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밀레니엄 문제

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목차

1. 개요

밀레니엄 문제는 2000년 클레이 수학 연구소가 21세기 수학 발전을 위해 선정한 7개의 미해결 수학 문제들이다. 이 문제들은 P-NP 문제, 호지 추측, 푸앵카레 추측, 리만 가설, 양-밀스 질량 간극 가설, 나비에-스토크스 존재성과 매끄러움, 버치-스위너턴다이어 추측으로 구성된다. 이 중 푸앵카레 추측은 해결되었으며, 나머지 문제들은 현재까지 미해결 상태로 남아있다.

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밀레니엄 문제
개요
이름밀레니엄 문제
영어 이름Millennium Prize Problems
주관클레이 수학 연구소 (Clay Mathematics Institute, CMI)
발표 시기2000년
문제 수7개
상금각 문제당 미화 100만 달러
해결된 문제푸앵카레 추측 (2003년 그리고리 페렐만 해결, 2010년 공식 인정)
미해결 문제P-NP 문제
호지 추측
리만 가설
양-밀스 질량 간극 가설
나비에-스토크스 존재성과 매끄러움
버치-스위너턴다이어 추측
각 문제 상세
P-NP 문제'컴퓨터 과학 분야의 문제로, 어떤 문제가 NP에 속하는지 P에 속하는지 묻는 문제이다. NP에 속하는 문제는 답이 주어졌을 때, 그 답이 맞는지 다항 시간 안에 확인할 수 있는 문제이다. P에 속하는 문제는 다항 시간 안에 풀 수 있는 문제이다. P-NP 문제는 NP에 속하는 모든 문제가 P에 속하는지 묻는 문제이다.'
호지 추측'대수기하학 분야의 문제로, 복소 사영 다양체의 드 람 코호몰로지류가 대수적 주기의 코호몰로지류로 표현될 수 있는지 묻는 문제이다.'
푸앵카레 추측'위상수학 분야의 문제로, 3차원 구와 위상적으로 같은 3차원 다양체는 3차원 구밖에 없는지 묻는 문제였다. 2003년 그리고리 페렐만에 의해 해결되었다.'
리만 가설'해석적 정수론 분야의 문제로, 리만 제타 함수의 자명하지 않은 모든 해의 실수부가 1/2인지 묻는 문제이다.'
양-밀스 질량 간극 가설'양자장론 분야의 문제로, 양-밀스 이론이 질량 간극을 가지는지 묻는 문제이다.'
나비에-스토크스 존재성과 매끄러움'유체역학 분야의 문제로, 3차원 비압축성 나비에-스토크스 방정식의 해가 항상 존재하고 매끄러운지 묻는 문제이다.'
버치-스위너턴다이어 추측'정수론 분야의 문제로, 타원 곡선의 L-함수의 L(1) 값이 0인지 여부와 타원 곡선의 유리수 해의 개수 사이의 관계에 대한 추측이다.'

2. 역사적 배경

클레이 수학 연구소는 1900년 다비트 힐베르트가 정리한 23개의 문제에서 영감을 받아 밀레니엄 문제를 선정했다. 힐베르트의 문제들은 20세기 수학 발전에 큰 영향을 미쳤다.[1] 선정된 7개의 문제는 대수기하학, 산술기하학, 기하학적 위상수학, 수학물리학, 정수론, 편미분 방정식, 이론 전산학 등 여러 수학 분야에 걸쳐 있었다. 힐베르트의 문제들과 달리, 클레이 연구소에서 선택한 문제들은 이미 전문 수학자들 사이에서 널리 알려져 있었고, 많은 사람들이 문제 해결을 위해 적극적으로 노력하고 있었다.[2]

2000년 5월 24일 파리에 있는 콜레주 드 프랑스의 마르그리트 드 나바르 강당에서 열린 기념식에서 존 테이트와 마이클 아티야에 의해 7개의 문제가 공식적으로 발표되었다.[3]

1990년대부터 푸앵카레 추측 연구를 시작한 그리고리 페렐만은 2002년과 2003년에 자신의 증명을 발표했다. 2010년 클레이 연구소의 상금을 거부한 그의 결정은 언론에서 널리 보도되었다. 다른 6개의 밀레니엄 문제는 아마추어와 전문 수학자 모두의 많은 불만족스러운 증명에도 불구하고 여전히 해결되지 않고 있다.

클레이 연구소의 과학 자문 위원회 일원인 앤드루 와일스는 100만달러의 상금으로 일반 대중에게 선택된 문제와 "수학적 노력의 흥미"를 널리 알리고자 했다.[4] 또 다른 위원인 필즈상 수상자 알랭 콘은 미해결 문제에 대한 홍보가 수학이 "컴퓨터에 의해 대체될 것"이라는 대중의 "잘못된 생각"을 타파하는 데 도움이 되기를 바랐다.[5]

일부 수학자들은 더 비판적이었다. 아나톨리 베르시크는 이들의 상금을 "쇼 비즈니스"로 특징지으며 "오늘날 대중 문화의 최악의 징후"를 나타낸다고 말했으며, 수학에 대한 대중의 인식을 높이는 데 더 의미 있는 방법이 있다고 생각했다.[6] 그는 페렐만과 그의 연구에 대한 피상적인 언론 보도가 상금 자체에 과도한 관심을 기울이는 것을 당연하게 여겼다. 반면, 베르시크는 클레이 연구소의 연구 컨퍼런스와 젊은 연구원에 대한 직접적인 자금 지원을 칭찬했다. 베르시크의 발언은 이후 필즈상 수상자인 싱퉁 야우에 의해 반복되었으며, 야우는 재단이 근본적인 수학적 질문을 "차용"하고 "자신의 이름을 붙이는" 행위에 대해서도 비판적이었다.[7]

이러한 문제들은 각 분야에서 매우 중요하고 난해한 문제들이다.[24]

상금을 받기 위해서는 심사를 거친 전문 학술지에 게재된 후, 2년의 경과 기간을 거쳐 해결이 학계에 받아들여졌음이 확인되어야 한다. P≠NP 문제와 나비에-스토크스 방정식에 대해서는 긍정적, 부정적 어느 해결에 대해서도 상금이 주어지지만, 다른 문제들에 대해서는 부정적인 해결이 문제의 실질적인 해결로 간주되는 경우에 한해 상금이 주어진다. 부정적인 해결이라도 문제가 수정을 거친 후 살아남는 경우에는 상금이 주어지지 않는다.[25][26]

7개의 예상 중, 푸앵카레 추측은 2002년부터 2003년에 걸쳐 그리고리 페렐만에 의해 증명되었다고 하는 3개의 사전 인쇄본(전문 학술지 미심사 논문)이 발표되었다. 이 증명은 여러 수학자들에 의한 4년간의 검증을 거쳐 올바른 것으로 인정되었고, 2010년 3월 18일에 클레이 수학 연구소는 페렐만의 수상을 발표했다.[27] 하지만, 페렐만은 이 수상을 거부[28]했으며, 그에게 주어질 100만달러는 수학계에 기여하는 형태로 사용될 것이라고 발표했다.

3. 문제 목록

7개의 밀레니엄 문제는 다음과 같다:



이 문제들은 대수기하학, 산술기하학, 기하학적 위상수학, 수학물리학, 정수론, 편미분 방정식, 이론 전산학 등 여러 수학 분야에 걸쳐 있다. 클레이 수학 연구소는 1900년 다비트 힐베르트가 정리한 23개의 문제에서 영감을 받아 이 문제들을 선정했으며, 힐베르트의 문제들은 20세기 수학 발전에 큰 영향을 미쳤다.[1] 선정된 문제들은 이미 전문 수학자들 사이에서 널리 알려져 있었고, 많은 사람들이 문제 해결을 위해 노력하고 있었다.[2]

2000년 5월 24일 파리 콜레주 드 프랑스에서 존 테이트와 마이클 아티야에 의해 공식 발표되었다.[3] 푸앵카레 추측은 그리고리 페렐만이 2002년과 2003년에 증명을 발표하여 해결되었지만, 페렐만은 상금 수상을 거부했다. 나머지 6개의 문제는 여전히 미해결 상태이다.

앤드루 와일스는 상금을 통해 일반 대중에게 문제와 "수학적 노력의 흥미"를 알리고자 했으며,[4] 알랭 콘은 미해결 문제에 대한 홍보가 수학이 "컴퓨터에 의해 대체될 것"이라는 대중의 "잘못된 생각"을 타파하는 데 도움이 되기를 바랐다.[5]

그러나 일부 수학자들은 비판적인 시각을 보였다. 아나톨리 베르시크는 상금을 "쇼 비즈니스"라고 비판하며, 수학에 대한 대중의 인식을 높이는 더 의미 있는 방법이 있다고 주장했다.[6] 싱퉁 야우는 재단이 근본적인 수학적 질문을 "차용"하고 "자신의 이름을 붙이는" 행위에 대해 비판했다.[7]

이 문제들은 각 분야에서 매우 중요하고 난해한 문제들이다.[24] 상금을 받기 위해서는, 심사를 거친 전문 학술지에 게재된 후, 2년의 경과 기간을 거쳐 해결이 학계에 받아들여졌음이 확인되어야 한다. P≠NP 문제와 나비에-스토크스 방정식에 대해서는 긍정적, 부정적 어느 해결에 대해서도 상금이 주어지지만, 다른 문제들에 대해서는 부정적인 해결이 문제의 실질적인 해결로 간주되는 경우에 한해 상금이 주어진다.[25][26]

3. 1. P-NP 문제

'''P''', '''NP''', '''NP'''-완전, 그리고 '''NP'''-어려운 문제들의 오일러 다이어그램 (공집합과 그 여집합을 제외. 이들은 '''P'''에 속하지만 '''NP'''-완전이 아님)


어떤 문제에 대해 주어진 해답을 다항 시간 안에 빠르게 ''확인''할 수 있는 알고리즘이 있다면, 그 해답을 빠르게 ''찾을'' 수 있는 알고리즘도 존재하는가 하는 질문이다. 전자는 NP로 불리는 문제의 종류를, 후자는 P를 설명하므로, 이 질문은 NP에 속하는 모든 문제가 P에도 속하는지 묻는 것과 같다. 이 문제는 수학, 이론 전산학에서 가장 중요한 미해결 문제 중 하나로 여겨지며, 수학, 생물학[14], 철학[15], 암호학의 다른 문제에도 광범위한 영향을 미친다(P 대 NP 문제 증명 결과 참조). P에 속하지 않는 것으로 알려진 NP 문제의 흔한 예시는 불만족 문제이다.

대부분의 수학자와 컴퓨터 과학자는 P ≠ NP일 것으로 예상하지만, 아직 증명되지 않았다.[16]

이 문제의 공식적인 설명은 스티븐 쿠크에 의해 제시되었다.[17]

3. 2. 호지 추측

호지 추측은 사영 공간에서의 대수적 순환에 대한 추측이다. 호지 순환은 유리적인 대수적 순환의 일차 결합이다.[1]

호지 추측의 현대적인 표현은 다음과 같다.

: '''X'''를 비특이 복소 사영 다양체라고 하자. 그러면 '''X'''상의 모든 호지 클래스는 '''X'''의 복소 부분 다양체의 코호몰로지 클래스의 유리 계수를 갖는 선형 결합이다.

이 문제에 대한 공식적인 설명은 피에르 들리뉴에 의해 제시되었다.[12]

3. 3. 푸앵카레 추측

경계가 없는 컴팩트 2차원 다양체는 모든 고리가 점으로 연속적으로 조여질 수 있다면 위상적으로 2-구와 동형이다. 푸앵카레 추측은 3차원 공간에도 동일한 내용이 적용된다고 주장한다.


기하학적 위상수학 분야에서 2차원 구는 유일한 닫힌 다양체이자 단일 연결 2차원 표면이라는 특징을 가진다. 1904년, 앙리 푸앵카레는 유사한 명제가 3차원 도형에도 적용되는지 질문을 던졌다. 이는 푸앵카레 추측으로 알려지게 되었으며, 다음과 같이 정확하게 정의된다.

(1950년대에 밝혀진 바와 같이) 매끄러운 다양체와 미분동형사상의 맥락에서 이를 제시하는 것과 동등하다.

이 추측과 더 강력한 기하화 추측에 대한 증명은 2002년과 2003년에 그리고리 페렐만에 의해 제시되었다. 페렐만의 해는 이전 20년 동안 개발한 리처드 S. 해밀턴의 기하화 추측 해결 프로그램을 완료했다. 해밀턴과 페렐만의 연구는 리만 기하학 분야에서 정의된 복잡한 편미분 방정식 체계인 해밀턴의 리치 흐름을 중심으로 이루어졌다.

리치 흐름 이론에 대한 기여로 페렐만은 2006년에 필즈상을 수상했으나, 이 상을 거절했다.[8] 푸앵카레 추측 증명으로 페렐만은 2010년 3월 18일에 밀레니엄 상을 수상했으나,[9] 해밀턴의 기여가 자신과 동등하다고 말하며 상과 부상금을 거절했다.[10]

7개의 밀레니엄 문제 중, 푸앵카레 추측에 대해서는 2002년부터 2003년에 걸쳐 그리고리 페렐만이 이를 증명했다고 하는 3개의 사전 인쇄본(전문 학술지 미심사 논문)이 발표되었다. 이 증명은 여러 수학자들에 의한 4년간의 검증을 거쳐 올바른 것으로 인정되었고, 2010년 3월 18일에 클레이 수학 연구소는 페렐만의 수상을 발표했다.[27] 하지만, 페렐만은 이 수상을 거부[28]했으며, 그에게 주어질 상금 100만달러는 수학계에 기여하는 형태로 사용될 것이라고 발표했다.

3. 4. 리만 가설

오른쪽


:\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty n^{-s} = \frac{1}{1^s} + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \cdots

리만 제타 함수 ζ(s)는 1이 아닌 모든 복소수를 인수로 가질 수 있고 값 또한 복소수인 함수이다. 이 함수의 해석적 연속은 음의 짝수 정수에서 영점을 가진다. 즉, s가 -2, -4, -6, .... 중 하나일 때 ζ(s) = 0이 된다. 이를 자명한 영점이라고 한다. 그러나 음의 짝수 정수만이 제타 함수가 0이 되는 유일한 값은 아니다. 다른 값들은 비자명 영점이라고 한다. 리만 가설은 이러한 비자명 영점의 위치와 관련이 있으며, 다음과 같이 진술된다.[29]

::리만 제타 함수의 모든 비자명 영점의 실수부는 1/2이다.

리만 가설은 비자명 영점의 해석적 연속의 리만 제타 함수가 1/2의 실수부를 가진다는 것이다. 이에 대한 증명 또는 반증은 수론, 특히 소수의 분포에 광범위한 영향을 미칠 것이다. 이것은 힐베르트의 여덟 번째 문제였으며, 1세기 후에도 여전히 중요한 미해결 문제로 여겨진다.[18]

이 문제는 베른하르트 리만이 1860년에 처음 제기한 이후로 널리 알려져 왔다. 클레이 수학 연구소의 문제 설명은 엔리코 봄비에리에 의해 주어졌다.

3. 5. 양-밀스 질량 간극 가설

물리학에서 양-밀스 이론은 쿼크나 글루온과 같은 아원자 입자의 물리를 다룬다. 이 이론에서는 가장 가벼운 입자마저도(광자와 달리) 양의 질량을 가진다. 이 현상을 질량 간극이라고 한다.[1] 이 문제는 양-밀스 이론을 수학적으로 엄밀하게 정의하고, 또한 질량 간극을 가지는 것을 수학적으로 증명하는 것이다.

양자장론에서, 질량 간극은 진공과 다음으로 낮은 에너지 상태 사이의 에너지 차이를 말한다. 진공의 에너지는 정의상 0이며, 모든 에너지 상태를 평면파의 입자로 생각할 수 있다고 가정하면, 질량 간극은 가장 가벼운 입자의 질량이다.

주어진 실수장 \phi(x)에 대해, 이론이 질량 간극을 가진다고 말할 수 있는데, 이는 2점 함수가 다음 속성을 가질 때이다.

:\langle\phi(0,t)\phi(0,0)\rangle\sim \sum_nA_n\exp\left(-\Delta_nt\right)

여기서 \Delta_0>0는 해밀토니안의 스펙트럼에서 가장 낮은 에너지 값이며, 따라서 질량 간극이다. 이 값은 다른 장으로 쉽게 일반화할 수 있으며, 격자 계산에서 일반적으로 측정된다.

양자 Yang–Mills 이론은 기본 입자 물리학의 현실과 잠재적 현실에 대한 대부분의 이론적 응용의 현재 기반이다.[19] 이 이론은 ''색''-전자기장이 스스로 전하를 띠는 맥스웰의 전자기학 이론의 일반화이다. 고전적 장 이론으로서 빛의 속도로 이동하는 해를 가지므로, 그 양자 버전은 질량이 없는 입자(글루온)를 설명해야 한다. 그러나, 가정된 현상인 색 가둠은 글루온의 결합 상태만 허용하여 질량이 있는 입자를 형성한다. 이것이 바로 질량 간극이다. 가둠의 또 다른 측면은 점근 자유성으로, 저에너지 스케일로의 제한 없이 양자 Yang-Mills 이론이 존재할 수 있다는 것을 생각하게 한다. 문제는 양자 Yang–Mills 이론의 존재와 질량 간극을 엄밀하게 확립하는 것이다.

::임의의 콤팩트 단순 게이지 군 G에 대해, \mathbb{R}^4에서 비자명한 양자 Yang–Mills 이론이 존재하고 Δ > 0인 질량 간극을 가진다는 것을 증명하라. 존재성은 Streater & Wightman (1964),[20] Osterwalder & Schrader (1973),[21] 및 Osterwalder & Schrader (1975)에서 인용된 것과 최소한 동등한 공리적 속성을 확립하는 것을 포함한다.[22]

문제의 공식적인 진술은 아서 자페와 에드워드 위튼에 의해 주어졌다.[23]

3. 6. 나비에-스토크스 존재성과 매끄러움

나비에-스토크스 방정식은 유체의 운동을 설명하며, 유체역학의 중요한 기둥 중 하나이다. 그러나 과학과 공학에서의 중요성에도 불구하고, 그 해에 대한 이론적인 이해는 불완전하다.[13] 3차원 방정식계의 경우, 그리고 몇 가지 초기 조건이 주어졌을 때, 수학자들은 매끄러운 해가 항상 존재한다는 것을 아직 증명하지 못했다. 이것을 ''나비에-스토크스 방정식의 해의 존재와 매끄러움'' 문제라고 한다.[13]

이 문제는 비압축성 흐름의 경우로 제한되어, 특정 조건을 충족하는 매끄럽고 전역적으로 정의된 해가 존재한다는 것을 증명하거나, 그렇지 않고 방정식이 항상 존재하지 않으며 붕괴된다는 것을 증명하는 것이다. 문제의 공식적인 진술은 찰스 페퍼먼이 제시했다.[13]

3. 7. 버치-스위너턴다이어 추측

비치와 스위너톤다이어 추측은 유리수에 대한 타원 곡선을 정의하는 방정식에 대해 다룬다. 이 추측은 이러한 방정식이 유한하거나 무한한 수의 유리수 해를 갖는지 여부를 간단하게 알 수 있는 방법이 있다는 것이다. 더 구체적으로는, 타원 곡선 ''E''가 랭크 ''r''을 가지면, 이와 관련된 ''L''-함수 ''L''(''E'', ''s'')가 ''s'' = 1에서 차수 ''r''로 사라진다는 것이다.[11]

힐베르트의 열 번째 문제는 더 일반적인 유형의 방정식을 다루었으며, 그 경우에는 주어진 방정식이 해를 갖는지 여부를 결정하는 알고리즘 방식이 없다는 것이 증명되었다.

4. 사회적 영향

다비트 힐베르트가 1900년에 정리한 23개의 문제는 20세기 수학 발전에 큰 영향을 미쳤는데, 클레이 수학 연구소는 여기서 영감을 받아 밀레니엄 문제를 선정했다.[1] 선정된 7개의 문제는 대수기하학, 산술기하학, 기하학적 위상수학, 수학물리학, 정수론, 편미분 방정식, 이론 전산학 등 여러 수학 분야에 걸쳐 있었다.[2] 힐베르트의 문제들과는 달리, 클레이 연구소가 선택한 문제들은 이미 전문 수학자들 사이에서 널리 알려져 있었고, 많은 사람들이 문제 해결을 위해 노력하고 있었다.[2]

클레이 수학 연구소의 과학 자문 위원회 일원인 앤드루 와일스는 100만 달러의 상금으로 일반 대중에게 선택된 문제와 "수학적 노력의 흥미"를 널리 알리고자 했다.[4] 알랭 콘은 미해결 문제에 대한 홍보가 수학이 "컴퓨터에 의해 대체될 것"이라는 대중의 "잘못된 생각"을 타파하는 데 도움이 되기를 바랐다.[5]

일부 수학자들은 비판적인 시각을 보였다. 아나톨리 베르시크는 상금을 "쇼 비즈니스"로 특징지으며 "오늘날 대중 문화의 최악의 징후"를 나타낸다고 말했고, 수학에 대한 대중의 인식을 높이는 데 더 의미 있는 방법이 있다고 생각했다.[6] 싱퉁 야우는 재단이 근본적인 수학적 질문을 "차용"하고 "자신의 이름을 붙이는" 행위에 대해 비판했다.[7]

푸앵카레 추측의 경우, 그리고리 페렐만이 2002년과 2003년에 증명을 발표했고, 2010년 클레이 연구소는 페렐만에게 상금을 수여하기로 결정했지만, 페렐만은 이를 거부했다.[27][28]

참조

[1] 논문 The Millennium Grand Challenge in Mathematics https://www.ams.org/[...] 2006-06
[2] 문서 Carlson Jaffe Wiles 2006
[3] 웹사이트 The Millennium Prize Problems https://www.claymath[...]
[4] 논문 Million-dollar mathematics prizes announced 2000-09
[5] 논문 Mathematicians chase the seven million-dollar proofs
[6] 논문 What is good for mathematics? Thoughts on the Clay Millennium prizes 2007-01
[7] 서적 The shape of a life. One mathematician's search for the universe's hidden geometry Yale University Press
[8] 뉴스 Maths genius declines top prize http://news.bbc.co.u[...] BBC News 2006-08-22
[9] 간행물 Prize for Resolution of the Poincaré Conjecture Awarded to Dr. Grigoriy Perelman http://www.claymath.[...] Clay Mathematics Institute 2010-03-18
[10] 뉴스 Последнее "нет" доктора Перельмана https://www.interfax[...] 2024-01-25
[11] 웹사이트 Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture https://www.claymath[...] 2024-11-20
[12] 백과사전 The Hodge conjecture https://www.claymath[...] American Mathematical Society and Clay Mathematics Institute
[13] 백과사전 Existence and smoothness of the Navier–Stokes equation https://www.claymath[...] American Mathematical Society and Clay Mathematics Institute
[14] 논문 P Versus NP: More than just a prize problem http://bharataganita[...] 2022-06-17
[15] 웹사이트 Why Philosophers Should Care About Computational Complexity http://eccc.hpi-web.[...] Technical report 2011-08-14
[16] 논문 The P=?NP poll. http://www.cs.umd.ed[...] 2002-06
[17] 백과사전 The P versus NP problem https://www.claymath[...] American Mathematical Society and Clay Mathematics Institute
[18] 백과사전 The Riemann hypothesis https://www.claymath[...] American Mathematical Society and Clay Mathematics Institute
[19] 웹사이트 Yang–Mills and Mass Gap https://www.claymath[...] 2021-06-29
[20] 서적 PCT, Spin and Statistics and all That https://archive.org/[...] W. A. Benjamin
[21] 논문 Axioms for Euclidean Green's functions http://projecteuclid[...]
[22] 논문 Axioms for Euclidean Green's functions II http://projecteuclid[...]
[23] 백과사전 Quantum Yang–Mills theory http://www.claymath.[...] American Mathematical Society and Clay Mathematics Institute
[24] 문서 Jaffe 2006
[25] 문서 Jaffe Wiles 2006 の Rules for the Millennium Prizes の章を参照
[26] 문서 CMI 2013
[27] 문서 Carlson 2010
[28] 웹사이트 ＮＨＫスペシャル　１００年の難問はなぜ解けたのか～天才数学者　失踪（しっそう）の謎～ https://www2.nhk.or.[...] NHK 2023-06-11
[29] 웹인용 보관된 사본 http://www.math.purd[...] 2008-04-09


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