.

상대 프로베니우스 사상은 보편적인 위상 동형 사상이다. X \to S가 열린 매장이면 항등 사상이 된다. X \to S가 O_S의 아이디얼 I에 의해 결정되는 닫힌 매장이면, X^{(p)}는 아이디얼 층 I^p에 의해 결정되며, 상대 프로베니우스는 강화된 사상 O_S/I^p \to O_S/I이다.

X가 S 위에서 불분지라는 것과 F_{X/S}가 불분지라는 것, F_{X/S}가 단사 준동형이라는 것은 동치이다. X가 S 위에서 에탈이라는 것과 F_{X/S}가 에탈이라는 것, F_{X/S}가 동형이라는 것은 동치이다.

4. 성질

프로베니우스 사상은 소수 p를 표수로 갖는 가환환에서 정의되는 특별한 환 준동형 사상이다. 이 사상은 환의 각 원소 r을 r^p으로 보낸다.

프로베니우스 사상은 곱셈에 대해 잘 작동하며, 덧셈에 대해서도 "1학년의 꿈"이라고 불리는 특별한 성질을 만족한다. 즉, (r+s)^p = r^p + s^p가 성립한다. 이는 이항 전개에서 r^p와 s^p를 제외한 모든 항의 계수가 p로 나누어지기 때문이다.

프로베니우스 사상 F는 환 준동형 사상이며, 표수 p의 가환환의 범주에서 항등 관수상의 자연 변환을 이룬다. 즉, 환 준동형 사상 \phi\colon R\to S에 대해, \phi(x^p) = \phi(x)^p가 성립한다.

프로베니우스 사상은 피약환(체와 같은 정역 등)에서 단사 함수가 된다. 이는 r^p = 0이면 r이 멱영원이 되어 자명해지기 때문이다.

프로베니우스 사상은 체에서 전사 함수가 아닐 수도 있다. 예를 들어, \mathbb{F}_p(t) (유리함수체)에서 t는 프로베니우스 사상의 상에 포함되지 않는다.

완전체는 표수가 0이거나, 양의 표수이고 프로베니우스 사상이 전사인 체를 말한다. 모든 유한체는 완전체이다.

4. 1. 단사 함수 조건

소수 표수의 가환환 R 위의 프로베니우스 사상이 단사 함수일 필요충분조건은 R가 축소환인 것이다. 특히, 양의 표수의 체 위의 프로베니우스 사상은 단사 함수이다.

4. 2. 완전체 조건

양의 표수를 갖는 체 K에 대하여 프로베니우스 사상이 전단사 함수(즉, 자기 동형)가 되기 위한 필요충분조건은 K가 완전체인 것이다.[1]

4. 3. 고정점

유한체 \mathbb F_p 위의 프로베니우스 사상은 항등 함수이다 (페르마 소정리). 즉, 다음이 성립한다.

:a^p=a\qquad\forall a\in\mathbb F_p

양의 표수 p>0의 체 K/\mathbb F_p 위의 프로베니우스 사상의 고정점은 다항식 x^p-x\in K[x]의 근을 이룬다. 대수학의 기본 정리에 따라 p차 다항식의 근의 수는 p개 이하이며, \mathbb F_p\subseteq K는 이미 p개의 근을 이루므로, K 위의 프로베니우스 사상의 고정점 집합은 \mathbb F_p이다.

보다 일반적으로, 양의 표수 p>0의 정역 D에 대해서, 항상 분수체 \operatorname{Frac}D\supseteq D\supseteq\mathbb F_p를 취할 수 있으므로, 표수 p의 정역 위의 프로베니우스 사상의 고정점 집합 역시 \mathbb F_p이다.

:\{a\in D\colon a^p=a\}=\mathbb F_p

페르마 소정리에 의해, \mathbb F_p의 모든 원소는 x^p = x를 만족하며, 이는 다항식 X^p - X의 근이다. 따라서 \mathbb F_p의 원소들은 이 방정식의 p개의 근을 결정하며, 이 방정식은 차수가 p이므로 어떤 확대체에서도 p개 이상의 근을 가질 수 없다. 특히, K가 \mathbb F_p의 대수적 확대(대수적 폐포 또는 다른 유한체와 같은)라면, \mathbb F_p는 K의 프로베니우스 자기 사상의 고정체이다.

R이 표수 p>0인 환이라고 할 때, R이 정역이라면, 동일한 논리에 의해 프로베니우스 사상의 고정점은 소체의 원소이다. 그러나 R이 정역이 아니라면, X^p - X는 p개 이상의 근을 가질 수 있다.

유한체 \mathbf{F}_{p^n}에서도 프로베니우스 자기 사상의 ''n''번째 반복에 의해 비슷한 성질이 나타난다.

4. 4. 갈루아 군

유한체 \mathbb F_p의 유한 확대 \mathbb F_{p^n}/\mathbb F_p의 갈루아 군은 순환군이다.

:\operatorname{Gal}(\mathbb F_{p^n}/\mathbb F_p)\cong\mathbb Z/n

프로베니우스 자기 동형

:\operatorname{Frob}_{\mathbb F_{p^n}}\in\operatorname{Gal}(\mathbb F_{p^n}/\mathbb F_p)

은 이 갈루아 군의 생성원을 이룬다.

마찬가지로, 유한체 \mathbb F_{p^m}의 유한 확대 \mathbb F_{p^{mn}}/\mathbb F_{p^m}의 갈루아 군은 순환군

:\operatorname{Gal}(\mathbb F_{p^{mn}}/\mathbb F_{p^m})\cong\mathbb Z/n

이며, 프로베니우스 자기 동형의 m제곱

:\overbrace{

\operatorname{Frob}_{\mathbb F_{p^m}}

\circ

\cdots

\circ

\operatorname{Frob}_{\mathbb F_{p^m}}}^m\in\operatorname{Gal}(\mathbb F_{p^{mn}}/\mathbb F_m)

은 그 생성원을 이룬다.

4. 5. 스킴 위의 갈루아 군의 작용

유한체 \mathbb F_{p^n} 위의 스킴 X/\mathbb F_{p^n}가 주어졌다고 하자.

\mathbb F_{p^n}은 완전체이므로 프로베니우스 사상은 자기 동형 사상이며, X^{(p/\mathbb F_{p^n})} 및 X^{(p^{-1}/\mathbb F_{p^n})}은 X와 동형이다. 즉, 산술·기하 프로베니우스 사상은 X 위의 자기 사상으로 생각할 수 있다.

X의 \mathbb F_{p^n}-점들의 집합 X(\mathbb F_{p^n}) 위에는 갈루아 군 \operatorname{Gal}(\mathbb F_{p^n}/\mathbb F_p)\cong\mathbb Z/n(의 생성원인 프로베니우스 자기 동형)이 다음과 같이 자연스럽게 작용한다.

:(\operatorname{Spec}\mathbb F_{p^n}\xrightarrow x X)\mapsto (\operatorname{Spec}\mathbb F_{p^n}\xrightarrow{\operatorname{Frob}}\operatorname{Spec}\mathbb F_{p^n}\xrightarrow x X)

또한, X(\mathbb F_{p^n}) 위에는 산술 프로베니우스 사상으로 생성되는 순환군이 자연스럽게 작용한다.

:(\operatorname{Spec}\mathbb F_{p^n}\xrightarrow x X)\mapsto (\operatorname{Spec}\mathbb F_{p^n}\xrightarrow x X\xrightarrow{\operatorname{Frob_a}}X)

이 두 작용은 서로 일치한다.

따라서, 산술 프로베니우스 사상 \operatorname{Frob}_{\operatorname a,X/\mathbb F_{p^n}}\colon (X^{(p/\mathbb F_{p^n})}\cong X)\to X은 \mathbb F_{p^n}-점의 집합 위의 갈루아 군 \operatorname{Gal}(\mathbb F_{p^n}/\mathbb F_p)\cong\mathbb Z/n의 작용을 나타낸다.[4]

4. 6. 에탈 코호몰로지 위의 프로베니우스 사상

finite field \mathbb F_p 위의 scheme X/\mathbb F_p가 주어졌다고 하자. \bar X=X\otimes_{\mathbb F_p}\operatorname{Spec}\bar{\mathbb F}_p 위의 small étale site \bar X_{\operatorname{\acute et}}를 생각하자. 그렇다면, X 위의 상대 프로베니우스 사상

:\operatorname{Frob}_{X/\bar{\mathbb F}_p}\colon \bar X\to\bar X

과 기하 프로베니우스 사상

:\operatorname{Frob}_{\operatorname g,X/\bar{\mathbb F}_p}X\colon \bar X\to\bar X

은 topos \bar X_{\operatorname{\acute et}} 위의 같은 geometric morphism

:f\colon\operatorname{Frob}_{X/\bar{\mathbb F}_p}=\operatorname{Frob}_{\operatorname g,X/\bar{\mathbb F}_p}\colon

\bar X_{\operatorname{\acute et}}\to \bar X_{\operatorname{\acute et}}을 유도한다.

특히, \bar X_{\operatorname{\acute et}} 위의 abelian group 값의 sheaf \mathcal F이 주어졌다고 하면, 상대 프로베니우스 사상과 기하 프로베니우스 사상은 \mathcal F의 étale cohomology 위에 똑같이 작용한다.

:\operatorname{Frob}_{X/\bar{\mathbb F}_p}^*

=\operatorname{Frob}_{\operatorname g,X/\bar{\mathbb F}_p}^*

\colon\operatorname H_{\operatorname{\acute et}}^\bullet(\bar X;\mathcal F)

\to\operatorname H_{\operatorname{\acute et}}^\bullet(\bar X;f^*\mathcal F)[4]

5. 수론적 성질

대수적 수론에서 프로베니우스 원소는 국소체 또는 대역체의 비분기 확대에 대해 정의되며, 잉여류체 갈루아 군의 특별한 원소이다. 이는 유체론에서 아르틴 기호를 정의하는 데 사용된다.

프로베니우스 원소는 국소체와 대역체의 경우로 나누어 정의할 수 있다. 국소체의 경우, 비분기 유한 갈루아 확대에 대하여 잉여류체의 확대에서 프로베니우스 자기 사상을 유도하는 방식으로 정의된다. 대역체의 경우에는 갈루아 확대와 대수적 정수환의 소 아이디얼에서 정의된다.

5. 1. 국소체

대수적 수론에서, 국소체의 비분기 확대에 대하여 잉여류체 갈루아 군의 특별한 원소인 '''프로베니우스 원소'''(Frobenius element영어)를 정의할 수 있다.

두 비아르키메데스 국소체 L, K 사이의 비분기 유한 갈루아 확대 L/K가 주어졌다고 하자. 대수적 정수환 \mathcal O_L의 유일한 극대 아이디얼을 \mathfrak P\in\operatorname{Spec}\mathcal O_L, \mathcal O_K의 유일한 극대 아이디얼을 \mathfrak p\in\operatorname{Spec}\mathcal O_K라고 하자.

그러면, 잉여류체 \mathcal O_L/\mathfrak P와 \mathcal O_K/\mathfrak p는 둘 다 유한체이며, 다음이 성립한다.

:[\mathcal O_L/\mathfrak P:\mathcal O_K/\mathfrak p]=[L:K]

(여기서 [:]는 체의 확대의 차수이다.)

이때, 다음 조건을 만족시키는 유일한 원소

:\operatorname{Frob}_{L/K}\in\operatorname{Gal}\left(\frac{\mathcal O_L/\mathfrak P}{\mathcal O_K/\mathfrak p}\right)

가 존재하며, 이를 L/K의 '''프로베니우스 원소'''라고 한다.

:\operatorname{Frob}_{L/K}(x)\equiv x^

\pmod{\mathfrak P}\qquad\forall x\in\mathcal O_L

불분지 유한 확대 L/K가 국소체인 경우, 대응하는 잉여류체의 확대에서 프로베니우스 자기 사상을 유도하는 '''프로베니우스 엔도모르피즘'''이라는 개념이 있다.[2]

국소체 정수환 ''OK''를 갖는 L/K가 불분지 확대이고, 잉여류체( K의 정수를 고유한 극대 아이디얼 \varphi로 나눈 것)가 q의 거듭제곱인 유한체인 경우, q는 소수의 거듭제곱이다. \Phi가 \varphi 위에 놓인 L의 소수라고 가정하면, L/K가 불분지라는 것은 L의 정수를 \Phi로 나눈 잉여류체가 K의 잉여류체를 확장하는 차수 f인 유한체 q^f가 된다는 것을 의미한다.

이때, L의 정수환 O_L의 원소에 대한 프로베니우스 사상은 다음과 같은 자기 동형 사상 s_\Phi로 정의한다.

:s_\Phi(x) \equiv x^q \mod \Phi.

5. 2. 대역체

대수적 수론에서, 갈루아 확대K/\mathbb Q와 K의 대수적 정수환 \mathcal O_K의 소 아이디얼 \mathfrak p\in\operatorname{Spec}(\mathcal O_K)가 주어졌다고 하자. \mathfrak p가 비분기인 소수 p에 대하여 \mathfrak p\mid p라고 하자.

\mathfrak p가 비분기 자리이므로, 갈루아 군 \operatorname{Gal}(K/\mathbb Q)은 \mathfrak p에서의 분해군(decomposition group)

:G_{\mathfrak p}=\{g\in\operatorname{Gal}(K/\mathbb Q)\colon g\cdot\mathfrak p=\mathfrak p\}

과 같다.

이 경우,

:g(x)\equiv x^p\pmod{\mathfrak p}\qquad\forall x\in\mathcal O_{K_{\mathfrak p}}

를 만족시키는 유일한 원소

:g\in\operatorname{Gal}(K_{\mathfrak p}/\mathbb F_p)

가 존재한다. 여기서 K_{\mathfrak p}는 \mathfrak p진 자리에 대한 완비체이며, 이는 잉여류체가 \mathbb F_p인 이산 값매김환의 분수체이다. 이를 \mathfrak p의 '''프로베니우스 원소''' \operatorname{Frob}_{\mathfrak p}\in\operatorname{Gal}(K_{\mathfrak p}/\mathbb F_p)라고 한다.

6. 예

유한체 계수의 유리 함수체 \mathbb F_p(t)의 프로베니우스 사상은 전사 함수가 아니다. 예를 들어, t는 프로베니우스 사상의 상에 포함되지 않는다. 따라서 \mathbb F_p(t)는 완전체가 아니다.

\beta^5+\beta^4-4\beta^3-3\beta^2+3\beta+1=0을 만족하는 근 β를 Q에 인접시켜 얻은 Q(β) 확장을 생각할 수 있다. 이 확장은 5차 순환이며, 정수 n에 대해 다음과 같은 근을 갖는다.

:2 \cos \tfrac{2 \pi n}{11}

7. 역사

페르디난트 게오르크 프로베니우스가 1896년에 도입하였다.[5]

참조

[1] 문서 freshman's dream
[2] 서적 Algebraic number theory Cambridge University Press
[3] 서적 Algebraic number theory Cambridge University Press
[4] 서적 Algebraic geometry and arithmetic curves http://www.math.u-bo[...] Oxford University Press 2017-05-07
[5] 간행물 Über Beziehungen zwischen den Primidealen eines algebraischen Körpers und den Substitutionen seiner Gruppe http://bibliothek.bb[...] 1896


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