지니 계수

3. 정의 및 원리

• A: 로렌츠 곡선과 완전균등분배선 사이의 면적
• B: 로렌츠 곡선 아래의 면적

4. 계산

로렌츠 곡선을 직접 참조하지 않고 지니 계수를 계산하는 여러 방법이 있다.

값이 $y\_1\; \backslash leq\; y\_2\backslash leq\; \backslash cdots\; \backslash leq\; y\_n$인 ''n''명의 개인으로 구성된 모집단의 경우, 다음 공식으로 지니 계수를 구할 수 있다.^[26]

::$G\; =\; \backslash frac\{1\}\{n\}\backslash left\; (\; n+1\; -\; 2\; \backslash left\; (\; \backslash frac\{\backslash sum\_\{i=1\}^n\; (n+1-i)y\_i\}\{\backslash sum\_\{i=1\}^n\; y\_i\}\; \backslash right\; )\; \backslash right\; ).$

이는 다음과 같이 간소화할 수 있다.

::$G\; =\; \backslash frac\{2\; \backslash sum\_\{i=1\}^n\; i\; y\_i\}\{n\; \backslash sum\_\{i=1\}^n\; y\_i\}\; -\backslash frac\{n+1\}\{n\}.$

무작위 표본 ''S''의 경우, 표본 지니 계수는 다음과 같다.

::$G(S)\; =\; \backslash frac\{1\}\{n-1\}\backslash left\; (n+1\; -\; 2\; \backslash left\; (\; \backslash frac\{\backslash sum\_\{i=1\}^n\; (n+1-i)y\_i\}\{\backslash sum\_\{i=1\}^n\; y\_i\}\backslash right\; )\; \backslash right\; )$

이는 모집단 지니 계수의 일치 추정량이지만, 일반적으로 불편 추정량은 아니다. 간략한 형태는 다음과 같다.

::$G(S)\; =\; 1\; -\; \backslash frac\{2\}\{n-1\}\backslash left\; (\; n\; -\; \backslash frac\{\backslash sum\_\{i=1\}^n\; iy\_i\}\{\backslash sum\_\{i=1\}^n\; y\_i\}\backslash right\; ).$

모집단 지니 계수의 항상 불편 추정량인 표본 통계량은 존재하지 않는다.

이산확률분포에서 확률질량함수 $f\; (\; y\_i\; ),$ ($i\; =\; 1,\backslash ldots,\; n$)는 소득 또는 재산이 $y\_i\; >0$인 인구의 비율을 나타낼 때, 지니 계수는 다음과 같이 정의된다.

:$G\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\backslash mu\}\; \backslash sum\backslash limits\_\{i=1\}^n\; \backslash sum\backslash limits\_\{j=1\}^n\; \backslash ,\; f(y\_i)\; f(y\_j)|y\_i-y\_j|$

여기서

:$\backslash mu=\backslash sum\backslash limits\_\{i=1\}^n\; y\_i\; f(y\_i).$

만약 0이 아닌 확률을 가지는 점들이 증가하는 순서로 색인되어 있다면 (), 그러면 다음과 같다.

:$G\; =\; 1\; -\; \backslash frac\{\backslash sum\_\{i=1\}^n\; f(y\_i)(S\_\{i-1\}+S\_i)\}\{S\_n\}$

여기서

:$S\_i\; =\; \backslash sum\_\{j=1\}^i\; f(y\_j)\backslash ,y\_j\backslash ,$ 이고 $S\_0\; =\; 0.$ 이 공식들은 $n\backslash rightarrow\backslash infty$일 때에도 적용 가능하다.

모집단이 클 경우, 소득 분포는 연속 확률 밀도 함수 ''f''(''x'')로 나타낼 수 있다. 여기서 ''f''(''x'') ''dx''는 ''x'' 근처 ''dx'' 구간에 재산 또는 소득이 있는 모집단의 비율을 나타낸다. ''f''(''x'')에 대한 누적 분포 함수가 ''F''(''x'')라면:

:$F(x)=\backslash int\_0^x\; f(x)\backslash ,dx$

그리고 로렌츠 함수가 ''L''(''x'')라면:

:$L(x)=\backslash frac\{\backslash int\_0^x\; x\backslash ,f(x)\backslash ,dx\}\{\backslash int\_0^\backslash infty\; x\backslash ,f(x)\backslash ,dx\}$

그러면 로렌츠 곡선 ''L''(''F'')는 ''L''(''x'')와 ''F''(''x'')를 매개변수로 하는 함수로 나타낼 수 있으며, ''B''의 값은 적분을 통해 구할 수 있다.

:$B\; =\; \backslash int\_0^1\; L(F)\; \backslash ,dF.$

지니 계수는 분포 ''F''(''y'')의 누적 분포 함수를 통해 직접 계산할 수도 있다. 분포의 평균을 μ로 정의하고, ''F''(''y'')가 모든 음수 값에 대해 0이라고 명시하면, 지니 계수는 다음과 같이 주어진다.

:$G\; =\; 1\; -\; \backslash frac\{1\}\{\backslash mu\}\backslash int\_0^\backslash infty\; (1-F(y))^2\; \backslash ,dy\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash mu\}\backslash int\_0^\backslash infty\; F(y)(1-F(y))\; \backslash ,dy$

지니 계수는 분위수 함수 ''Q''(''F'') (누적 분포 함수의 역함수: Q(F(x)) = x)로 나타낼 수 있다.

:$G=\backslash frac\{1\}\{2\; \backslash mu\}\backslash int\_0^1\; \backslash int\_0^1\; |Q(F\_1)-Q(F\_2)|\backslash ,dF\_1\backslash ,dF\_2\; .$

일부 함수 형태의 경우, 지니 지수를 명시적으로 계산할 수 있다. 예를 들어, ''y''가 로그의 표준 편차가 $\backslash sigma$인 로그 정규 분포를 따르는 경우, $G\; =\; \backslash operatorname\{erf\}\backslash left(\backslash frac\{\backslash sigma\; \}\{2\; \}\backslash right)$가 된다. 여기서 $\backslash operatorname\{erf\}$는 오차 함수이다. ($G=2\; \backslash Phi\; \backslash left(\backslash frac\{\backslash sigma\; \}\{\backslash sqrt\{2\}\}\backslash right)-1$이므로, 여기서 $\backslash Phi$는 표준 정규 분포의 누적 분포 함수이다).^[28]

몇 가지 확률 밀도 함수에 대한 지니 계수는 다음과 같다.

• $\backslash Gamma(\backslash ,)$는 감마 함수이다.
• $B(\backslash ,)$는 베타 함수이다.
• $I\_k(\backslash ,)$는 정규화된 불완전 베타 함수이다.

5. 유의점 및 한계

지니 계수는 소득 불평등을 나타내는 유용한 지표이지만, 몇 가지 유의점과 한계가 있다.

• 로렌츠 곡선의 형태: 같은 지니 계수 값을 가지더라도 로렌츠 곡선의 형태에 따라 실제 느끼는 불평등 정도는 다를 수 있다.^[41] 예를 들어, 아래 표 A에서 볼 수 있듯이, 총소득이 같은 두 국가 A와 B는 지니 계수가 0.2로 동일하지만, 가구 집단별 소득 분포는 다르다.

• 소득 재분배 효과: 세금 및 사회복지 정책을 통한 소득 재분배는 지니 계수에 영향을 미친다. 재분배 기능이 강한 국가의 경우, 초기 소득(세전 급여)의 지니 계수와 소득 재분배 후의 지니 계수가 다르게 나타난다.
• 특정 소득 계층 정보 부족: 지니 계수는 전체 소득 분포를 하나의 수치로 나타내기 때문에, 특정 소득 계층의 소득 분포 상태를 파악하기 어렵다.^[128]
• 상대적 빈곤 측정: 지니 계수는 절대적 빈곤이 아닌 상대적 빈곤을 측정한다.^[69] 개발도상국의 경우 절대적 빈곤 인구가 감소하더라도 소득 불평등 심화로 인해 지니 계수가 상승할 수 있다.
• 국가 간 비교의 어려움: 지니 계수는 국가의 규모, 이민 정책, 가구 구성 변화 등 다양한 요인에 영향을 받으므로, 국가 간 비교 시 신중해야 한다.^[70] 예를 들어, 방글라데시와 네덜란드는 2010년 소득 지니 계수가 0.31로 동일했지만, 1인당 소득, 삶의 질, 경제적 기회 등은 매우 큰 차이를 보였다.
• 수학적 한계: 서로 다른 집단의 지니 계수를 단순히 평균하여 전체 집단의 지니 계수를 구할 수 없다.
• 세분성 문제: 지니 계수는 측정의 세분성에 영향을 받는다. 동일한 분포에 대해 더 세분화된 구간을 사용할수록 지니 계수는 일반적으로 낮게 나타난다.^[76]
• 구조적 변화 영향: 지니 계수는 인구 증가, 고령화, 이민 등 사회 구조적 변화에 영향을 받는다.^[77]
• 가구 구성 변화 영향: 지니 계수는 동일한 경제 상태와 소득 분포를 보여도 가구 단위가 아닌 개인 단위로 적용될 때 다른 결과를 제공한다. 가구 데이터를 사용하는 경우 측정된 소득 지니 계수의 값은 가구의 정의 방법에 따라 달라진다. 모집단이 일관된 정의로 측정되지 않으면 비교가 의미가 없다. 또한, 가구 소득 지니 계수의 변화는 이혼율 증가 또는 확대가족 가구가 핵가족으로 분리되는 것과 같은 가구 형성의 변화에 의해 발생할 수 있다.
• 현물 소득 평가 문제: 현물 소득(주택 지원, 의료, 교육 등)에 대한 금전적 가치 부여의 부정확성은 지니 계수의 정확도를 떨어뜨릴 수 있다.
• 비공식 경제 문제: 생계형 경제와 비공식 경제에서 발생하는 소득(자급자족 농업, 물물교환 등)은 정량화하기 어려워 실제 소득 지니 계수 추정을 어렵게 만든다.^[84][85]

6. 한국의 소득 지니 계수 추이

OECD 조사에 따르면, 2020~2022년 기준 대한민국의 지니 계수는 0.324로, OECD 회원국 및 비회원국 6개국 중 중간 정도의 순위를 기록했다.^[116] 이는 소득 불평등이 심각한 남아프리카공화국(0.618)이나 멕시코(0.400) 등에 비해서는 양호하지만, 중부 유럽이나 북유럽 국가들보다는 높은 수치이다.

2023년 8월 22일 후생노동성 발표에 따르면, 2021년 한국의 소득 재분배 전 지니 계수는 0.5700, 재분배 후 지니 계수는 0.3813이었다.^[126]

6. 1. 연령대별 지니 계수

7. 세계 각국의 지니 계수

세계은행(World Bank) 자료에 따르면 1988년 이후 세계 지니 계수는 감소 추세이다. 이는 중국, 인도와 같은 개발도상국의 빈곤층 소득 증가와 브라질과 같은 국가의 기본 서비스 개선, 칠레, 멕시코의 누진세 정책 도입 등에 따른 것이다.^[114]

7. 1. 세계 소득 지니 계수의 변화

1988년 이후에는 지속적인 감소를 보여주고 있다. 이는 주로 중국과 인도와 같은 국가에서 수십억 명의 빈곤층의 소득을 증가시킨 세계화 때문으로 여겨진다. 브라질과 같은 개발도상국은 또한 의료, 교육 및 위생과 같은 기본 서비스를 개선했으며, 칠레와 멕시코와 같은 다른 국가들은 더욱 누진세 정책을 시행했다.^[53]

8. 다른 통계 지표와의 관계

지니 계수는 로렌츠 곡선을 기반으로 정의되며, 일반화된 엔트로피 지수의 예시로 아트킨슨 지수, 세일 지수 등과 함께 사용될 수 있다.^[42] 지니 지수는 수신자 조작 특성곡선(ROC 곡선)과 대각선 사이 면적의 두 배로 정의되기도 하며, 만-휘트니 U 검정과도 관련이 있다.^[90][91][27] 또한 피에트라 지수, 후버 지수와도 관련이 있는데, 후버 지수는 지니 계수를 0으로 만들기 위해 재분배해야 하는 총인구 소득의 비율을 나타낸다.^[93]

9. 사회 개발 및 기타 분야에서의 활용

지니 계수는 사회학, 경제학, 보건 과학, 생태학, 공학, 농업 등 다양한 분야에서 널리 사용된다.^[55] 사회과학과 경제학에서는 소득 지니 계수 외에도 교육 지니 계수와 기회 지니 계수에 대한 연구가 이루어졌다.

교육 지니 계수는 특정 인구 집단의 교육 불평등 정도를 나타내는 지표이다.^[56] 시간에 따른 교육 수준의 변화를 통해 사회 발전 추세를 파악하는 데 사용된다. 세계은행의 경제학자 비노드 토마스, 얀 왕, 시보 판의 연구에 따르면, 1990년 말리의 교육 지니 계수가 0.92로 가장 높았고(이는 교육 불평등이 매우 심각함을 의미), 미국은 0.14로 가장 낮았다. 1960년부터 1990년 사이에 중국, 인도, 한국은 교육 불평등 지니 계수가 가장 빠르게 감소했다. 이 연구는 또한 1980년대부터 1990년대 사이에 미국의 교육 지니 계수가 약간 증가했다고 밝혔다. 인도의 교육 지니 계수는 1960년부터 1990년까지 감소했지만, 여전히 많은 사람들이 교육을 받지 못하고 있으며, 인구의 10%가 전체 교육 시간의 40% 이상을 차지하고 있다.^[57]

기회 지니 계수는 기회의 불평등을 측정한다.^[58][59][60] 아마르티아 센은 사회 발전의 불평등 계수는 소득 불평등 감소가 아닌 사람들의 선택과 능력 향상 과정을 전제로 해야 한다고 주장했다.^[61] 코바체비치는 지니 기회 계수가 사회가 시민들의 성공을 얼마나 잘 지원하는지를 나타내며, 성공은 개인의 선택, 노력, 재능에 기반하고 성별, 인종, 출생지, 부모의 소득 등 개인의 통제 범위를 벗어난 배경에는 기반하지 않는다고 설명했다. 2003년 로머는^[58][62] 선진국 중 이탈리아와 스페인이 가장 큰 기회 불평등 지니 지수를 나타냈다고 보고했다.

앤서니 쇼록스는 1978년 소득 지니 계수를 기반으로 소득 이동성을 추정하는 척도를 제시했다.^[63] 마수미와 잔드바킬리가 일반화한 이 척도는^[64] 쇼록스 지수라고 불리며, 소득 불평등이 영구적인지 일시적인지, 국가나 지역이 국민들의 경제적 이동성을 얼마나 허용하는지를 추정한다. 쇼록스 지수는 단기 소득 불평등과 장기 소득 불평등을 비교한다. 1937년 이후 미국의 사회보장 소득 데이터와 지니 계수 기반 쇼록스 지수를 사용한 2010년 연구는 미국의 소득 이동성이 복잡한 역사를 가지고 있으며, 제2차 세계 대전 이후 여성의 대량 유입이 큰 영향을 미쳤다고 결론 내렸다. 남성과 여성 노동자의 소득 불평등과 소득 이동성 추세는 달랐으며, 함께 고려할 때 장기 소득 불평등이 상당히 감소했음을 보여준다.^[65] 그러나 1990년대 데이터 등 짧은 기간을 사용한 다른 학자들은 다른 결론을 내렸다.^[66] 사스트레와 아얄라는 1993년부터 1998년까지 6개 선진국의 소득 지니 계수 데이터 연구를 통해 프랑스가 소득 이동성이 가장 낮고, 이탈리아가 가장 높으며, 미국과 독일은 중간 수준이라는 결론을 내렸다.^[67]

지니 계수는 경제학 외에도 다양한 분야에 적용될 수 있다. 생태학에서는 생물 다양성 측정에,^[95] 보건 분야에서는 건강 관련 삶의 질 불평등 측정에,^[96] 교육 분야에서는 대학 간 불평등 측정에 사용되었다.^[97] 화학 분야에서는 단백질 키나제 억제제의 선택성을 나타내는 데 사용되었고,^[98] 공학 분야에서는 인터넷 라우터의 패킷 전송 공정성을 평가하는 데 사용되었다.^[99] 기계 학습에서는 다양한 데이터 유형에 대한 유사성 평가 및 훈련 샘플 선택에 활용된다.^[100]

지니 계수는 신용등급 시스템의 차별력을 측정하는 데 사용되기도 한다.^[101] 2005년 연구에서는 가정용 컴퓨터 소유 불평등을 측정하는 데 지니 계수가 사용되었고,^[102] 2016년 연구에서는 지니 계수가 불평등 변화 측정에는 유용하지만 전체 네트워크 크기를 고려하지 못한다는 점을 보여주었다.^[103] 신용 위험 모델에서 지니 계수는 채무 불이행 고객과 우량 고객을 구별하는 능력을 나타내며, 인구 평가 모델의 정확도 비율과 관련이 있다.

데이팅 앱의 불평등 분석에도 지니 계수가 적용되었다.^[104][105] Kaminskiy와 Krivtsov는^[106] 신뢰성 이론에 지니 계수 개념을 확장하여 시스템의 노화 정도를 평가하는 지니 유형 계수를 제안했다.

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