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라플라스 연산자

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목차

1. 개요

라플라스 연산자는 미분 기하학, 물리학 및 공학 등 다양한 분야에서 사용되는 2차 미분 연산자이다. 준 리만 다양체 위에서 정의되며, 매끄러운 단면을 매끄러운 단면에 대응시키는 연산자이다. 라플라스 연산자는 기울기의 발산으로 정의되며, 유클리드 공간, 초구면 좌표계, 원통 좌표계, 구면 좌표계 등 다양한 좌표계에서 표현될 수 있다. 라플라스 연산자는 유클리드 변환에 대해 불변하며, 확산, 에너지 최소화, 퍼텐셜에 따른 밀도 계산 등 다양한 물리 현상을 설명하는 데 사용된다. 스펙트럼 이론, 벡터 라플라스 연산자, 일반화된 라플라스 연산자 등 다양한 형태로 확장되어 사용되며, 라플라스-벨트라미 연산자, 달랑베르 연산자, 호지 라플라시안, 보흐너 라플라시안 등이 그 예시이다. 라플라스 연산자는 레온하르트 오일러, 장 르 롱 달랑베르, 피에르시몽 라플라스 등에 의해 연구되었으며, 현재까지 다양한 분야에서 중요한 역할을 하고 있다.

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라플라스 연산자
개요
2차원 유클리드 공간에서 정의된 함수 f(x, y)의 등고선과 기울기 장이 겹쳐진 모습.
2차원 유클리드 공간에서 정의된 함수 f(x, y)의 등고선과 기울기 장이 겹쳐진 모습. 기울기는 가장 가파른 상승 방향을 가리키고, 등고선에 수직이다.
정의스칼라 함수의 기울기의 발산
종류미분 연산자
분야미적분학, 벡터 미적분학, 편미분 방정식, 신호 처리
표기Δ, ∇²
라플라스 연산자의 성질선형
좌표계 표현
직교 좌표계 (2차원)∂²/∂x² + ∂²/∂y²
직교 좌표계 (3차원)∂²/∂x² + ∂²/∂y² + ∂²/∂z²
원통 좌표계1/r ∂/∂r (r ∂/∂r) + 1/r² ∂²/∂θ² + ∂²/∂z²
구면 좌표계1/ρ² ∂/∂ρ (ρ² ∂/∂ρ) + 1/(ρ² sin θ) ∂/∂θ (sin θ ∂/∂θ) + 1/(ρ² sin² θ) ∂²/∂φ²
성질
회전 불변성라플라스 연산자는 회전에 불변하는 성질을 가짐.
활용
푸아송 방정식Δφ = f (여기서 φ는 찾고자 하는 함수이고, f는 주어진 함수)
라플라스 방정식Δφ = 0 (이는 푸아송 방정식에서 f = 0인 특수한 경우)
참고 사항
조화 함수라플라스 방정식을 만족하는 함수 (Δφ = 0)

2. 정의

다음 데이터가 주어졌다고 하자.



그렇다면, E 위의 '''라플라스 연산자'''는 E의 매끄러운 단면을 매끄러운 단면에 대응시키는 2차 미분 연산자 \Delta\colon\Gamma^\infty(E)\to\Gamma^\infty(E)로 정의된다.

국소 좌표계에서 라플라스 연산자는 다음과 같이 표현된다.

:\Delta s^c = g^{ij}\nabla_i\nabla_j s^c

\qquad = g^{ij}(\partial_j\delta_b^c+\Gamma_{jb}^c)(\delta_a^b\partial_i s^a+\Gamma_{ia}^b s^a)

\qquad = g^{ij}\partial_i\partial_j s^c + 2g^{ij}\Gamma_{ia}^c\partial_j s^a + g^{ij}\left(\partial_i\Gamma_{ja}^c + \Gamma_{ib}^c\Gamma_{ja}^b \right)s^a \qquad\forall s\in\Gamma^\infty(E)

여기서 \Gamma_{ia}^b는 코쥘 접속 \nabla의 성분(크리스토펠 기호)이다. i,j,\ldots는 접다발의 첨자이며, a,b,\ldots는 벡터 다발 E의 첨자이다. 이 정의에서 리만 계량 g는 2차 미분항의 계수를 결정하고, 코쥘 접속 \nabla는 1차 미분항의 계수를 결정한다. 0차항은 이 둘에 의해 자동적으로 결정된다.

(주의: 물리학에서는 라플라스 연산자를 위와 같이 정의하는 것이 일반적이지만, 수학에서는 때때로 위에 정의된 연산자에 −1을 곱한 것을 라플라스 연산자로 정의하기도 한다.)

라플라스 연산자는 기울기 \nabla\colon\Gamma^\infty(E)\to\Gamma^\infty(E\otimes\mathrm T^*M), 음악 동형 (-)^\#\colon\Gamma^\infty(E\otimes\mathrm T^*M)\to\Gamma^\infty(E\otimes\mathrm TM), 그리고 발산 \operatorname{div}\colon\Gamma^\infty(E\otimes\mathrm TM)\to\Gamma^\infty(E)의 합성으로도 이해할 수 있다.

:\Delta=\operatorname{div}\circ(-)^\#\circ\nabla

특히 ''n''차원 유클리드 공간 \mathbb{R}^n에서, 함수 f의 라플라스 연산자는 f의 기울기 \nabla f의 발산 \nabla \cdot으로 정의되는 2계 미분 연산자이다. 즉, f가 두 번 미분 가능한 실숫값 함수라면, f의 라플라시안은 다음과 같이 정의된다.

:\Delta f = \nabla^2 f = \nabla \cdot \nabla f

여기서 \nabla = \left ( \frac{\partial }{\partial x_1} , \ldots , \frac{\partial }{\partial x_n} \right )는 형식적인 표기이다.

구체적으로, 데카르트 좌표계 x_i에서 함수 f의 라플라시안은 모든 혼합되지 않은 2계 편미분의 합이다.

:\Delta f = \sum_{i=1}^n \frac {\partial^2 f}{\partial x^2_i}

2계 미분 연산자로서, 라플라스 연산자는 C^k 함수를 C^{k-2} 함수로 사상한다 (k \ge 2). 즉, 라플라스 연산자는 \Delta \colon C^k(\mathbb{R}^n) \to C^{k-2}(\mathbb{R}^n) 또는 더 일반적으로 임의의 열린 집합 \Omega \subseteq \mathbb{R}^n에 대해 \Delta \colon C^k(\Omega) \to C^{k-2}(\Omega)인 선형 연산자이다.

라플라스 연산자는 극한을 이용하여 다음과 같이 정의될 수도 있다.

:\Delta f(\vec{x}) = \lim_{R \to 0} \frac{2n}{R^2} \left( \frac{1}{A_{n-1} R^{n-1}} \int_{\partial B_R(\vec{x})} f(\vec{y}) \, dS(\vec{y}) - f(\vec{x}) \right)

여기서 n은 공간의 차원, \partial B_R(\vec{x})는 점 \vec{x}를 중심으로 하고 반지름이 R인 n-구의 표면, dS는 표면의 면적 요소, A_{n-1}은 (n-1)차원 단위 구의 표면적이다. 이 식은 점 \vec{x}에서의 함수 값과 그 주변 구면에서의 평균값의 차이를 이용하여 라플라시안을 정의한다.[1]

2. 1. 라플라스형 연산자

보다 일반적으로, 라플라스 연산자와 같은 형태의 2차 미분 연산자에 임의의 0차 항을 추가하여 '''라플라스형 연산자'''(Laplace形演算子, Laplace-type operator|라플라스 타입 오퍼레이터영어) 또는 '''일반화 라플라스 연산자'''(一般化Laplace演算子, generalized Laplace operator|제너럴라이즈드 라플라스 오퍼레이터영어)의 개념을 정의할 수 있다.[17][18][19]

구체적으로, 벡터 다발 E 위의 '''라플라스형 연산자''' H는 다음과 같은 꼴의 2차 미분 연산자이다.

:H=\Delta+T\qquad(T\in\Gamma^\infty(\operatorname{End}(E)))

여기서 \Delta는 E 위의 라플라스 연산자이며, T는 E의 자기 사상 다발 \operatorname{End}(E) = E \otimes E^*의 매끄러운 단면들의 공간 \Gamma^\infty(\operatorname{End}(E))의 원소이다. 즉, T는 각 점 x \in M에서 올 E_x 위의 선형 변환 T_x \colon E_x \to E_x를 매끄럽게 대응시키는 함수이다.

3. 성질

콤팩트 리만 다양체 M이 주어졌다고 하자. 이 다양체 위의 복소수 값 매끄러운 함수에 대한 라플라스 연산자를 생각할 수 있다. 이 연산자는 사실 복소수 힐베르트 공간 (르베그 공간) \mathcal H=\operatorname L^2(M;\mathbb C)의 조밀한 부분 집합 위에 정의된다. 따라서, 임의의 실수 t\in\mathbb R에 대하여 유계 작용소

:\exp(\mathrm it\Delta)\colon\mathcal H\to\mathcal H

가 \mathcal H 위에 잘 정의된다.

이제, 위 유계 작용소의 고윳값을 생각할 수 있다. 이 고윳값들은 \exp(-\mathrm it\lambda_i)의 형태를 가지며, 여기서 -\lambda_i를 라플라스 연산자의 고윳값으로 간주한다.

이 경우, 고윳값들의 집합 \{\lambda_i\}는 음이 아닌 실수들의 가산 집합이며, 0=\lambda_0<\lambda_1\le\lambda_2\le\lambda_3\le\cdots와 같이 순서대로 나열할 수 있다.


  • \lambda_0=0이 항상 고윳값인 이유는 상수 함수가 그 고유 벡터이기 때문이다.
  • \lambda_i\ge0인 것은 부분 적분에 따라 다음 식이 성립하기 때문이다.

:\lambda\int_M|f|^2 \sqrt{\det g} = -\int_Mf\Delta f\sqrt{\det g} = \int_Mg(\nabla f,\nabla f)\sqrt{\det g} \ge0

양자 역학에서 H=-\Delta는 자유 입자의 해밀토니언 연산자에 해당하므로, 이는 콤팩트 공간 위의 자유 입자의 에너지가 음이 아님을 의미한다.

'''리크네로비츠-오바타 정리'''(Lichnerowicz-오바타 정리, Lichnerowicz–Obata theorem영어)는 첫 번째 양의 고윳값 \lambda_1에 대한 하한을 제공한다. 만약 다양체의 차원 n\ge2이고, 리치 곡률 텐서 \operatorname{Ric}(-,-)의 하한이

:R^{-2}=\inf_{X\in\Gamma^\infty(\mathrm TM\setminus M)}\frac{\operatorname{Ric}(X,X)}{g(X,X)}>0

으로 양수라면 (여기서 \Gamma^\infty(\mathrm TM\setminus M)은 어디서도 0이 아닌 벡터장들의 공간이다), 다음 부등식이 성립한다.

:\lambda_1\ge\frac{Cn}{n-1}

역으로, 만약 위 부등식에서 등호가 성립하고 M이 연결 단일 연결 공간이라면, M은 반지름 R의 초구이다.

4. 수학적 특징

라플라스 연산자는 합동 변환과 가환하는 성질을 가진다. 즉, 임의의 ''C''∞급 함수 ''φ'': '''R'''''n'' → '''R'''와 임의의 합동 변환 ''T''에 대해 다음 식이 성립한다.

:\Delta(\varphi(T(x)))=T(\Delta(\varphi(x)))

더 나아가, 라플라스 연산자는 위에서 언급한 합동 변환과의 가환성 조건을 만족하는 비자명한 미분 연산자 중에서 가장 간단한 형태라는 중요한 특징을 갖는다. 이를 설명하기 위해 기호를 도입하면, 실수 집합 '''R'''에 대해 ''n''개의 실수로 이루어진 조의 집합을 '''R'''''n''이라 하자. ''x'' = (''x''1, …, ''x''''n'') ∈ '''R'''''n''와 ''n''개의 음이 아닌 정수의 조 ''α'' = (''α''1, …, ''α''''n'')에 대해,

:\frac{\partial}{\partial x^{\alpha}} := \frac{\partial^n}{\partial {x_1}^{\alpha_1} \dotsm \partial {x_n}^{\alpha_n}},

:|\alpha| := \alpha_1 + \dotsb + \alpha_n

로 표기한다. 미분 연산자

:D:=\sum_{\alpha\colon |\alpha| \le k} a_{\alpha} \frac{\partial}{\partial x^{\alpha}}

가 임의의 ''C''∞급 함수 ''φ'': '''R'''''n'' → '''R'''와 방향을 보존하는 임의의 합동 변환 ''T''에 대해,

:D(\varphi(T(x)))=T(D(\varphi(x)))

가 성립한다고 가정하자. 이때, 실수 계수의 1변수 다항식 p(X) = \sum_m u_m X^m 가 존재하여,

:D = p(\Delta) = \sum_m u_m \Delta^m

이 성립한다.

따라서 라플라스 연산자는 합동 변환에 대해 불변인 성질을 가지는 미분 연산자들 중에서, 자명한 연산자(항등적으로 0을 만드는 연산자)를 제외하면 가장 기본적인 형태라고 할 수 있다.

5. 여러 좌표계에서의 표현

라플라스 연산자는 사용하는 좌표계에 따라 그 표현 형식이 달라진다. 가장 기본적인 ''n''차원 유클리드 공간 \mathbb R^n의 직교 좌표계 (x_1, \dots, x_n)에서 매끄러운 함수 f\colon\mathbb R^n\to\mathbb R의 라플라스 연산자는 각 좌표에 대한 2계 편미분의 합으로 다음과 같이 표현된다.

:\Delta f = \sum_{i=1}^n \frac {\partial^2 f}{\partial x_i^2}

다른 여러 좌표계에서도 라플라스 연산자를 표현할 수 있다. 예를 들어, 초구면 좌표계에서는 반지름 성분과 각도 성분(관련된 라플라스-벨트라미 연산자 포함)으로 나누어 표현된다. 마찬가지로 2차원 극좌표계, 3차원 원통 좌표계, 3차원 구면 좌표계 등 다양한 좌표계에서 각각의 변수를 사용한 라플라스 연산자의 구체적인 표현식이 존재한다. 각 좌표계에서의 자세한 표현은 하위 섹션에서 확인할 수 있다.

5. 1. 2차원

'''데카르트 좌표계'''에서, 2차원 라플라스 연산자는 ''x''와 ''y''를 ''xy''-평면의 표준 데카르트 좌표로 할 때 다음과 같이 정의된다.

\Delta f = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}

'''극좌표계'''에서, ''r''을 원점으로부터의 거리, ''θ''를 각도라고 할 때 라플라스 연산자는 다음과 같다.

\begin{align}

\Delta f &= \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r}

\left( r \frac{\partial f}{\partial r} \right)

+ \frac{1}{r^2} \frac{\partial^2 f}{\partial \theta^2}\\

&= \frac{\partial^2 f}{\partial r^2} + \frac{1}{r} \frac{\partial f}{\partial r}

+ \frac{1}{r^2} \frac{\partial^2 f}{\partial \theta^2}.

\end{align}


5. 2. 3차원

3차원 공간에서 라플라스 연산자는 다양한 좌표계를 사용하여 표현할 수 있다.

'''데카르트 좌표계'''

데카르트 좌표계에서 라플라스 연산자는 다음과 같이 표현된다.

\Delta f = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2}

'''원통 좌표계'''

원통 좌표계 (\rho, \varphi, z)에서 라플라스 연산자는 다음과 같다.

\Delta f = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} \left(\rho \frac{\partial f}{\partial \rho} \right) + \frac{1}{\rho^2} \frac{\partial^2 f}{\partial \varphi^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2 }

'''구면 좌표계'''

구면 좌표계 (r, \theta, \varphi)에서 라플라스 연산자는 다음과 같이 표현된다.

\Delta f = \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} \left(r^2 \frac{\partial f}{\partial r} \right) + \frac{1}{r^2 \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \left(\sin \theta \frac{\partial f}{\partial \theta} \right) + \frac{1}{r^2 \sin^2 \theta} \frac{\partial^2 f}{\partial \varphi^2}

여기서 \varphi는 방위각, \theta는 천정각 또는 여위도를 나타낸다.

'''일반적인 곡선 좌표계'''

일반적인 곡선 좌표계 (\xi^1, \xi^2, \xi^3)에서 라플라스 연산자는 다음과 같다.

\Delta = g^{mn} \left(\frac{\partial^2}{\partial\xi^m \, \partial\xi^n} - \Gamma^{l}_{mn}\frac{\partial}{\partial\xi^l} \right)

여기서 반복되는 지수에 대한 합을 의미하며, g^{mn}은 역 계량 텐서이고, \Gamma^l_{mn}는 해당 좌표계의 크리스토펠 기호이다.

5. 3. 일반 차원

''n''차원 유클리드 공간 \mathbb{R}^n 위의 실수 값 매끄러운 함수 f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}에 대해, 라플라스 연산자 \Delta 또는 \nabla^2는 함수 ''f''의 기울기(\nabla f)의 발산(\nabla \cdot)으로 정의되는 2계 미분 연산자이다.

:\Delta f = \nabla^2 f = \nabla \cdot (\nabla f)

직교 좌표계 (x_1, \dots, x_n)에서 라플라스 연산자는 각 변수에 대한 비혼합 2계 편미분의 합으로 표현된다.

:\Delta f = \sum_{i=1}^n \frac {\partial^2 f}{\partial x_i^2}

임의의 곡선 좌표계 (\xi^1, \dots, \xi^n)에서는 계량 텐서 g_{ij}를 이용하여 다음과 같이 표현할 수 있다. 여기서 g^{ij}는 역 계량 텐서이고, g = \det(g_{ij})는 계량 텐서의 행렬식이다.[4] (아인슈타인 합 규약 사용)

:\Delta f = \frac 1{\sqrt{g}}\frac{\partial}{\partial\xi^i} \left( \sqrt{g} g^{ij} \frac{\partial f}{\partial \xi^j}\right)

''N''차원 구면 좌표계를 x = r\theta (r \in [0, \infty)는 반지름, \theta \in S^{N-1}는 단위 초구 상의 각 좌표)로 매개변수화하면, 라플라스 연산자는 다음과 같이 표현된다.

: \Delta f = \frac{\partial^2 f}{\partial r^2} + \frac{N-1}{r} \frac{\partial f}{\partial r} + \frac{1}{r^2} \Delta_{S^{N-1}} f

여기서 \Delta_{S^{N-1}}는 (N-1)차원 단위 초구 S^{N-1} 위의 라플라스-벨트라미 연산자이며, 구면 라플라시안이라고도 불린다. 위 식의 첫 두 항인 반지름 방향 미분 항은 다음과 같이 합쳐 쓸 수도 있다.

:\frac{1}{r^{N-1}} \frac{\partial}{\partial r} \left(r^{N-1} \frac{\partial f}{\partial r} \right)

결과적으로, 초구 S^{N-1} 위에 정의된 함수의 구면 라플라시안은, 그 함수를 \mathbb{R}^N \setminus \{0\} 공간 전체로 확장하되 각 반직선을 따라서는 상수값(즉, 0차 동차 함수)을 가지도록 확장한 함수의 일반적인 라플라스 연산자로 계산할 수 있다.

라플라스 연산자는 2계 미분 연산자이므로, ''Ck'' 함수를 ''Ck-2'' 함수로 사상한다 (k \ge 2). 이는 선형 연산자이다. 즉, \Delta : C^k(\mathbb{R}^n) \to C^{k-2}(\mathbb{R}^n)이며, 더 일반적으로는 임의의 열린 집합 \Omega \subseteq \mathbb{R}^n에 대해 \Delta : C^k(\Omega) \to C^{k-2}(\Omega)이다.

6. 유클리드 불변성

라플라스 연산자는 모든 유클리드 변환에 대해 불변이다. 즉, 회전이나 평행이동을 하더라도 연산의 결과는 변하지 않는다. 예를 들어, 2차원에서 함수 ''f''에 회전과 평행이동을 적용한 새로운 함수에 라플라스 연산자를 적용한 결과는, 원래 함수 ''f''에 라플라스 연산자를 적용한 후 동일한 회전과 평행이동을 적용한 결과와 같다. 이를 수식으로 표현하면 다음과 같다.

\Delta ( f(x\cos\theta - y\sin\theta + a, x\sin\theta + y\cos\theta + b)) = (\Delta f)(x\cos\theta - y\sin\theta + a, x\sin\theta + y\cos\theta + b)

이는 모든 각도 ''θ'', 그리고 평행이동 거리 ''a'', ''b''에 대해 성립한다. 임의의 차원에서도 마찬가지로 성립한다. ''ρ''가 회전 변환이고 ''τ''가 평행이동 변환일 때, 함수 ''f''와의 합성에 대해 다음이 성립한다.

\Delta (f\circ\rho) =(\Delta f)\circ \rho

\Delta (f\circ\tau) =(\Delta f)\circ \tau

더 일반적으로, 라플라스 연산자는 반사와 같은 직교 변환에 대해서도 불변성을 가진다.

사실, 상수 계수를 가지며 모든 유클리드 변환과 가환하는 모든 스칼라 선형 미분 연산자의 대수는, 라플라스 연산자로 생성되는 다항식 대수이다.

또한 라플라스 연산자는 합동 변환과도 가환한다. 즉, 임의의 ''C∞''급 함수 ''φ'': '''R'''''n'' → '''R'''와 임의의 합동 변환 ''T''에 대해 다음 식이 성립한다.

\Delta(\varphi(T(x)))=T(\Delta(\varphi(x)))

이러한 성질은 라플라스 연산자를 특징짓는 중요한 요소이다. 만약 어떤 미분 연산자 ''D''가 임의의 ''C∞''급 함수 ''φ''와 방향을 보존하는 임의의 합동 변환 ''T''에 대해 ''D''(φ(''T''(''x''))) = ''T''(''D''(φ(''x'')))를 만족한다면, 그 연산자 ''D''는 라플라스 연산자 Δ의 다항식 형태로 표현될 수 있다. 즉, 실수 계수를 가진 1변수 다항식 ''p''(''X'') = Σ ''um'' ''Xm''가 존재하여 다음이 성립한다.

D = p(\Delta) = \sum_m u_m \Delta^m

결론적으로, 라플라스 연산자는 합동 변환에 대해 불변인 미분 연산자 중에서 자명한 연산자(항등적으로 0을 대응시키는 연산자)를 제외하면 가장 간단한 형태의 연산자라고 할 수 있다.

7. 동기

라플라스 연산자(Laplacian)는 확산, 전자기학, 유체 역학, 양자역학 등 다양한 물리학 및 공학 분야에서 자연스럽게 등장하는 중요한 미분 연산자이다. 이 연산자는 물리적 계(system)가 평형 상태에 도달하는 조건, 퍼텐셜의 분포, 또는 에너지를 최소화하는 상태와 같은 여러 기본적인 현상을 수학적으로 기술하는 데 핵심적인 역할을 수행한다.

수학적으로 라플라스 연산자는 어떤 스칼라 함수가 특정 지점 주변의 평균값과 얼마나 차이나는지를 측정하는 것으로 이해할 수 있으며, 함수의 기울기(gradient)의 발산(divergence)으로 정의되기도 한다. 이 연산자를 통해 함수 값의 '퍼짐' 정도나 변화의 양상을 파악할 수 있다.

구체적으로 라플라스 연산자가 어떻게 확산 현상, 전위 및 퍼텐셜 분포, 에너지 최소화 문제 등과 연결되는지는 이어지는 내용에서 자세히 살펴볼 수 있다.

7. 1. 확산

물리학의 확산 이론에서 라플라스 연산자는 확산 평형 상태를 수학적으로 설명하는 데 자연스럽게 등장한다.[2] 예를 들어, 어떤 화학 물질의 농도와 같은 양을 u라고 할 때, 이것이 평형 상태에 도달했을 때의 밀도를 생각해 볼 수 있다. 만약 특정 영역 V 내부에서 물질이 생성되거나 소멸되지 않는다면(즉, 소스나 싱크가 없다면), 영역의 경계 S(또는 \partial V)를 통해 드나드는 물질의 총량(순 플럭스)은 0이 되어야 한다. 이를 수학적으로 표현하면 다음과 같다.

\int_{S} \nabla u \cdot \mathbf{n}\, dS = 0

여기서 \nabla u는 농도 u의 기울기이고, \mathbf{n}는 영역 V의 경계 S에서 바깥쪽을 향하는 단위 법선 벡터이다.

발산 정리를 이용하면, 경계를 통한 플럭스의 적분은 영역 전체에 대한 발산의 적분과 같다는 것을 알 수 있다.

\int_V \operatorname{div}(\nabla u)\, dV = \int_{S} \nabla u \cdot \mathbf{n}\, dS

앞서 순 플럭스가 0이라고 했으므로, 다음 식이 성립한다.

\int_V \operatorname{div}(\nabla u)\, dV = 0

이 식은 물질의 소스나 싱크가 없는 모든 영역 V에 대해 성립해야 하므로, 결국 적분 안의 값이 항상 0이어야 한다는 결론을 얻는다.

\operatorname{div}(\nabla u) = \Delta u = 0

여기서 \Delta 기호가 바로 라플라스 연산자를 나타낸다. 이 방정식 \Delta u = 0은 라플라스 방정식이라고 불린다. 따라서 라플라스 방정식의 해, 즉 라플라스 연산자를 적용했을 때 0이 되는 함수 u는 확산 과정에서 도달할 수 있는 평형 상태의 농도 분포를 나타낸다.

만약 확산 과정이 평형 상태가 아니라면, 즉 \Delta u가 0이 아니라면, 라플라스 연산자 \Delta u의 값은 해당 지점에서 물질이 얼마나 생성되거나(소스, \Delta u > 0) 소멸되는지(싱크, \Delta u < 0)를 나타내는 척도가 된다. 이는 확산 방정식에서 더 자세히 다루어진다.

7. 2. 평균

두 번 미분 가능한 함수 f : \R^n \to \R 와 점 p\in\R^n이 주어졌을 때, 점 p를 중심으로 하고 반지름이 h인 공(ball) 위에서 f 의 평균값은 라플라스 연산자 \Delta f와 관련된다. h가 0으로 갈 때, 이 평균값은 다음과 같이 근사할 수 있다.[3]

\overline{f}_B(p,h)=f(p)+\frac{\Delta f(p)}{2(n+2)} h^2 +o(h^2) \quad\text{for}\;\; h\to 0

마찬가지로, 점 p를 중심으로 하고 반지름이 h인 구(sphere, 공의 경계) 위에서 f 의 평균값 역시 라플라스 연산자와 관련되며, h가 0으로 갈 때 다음과 같이 근사된다.

\overline{f}_S(p,h)=f(p)+\frac{\Delta f(p)}{2n} h^2 +o(h^2) \quad\text{for}\;\; h\to 0.

7. 3. 퍼텐셜에 따른 밀도

전기장이나 중력장과 같은 퍼텐셜장에서, 퍼텐셜 함수의 라플라스 연산자는 해당 장을 생성하는 원천(source)의 밀도 분포와 직접적인 관련이 있다.

만약 ''φ''가 전하 밀도 ''ρ''에 의해 생성된 전기적 전위를 나타낸다면, 이들 사이의 관계는 푸아송 방정식으로 설명된다. SI 단위계에서 이 방정식은 다음과 같이 표현된다.

\Delta\varphi = -\frac{\rho}{\varepsilon_0}

여기서 Δ''φ''는 ''φ''의 라플라시안이고, ''ε''0는 진공 중의 유전율이다. 즉, 어떤 지점에서의 전위의 라플라시안 값은 그 지점의 전하 밀도에 비례하며, 그 부호는 반대이다. 이 관계는 전기장이 전위의 음의 기울기(\mathbf{E} = -\nabla\varphi)라는 사실과 가우스 법칙, 그리고 발산 정리를 통해 유도될 수 있다.

같은 방식으로, 중력 퍼텐셜 ''Φ''의 라플라시안의 음수는 질량 밀도 ''ρ''m에 비례한다. 즉, 특정 지점에서의 중력 퍼텐셜의 라플라시안 값은 그 지점의 질량 밀도와 관련이 있다.

많은 물리 문제에서 전하 밀도나 질량 밀도 분포는 주어져 있지만, 그에 해당하는 전위나 중력 퍼텐셜은 알려져 있지 않다. 이러한 상황에서 주어진 밀도 분포와 적절한 경계 조건을 만족하는 퍼텐셜 함수를 찾는 것은 결국 푸아송 방정식을 푸는 문제가 된다. 만약 특정 영역에 전하 밀도나 질량 밀도가 0이라면 (\rho = 0 또는 \rho_m = 0), 푸아송 방정식은 라플라스 방정식 (\Delta\varphi = 0 또는 \Delta\Phi = 0)이 된다.

7. 4. 에너지 최소화

물리학에서 라플라스 연산자가 중요하게 사용되는 또 다른 이유는 에너지 최소화 문제와의 관련성 때문이다. 특정 영역 U에서 정의된 함수 f의 디리클레 에너지 E(f)는 다음과 같이 정의된다.

E(f) = \frac{1}{2} \int_U \lVert \nabla f \rVert^2 \,dx

이 디리클레 에너지는 함수 f의 변화 정도나 분포와 관련된 일종의 퍼텐셜 에너지로 해석될 수 있다.

영역 U에서 라플라스 방정식 \Delta f = 0을 만족하는 함수 f가 바로 이 디리클레 에너지 범함수 E(f)의 정지점이 된다는 점이 중요하다. 즉, 라플라스 방정식의 해는 디리클레 에너지가 국소적으로 최소 또는 최대가 되거나 안장점을 이루는 상태에 해당하며, 많은 물리적 시스템에서는 이것이 에너지를 최소화하는 안정한 상태를 의미한다.

이 관계는 변분법을 이용하여 확인할 수 있다. 함수 f에 작은 변화 \varepsilon u를 더한 함수 f + \varepsilon u의 디리클레 에너지를 생각해보자. 여기서 u는 영역 U의 경계에서 값이 0이 되는 임의의 매끄러운 함수이고, \varepsilon은 작은 실수이다. \varepsilon = 0일 때 에너지의 변화율을 계산하면 다음과 같다.

\left. \frac{d}{d\varepsilon}\right|_{\varepsilon = 0} E(f+\varepsilon u) = \int_U \nabla f \cdot \nabla u \, dx

그린의 제1 공식을 적용하면 위 적분은 다음과 같이 변형된다.

\int_U \nabla f \cdot \nabla u \, dx = -\int_U u \, (\Delta f)\, dx

만약 함수 f가 라플라스 방정식 \Delta f = 0을 만족한다면, 위 식의 우변은 0이 된다. 이는 \varepsilon=0에서 에너지의 변화율이 0임을 의미하며, 따라서 f는 디리클레 에너지 E의 정지점이다. 반대로, 만약 f가 E의 정지점이라면 모든 적절한 함수 u에 대해 -\int_U u \, (\Delta f)\, dx = 0이 성립해야 하므로, 변분법의 기본 보조정리에 의해 반드시 \Delta f = 0이어야 한다.

결론적으로, 라플라스 방정식의 해는 물리적으로 디리클레 에너지의 정지점이 되는 중요한 함수적 의미를 지닌다.

8. 스펙트럼 이론

라플라스 연산자의 스펙트럼은 고유값 \lambda와 그에 해당하는 고유함수 f가 다음 방정식을 만족하는 모든 \lambda의 집합으로 구성된다.

-\Delta f = \lambda f.

이 방정식은 헬름홀츠 방정식이라고 불린다.

콤팩트 리만 다양체 M 위에서 정의된 라플라스 연산자의 고유값 \{\lambda_i\}는 음이 아닌 실수들의 가산 집합이며, 0=\lambda_0<\lambda_1\le\lambda_2\le\lambda_3\le\cdots 와 같이 배열할 수 있다. \lambda_0=0이 항상 고유값인 이유는 상수 함수가 그 고유함수이기 때문이다. 모든 고유값이 음수가 아닌(\lambda_i\ge0) 이유는 부분 적분을 통해 확인할 수 있다.

\lambda\int_M|f|^2 \sqrt{\det g} = -\int_Mf\Delta f\sqrt{\det g} = \int_Mg(\nabla f,\nabla f)\sqrt{\det g} \ge0

(양자 역학에서 H=-\Delta는 자유 입자의 해밀토니언 연산자이므로, 이는 콤팩트 공간 위 자유 입자의 에너지가 음수가 아님을 의미한다.)

만약 \Omega가 \mathbb{R}^n의 유계 영역이라면, 라플라스 연산자의 고유함수들은 힐베르트 공간 ''L''2(Ω)의 정규 직교 기저를 형성한다. 이 결과는 라플라스 연산자의 역 연산자에 콤팩트 연산자에 대한 스펙트럼 정리를 적용하여 얻어진다. 이때 라플라스 연산자의 역 연산자는 푸앵카레 부등식과 렐리히-콘드라쇼프 정리에 의해 콤팩트하다.[5] 또한, 이러한 고유함수들은 무한히 미분가능한 함수임이 알려져 있다.[6]

이러한 결과는 더 일반적으로 경계가 있는 모든 콤팩트 리만 다양체에서의 라플라스-벨트라미 연산자나, 유계 영역에서 매끄러운 계수를 갖는 타원형 연산자의 디리클레 고유값 문제에도 적용된다. 특히, \Omega가 N-구일 경우, 라플라스 연산자의 고유함수는 구면 조화 함수이다.

9. 벡터 라플라스 연산자

'''벡터 라플라스 연산자'''는 \nabla^2로도 표기하며, 벡터장에 대해 정의되는 미분 연산자이다.[7] 스칼라 라플라스 연산자가 스칼라장에 적용되어 스칼라량을 반환하는 것과 달리, 벡터 라플라스 연산자는 벡터장에 적용되어 벡터량을 반환한다.

벡터장 \mathbf{A} 의 '''벡터 라플라스 연산자'''는 다음과 같이 정의된다.

\nabla^2 \mathbf{A} = \nabla(\nabla \cdot \mathbf{A}) - \nabla \times (\nabla \times \mathbf{A}).

이 정의는 벡터 라플라스 연산자의 헬름홀츠 분해로 볼 수 있다.

정규 직교 데카르트 좌표계에서 계산할 경우, 반환되는 벡터장은 각 벡터 성분에 스칼라 라플라스 연산자를 적용한 벡터장과 동일하다. 즉, 다음과 같은 간단한 형태로 표현된다.

\nabla^2 \mathbf{A} = (\nabla^2 A_x, \nabla^2 A_y, \nabla^2 A_z),

여기서 A_x, A_y, A_z는 벡터장 \mathbf{A}의 성분이며, 각 성분 앞의 \nabla^2 는 스칼라 라플라스 연산자를 의미한다. 이는 벡터 삼중곱에 대한 라그랑주 공식의 특수한 경우로 볼 수 있다.

다른 좌표계에서의 벡터 라플라스 연산자 표현식은 원통 및 구면 좌표에서의 델 연산자 문서에서 확인할 수 있다.

9. 1. 일반화

라플라스 연산자는 리만 다양체 위의 텐서장으로 일반화될 수 있다.

만약 (p,q)차 텐서장의 벡터 다발을 E=(\mathrm TM)^{\otimes p}\otimes(\mathrm T^*\!M)^{\otimes q}라고 할 때, E 위에는 리만 계량에 의해 정의되는 표준적인 코쥘 접속인 레비치비타 접속이 존재한다. 이 레비치비타 접속을 사용하여 정의된 라플라스 연산자를 '''라플라스-벨트라미 연산자'''라고 부른다.

예를 들어, 벡터장에 대한 라플라스-벨트라미 연산자는 다음과 같이 표현된다.

:(\Delta X)^i

=g^{jk}(\nabla_j\nabla_kX)^i

=g^{jk}\partial_j\partial_kX^i

+2g^{jk}\Gamma_{ji'}^i\partial_kX^{i'}

+g^{jk}\left(\partial_{ji'}^i\Gamma_{ki''}^{i'}

+\Gamma_{ji'}^i\Gamma_{ji''}^{i'}

\right)X^{i''}

'''벡터 라플라스 연산자'''는 \nabla^2로 표기하며, 벡터장에 대해 정의되는 미분 연산자이다.[7] 이는 스칼라장에 작용하여 스칼라 값을 반환하는 스칼라 라플라스 연산자와 달리, 벡터장에 작용하여 벡터 값을 반환한다. 정규 직교 데카르트 좌표계에서는 반환되는 벡터장이 각 벡터 성분에 스칼라 라플라스 연산자를 적용한 것과 동일하다.

벡터장 \mathbf{A} 의 '''벡터 라플라스 연산자'''는 다음과 같이 정의된다.

\nabla^2 \mathbf{A} = \nabla(\nabla \cdot \mathbf{A}) - \nabla \times (\nabla \times \mathbf{A}).

이 정의는 벡터 라플라스 연산자의 헬름홀츠 분해로 해석될 수 있다.

데카르트 좌표계에서는 이 식이 다음과 같이 훨씬 간단한 형태로 표현된다.

\nabla^2 \mathbf{A} = (\nabla^2 A_x, \nabla^2 A_y, \nabla^2 A_z),

여기서 A_x, A_y, A_z는 벡터장 \mathbf{A}의 성분들이며, 각 성분 앞의 \nabla^2 는 스칼라 라플라스 연산자를 의미한다. 이는 벡터 삼중곱에 대한 라그랑주 공식의 특수한 경우로 볼 수 있다. 다른 좌표계에서의 벡터 라플라스 연산자 표현은 원통 및 구면 좌표에서의 델 연산자 문서에서 찾아볼 수 있다.

더 일반적으로, 모든 텐서장 \mathbf{T} (여기서 "텐서"는 스칼라와 벡터를 포함)에 대한 라플라시안은 해당 텐서의 경사도(gradient)의 발산(divergence)으로 정의된다.

\nabla ^2\mathbf{T} = (\nabla \cdot \nabla) \mathbf{T} = \nabla \cdot (\nabla \mathbf{T}).

만약 \mathbf{T}가 스칼라(0차 텐서)인 특별한 경우, 이 정의는 우리가 익히 아는 스칼라 라플라시안과 동일하다.

\nabla^2 f = \nabla \cdot (\nabla f)

만약 \mathbf{T}가 벡터(1차 텐서)인 경우, 경사도 \nabla \mathbf{T}는 공변 미분으로, 2차 텐서가 된다. 이 2차 텐서의 발산은 다시 벡터가 된다. 위에서 보인 벡터 라플라시안 공식(\nabla^2 \mathbf{A} = \nabla(\nabla \cdot \mathbf{A}) - \nabla \times (\nabla \times \mathbf{A}))은 이 일반적인 정의와 동일하며, 텐서 수학을 직접 사용하지 않고 계산할 수 있게 해준다. 벡터의 경사도는 야코비 행렬로 표현될 수 있다.

\nabla \mathbf{T}= (\nabla T_x, \nabla T_y, \nabla T_z) = \begin{bmatrix}

T_{xx} & T_{xy} & T_{xz} \\

T_{yx} & T_{yy} & T_{yz} \\

T_{zx} & T_{zy} & T_{zz}

\end{bmatrix} ,

\text{ 여기서 } T_{uv} \equiv \frac{\partial T_u}{\partial v}.

이 야코비 행렬의 발산을 취하면 벡터 라플라시안과 동일한 결과를 얻는다.

또한, 벡터 \mathbf{A}와 다른 벡터 \mathbf{B}의 경사도(2차 텐서)의 점곱 \mathbf{A} \cdot \nabla \mathbf{B}는 특정 좌표계에서는 행렬 곱셈처럼 계산될 수 있다.

\mathbf{A} \cdot \nabla \mathbf{B}

= \begin{bmatrix} A_x & A_y & A_z \end{bmatrix} \nabla \mathbf{B}

= \begin{bmatrix} \mathbf{A} \cdot \nabla B_x & \mathbf{A} \cdot \nabla B_y & \mathbf{A} \cdot \nabla B_z \end{bmatrix}.

하지만 이 표현은 좌표계에 의존하는 결과이며, 일반적인 항등식은 아니다.

9. 2. 물리학에서의 응용

'''벡터 라플라스 연산자'''는 \nabla^2로도 표기하며, 벡터장에 대해 정의되는 미분 연산자이다.[7] 이는 스칼라장에 작용하는 스칼라 라플라스 연산자와 유사하지만, 벡터 라플라스 연산자는 벡터장에 적용되어 벡터량을 결과로 반환한다. 정규 직교 데카르트 좌표계에서는 각 벡터 성분에 스칼라 라플라스 연산자를 적용한 것과 같은 결과를 얻는다.

벡터장 \mathbf{A} 의 '''벡터 라플라스 연산자'''는 다음과 같이 정의된다.

\nabla^2 \mathbf{A} = \nabla(\nabla \cdot \mathbf{A}) - \nabla \times (\nabla \times \mathbf{A}).

이 정의는 벡터 라플라스 연산자의 헬름홀츠 분해로 해석될 수 있다.

데카르트 좌표계에서는 다음과 같은 훨씬 간단한 형태로 축약된다.

\nabla^2 \mathbf{A} = (\nabla^2 A_x, \nabla^2 A_y, \nabla^2 A_z),

여기서 A_x, A_y 및 A_z는 벡터장 \mathbf{A}의 성분이며, 각 벡터장 성분 왼쪽에 있는 \nabla^2 는 (스칼라) 라플라스 연산자이다. 다른 좌표계에서 벡터 라플라스 연산자의 표현식은 원통 및 구면 좌표에서의 델 연산자를 참조하라.

벡터 라플라스 연산자는 물리학의 여러 분야에서 중요하게 사용된다. 대표적인 예는 나비에-스토크스 방정식으로, 뉴턴 비압축성 유동을 설명하는 데 적용된다.

\rho \left(\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t}+ ( \mathbf{v} \cdot \nabla ) \mathbf{v}\right)=\rho \mathbf{f}-\nabla p +\mu\left(\nabla ^2 \mathbf{v}\right).

이 방정식에서 벡터 라플라스 연산자를 포함하는 항 \mu\left(\nabla ^2 \mathbf{v}\right)는 유체의 점성으로 인한 응력을 나타낸다.

또 다른 중요한 예시는 전하와 전류가 없는 공간에서 맥스웰 방정식으로부터 유도될 수 있는 전기장에 대한 파동 방정식이다.

\nabla^2 \mathbf{E} - \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2} = 0.

이 방정식은 달랑베르 연산자 \Box를 사용하여 다음과 같이 간결하게 표현할 수도 있다.

\Box\, \mathbf{E} = 0,

여기서 \Box\equiv\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2}{\partial t^2}-\nabla^2 이며, 이 연산자는 클라인-고든 방정식 등에서도 사용된다.

10. 일반화

라플라스 연산자의 한 버전은 디리클레 에너지 범함수가 의미를 갖는 곳이면 어디든 정의될 수 있으며, 이는 디리클레 형식 이론이다. 추가적인 구조를 가진 공간의 경우, 라플라스 연산자에 대한 보다 명시적인 설명을 제공할 수 있다.

10. 1. 라플라스-벨트라미 연산자

준 리만 다양체 (M,g) 위의 매끄러운 벡터 다발 E와 그 위의 코쥘 접속 \nabla가 주어졌을 때, E 위의 라플라스 연산자 \Delta\colon\Gamma^\infty(E)\to\Gamma^\infty(E)는 E의 매끄러운 단면을 다른 매끄러운 단면으로 보내는 2차 미분 연산자이다. 국소 좌표계에서는 다음과 같이 표현된다.

:\Delta s^c=g^{ij}\nabla_i\nabla_js = g^{ij}\partial_i\partial_js^c + 2g^{ij}\Gamma_{ia}^c\partial_js^a + g^{ij}\left(\partial_{i}\Gamma_{ja}^c + \Gamma_{ib}^c\Gamma_{ja}^b \right)s^a \qquad\forall s\in\Gamma^\infty(E)

여기서 \Gamma_{ia}^b는 \nabla의 크리스토펠 기호 성분이다.

특히, 벡터 다발 E가 자명한 선다발 E=M\times\mathbb R인 경우, E의 단면은 M 위의 실수 값 매끄러운 함수 s가 된다. 이 경우 라플라스 연산자는 '''라플라스-벨트라미 연산자'''(Laplace–Beltrami operator영어)라고 불리며, 다음과 같은 특별한 공식을 갖는다.

:\Delta s=\frac1{\sqrt

}\partial_i\left(\sqrt

g^{ij}\partial_js\right)

여기서 \det g는 계량 텐서 g_{ij}의 성분으로 이루어진 행렬식의 절댓값이다.

라플라스-벨트라미 연산자는 리만 다양체(M,g) 상에서 기울기 \operatorname{grad}와 발산 \operatorname{div}을 이용하여 정의할 수도 있다. 함수 f에 대해 라플라스-벨트라미 연산자는 다음과 같이 정의된다.

:\Delta f := \operatorname{div}(\operatorname{grad}f) = \frac{1}{\sqrt

} \frac{\partial}{\partial x^i} \left( \sqrt

g^{ij} \frac{\partial f}{\partial x^j} \right)[9]

여기서 g는 리만 계량이며 g^{ij}는 역계량 텐서의 성분이다. 이 정의는 함수의 경우 외미분 또는 공변미분을 이용한 정의와 동일하다. 다만, 이 정의는 유클리드 공간에서의 일반적인 라플라시안과 부호가 반대인 경우가 많으므로 주의해야 한다. (물리학에서는 주로 위 정의를 사용하지만, 수학에서는 위 연산자에 -1을 곱한 것을 라플라스 연산자로 정의하기도 한다.)

라플라스-벨트라미 연산자는 리만 다양체에서 정의된 타원 연산자로, 함수에 적용될 때 그 함수의 헤시안H(f)의 대각합으로 표현되기도 한다.

:\Delta f = \operatorname{tr}\big(H(f)\big)

여기서 대각합은 계량 텐서의 역수를 기준으로 계산된다.

이 개념은 더 일반적인 텐서장으로 확장될 수 있다. 만약 벡터 다발이 (p,q)차 텐서장의 다발 E=(\mathrm TM)^{\otimes p}\otimes(\mathrm T^*\!M)^{\otimes q}일 경우, 리만 계량 g로부터 표준적인 코쥘 접속인 레비치비타 접속이 유도된다. 이 레비치비타 접속을 사용하여 정의된 라플라스 연산자 역시 '''라플라스-벨트라미 연산자'''라고 부른다. 예를 들어, 벡터장X의 라플라스-벨트라미 연산자는 다음과 같다.

:(\Delta X)^i = g^{jk}(\nabla_j\nabla_kX)^i = g^{jk}\partial_j\partial_kX^i + 2g^{jk}\Gamma_{ja}^i\partial_kX^a + g^{jk}(\partial_j\Gamma_{ka}^i + \Gamma_{jb}^i\Gamma_{ka}^b)X^a

한편, 외미분 d와 공미분 \delta를 사용하여 정의되는 라플라스 연산자도 있다. 함수 f에 대해 "기하학자의 라플라스 연산자"는 \Delta f = \delta d f로 정의되며, 이는 위에서 정의된 "분석가의 라플라스 연산자"와 부호가 다를 수 있다. 더 일반적으로, 미분 형식\alpha에 대한 '''라플라스-드 람 연산자'''는 \Delta \alpha = \delta d \alpha + d \delta \alpha로 정의되며, 이는 바이트첸뵈크 항등식을 통해 라플라스-벨트라미 연산자와 관련된다.

10. 2. 달랑베르 연산자

민코프스키 공간\mathbb R^{n,1}은 리만 다양체가 아니지만 준 리만 다양체이며, 이 공간에서의 라플라스-벨트라미 연산자는 '''달랑베르 연산자'''(D'Alembert operator) 또는 '''달랑베르시안'''(D'Alembertian)이라고 부른다. 기호로는 \Box를 사용한다. 달랑베르 연산자는 리만 다양체의 라플라스 연산자와 달리 타원형 미분 연산자가 아니다.

달랑베르 연산자는 다음과 같이 정의된다.

\square = \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} - \frac{\partial^2}{\partial x^2} - \frac{\partial^2}{\partial y^2} - \frac{\partial^2}{\partial z^2}

여기서 c는 빛의 속도이며, t는 시간, x, y, z는 공간 좌표를 나타낸다.

달랑베르 연산자는 다음과 같은 특징을 가진다.

  • 기저 공간의 등거리 변환군에 대해 불변하는 미분 연산자이다. 즉, 로런츠 변환에 대해 불변한다.
  • 시간에 의존하지 않는 함수에 적용하면 라플라스 연산자로 축소된다. 이런 의미에서 라플라스 연산자의 일반화로 볼 수 있다.
  • 위 정의식에서 공간 부분(x, y, z에 대한 2계 편미분)의 부호가 음수(-)인데, 이는 고에너지 입자 물리학에서 일반적으로 사용하는 방식이다.


달랑베르 연산자는 파동 방정식에 등장하는 미분 연산자이기 때문에 파동 연산자(wave operator)라고도 불린다. 또한, 질량이 없는 경우 파동 방정식으로 축소되는 클라인-고든 방정식의 일부이기도 하다.

물리학에서는 공간과 시간의 단위를 다르게 사용하는 경우가 많기 때문에, 계량 텐서에 빛의 속도 c 인수가 필요하다. 예를 들어 공간은 미터(m)로, 시간은 초(s)로 측정하는 경우이다. 하지만 이론 물리학에서는 방정식을 단순화하기 위해 자연 단위계 등을 사용하여 c = 1로 두는 경우가 많다.

달랑베르 연산자는 민코프스키 공간을 넘어 의사 리만 다양체에서도 정의될 수 있으며, 이 경우 쌍곡형 연산자로 일반화된다.

10. 3. 리만 다양체 위의 라플라스 연산자

준 리만 다양체(M,g)와 그 위의 매끄러운 벡터 다발 E, 그리고 E 위의 코쥘 접속\nabla가 주어졌을 때, E 위의 '''라플라스 연산자''' \Delta는 E의 매끄러운 단면을 다시 매끄러운 단면으로 보내는 2차 미분 연산자로 정의된다.

:\Delta\colon\Gamma^\infty(E)\to\Gamma^\infty(E)

국소 좌표계에서 라플라스 연산자는 다음과 같이 표현된다.

:\Delta s^c=g^{ij}\nabla_i\nabla_js = g^{ij}(\partial_i(\nabla_j s))^c = g^{ij}(\partial_i(\partial_j s^c + \Gamma_{ja}^c s^a) + \Gamma_{ib}^c (\partial_j s^b + \Gamma_{ja}^b s^a))

:= g^{ij}\partial_i\partial_js^c + 2g^{ij}\Gamma_{ja}^c\partial_is^a + g^{ij}(\partial_i\Gamma_{ja}^c + \Gamma_{ib}^c\Gamma_{ja}^b)s^a \qquad\forall s\in\Gamma^\infty(E)

여기서 \Gamma_{ia}^b는 접속 \nabla의 크리스토펠 기호 성분이다. i,j,\ldots는 접다발의 첨자이고, a,b,\ldots는 벡터 다발 E의 첨자이다. 물리학에서는 보통 이 정의를 사용하지만, 수학에서는 때때로 이 연산자에 (-1)을 곱한 것을 라플라스 연산자로 정의하기도 하므로 주의가 필요하다.

위 정의에서 리만 계량 g는 2차 미분 항의 계수를 결정하고, 코쥘 접속\nabla는 1차 미분 항의 계수를 결정한다. 반대로, 라플라스 연산자가 주어지면 이로부터 다양체 위의 리만 계량과 벡터 다발 위의 코쥘 접속을 복원할 수 있다.

라플라스 연산자는 기울기\nabla\colon\Gamma^\infty(E)\to\Gamma^\infty(E\otimes\mathrm T^*M), 음악 동형(-)^\#\colon\Gamma^\infty(E\otimes\mathrm T^*M)\to\Gamma^\infty(E\otimes\mathrm TM), 그리고 발산\operatorname{div}\colon\Gamma^\infty(E\otimes\mathrm TM)\to\Gamma^\infty(E)의 합성으로도 볼 수 있다.

:\Delta=\operatorname{div}\circ(-)^\#\circ\nabla

특히, 벡터 다발 E가 (p,q)차 텐서장의 다발 E=(\mathrm TM)^{\otimes p}\otimes(\mathrm T^*\!M)^{\otimes q}일 경우, 리만 계량 g로부터 표준적인 코쥘 접속인 레비치비타 접속이 유도된다. 이 레비치비타 접속을 사용하여 정의된 라플라스 연산자를 '''라플라스-벨트라미 연산자'''라고 부른다.

리만 다양체(M,g) 위에서 정의된 함수 f에 대한 라플라스-벨트라미 연산자는 기울기(\operatorname{grad})와 발산(\operatorname{div})을 이용하여 다음과 같이 정의된다.

: \Delta f := \operatorname{div}(\operatorname{grad}f)

국소 좌표계에서는 다음과 같이 표현된다.[9]

: \Delta f = - \frac{1}{\sqrt

} \frac{\partial}{\partial x^i} \left( \sqrt

\, g^{ij} \frac{\partial f}{\partial x^j} \right)

여기서 g는 리만 계량이고, \det g는 국소 좌표계에서 g를 행렬로 표현했을 때의 행렬식이다. 이 정의는 유클리드 공간의 일반적인 라플라시안과 부호가 반대인 경우가 많으므로 주의해야 한다.

리만 다양체 위의 기울기와 발산은 외미분을 사용하거나 레비치비타 접속(공변미분)을 사용하여 정의할 수 있다. 함수의 경우에는 두 가지 방식 모두 동일한 라플라스-벨트라미 연산자를 정의한다. 그러나 이를 미분 형식으로 확장하여 라플라스 연산자를 정의할 때는 두 방식이 서로 다른 연산자(각각 호지 라플라시안과 보흐너 라플라시안)를 정의하게 된다.

10. 3. 1. 호지 라플라시안

외미분 d와 여미분 \delta를 사용하여 정의되는 라플라스 연산자이다. 리만 다양체(M,g) 위에서, 호지 쌍대*를 이용하여 여미분 \delta는 i-형식 \alpha에 대해 \delta\alpha := (-1)^{m(i+1)+1} * d * \alpha 로 정의된다. 여기서 m은 다양체 M의 차원이다.

이를 이용하여 미분 형식\alpha에 대한 '''호지 라플라시안'''(Hodge Laplacian영어) \Delta^H는 다음과 같이 정의된다.[9]

:\Delta^H \alpha :=(d \delta + \delta d) \alpha

이는 일반적인 라플라스 연산자를 미분 형식으로 자연스럽게 확장한 것이다.

특히 \alpha가 0-형식, 즉 함수f인 경우, d\delta f = 0이므로 호지 라플라시안은 \Delta^H f = \delta d f가 된다. 이는 함수의 기울기를 구한 뒤(\mathrm{grad}\, f = (df)^\sharp), 다시 발산을 취하는 연산(\mathrm{div}\, X = \delta X^\flat)과 일치한다. 즉, \Delta^H f = \mathrm{div}(\mathrm{grad}\, f) = \delta d f이다. 여기서 \sharp와 \flat는 리만 계량에 의해 정의되는 음악 동형 사상이다.

10. 3. 2. 보흐너 라플라시안

함수 f의 기울기(grad)와 발산(div)을 공변 미분으로부터 정의하는 방법은 다음과 같다.[9]

:\operatorname{grad} f = \nabla f

:\operatorname{div} X = -(Y \mapsto -\nabla_{Y}X 의 트레이스)

이를 미분 형식\alpha에 대해 자연스럽게 확장하여, 레비치비타 접속을 이용한 라플라스 연산자를 정의할 수 있다.

:\Delta^B \alpha := - \operatorname{tr}\nabla^2\alpha = - \sum_i \nabla^2_{e_i,e_i}\alpha

여기서 \Delta^B를 '''보흐너 라플라시안'''(Bochner Laplacianeng) [9] 또는 '''러프 라플라시안'''(rough Laplacianeng)이라고 한다.[10]\nabla^2는 2계 공변 미분이며, e_1, \dots, e_n은 접벡터 공간의 국소적인 정규 직교 기저이다.

10. 3. 3. 두 라플라시안의 관계

미분 형식 ''α''가 0-형식, 즉 다양체 ''M'' 위의 함수일 경우, 호지 라플라시안과 보흐너 라플라시안은 모두 라플라스-벨트라미 연산자와 일치한다. 그러나 ''α''가 일반적인 미분 형식인 경우에는 그렇지 않다.

두 라플라시안은 다음과 같은 관계를 만족한다:

'''정리:''' e_1,\ldots,e_m를 ''TM''의 국소적인 정규 직교 기저로 하고, \theta^1,\ldots,\theta^m을 그 쌍대 기저로 하며, 또한 ''α''를 ''M'' 위에서 정의된 미분 형식으로 한다. 이때 다음이 성립한다[11]:

: \Delta^H\alpha = \Delta^B\alpha +\sum_{i,j} \theta^i \wedge \iota_{e_j}R(e_i,e_j) \lrcorner\alpha

여기서 ''R''은 리만 곡률 텐서이며, (\iota_{e_j}R(e_i,e_j) \lrcorner\alpha)(X_1,\ldots,X_{n-1}) =\alpha(R(e_i,e_j)e_j,X_1,\ldots,X_{n-1})이다.

위의 공식을 '''바이첸뵈크-보흐너 공식'''[12][13] (Weitzenböck–Bochner formulaeng[14]) 또는 '''바이첸뵈크 공식''' (Weitzenböck formulaeng[11])이라고 한다.

11. 역사

오늘날 "라플라스 방정식"이라고 불리는 2차 편미분 방정식 및 이 속에 등장하는 2차 미분 연산자는 이미 레온하르트 오일러가 유체역학을 연구하는 동안 도입하였다.[20][21] 마찬가지로, 장 르 롱 달랑베르 역시 라플라스 방정식을 연구하였다.[22][23]

피에르시몽 라플라스는 만유인력의 법칙을 연구하는 도중 라플라스 방정식을 재발견하였으며,[24] 여기에 등장하는 2차 미분 연산자는 "라플라스 연산자"로 불리게 되었다. 이 밖에도, 달랑베르는 파동 방정식에 등장하는 달랑베르 연산자(=민코프스키 공간 위의 라플라스 연산자)를 도입하였다.[23]

다양체 위의 라플라스(-벨트라미) 연산자는 에우제니오 벨트라미가 고전역학을 일반적인 리만 다양체 위에 정의하기 위하여 도입하였다.[25]

리크네로비츠-오바타 정리의 경우, \lambda_1의 하한은 앙드레 리크네로비츠(André Lichnerowicz프랑스어)가 증명하였고, 이 하한의 포화가 초구에서만 일어난다는 것은 오바타 모리오(小畠 守生일본어)가 증명하였다.

12. 응용

라플라스 연산자는 물리학 또는 화학에서 벡터장의 퍼텐셜을 이용하여 벡터장의 특성을 나타낼 때 사용된다. 예를 들어, 전기장의 퍼텐셜인 전기 퍼텐셜에 라플라스 연산자를 적용하면 전하 밀도를 유전률 상수로 나눈 값이 된다. 이는 푸아송 방정식의 한 형태로, 이 방정식의 해를 찾는 것은 정전기학에서 중요한 문제 중 하나이다.

참조

[1] 논문 The geometrical significance of the Laplacian https://pubs.aip.org[...] 2015-12-01
[2] 간행물 1998
[3] 논문 The Laplacian and Mean and Extreme Values http://web.pdx.edu/~[...] 2016-03-01
[4] 웹사이트 The Voss-Weyl Formula https://www.youtube.[...] 2014-04-16
[5] 간행물 2001
[6] 간행물 2001
[7] 웹사이트 Vector Laplacian http://mathworld.wol[...]
[8] 서적 Elliptic PDEs, Measures and Capacities https://ems.press/bo[...] 2016-10-14
[9] 서적 Differential Geometry and Lie Groups A Second Course Springer 2020-08-18
[10] 웹사이트 Math 865, Topics in Riemannian Geometry https://www.math.uci[...] カリフォルニア大学アーバイン校 2023-10-31
[11] 간행물
[12] 웹사이트 第 66回 幾何学シンポジウム 予稿集 https://www.math.nag[...] 名古屋大学 2023-11-01
[13] 웹사이트 微分幾何学講義 https://www.saiensu.[...] 2023-11-01
[14] 간행물
[15] 서적 The Laplacian on a Riemannian manifold: an introduction to analysis on manifolds http://math.bu.edu/p[...] Cambridge University Press 1997
[16] 서적 Riemannian geometry and geometric analysis Springer-Verlag 2002
[17] 서적 Heat kernels and Dirac operators Springer-Verlag 1992
[18] 저널 Heat kernel expansion: user’s manual 2003
[19] 저널 Handbook of global analysis
[20] 저널 Principia motvs flvidorum. Pars prior http://eulerarchive.[...] 1756
[21] 서적 Domain decomposition methods in science and engineering XXI Springer-Verlag 2014
[22] 서적 Opuscules mathématiques, ou Mémoires sur différens Sujets de Géométrie, de Méchanique, d’Optique, d’Astronomie, &c. Tome 1 1761
[23] 저널 La résolution des équations aux dérivées partielles dans les ''Opuscules mathématiques'' de d’Alembert (1761–1783) http://smf4.emath.fr[...] 2017-01-15
[24] 저널 Mémoire sur la théorie de l'anneau de Saturne 1787
[25] 서적 Opere matematiche di Eugenio Beltrami. Pubblicate per cura della Facoltà di scienze della R. Università di Roma U. Hoepli


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