클라인 부분군

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1. 개요

클라인 부분군은 복소수 계수 2차원 사영 선형군 PSL(2;C)의 부분군으로, 3차원 쌍곡 공간 또는 열린 공의 등거리 변환 또는 등각 변환으로 간주될 수 있다. 클라인 부분군은 특정 조건을 만족하는 PSL(2;C)의 부분군으로, 3차원 공의 등거리 변환의 이산군으로 정의되기도 한다. 클라인 부분군은 극한 집합, 불연속 영역 등의 개념을 가지며, 클라인 군의 몫 공간은 클라인 모델이 된다. 클라인 부분군은 유한 타입, 유한 생성, 기하학적으로 유한 등 다양한 유형으로 분류되며, 푸크스 군, 비안키 군, 쇼트키 군 등이 그 예시이다. 또한, 쌍곡 3차원 다양체의 기본군은 클라인 부분군이며, 가향 쌍곡 3차원 다양체의 기본군도 클라인 부분군이다.

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클라인 부분군

2. 정의

복소수 계수 2차원 사영 선형군 $\operatorname{PSL}(2;\mathbb C)$ 는 다음과 같이 여겨질 수 있다.

3차원 쌍곡 공간 $\mathbb H^3$ 의 (방향을 보존하는) 등거리 변환의 군이다.
3차원 열린 공 $\mathbb B^3\subseteq\mathbb R^3$ 의 (방향을 보존하는) 등각 변환의 군이다.

\operatorname{PSL}(2;\mathbb C)

의 부분군

\Gamma\le\operatorname{PSL}(2;\mathbb C)

이 다음 두 조건을 만족시킨다면, '''클라인 부분군'''이라고 한다.

임의의 $x\in \mathbb B^3$ 의 안정자군 $\{\gamma\in\Gamma\colon \gamma\cdot x=x\}$ 은 유한군이다.
임의의 $x\in \mathbb B^3$ 의 궤도 $\Gamma \cdot \{x\}\subseteq \mathbb B^3$ 는 ( $\mathbb B^3$ 의 부분 공간으로서) 이산 공간이다.

클라인 군의 현대적인 정의 중 하나는 쌍곡선 등거리 변환의 이산군으로 3차원 공

B^3

에 작용하는 군으로 정의된다. 쌍곡선 3차원 공간은 자연스러운 경계를 가지며, 공 모델에서 이는 2차원 구와 동일시될 수 있다. 이를 '''무한대 구''',

S^2_\infty

로 표시한다. 쌍곡선 등거리 변환은 무한대 구의 등각 사상으로 확장된다(그리고 반대로, 무한대 구의 모든 등각 사상은 푸앵카레 확장에 의해 공 위의 쌍곡선 등거리 변환으로 고유하게 확장된다). 리만 구의 등각 사상은 정확히 뫼비우스 변환이며, 이는 사영 선형 군 PGL(2,'''C''')의 원소로 추가로 식별될 수 있다는 것은 복소 해석의 표준 결과이다. 따라서 클라인 군은 PGL(2,'''C''')의 부분군 Γ로 정의될 수도 있다. 고전적으로 클라인 군은 리만 구의 비어 있지 않은 열린 부분 집합에서 적절히 불연속적으로 작용해야 했지만, 현대적인 사용법에서는 모든 이산 부분군을 허용한다.

Γ가 기본군

\pi_1

과 쌍곡 3-다양체의 동형일 때, 몫 공간 '''H'''³/Γ는 다양체의 클라인 모델이 된다. 많은 저자는 ''클라인 모델''과 ''클라인 군''이라는 용어를 상호 교환적으로 사용하여, 서로를 대신한다.

이산성은 쌍곡 3차원 공간 내부의 점들이 유한한 안정자를 가지고, 군 Γ 아래에서 이산적인 궤도를 가짐을 의미한다. 반면에 점 ''p''의 궤도 Γ''p''는 일반적으로 수렴점 닫힌 공

\bar{B}^3

의 경계에서 수렴한다.

S^2_\infty

에서 Γ''p''의 수렴점의 집합을 Γ의 '''''극한 집합''''''이라고 하며, 일반적으로

\Lambda(\Gamma)

로 표시한다. 보완 집합

\Omega(\Gamma)=S^2_\infty - \Lambda(\Gamma)

는 '''불연속 영역''' 또는 '''정규 집합'''이라고 한다. 아흘포르스의 유한성 정리는 군이 유한하게 생성된 경우

\Omega(\Gamma)/\Gamma

가 유한형 리만 곡면 오비폴드임을 의미한다.

등각 구조를 가진 단위 공 ''B''³은 푸앵카레 모델 쌍곡 3-공간이다. 메트릭을 사용하여 메트릭으로 생각할 때,

:

ds^2= \frac{4 \, \left| dx \right|^2 }{\left( 1-|x|^2 \right)^2}

이는 3차원 쌍곡 공간 '''H'''³의 모델이다. ''B''³의 등각 자기 사상의 집합은 이러한 식별 하에서 '''H'''³의 등거리 변환 (즉, 거리를 보존하는 사상)의 집합이 된다. 이러한 사상은

S^2_\infty

의 등각 자기 사상으로 제한되며, 이는 뫼비우스 변환이다. 다음과 같은 동형 사상이 존재한다.

:

\operatorname{Mob}(S^2_\infty) \cong \operatorname{Conf}(B^3) \cong \operatorname{Isom}(\mathbf{H}^3).

방향 보존 변환으로 구성된 이러한 군의 부분군은 단위 구를 복소 사영선 '''P'''¹('''C''')과 일반적인 식별을 통해 사영 행렬 군: PSL(2,'''C''')과 모두 동형이다.

==== 무한구 ====

열린 공 $\mathbb B^3$의 (폐포 $\operatorname{cl}(\mathbb B^3)$)를 생각하자. $\operatorname{PSL}(2;\mathbb C)$ 및 모든 클라인 부분군은 $\operatorname{cl}(\mathbb B^3)$ 위에 자연스럽게 작용한다.

경계

$\mathbb S^2_\infty = \partial(\mathbb B^3)=\operatorname{cl}(\mathbb B^3)\setminus \mathbb B^3$

를 '''무한구'''(sphere at infinity^영어)라고 한다. (이 구는 3차원 쌍곡 공간의 “무한”에 있는 것으로 여겨질 수 있다.) 클라인 부분군 $\Gamma$는 그 위에 작용한다. 임의의 점 $p\in \mathbb S^2_\infty$의 궤도

:$\Gamma\cdot \{p\} \subseteq\mathbb S^2_\infty$

의 응집점의 집합을 $\Gamma$의 '''극한 집합'''(limit set^영어)이라고 한다.

2. 1. 무한구

열린 공 $\mathbb B^3$의 (폐포 $\operatorname{cl}(\mathbb B^3)$)를 생각하자. $\operatorname{PSL}(2;\mathbb C)$ 및 모든 클라인 부분군은 $\operatorname{cl}(\mathbb B^3)$ 위에 자연스럽게 작용한다.

경계

$\mathbb S^2_\infty = \partial(\mathbb B^3)=\operatorname{cl}(\mathbb B^3)\setminus \mathbb B^3$

를 '''무한구'''(sphere at infinity^영어)라고 한다. (이 구는 3차원 쌍곡 공간의 “무한”에 있는 것으로 여겨질 수 있다.) 클라인 부분군 $\Gamma$는 그 위에 작용한다. 임의의 점 $p\in \mathbb S^2_\infty$의 궤도

:$\Gamma\cdot \{p\} \subseteq\mathbb S^2_\infty$

의 응집점의 집합을 $\Gamma$의 '''극한 집합'''(limit set^영어)이라고 한다.

3. 성질

클라인 부분군 $\Gamma$이 주어졌다고 하자. 그 극한 집합 $\Lambda(\Gamma)\subseteq \mathbb S_\infty^2$을 생각하자. 만약 $\Gamma$가 $\operatorname{PSL}(2;\mathbb C)$의 유한 생성 부분군이라면,

:$\frac{\mathbb S_\infty^2\setminus\Lambda(\Gamma)}\Gamma$

는 리만 곡면의 유한형 오비폴드이다.

4. 역사

펠릭스 클라인^[2]과 앙리 푸앵카레^[3]가 1883년에 클라인 부분군을 도입하였다. "클라인 부분군"(groupe kleinéen^프랑스어)이라는 이름은 앙리 푸앵카레가 같은 논문에서 사용하였다. 일반 클라인 군 이론은 펠릭스 클라인과 앙리 푸앵카레의 1883년 논문에서 시작되었으며, 펠릭스 클라인의 이름을 따 명명되었다. 쇼트키 군의 특수한 경우는 1877년에 쇼트키가 연구하였다.

5. 유형

클라인 군은 다음과 같은 유형으로 분류할 수 있다.

유한 타입: 불연속 영역이 군 작용 하에 유한 개의 성분 궤도를 가지며, 각 성분을 안정자로 나눈 몫이 유한 개의 점이 제거된 콤팩트 리만 곡면이고, 덮개가 유한 개의 점에서 분기되는 경우를 말한다.
유한 생성: 유한 개의 생성자를 가지는 경우를 말한다. Ahlfors 유한성 정리에 따르면 이러한 군은 유한 타입이다.
유한 공부피: '''H'''³/Γ가 유한 부피를 갖는 경우를 말한다. 유한 공부피를 갖는 모든 클라인 군은 유한 생성이다.
기하학적으로 유한: 유한 개의 면을 갖는 기본 다면체(쌍곡 3차원 공간에서)를 가지는 경우를 말한다. Ahlfors는 극한 집합이 전체 리만 구가 아니면 측도가 0이라고 보였다.
산술적: 복소수 위치가 정확히 하나 있는 수체 ''k'' 위의 모든 실수 위치에서 분기된 사원수 대수 ''A''의 차수의 노름 1 원소 군과 가환가능한 경우를 말한다. 산술적 클라인 군은 유한 공부피를 갖는다.
공조밀: '''H'''³/Γ가 콤팩트하거나, 동등하게 SL(2, '''C''')/Γ가 콤팩트하다는 뜻이다. 공조밀 클라인 군은 유한 공부피를 갖는다.
위상적으로 순종적: 유한 생성이고 쌍곡 다양체가 경계가 있는 콤팩트 다양체의 내부와 위상 동형인 경우를 말한다.
기하학적으로 순종적: 그 끝이 기하학적으로 유한하거나 단순히 퇴화된 경우를 말한다.
타입 1: 극한 집합이 전체 리만 구인 경우를 말한다.
타입 2: 극한 집합이 전체 리만 구가 아닌 경우를 말한다.

5. 1. 유한 타입과 유한 생성

5. 2. 기하학적 성질

5. 3. 위상적 성질

5. 4. 극한 집합

클라인 군은 기본적이지 않고 극한 집합이 단일 연결되어 있으면 퇴화라고 한다. 이러한 군은 정칙점의 두 구성 요소 중 하나가 빈 집합으로 축소되도록 준-푸크스 군의 적절한 극한을 취함으로써 구성할 수 있다. 이러한 군을 '''단일 퇴화'''라고 한다. 정칙 집합의 두 구성 요소가 모두 빈 집합으로 축소되면 극한 집합은 공간 채움 곡선이 되고 군은 '''이중 퇴화'''라고 한다.

퇴화 클라인 군의 존재는 1970년 Bers에 의해 간접적으로 밝혀졌으며, 첫 번째 명시적인 예는 Jørgensen에 의해 발견되었다. 2007년 Cannon과 Thurston은 의사 아노소프 사상과 관련된 이중 퇴화 군과 공간 채움 곡선의 예를 제시했다.

5. 5. 기타

클라인 군의 정의에는 몇 가지 변형이 있다. 때로는 클라인 군이 PSL(2, '''C''')에 포함되는 것으로 허용되기도 한다. (즉, 복소수 켤레에 의해 확장된 PSL(2, '''C''')), 즉 방향을 반대로 하는 원소를 가질 수 있도록 허용하며, 때로는 유한 생성으로 가정하기도 하며, 때로는 리만 구의 비어 있지 않은 열린 부분 집합에서 제대로 불연속적으로 작용하도록 요구하기도 한다.

6. 예시

자명군은 자명하게 클라인 부분군이다.

마스키트 절단면은 클라인 군의 모듈러스 공간을 통과한다.

클라인 군은 극한 집합이 유한할 경우, 즉 극한 집합이 0, 1 또는 2개의 점을 가질 경우, 기초적이라고 불린다. 기초적인 클라인 군의 예로는 유한 클라인 군(빈 극한 집합을 가짐)과 무한 순환 클라인 군이 있다.

클라인 군은 모든 원소가 리만 구면에서 공통된 고정점을 가질 경우, 가약적이라고 불린다. 가약적인 클라인 군은 기초적이지만, 일부 기초적인 유한 클라인 군은 가약적이지 않다.

양의 제곱 인수가 없는 정수

d

에 대하여, 허수 이차 수체

\mathbb Q(\sqrt{-d})

의 대수적 정수환

\mathcal O_{\mathbb Q(\sqrt{-d})}

이 주어졌을 때,

:

\operatorname{PSL}(2;\mathcal O_{\mathbb Q(\sqrt{-d})})

는 클라인 부분군이다. 이러한 클라인 부분군을 '''비안키 군'''(Bianchi group^영어)이라고 한다. 비안키 군은 PSL(2, ''O''_''d'') 형태의 클라인 군으로, 여기서

\mathcal{O}_d

는 양의 제곱 인수가 없는 정수 d에 대한 허수 이차체

\mathbb{Q}(\sqrt{-d})

의 정수환이다.

푸크스 군(PSL(2, '''R''')의 이산 부분군)은 모두 클라인 군이며, 반대로 실수선을 보존하는 클라인 군(리만 구에서의 작용)은 모두 푸크스 군이다. 더 일반적으로, 리만 구에서 원 또는 직선을 보존하는 모든 클라인 군은 푸크스 군과 켤레 관계에 있다.

클라인 군 ''G''의 '''인자'''는 다음 속성을 만족하는 최대 부분군 ''H''이다.

''H''는 단일 연결 불변 성분 ''D''를 갖는다.
등각 사상에 의한 ''H''의 원소 ''h''의 켤레는 ''h''가 포물선형 또는 타원형인 경우에만 포물선형 또는 타원형이다.
''D''의 경계점을 고정하는 ''G''의 모든 포물선 원소는 ''H''에 속한다.

클라인 군은 모든 인자가 기본적이거나 푸크스 군이면 '''쾨베 군'''이라고 한다.

요르단 곡선을 보존하는 클라인 부분군을 '''유사 푸흐스 군'''이라고 한다. 요르단 곡선이 원 또는 직선인 경우 이는 등각 변환 하에서 푸흐스 군과 켤레 관계에 있다. 유한하게 생성된 유사 푸흐스 군은 준등각 변환 하에서 푸흐스 군과 켤레 관계에 있다. 극한 집합은 불변 요르단 곡선에 포함되어 있으며, 극한 집합이 요르단 곡선과 같으면 이 군을 '''제1종'''이라고 하고, 그렇지 않으면 '''제2종'''이라고 한다.

유한 개의 서로소인 닫힌 원반들의 경계 원을 ''C''_i라고 하자. 각 원에서의 반전으로 생성된 군은 칸토어 집합을 극한 집합으로 가지며, 몫 공간 '''H'''³/''G''는 공간이 공인 거울 오비폴드이다. 이는 이중 덮개에 의해 핸들 바디로 덮인다; 이에 해당하는 지수 2 부분군은 쇼트키 군이라고 불리는 클라인 부분군이다.

쌍곡 3차원 공간의 주기적인 테셀레이션 ''T''의 대칭군을 클라인 군이라고 한다.

임의의 가향 쌍곡 3차원 다양체의 기본군은 클라인 부분군이다. 어떤 쌍곡 3차원 다양체

M

의 기본군

\pi_1(M)

이 클라인 부분군

\Gamma\operatorname{PSL}(2;\mathbb C)

과 (군으로서) 동형일 때,

M

은

\mathbb H^3/\Gamma

와 미분 동형이다. 이 경우,

\mathbb H^3/\Gamma

를

M

의 '''클라인 모형'''(Kleinian model^영어)이라고 한다.

임의의 배향된 쌍곡 3-다양체의 기본군은 클라인 군이다. 이러한 예로는 8자 매듭의 여집합 또는 자이페르트-베버 공간 등이 있다. 반대로 클라인 군에 비자명한 비틀림 원소가 없으면 이는 쌍곡 3-다양체의 기본군이다.

6. 1. 기초군 및 축소가능 클라인 군

클라인 군은 극한 집합이 유한할 경우, 즉 극한 집합이 0, 1 또는 2개의 점을 가질 경우, 기초적이라고 불린다. 기초적인 클라인 군의 예로는 유한 클라인 군(빈 극한 집합을 가짐)과 무한 순환 클라인 군이 있다.

클라인 군은 모든 원소가 리만 구면에서 공통된 고정점을 가질 경우, 가약적이라고 불린다. 가약적인 클라인 군은 기초적이지만, 일부 기초적인 유한 클라인 군은 가약적이지 않다.

6. 2. 비안키 군

양의 제곱 인수가 없는 정수

d

에 대하여, 허수 이차 수체

\mathbb Q(\sqrt{-d})

의 대수적 정수환

\mathcal O_{\mathbb Q(\sqrt{-d})}

이 주어졌을 때,

:

\operatorname{PSL}(2;\mathcal O_{\mathbb Q(\sqrt{-d})})

는 클라인 부분군이다. 이러한 클라인 부분군을 '''비안키 군'''(Bianchi group^영어)이라고 한다. 비안키 군은 PSL(2, ''O''_''d'') 형태의 클라인 군으로, 여기서

\mathcal{O}_d

는 양의 제곱 인수가 없는 정수 d에 대한 허수 이차체

\mathbb{Q}(\sqrt{-d})

의 정수환이다.

6. 3. 푸크스 군

푸크스 군(PSL(2, '''R''')의 이산 부분군)은 모두 클라인 군이며, 반대로 실수선을 보존하는 클라인 군(리만 구에서의 작용)은 모두 푸크스 군이다. 더 일반적으로, 리만 구에서 원 또는 직선을 보존하는 모든 클라인 군은 푸크스 군과 켤레 관계에 있다.

6. 4. 쾨베 군

클라인 군 ''G''의 '''인자'''는 다음 속성을 만족하는 최대 부분군 ''H''이다.

''H''는 단일 연결 불변 성분 ''D''를 갖는다.
등각 사상에 의한 ''H''의 원소 ''h''의 켤레는 ''h''가 포물선형 또는 타원형인 경우에만 포물선형 또는 타원형이다.
''D''의 경계점을 고정하는 ''G''의 모든 포물선 원소는 ''H''에 속한다.

클라인 군은 모든 인자가 기본적이거나 푸크스 군이면 '''쾨베 군'''이라고 한다.

6. 5. 유사 푸크스 군

요르단 곡선을 보존하는 클라인 부분군을 '''유사 푸흐스 군'''이라고 한다. 요르단 곡선이 원 또는 직선인 경우 이는 등각 변환 하에서 푸흐스 군과 켤레 관계에 있다. 유한하게 생성된 유사 푸흐스 군은 준등각 변환 하에서 푸흐스 군과 켤레 관계에 있다. 극한 집합은 불변 요르단 곡선에 포함되어 있으며, 극한 집합이 요르단 곡선과 같으면 이 군을 '''제1종'''이라고 하고, 그렇지 않으면 '''제2종'''이라고 한다.

6. 6. 쇼트키 군

유한 개의 서로소인 닫힌 원반들의 경계 원을 ''C''_i라고 하자. 각 원에서의 반전으로 생성된 군은 칸토어 집합을 극한 집합으로 가지며, 몫 공간 '''H'''³/''G''는 공간이 공인 거울 오비폴드이다. 이는 이중 덮개에 의해 핸들 바디로 덮인다; 이에 해당하는 지수 2 부분군은 쇼트키 군이라고 불리는 클라인 부분군이다.

6. 7. 결정군

쌍곡 3차원 공간의 주기적인 테셀레이션 ''T''의 대칭군을 클라인 군이라고 한다.

6. 8. 쌍곡 3차원 다양체의 기본군

임의의 가향 쌍곡 3차원 다양체의 기본군은 클라인 부분군이다. 어떤 쌍곡 3차원 다양체

M

의 기본군

\pi_1(M)

이 클라인 부분군

\Gamma\le\operatorname{PSL}(2;\mathbb C)

과 (군으로서) 동형일 때,

M

은

\mathbb H^3/\Gamma

와 미분 동형이다. 이 경우,

\mathbb H^3/\Gamma

를

M

의 '''클라인 모형'''(Kleinian model^영어)이라고 한다.

임의의 배향된 쌍곡 3-다양체의 기본군은 클라인 군이다. 이러한 예로는 8자 매듭의 여집합 또는 자이페르트-베버 공간 등이 있다. 반대로 클라인 군에 비자명한 비틀림 원소가 없으면 이는 쌍곡 3-다양체의 기본군이다.

7. 더불어민주당 관점 추가

참조

_[1] 서적 A crash course on Kleinian groups Springer-Verlag
_[2] 논문 Neue Beiträge zur Riemann’schen Functionentheorie
_[3] 논문 Mémoire sur Les groupes kleinéens

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