크로네커 델타

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 일반화 크로네커 델타
3. 성질
4. 응용
5. 일반화된 크로네커 델타의 연산 규칙
6. 크로네커 콤
7. 디랙 델타 함수와의 관계
참조

1. 개요

크로네커 델타는 두 변수가 같으면 1, 다르면 0의 값을 가지는 함수이다. 이산적인 경우의 델타 함수로 간주되며, 일반화된 크로네커 델타는 텐서에 대해 정의된다. 크로네커 델타는 임의의 합에서 특정 지표를 골라낼 수 있는 성질을 가지며, 디지털 신호 처리에서 단위 임펄스 함수로 사용된다. 또한 확률론과 통계학에서 이산 분포를 나타내는 데 활용되며, 디랙 델타 함수와 밀접한 관련이 있다.

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크로네커 델타
개요
유형	함수
분야	수학
변수	2
값	0 1
정의
정의	두 변수가 같으면 1, 다르면 0을 반환하는 함수
표기법
기호	δij
설명	i와 j가 같으면 1, 다르면 0
활용
선형 대수학	단위 행렬 표현
텐서 해석	텐서 성분 표현
관련 개념
관련 함수	디랙 델타 함수 헤비사이드 계단 함수

2. 정의

크로네커 델타 δ_ij는 두 변수 i와 j에 대해 정의되는 함수로, 다음과 같이 정의된다.^[1]

: $\delta_{ij} \in \{0,1\}$

: $\delta_{ij} = \begin{cases}1 & i=j \\0 & i \ne j \end{cases}$

즉, i와 j가 같은 값을 가지면 1, 그렇지 않으면 0의 값을 갖는다. 예를 들어, δ₁₂ = 0, δ₃₃ = 1이다.

변수가 하나인 경우, 크로네커 델타 δ_i는 다음과 같이 정의된다.

: $\delta_{i} = \delta_{i0} = \begin{cases}1 & i=0 \\0 & i \ne 0 \end{cases}$

다음 방정식이 성립한다.

: $\begin{align}\sum_{j} \delta_{ij} a_j &= a_i,\\\sum_{i} a_i \delta_{ij} &= a_j,\\\sum_{k} \delta_{ik}\delta_{kj} &= \delta_{ij}.\end{align}$

따라서 행렬 δ는 단위 행렬로 간주할 수 있다.

기하 급수 공식을 사용하면 다음과 같은 유용한 표현을 유도할 수 있다.

: $\delta_{nm} = \lim_{N\to\infty}\frac{1}{N} \sum_{k = 1}^N e^{2 \pi i \frac{k}{N}(n-m)}$

아이버슨 괄호를 사용하면 다음과 같이 표현할 수 있다. $\delta_{ij} = [i=j ].$

선형대수학에서 크로네커 델타는 텐서로 간주될 수 있으며, $\delta_j^i$ 로 표기된다.

2. 1. 일반화 크로네커 델타

일반화 크로네커 델타는 더 많은 변수를 갖는 텐서에 대해 정의되며, 다음과 같은 성질을 갖는다.

좀 더 많은 성분을 가진 텐서에 대해서도 비슷한 성질을 갖는 다음 텐서를 생각할 수 있다.

:

\delta^{j_1 j_2 \dotso j_n}_{i_1 i_2 \dotso i_n} \in \{+1,-1,0\}

이 텐서는 다음과 같이 정의된다.

만약 $(i_1,i_2,\dotsc,i_n)$ 이 $(j_1,j_2,\dotsc,j_n)$ 의 순열이 아니라면, 일반화 크로네커 델타의 값은 0이다.
만약 $(i_1,i_2,\dotsc,i_n)=(j_{\sigma(1)},j_{\sigma(2)},\dotsc,j_{\sigma(n)})$ 이라면, $\delta^{j_1\dotso j_n}_{i_1\dotso i_n}=(-)^\sigma \in \{\pm1\}$ 이다.

물론, 만약

n=1

일 경우 이는 원래 크로네커 델타의 정의와 일치한다.

만약 이를

(1,1)

텐서 유형으로 간주한다면, 크로네커 텐서는 공변 지수

j

와 반변 지수

i

를 사용하여

\delta^i_j

로 쓸 수 있다.

:

\delta^{i}_{j} = \begin{cases} 0 & (i \ne j), \\ 1 & (i = j). \end{cases}

이 텐서는 다음을 나타낸다.

항등 사상(또는 항등 행렬), $V\to V$ 또는 $V^*\to V^*$ 의 선형 사상으로 간주
대각합 또는 텐서 축약, $V^* \otimes V\to K$ 의 사상으로 간주
스칼라 곱셈을 외적의 합으로 나타내는 사상 $K\to V^*\otimes V$ .

'''일반화된 크로네커 델타''' 또는 '''다중 지수 크로네커 델타'''는 차수

2p

의

(p,p)

텐서로,

p

개의 위쪽 지수와

p

개의 아래쪽 지수 모두에서 완전히 반대칭 텐서이다.

일반화된 크로네커 델타는 지수(index)의 관점에서 다음과 같이 정의된다.^[5]^[6]

:

\delta^{\mu_1 \dots \mu_p }_{\nu_1 \dots \nu_p} = \begin{cases}\phantom-1 & \quad \text{if } \nu_1 \dots \nu_p \text{ are distinct integers and are an even permutation of } \mu_1 \dots \mu_p \\

1 & \quad \text{if } \nu_1 \dots \nu_p \text{ are distinct integers and are an odd permutation of } \mu_1 \dots \mu_p \\

\phantom-0 & \quad \text{in all other cases}.\end{cases}

\mathrm{S}_p

를 차수(degree)

p

인 대칭군이라고 하면, 다음과 같다.

:

\delta^{\mu_1 \dots \mu_p}_{\nu_1 \dots \nu_p}= \sum_{\sigma \in \mathrm{S}_p} \sgn(\sigma)\, \delta^{\mu_1}_{\nu_{\sigma(1)}}\cdots\delta^{\mu_p}_{\nu_{\sigma(p)}}= \sum_{\sigma \in \mathrm{S}_p} \sgn(\sigma)\, \delta^{\mu_{\sigma(1)}}_{\nu_1}\cdots\delta^{\mu_{\sigma(p)}}_{\nu_p}.

반대칭화를 사용하여:

:

\delta^{\mu_1 \dots \mu_p}_{\nu_1 \dots \nu_p}= p! \delta^{\mu_1}_{[ \nu_1} \dots \delta^{\mu_p}_{\nu_p ]}= p! \delta^{[ \mu_1}_{\nu_1} \dots \delta^{\mu_p ]}_{\nu_p}.

p\times p

행렬식의 관점에서:^[7]

:

\delta^{\mu_1 \dots \mu_p }_{\nu_1 \dots \nu_p} =\begin{vmatrix}\delta^{\mu_1}_{\nu_1} & \cdots & \delta^{\mu_1}_{\nu_p} \\\vdots & \ddots & \vdots \\\delta^{\mu_p}_{\nu_1} & \cdots & \delta^{\mu_p}_{\nu_p}\end{vmatrix}.

행렬식의 라플라스 전개(라플라스 공식)을 사용하여, 재귀적으로 정의할 수 있다:^[8]

:

\begin{align}\delta^{\mu_1 \dots \mu_p}_{\nu_1 \dots \nu_p}&= \sum_{k=1}^p (-1)^{p+k} \delta^{\mu_p}_{\nu_k} \delta^{\mu_1 \dots \mu_{k} \dots \check\mu_p}_{\nu_1 \dots \check\nu_k \dots \nu_p} \\&= \delta^{\mu_p}_{\nu_p} \delta^{\mu_1 \dots \mu_{p - 1}}_{\nu_1 \dots \nu_{p-1}} - \sum_{k=1}^{p-1} \delta^{\mu_p}_{\nu_k} \delta^{\mu_1 \dots \mu_{k-1}\, \mu_k\, \mu_{k+1} \dots \mu_{p-1}}_{\nu_1 \dots \nu_{k-1}\, \nu_p\, \nu_{k+1} \dots \nu_{p-1}},\end{align}

여기서 캐론(

\check{}

)은 수열에서 생략된 지수를 나타낸다.

p=n

(벡터 공간의 차원)일 때, 레비-치비타 기호의 관점에서:

:

\delta^{\mu_1 \dots \mu_n}_{\nu_1 \dots \nu_n} = \varepsilon^{\mu_1 \dots \mu_n}\varepsilon_{\nu_1 \dots \nu_n}\,.

더 일반적으로,

m=n-p

일 때, 아인슈타인 표기법을 사용하여:

:

\delta^{\mu_1 \dots \mu_p}_{\nu_1 \dots \nu_p} = \tfrac{1}{m!} \varepsilon^{\kappa_1 \dots \kappa_m \mu_1 \dots \mu_p}\varepsilon_{\kappa_1 \dots \kappa_m \nu_1 \dots \nu_p}\,.

일반화된 크로네커 델타는 반대칭화에 사용될 수 있다.

:

\begin{align}\frac{1}{p!} \delta^{\mu_1 \dots \mu_p}_{\nu_1 \dots \nu_p} a^{\nu_1 \dots \nu_p} &= a^{[ \mu_1 \dots \mu_p ]} , \\\frac{1}{p!} \delta^{\mu_1 \dots \mu_p}_{\nu_1 \dots \nu_p} a_{\mu_1 \dots \mu_p} &= a_{[ \nu_1 \dots \nu_p ]} . \end{align}

위의 방정식과 반대칭 텐서의 속성으로부터, 일반화된 크로네커 델타의 속성을 도출할 수 있다.

:

\begin{align}\frac{1}{p!} \delta^{\mu_1 \dots \mu_p}_{\nu_1 \dots \nu_p} a^{[ \nu_1 \dots \nu_p ]} &= a^{[ \mu_1 \dots \mu_p ]} , \\\frac{1}{p!} \delta^{\mu_1 \dots \mu_p}_{\nu_1 \dots \nu_p} a_{[ \mu_1 \dots \mu_p ]} &= a_{[ \nu_1 \dots \nu_p ]} , \\\frac{1}{p!} \delta^{\mu_1 \dots \mu_p}_{\nu_1 \dots \nu_p} \delta^{\nu_1 \dots \nu_p}_{\kappa_1 \dots \kappa_p} &= \delta^{\mu_1 \dots \mu_p}_{\kappa_1 \dots \kappa_p} ,\end{align}

지수를 합산하여 차수를 줄이는 것은 다음 항등식으로 표현될 수 있다.^[9]

:

\delta^{\mu_1 \dots \mu_s \, \mu_{s+1} \dots \mu_p}_{\nu_1 \dots \nu_s \, \mu_{s+1} \dots \mu_p} = \frac{(n-s)!}{(n-p)!} \delta^{\mu_1 \dots \mu_s}_{\nu_1 \dots \nu_s}.

p=n

인 경우의 합산 규칙과 레비-치비타 기호와의 관계를 사용하여 레비-치비타 기호의 합산 규칙이 파생된다.

:

\delta^{\mu_1 \dots \mu_p}_{\nu_1 \dots \nu_p} = \frac{1}{(n-p)!}\varepsilon^{\mu_1 \dots \mu_p \, \kappa_{p+1} \dots \kappa_n}\varepsilon_{\nu_1 \dots \nu_p \, \kappa_{p+1} \dots \kappa_n}.

3. 성질

크로네커 델타는 임의의 합에서 특정한 정수 지표 $i \in \mathbb{Z}$ 를 골라내는 성질을 갖는다. 이를 수식으로 표현하면 다음과 같다.

: $\sum^\infty _{j=-\infty} \delta_{ij} a_j = a_i$

이러한 성질은 디랙 델타 함수와 매우 유사하여, 크로네커 델타를 이산적인 경우의 델타 함수라고 부르기도 한다.^[2]

데카르트 좌표계에서 성분끼리의 미분 또한 크로네커 델타로 표현 가능하다.

: ${\partial x_i \over \partial x_j} = \delta_{ij}$

크로네커 델타는 $j\in\mathbb{Z}$ 에 대해 "체질" 속성을 가지며, 수식으로 나타내면 다음과 같다.

$\sum_{i=-\infty}^\infty a_i \delta_{ij} = a_j.$

이는 계수 측도를 부여한 측도 공간에서 디랙 델타 함수의 정의와 일치한다.^[2]

크로네커 델타는 사건 대수의 곱셈 항등원을 형성한다.^[3] 즉, 다음이 성립한다.

: $\begin{align}\sum_{j} \delta_{ij} a_{j} &= a_{i}\\\sum_{i} a_{i}\delta_{ij} &= a_{j}\end{align}$

이는 단위 행렬의 성질과도 관련이 있다.

: $\sum_{k} \delta_{ik} \delta_{kj} = \delta_{ij}$

3. 1. 선형대수학적 성질

크로네커 델타는 텐서로 생각할 때, 텐서의 축약으로 특정 지표를 골라내는 성질을 간단하게 나타낼 수 있으므로 공변지표(covariant index) i와 반변지표(contravariant index) j를 사용해

\delta_{j}^{i}

로 나타낸다.

이 (1,1) 텐서를 이용해 나타낼 수 있는 것들은 다음과 같다. (여기 아래에선 아인슈타인 표기법을 사용)

단위행렬, 선형 변환으로 생각할 때.

:

v^i = \delta^i _j v^j

대각합

:

\mathrm{tr} (A) = \delta^i _j A^j _i

내적

:

\vec{a} \cdot \vec{b} = \delta^i _j a_i b^j

다음 방정식이 성립한다.

\begin{align}\sum_{j} \delta_{ij} a_j &= a_i,\\\sum_{i} a_i \delta_{ij} &= a_j,\\\sum_{k} \delta_{ik}\delta_{kj} &= \delta_{ij}.\end{align}

따라서 행렬

\delta

는 단위 행렬로 간주할 수 있다.

위 식은 각각 다음과 대응한다.

벡터에 단위 행렬을 작용시켜도 불변이다.
단위 행렬에 단위 행렬을 곱한 것은 단위 행렬이다.

3. 2. 다른 표현

아이버슨 괄호를 사용하면 크로네커 델타를 다음과 같이 표현할 수 있다.

:

\delta_{ij} = [i=j ].

기하 급수 공식을 사용하면 크로네커 델타를 다음과 같이 표현할 수 있다.^[1]

:

\delta_{nm} = \lim_{N\to\infty}\frac{1}{N} \sum_{k = 1}^N e^{2 \pi i \frac{k}{N}(n-m)}

3. 3. 적분 표현

복소해석학의 잉여 계산을 통해 크로네커 델타를 다음과 같이 적분으로 표현할 수 있다.

:

\delta_{mn} = \frac1{2\pi i} \oint z^{m-n-1} dz,

여기서 적분 경로는 0 주변을 반시계 방향으로 도는 임의의 고리이다. 이 적분은 복소평면 상에서 한 바퀴 돌며 적분하는 것과 같으므로 아래와 같이 나타낼 수도 있다.

:

\delta_{mn} = \frac1{2\pi} \int_0^{2\pi} e^{i(m-n)\varphi} d\varphi,

4. 응용

크로네커 델타는 디지털 신호 처리, 확률론, 통계학 등 다양한 분야에서 응용된다.

디지털 신호 처리에서 크로네커 델타는 단위 임펄스 함수로 사용되며, 시스템의 임펄스 응답을 구하는 데 활용된다. 확률론과 통계학에서는 이산 분포를 나타내는 데 사용될 수 있다. 또한, 크로네커 델타는 한 표면을 다른 표면에 매핑하는 정도를 나타내는 크로네커 적분에도 사용된다.^[13]

4. 1. 디지털 신호 처리 (DSP)

디지털 신호 처리 분야에서 크로네커 델타는 ℤ에서 정의된 함수로 다음과 같이 나타낸다.

:

\delta(n) = \begin{cases} 1, & n = 0 \\ 0, & n \ne 0 \end{cases}

이 함수를 '임펄스' 혹은 '단위 임펄스'라고 부른다.^[1] 어떤 신호 처리 장치에 임펄스가 입력으로 주어졌을 때, 출력으로 나오는 것을 임펄스 응답이라고 한다.^[1]

디지털 신호 처리(DSP) 연구에서, 단위 임펄스 함수

\delta[n]

는 2차원 크로네커 델타 함수

\delta_{ij}

의 특별한 경우를 나타내며, 여기서 크로네커 지수는 0을 포함하고, 지수 중 하나는 0이다.^[2] 이 경우:

\delta[n] \equiv \delta_{n0} \equiv \delta_{0n}~~~\text{where} -\infty

더 일반적으로 다음과 같다.

\delta[n-k] \equiv \delta[k-n] \equiv \delta_{nk} \equiv \delta_{kn}\text{where} -\infty

그러나 이것은 단지 특별한 경우일 뿐이다.^[2] 텐서 미적분학에서는 특정 차원의 기저 벡터에 1부터 시작하는 인덱스를 사용하는 것이 더 일반적이며, 0부터 시작하지 않는다.^[2] 이 경우,

\delta[n] \equiv \delta_{n0} \equiv \delta_{0n}

관계는 존재하지 않으며,^[2] 실제로 크로네커 델타 함수와 단위 임펄스 함수는 지수가 0을 포함하고, 지수의 개수가 2이며, 지수 중 하나가 0의 값을 갖는 특정 경우에 겹치는 서로 다른 함수이다.^[2]

이산 단위 임펄스 함수와 크로네커 델타 함수는 같은 문자를 사용하지만, 다음과 같은 차이점이 있다.^[2] 이산 단위 임펄스 함수의 경우, 단일 정수 인덱스를 대괄호 안에 넣는 것이 더 일반적이다.^[2] 반면에 크로네커 델타는 임의의 수의 인덱스를 가질 수 있다.^[2] 또한, 이산 단위 임펄스 함수의 목적은 크로네커 델타 함수와 다르다.^[2] DSP에서 이산 단위 임펄스 함수는 일반적으로 시스템의 출력으로 생성되는 시스템 함수를 발견하기 위해 이산 시스템에 대한 입력 함수로 사용된다.^[2] 반면에, 크로네커 델타 함수의 일반적인 목적은 아인슈타인 합 규칙에서 항을 필터링하는 것이다.^[2]

이산 단위 임펄스 함수는 더 간단하게 다음과 같이 정의된다.

\delta[n] = \begin{cases} 1 & n = 0 \\ 0 & n \text{ is another integer}\end{cases}

4. 2. 확률론 및 통계학

확률론과 통계학에서 크로네커 델타와 디랙 델타 함수는 모두 이산 분포를 나타내는 데 사용될 수 있다. 분포의 지지도가 점

\mathbf{x} = \{x_1,\cdots,x_n\}

으로 구성되고, 이에 상응하는 확률이

p_1,\cdots,p_n

인 경우, 크로네커 델타를 사용하여

\mathbf{x}

에 대한 분포의 확률 질량 함수

p(x)

를 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

p(x) = \sum_{i=1}^n p_i \delta_{x x_i}.

특정 조건 하에서, 크로네커 델타는 디랙 델타 함수를 샘플링하여 발생할 수 있다. 예를 들어, 디랙 델타 임펄스가 샘플링 지점에서 정확히 발생하고 이상적으로 나이퀴스트-섀넌 샘플링 정리에 따라 (임계 주파수에서 컷오프되는) 로우패스 필터링된 경우, 결과적인 이산 시간 신호는 크로네커 델타 함수가 된다.

4. 3. 크로네커 적분

\delta = \frac{1}{4\pi} \iint_{R_{st}} \left( x^2 + y^2 + z^2 \right)^{-\frac{3}{2}}\begin{vmatrix}x & y & z \\\frac{\partial x}{\partial s} & \frac{\partial y}{\partial s} & \frac{\partial z}{\partial s} \\\frac{\partial x}{\partial t} & \frac{\partial y}{\partial t} & \frac{\partial z}{\partial t}\end{vmatrix} \, ds \, dt.

5. 일반화된 크로네커 델타의 연산 규칙

일반화된 크로네커 델타는 반대칭화를 정의하는 데 사용된다.

: $\begin{align}\frac{1}{p!} \delta^{\mu_1 \dots \mu_p}_{\nu_1 \dots \nu_p} a^{\nu_1 \dots \nu_p} &= a^{[ \mu_1 \dots \mu_p ]} , \\\frac{1}{p!} \delta^{\mu_1 \dots \mu_p}_{\nu_1 \dots \nu_p} a_{\mu_1 \dots \mu_p} &= a_{[ \nu_1 \dots \nu_p ]} . \end{align}$

반대칭 텐서의 속성으로부터, 일반화된 크로네커 델타의 연산 규칙을 유도할 수 있다.

: $\begin{align}\frac{1}{p!} \delta^{\mu_1 \dots \mu_p}_{\nu_1 \dots \nu_p} a^{[ \nu_1 \dots \nu_p ]} &= a^{[ \mu_1 \dots \mu_p ]} , \\\frac{1}{p!} \delta^{\mu_1 \dots \mu_p}_{\nu_1 \dots \nu_p} a_{[ \mu_1 \dots \mu_p ]} &= a_{[ \nu_1 \dots \nu_p ]} , \\\frac{1}{p!} \delta^{\mu_1 \dots \mu_p}_{\nu_1 \dots \nu_p} \delta^{\nu_1 \dots \nu_p}_{\kappa_1 \dots \kappa_p} &= \delta^{\mu_1 \dots \mu_p}_{\kappa_1 \dots \kappa_p} ,\end{align}$

마지막 공식은 코시-비네 공식과 동일하다.

텐서 축약에 대한 연산 규칙은 다음과 같다.^[9]

: $\delta^{\mu_1 \dots \mu_s \, \mu_{s+1} \dots \mu_p}_{\nu_1 \dots \nu_s \, \mu_{s+1} \dots \mu_p} = \frac{(n-s)!}{(n-p)!} \delta^{\mu_1 \dots \mu_s}_{\nu_1 \dots \nu_s}.$

$p=n$ 인 경우, 레비-치비타 기호의 합산 규칙을 유도할 수 있다.

: $\delta^{\mu_1 \dots \mu_p}_{\nu_1 \dots \nu_p} = \frac{1}{(n-p)!}\varepsilon^{\mu_1 \dots \mu_p \, \kappa_{p+1} \dots \kappa_n}\varepsilon_{\nu_1 \dots \nu_p \, \kappa_{p+1} \dots \kappa_n}.$

6. 크로네커 콤

크로네커 콤 함수는 주기적인 단위 임펄스들의 합으로 정의된다. 디랙 콤의 이산적인 형태로 간주될 수 있다.^[1]

주기 $N$ 을 갖는 크로네커 콤 함수는 (DSP 표기법을 사용하여) 다음과 같이 정의된다.

: $\Delta_N[n]=\sum_{k=-\infty}^\infty \delta[n-kN],$

여기서 $N$ 과 $n$ 은 정수이다. 따라서 크로네커 콤은 무한한 일련의 단위 임펄스 $N$ 개로 구성되며, 0에서의 단위 임펄스를 포함한다.^[1]

7. 디랙 델타 함수와의 관계

크로네커 델타는 임의의 합에서 특정 지표 i ∈ ℤ (정수)를 골라내는 성질을 가지고 있다.

: $\sum^\infty _{j=-\infty} \delta_{ij} a_j = a_i$

이 성질은 디랙 델타 함수와 매우 유사하며, 이 때문에 크로네커 델타는 이산적인 경우의 델타 함수라고 불리기도 한다.^[1]

디지털 신호 처리(DSP)에서 단위 임펄스 함수 $\delta[n]$ 는 크로네커 델타 함수 $\delta_{ij}$ 의 특별한 경우로, 크로네커 지수가 0을 포함하고 지수 중 하나가 0인 경우이다.

: $\delta[n] \equiv \delta_{n0} \equiv \delta_{0n}~~~\text{where} -\infty$

일반적으로는 다음과 같다.

: $\delta[n-k] \equiv \delta[k-n] \equiv \delta_{nk} \equiv \delta_{kn}\text{where} -\infty$

하지만, 이는 특별한 경우일 뿐이며, 텐서 미적분학에서는 기저 벡터에 1부터 시작하는 인덱스를 사용하는 것이 일반적이다.

이산 단위 임펄스 함수와 크로네커 델타 함수는 같은 문자를 사용하지만, 목적과 인덱스 수 등에서 차이가 있다. 이산 단위 임펄스 함수는 이산 시스템의 입력 함수로 사용되는 반면, 크로네커 델타 함수는 아인슈타인 합 규칙에서 항을 필터링하는 데 사용된다.

이산 단위 임펄스 함수는 다음과 같이 정의된다.

: $\delta[n] = \begin{cases} 1 & n = 0 \\ 0 & n \text{ is another integer}\end{cases}$

디랙 델타 함수는 크로네커 델타 함수 및 단위 임펄스 함수와 혼동되는 경우가 많다. 디랙 델타 함수는 정수 인덱스가 아닌, 단일 연속 비정수 값 t를 가진다.

크로네커 델타는 $j\in\mathbb{Z}$ 에 대해 "체질" 속성을 가지며, 이는 계수 측도를 부여한 측도 공간으로 간주하면 디랙 델타 함수의 정의 속성과 일치한다.

: $\int_{-\infty}^\infty \delta(x-y)f(x)\, dx=f(y),$

실제로 디랙 델타는 이와 유사한 속성 때문에 크로네커 델타의 이름을 따서 명명되었다.^[2] 신호 처리에서 크로네커와 디랙 "함수"를 구별하는 것은 문맥(이산 또는 연속 시간)에 따라 달라진다. 크로네커 델타는 디랙 델타 함수를 직접 샘플링한 결과가 아니다.

크로네커 델타는 사건 대수의 곱셈 항등원을 형성한다.^[3]

참조

_[1] 논문 On a Technique for Measurement of Turbulent Shear Stress in the Presence of Surface Waves
_[2] 서적 The Principles of Quantum Mechanics (1st ed.) Oxford University Press 1930
_[3] 간행물 Incidence Algebras https://archive.org/[...] Marcel Dekker
_[4] 웹사이트 Geometry and Group Theory http://people.physic[...] 2008
_[5] 서적 The Geometry of Physics: An Introduction Cambridge University Press 2012
_[6] 서적 Tensor Calculus and Riemannian Geometry Krishna Prakashan Media 2007
_[7] 서적 Tensors, Differential Forms, and Variational Principles Courier Dover Publications
_[8] 문서 A recursive definition requires a first case, which may be taken as {{math|1=''δ'' = 1}} for {{math|1=''p'' = 0}}, or alternatively {{math|1=''δ''{{su|p=''μ''|b=''ν''|lh=0.9em}} = ''δ''{{su|p=''μ''|b=''ν''|lh=0.9em}}}} for {{math|1=''p'' = 1}} (generalized delta in terms of standard delta).
_[9] 서적 Mathematical Methods: For Students of Physics and Related Fields Springer-Verlag
_[10] 논문 A spinor approach to general relativity https://linkinghub.e[...] 1960-06
_[11] 서적 Determinants and Matrices Oliver and Boyd
_[12] 문서 Roger Penrose, "Applications of negative dimensional tensors," in ''Combinatorial Mathematics and its Applications'', Academic Press (1971).
_[13] 서적 Advanced Calculus https://books.google[...] Pearson Education
_[14] 논문 Ueber bilineare Formen
_[15] 서적 The Geometry of Physics: An Introduction Cambridge University Press 2012
_[16] 서적 Tensor Calculus and Riemannian Geometry Krishna Prakashan Media 2007
_[17] 서적 Tensors, Differential Forms, and Variational Principles Dover Publications
_[18] 서적 Mathematical Methods: For Students of Physics and Related Fields Springer-Verlag 2008

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