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최고 무게 가군

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목차

1. 개요

최고 무게 가군은 복소수체 위의 유한 차원 반단순 리 대수의 표현으로, 특정 조건을 만족하는 벡터가 존재하는 표현을 의미한다. 최고 무게 가군의 무게 집합은 최대 원소를 가지며, 이를 최고 무게라고 하며, 유한 차원인 경우 정수 무게이자 우세 무게이다. 최고 무게 정리에 따르면, 모든 유한 차원 기약 표현은 최고 무게 가군이며, 같은 최고 무게를 갖는 두 유한 차원 최고 무게 가군은 서로 동형이다. 또한, 정수 우세 무게에 대해 이를 최고 무게로 갖는 유한 차원 최고 무게 가군이 존재한다.

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최고 무게 가군
가군론
분야수학, 대수학, 표현론
성질
형식가군
연산텐서곱

2. 정의

다음이 주어졌다고 하자.


  • 복소수체 위의 유한 차원 반단순 리 대수 \mathfrak g
  • 카르탕 부분 대수 \mathfrak h\subseteq\mathfrak g. 이에 따라 근계 \Delta(\mathfrak g,\mathfrak h)\subseteq\mathfrak h^\vee를 정의할 수 있다.
  • \mathfrak h의 무게 \lambda\in\mathfrak h^\vee.
  • (\mathfrak g,\mathfrak h)에 대한 양근 집합 \Delta^+(\mathfrak g,\mathfrak h)\subseteq\Delta(\mathfrak g,\mathfrak h)\subseteq\mathfrak h^\vee. 이에 따라, \mathfrak h^\vee 위에 부분 순서 \lambda\le\mu\iff \forall\alpha\in\Delta^+(\mathfrak g,\mathfrak h)\colon0\le\langle\alpha|\mu-\lambda\rangle를 줄 수 있다.


\mathfrak g의 표현 _{\operatorname U(\mathfrak g)}V에 대하여, 만약 다음 두 조건이 성립하는 벡터 v\in V가 존재한다면, V를 '''최고 무게 가군'''이라고 한다.

# 모든 양근 \lambda\in\Delta^+(\mathfrak g,\mathfrak h)\subseteq\mathfrak h^\vee 및 v\in V에 대하여, \lambda^\vee\cdot v=0

# V=\mathfrak gv이다.

3. 성질

최고 무게 가군 V의 무게들의 집합은 다음과 같이 정의된다.

:\{\lambda\in\mathfrak h^\vee\colon V_\lambda\ne0\}

여기서 V_\lambda는 특정 조건을 만족하는 벡터 v \in V들의 집합이다.

:V_\lambda=\{v\in V\colon\forall h\in\mathfrak h\colon (\lambda(h)-h)v=0\}

이 무게들의 집합은 부분 순서 집합을 이루며, 항상 유일한 최대 원소를 가진다. 이 최대 원소를 V의 '''최고 무게'''(highest weight영어)라고 부른다. 만약 최고 무게 가군 V가 유한 차원이라면, 그 최고 무게는 항상 정수 무게이면서 우세 무게이다.

복소수체 위에서 정의된 유한 차원 반단순 리 대수 \mathfrak g와 그 카르탕 부분 대수 \mathfrak h\subseteq\mathfrak g, 그리고 양근의 집합 \Delta^+(\mathfrak g,\mathfrak h)가 주어졌을 때, '''최고 무게 정리'''(theorem of the highest weight영어)는 다음과 같은 중요한 사실들을 알려준다.


  • \mathfrak g의 모든 유한 차원 기약 표현은 주어진 데이터(\mathfrak h, \Delta^+(\mathfrak g,\mathfrak h))에 대한 최고 무게 가군이다.
  • \mathfrak g의 두 유한 차원 최고 무게 가군이 같은 최고 무게를 가진다면, 그 둘은 서로 동형이다. 즉, 구조적으로 동일하다고 볼 수 있다.
  • 어떤 정수이면서 우세 무게인 무게 \lambda가 주어지면, 그 \lambda를 최고 무게로 가지는 유한 차원 최고 무게 가군이 반드시 존재한다.


결론적으로, 최고 무게 정리는 반단순 리 대수 \mathfrak g의 유한 차원 기약 표현들을 분류하는 강력한 방법을 제공한다. 카르탕 부분 대수 \mathfrak h와 양근의 집합 \operatorname S(\mathfrak g,\mathfrak h)\subseteq\mathfrak h^*을 선택하면, 다음 두 집합 사이에 자연스러운 일대일 대응 관계가 성립한다.

  • \mathfrak g의 유한 차원 기약 표현들의 동형류(서로 같은 구조를 가진 표현들의 묶음) 집합
  • 주어진 데이터(\mathfrak g,\mathfrak h,\operatorname S(\mathfrak g,\mathfrak h))에 대한 정수이면서 우세한 무게 \lambda들의 집합

4. 예

단순 리 대수의 종류에 따라 최고 무게 가군의 구체적인 예시는 다양하게 나타난다. 아래에서는 대표적인 단순 리 대수인 A_n, B_n, D_n 유형에 대한 최고 무게와 그에 대응하는 표현들을 살펴본다. 각 리 대수의 구조와 기본 무게들을 바탕으로 다양한 기약 표현들의 최고 무게를 계산하고, 이를 영 타블로 등으로 시각화할 수 있다.

4. 1. A_n

단순 리 대수 \mathfrak a_n=\mathfrak{sl}(n+1)의 카르탕 부분 대수는 n차원이며, 따라서 총 n개의 기본 무게들을 갖는다. 이 경우, 우세 무게

:(k_1,k_2,\dots,k_n)\qquad(k_i\in\mathbb N)

에 대응하는 영 타블로는 길이가 i인 열을 k_i개 갖는다. 예를 들어, 대표적인 복소 기약 표현의 최고 무게들은 다음과 같다.

표현최고 무게 (기본 무게 기저에 대한 계수)영 타블로
기본 \mathbf n(1,0,\dots,0)□
반기본 \bar{\mathbf n}(0,0,\dots,1)□
⋮
□
k차 대칭 텐서 \textstyle\operatorname{Sym}^k\mathbf n(k,0,\dots,0)□…□
k차 반대칭 텐서 \textstyle\bigwedge^k\mathbf n\textstyle(\overbrace{0,\dots,0}^{k-1},1,0,\dots,0)□
⋮
□
딸림 표현 \mathfrak a_n(1,1,0,\dots,0)□□
□


4. 2. B_n

단순 리 대수 \mathfrak b_n=\mathfrak o(2n+1)은 n개의 단순근을 갖는다. 정규 직교 기저에 대하여, \mathfrak b_n의 기본 무게들은 다음과 같다.

  • q^1=(1,0,0,\dots,0,0)
  • q^2=(1,1,0,\dots,0,0)
  • \vdots
  • q^{n-1}=(1,1,1,\dots,1,0)
  • q^n=\frac12(1,1,1,\dots,1,1)


여기서 q^k (1\le k\le n-1)는 k차 완전 반대칭 텐서 표현에 대응한다. q^n은 디랙 스피너 표현이다.

4. 3. D_n

단순 리 대수 \mathfrak d_n=\mathfrak o(2n)은 n개의 단순근을 갖는다. 정규 직교 기저에 대하여, \mathfrak d_n의 기본 무게들은 다음과 같다.

:q^1=(1,0,0,\dots,0,0,0)

:q^2=(1,1,0,\dots,0,0,0)

:\vdots

:q^{n-2}=(1,1,1,\dots,1,0,0)

:q^{n-1}=\frac12(1,1,1,\dots,1,1,-1)

:q^n=\frac12(1,1,1,\dots,1,1,1)

q^k (1\le k\le n-2)는 k차 완전 반대칭 텐서 표현에 대응한다. q^{n-1}과 q^n은 바일 스피너 표현이다.


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