호몰로지 차원

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요

호몰로지 차원은 대수학에서 사용되는 개념으로, 함자, 대상(가군), 아벨 범주, 환(수학) 등의 차원을 정의하고 계산하는 데 사용된다. 함자의 코호몰로지 차원과 호몰로지 차원, 대상의 사영 차원, 단사 차원, 평탄 차원, 아벨 범주와 환의 대역 차원, 평탄 대역 차원 등이 있으며, 이들은 서로 연관되어 있다. 체의 대역 차원과 평탄 대역 차원은 0이고, 주 아이디얼 정역의 대역 차원은 1이다. 힐베르트 삭망 정리, 오슬랜더-북스바움 공식 등과 같은 중요한 성질들이 존재하며, 다항식환, 반단순환, 유전환 등 다양한 환의 경우에 대한 차원을 계산할 수 있다.

더 읽어볼만한 페이지

차원 - 크룰 차원
크룰 차원은 환 내의 소수 아이디얼 체인의 길이를 이용하여 정의되며, 환론 및 대수기하학에서 중요한 역할을 하고 다양한 개념으로 확장되어 사용된다.
차원 - 데카르트 좌표계
데카르트 좌표계는 르네 데카르트가 고안한 좌표계로, 다양한 차원의 공간에서 점의 위치를 나타내며, 2차원에서는 x축과 y축, 3차원에서는 직교하는 세 평면으로 확장되고, 고차원에서는 실수 튜플을 사용한다.
가군론 - 자유 가군
자유 가군은 곱셈 항등원을 갖는 환 위의 가군으로, 기저를 가지며 기저 원소의 선형 결합으로 가군의 모든 원소를 유일하게 나타낼 수 있다.
가군론 - 쌍가군
쌍가군은 두 환 R과 S에 대해 정의되는 대수적 구조로, 아벨 군 M에 R의 왼쪽 가군 구조와 S의 오른쪽 가군 구조가 호환되도록 결합되며, 텐서곱, 준동형 사상 등 다양한 성질을 갖는다.
호몰로지 대수학 - 미분 등급 대수
미분 등급 대수는 체 위의 등급 대수와 미분의 순서쌍으로, 대수적 위상수학 및 호모토피 이론에서 활용되며, 등급 대수에 차수, 라이프니츠 규칙, 멱영성을 만족하는 미분을 추가하여 정의됩니다.
호몰로지 대수학 - 가환 그림
가환 그림은 대상, 사상, 경로 또는 합성으로 이루어진 구조로, 대수학에서 사상의 종류를 화살표 기호로 나타내고 점선 화살표로 사상의 존재성을 표시하며, 부분 다각형 그림이 가환적일 때 전체 그림이 가환적이라고 정의되고, 범주론에서 함자로 해석되며 호몰로지 대수학에서 사상의 성질 증명에 활용된다.

호몰로지 차원
개요
분야	환론과 호몰로지 대수학
정의	환의 사영 차원의 상한
성질
분류	환을 정칙환, 유전환 등으로 분류
관련 개념
관련 개념	사영 가군 단사 가군 평탄 가군 유전환 정칙환
역사
발견	모리스 아우슬랜더

2. 정의

아래 정의들에서는 편의상 다음과 같이 표기한다.

: $\sup\varnothing=-\infty$

: $\inf\varnothing=+\infty$

2. 1. 함자의 차원

두 아벨 범주

\mathcal A

,

\mathcal B

사이의 가법 함자

:

F\colon\mathcal A\to\mathcal B

가 주어졌다고 하자.

2. 1. 1. 코호몰로지 차원

두 아벨 범주

\mathcal A

,

\mathcal B

사이의 가법 함자

:

F\colon\mathcal A\to\mathcal B

가 주어졌다고 하자.

만약

\mathcal A

가 단사 대상을 충분히 가지는 범주일 때, 함자

F

의 '''코호몰로지 차원'''(cohomological dimension^영어)은 다음과 같이 정의된다.^[2]

:

\operatorname{cohd}F=\sup\{n\in\mathbb N\colon\operatorname R^nF(A)=0\qquad\forall A\in\mathcal A\}\in\mathbb N\sqcup\{-\infty,+\infty\}

여기서

\operatorname R^n

은

n

차 오른쪽 유도 함자를 의미한다. 즉, 코호몰로지 차원은 모든 대상

A

에 대해

n

차 오른쪽 유도 함자

\operatorname R^n F(A)

가 0이 되게 하는 자연수

n

들의 상한(supremum)으로 정의된다. 만약 함자

F

가 영함자(모든 대상

A

에 대해

F(A)=0

인 경우)라면, 코호몰로지 차원은

\operatorname{cohd}F=-\infty

로 정의한다.

2. 1. 2. 호몰로지 차원

두 아벨 범주

\mathcal A

,

\mathcal B

사이의 가법 함자

:

F\colon\mathcal A\to\mathcal B

가 주어졌다고 하자.

만약

\mathcal A

가 사영 대상을 충분히 가지는 범주일 때,

F

의 '''호몰로지 차원'''(homological dimension^영어)은 다음과 같다.^[2]

:

\operatorname{hd}F=\sup\{n\in\mathbb N\colon\operatorname L_nF(A)=0\qquad\forall A\in\mathcal A\}\in\mathbb N\sqcup\{-\infty,+\infty\}

여기서

\operatorname L_n

은

n

차 왼쪽 유도 함자를 뜻한다.

만약

F=0

이라면

\operatorname{hd}F=-\infty

이다.

2. 2. 아벨 범주의 대상(가군)의 차원

Ext 함자 및 Tor 함자는 유도 함자의 특수한 경우이다. 이들을 사용하여, 아벨 범주의 대상에 대하여 여러 차원들을 정의할 수 있다.

2. 2. 1. 사영 차원

아벨 범주

\mathcal C

의 대상

M\in\mathcal A

의 '''사영 차원'''(projective dimension^eng)

\operatorname{pd}_{\mathcal C}M\in\mathbb Z^+\cup\{0,-\infty,+\infty\}

은 다음과 같이 정의된다.

:

\operatorname{pd}_{\mathcal C}M=\sup_{N\in\mathcal C}\{n\colon \operatorname{Ext}^n_{\mathcal C}(M,N)\ne0\}

여기서

\sup_{N\in\mathcal C}

은 모든 대상

N\in\mathcal A

에 대한 상한이며,

\operatorname{Ext}^n_{\mathcal C}

는 Ext 함자이다.

만약

\mathcal A

가 사영 대상을 충분히 가지는 범주라면, 사영 차원은 다음과 같이 정의할 수도 있다.

$\operatorname{pd}_{\mathcal C}M$ 은 $M$ 의 사영 분해(projective resolution^eng) $0\to P_n\to P_{n-1}\to\cdots\to P_0\to M\to0$ 의 길이 $n$ 들의 하한이다.
$\operatorname{pd}_{\mathcal C}M=\operatorname{cohd}\hom_{\mathcal C}(M,-)$

특히, 영 대상

0\in\mathcal C

의 사영 차원은

-\infty

이다.

2. 2. 2. 단사 차원

아벨 범주

\mathcal C

의 대상

N\in\mathcal C

의 '''단사 차원'''(injective dimension^영어)

\operatorname{id}_{\mathcal C}N

은 음이 아닌 정수이거나

-\infty

또는

+\infty

값을 가지며, 다음과 같이 정의된다.^[1]^[2]

:

\operatorname{id}_{\mathcal C}N=\sup_{M\in\mathcal C}\{n\colon \operatorname{Ext}^n_{\mathcal C}(M,N)\ne0\}

여기서

\operatorname{Ext}^n_{\mathcal C}(-,-)

는 Ext 함자를 나타낸다.

만약

\mathcal C

가 단사 대상을 충분히 가지는 범주라면, 단사 차원은 다음과 같이 다르게 정의할 수도 있다.^[1]^[2]^[3]

대상 $N$ 의 단사 분해(injective resolution) $0\to N\to Q_0\to Q_1\to \cdots\to Q_n\to 0$ (여기서 $Q_i$ 는 단사 대상) 중에서 가장 짧은 분해의 길이 $n$ 들의 하한이다. 만약 유한한 길이의 단사 분해가 존재하지 않는다면, 단사 차원은 $\infty$ 이다.
$\operatorname{id}_{\mathcal C}N=\operatorname{hd}\hom_{\mathcal C}(-,N)$ 이다. 여기서 $\hom_{\mathcal C}(-,N)$ 는 $\mathcal C$ 에서 $\mathcal C^{\operatorname{op}}$ 위의 아벨 군 값의 함자이고, $\operatorname{hd}$ 는 호몰로지 차원을 의미한다.

특히, 영 대상

0\in\mathcal C

의 단사 차원은

-\infty

로 정의된다.

2. 2. 3. 평탄 차원

환

R

위의 오른쪽 가군

M_R

의 '''평탄 차원'''(flat dimension|플랫 디멘션^영어) 또는 '''약한 차원'''(weak dimension|위크 디멘션^영어)은 다음과 같다.

:

\operatorname{fd}_R M = \sup_{N\in{}_R\operatorname{Mod}}\{\operatorname{Tor}_n^R(M,N) \ne 0\}

마찬가지로,

R

위의 왼쪽 가군

_RN

의 '''평탄 차원''' 또는 '''약한 차원'''은 다음과 같다.

:

\operatorname{fd}_R N = \sup_{M\in\operatorname{Mod}_R}\{\operatorname{Tor}_n^R(M,N) \ne 0\}

이는

M

또는

N

의, 평탄 가군으로 구성된 분해의 길이들의 하한과 같다.

2. 3. 아벨 범주(환)의 차원

아벨 범주

\mathcal C

의 '''대역 차원'''(global dimension^영어)

\operatorname{gd}\mathcal C

는 다음과 같이 정의된다.

:

\operatorname{gd}\mathcal C=\sup_{M,N\in\mathcal C}\{n\colon \operatorname{Ext}^n_{\mathcal C}(M,N)\ne0\}=\sup_{M\in\mathcal C}\operatorname{cohd}(\hom_{\mathcal C}(M,-))=\sup_{N\in\mathcal C}\operatorname{cohd}(\hom_{\mathcal C}(-,N))

여기서

\operatorname{Ext}

는 Ext 함자를 나타낸다.

만약 아벨 범주

\mathcal C

가 단사 대상을 충분히 가지는 범주라면, 대역 차원은 모든 대상의 단사 차원의 상한과 같다.

:

\operatorname{gd}\mathcal C=\sup_{M\in\mathcal C}\operatorname{id}_RM

만약 아벨 범주

\mathcal C

가 사영 대상을 충분히 가지는 범주라면, 대역 차원은 모든 대상의 사영 차원의 상한과 같다.

:

\operatorname{gd}\mathcal C=\sup_{M\in\mathcal C}\operatorname{pd}_RM

환

R

위의 왼쪽 가군들의 아벨 범주

R\text{-Mod}

는 단사 대상을 충분히 가지는 범주이자 사영 대상을 충분히 가지는 범주이다. 또한, 환

R

위의 왼쪽 유한 생성 가군들의 아벨 범주

R\text{-fgMod}

는 사영 대상을 충분히 가지는 범주이다. (그러나 일반적으로 단사 대상을 충분히 가지는 범주는 아니다.) 이 두 아벨 범주의 대역 차원은 같으며, 이를

R

의 '''왼쪽 대역 차원'''(left global dimension^영어)이라고 부른다.

:

\operatorname{gd_L}R=\operatorname{gd}(R\text{-Mod})=\operatorname{gd}(R\text{-fgMod})

마찬가지로, (유한 생성) 오른쪽 가군들의 아벨 범주의 차원을

R

의 '''오른쪽 대역 차원'''(right global dimension^영어)이라고 한다.

:

\operatorname{gd_R}R=\operatorname{gd}(\text{Mod-}R)=\operatorname{gd}(\text{fgMod-}R)=\operatorname{gd_L}(R^{\operatorname{op}})

여기서

R^{\operatorname{op}}

는

R

의 반대환이다.

가환환의 경우 왼쪽 대역 차원과 오른쪽 대역 차원은 항상 같다. (양쪽) 뇌터 환의 경우에도 왼쪽 대역 차원과 오른쪽 대역 차원이 서로 일치한다. 그러나 일반적인 비가환환에서는 왼쪽 대역 차원과 오른쪽 대역 차원이 다를 수 있다.

환

R

의 '''평탄 대역 차원'''(flat global dimension^영어) 또는 '''약한 대역 차원'''(weak global dimension^영어)

\operatorname{wgd}\mathcal C

는 다음과 같이 정의된다.

:

\operatorname{wgd} R=\sup_{M\in\operatorname{Mod}_R,\,N\in{}_R\operatorname{Mod}}\{n\colon \operatorname{Tor}_n^R(M,N)\ne0\}=\sup_{N\in{}_R\operatorname{Mod}}\operatorname{hd}(\otimes N)

여기서

\operatorname{Tor}

는 Tor 함자를 나타내고,

\otimes N\colon \operatorname{Mod}_R\to \operatorname{Ab}

는 텐서곱 함자이다.

이러한 차원 개념들 사이의 관계는 다음 표와 같다.

가군의 차원 유형	차원을 계산하는 데 사용되는 가군 분해	대응하는 대역 차원	관련된 함자	관련된 유도 함자
사영 차원	사영 가군 분해	대역 차원	$\hom(M,-)$	Ext 함자
단사 차원	단사 가군 분해	대역 차원	$\hom(-,M)$	Ext 함자
평탄 차원	평탄 가군 분해	평탄 대역 차원 (약한 대역 차원)	$\otimes M$	Tor 함자

3. 성질

(내용 없음)

3. 1. 대역 차원

R

가 (가환환이 아닐 수 있는) 뇌터 환이라면, 다음이 성립한다.

:

\operatorname{gd_L}R = \operatorname{gd_R}R = \operatorname{fd}R

여기서

\operatorname{gd_L}R

은 좌 대역 차원,

\operatorname{gd_R}R

은 우 대역 차원,

\operatorname{fd}R

은 평탄 차원을 나타낸다.

R

가 가환 뇌터 국소환이며, 그 극대 아이디얼이

\mathfrak m

이라면, 다음이 성립한다.

:

\operatorname{gd}R=\operatorname{pd}R/\mathfrak m

여기서

\operatorname{gd}R

은 대역 차원,

\operatorname{pd}R/\mathfrak m

은 잉여류 체

R/\mathfrak m

의 사영 차원을 나타낸다.

가환 뇌터 국소환

R

에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

대역 차원이 유한하다.
정칙 국소환이다.

또한, 가환 뇌터 정칙 국소환의 경우 대역 차원은 크룰 차원과 같다.

3. 2. 다른 특성화 (영어 문서)

환 ''A''의 오른쪽 전역 차원은 다음과 같이 다른 방식으로 정의될 수 있다.

모든 순환 가군 오른쪽 ''A''-가군의 사영 차원 집합의 상한;
모든 유한 생성 가군 오른쪽 ''A''-가군의 사영 차원 집합의 상한;
모든 오른쪽 ''A''-가군의 단사 차원의 상한;
''A''가 극대 아이디얼 ''m''을 갖는 가환 Noetherian 국소환일 때, 잉여류체 ''A''/''m''의 사영 차원.

''A''의 왼쪽 전역 차원은 위 목록에서 "오른쪽"을 "왼쪽"으로 대체하여 얻은 유사한 특성을 갖는다.

세르(Serre)는 가환 노에터리안 국소환 ''A''가 유한 전역 차원을 가질 경우에만 정칙 국소환이며, 이 경우 전역 차원은 ''A''의 크룰 차원과 일치함을 증명했다. 이 정리는 가환대수에 호몰로지 방법론을 적용하는 길을 열었다.

3. 3. 오슬랜더-북스바움 공식

R

가 가환 뇌터 국소환이며, 그 극대 아이디얼이

\mathfrak m

이며,

M

이

R

위의 유한 생성 아이디얼이며, 그 사영 차원이 유한하다고 하자. 그렇다면, 사영 차원과 가군의 깊이 사이에는 다음이 성립한다 ('''오슬랜더-북스바움 공식''' Auslander–Buchsbaum formula^영어).^[3]

:

\operatorname{pd}_RM+\operatorname{depth}_{\mathfrak m}M=\operatorname{depth}_{\mathfrak m}R

4. 예

환이 오른쪽 뇌터 환이면, 오른쪽 대역 차원은 약한 대역 차원과 같고, 왼쪽 대역 차원보다 작거나 같다. 특히, 환이 오른쪽 및 왼쪽 뇌터 환이면 왼쪽 및 오른쪽 대역 차원과 약한 대역 차원은 모두 같다.

4. 1. 체

체

K

위의 가군은 벡터 공간

V

이며, 이 경우 모든 가군은 단사 가군이자 사영 가군이다. 따라서, 양의 차원을 갖는 모든 벡터 공간의 사영 차원 · 단사 차원 · 평탄 차원은 0이다.

:

\operatorname{pd}_KV=\operatorname{id}_KV=\operatorname{fd}_KV=\begin{cases}0& V \ne 0\\

\infty & V = 0

\end{cases}

따라서, 체의 대역 차원과 평탄 대역 차원은 항상 0이다.

:

\operatorname{gd}K=\operatorname{fgd}K=0

체는 가환 뇌터 환 정칙 국소환이므로, 체의 크룰 차원 역시 0이다. (이는 체의 스펙트럼이 한원소 공간이므로 자명하게 알 수 있다.)

4. 2. 주 아이디얼 정역

R

가 주 아이디얼 정역이라고 하자. 그렇다면, 다음 두 정리가 성립한다.

주 아이디얼 정역 위의 자유 가군의 부분 가군은 항상 자유 가군이다.
:따라서, 임의의 $R$ -가군 $M$ 은 $M=F/G$ 와 같은 꼴( $F$ 와 $G$ 는 자유 가군)로 표현될 수 있다.
주 아이디얼 정역 위의 모든 사영 가군은 자유 가군이다. (이는 유한 생성 가군 조건이 없이도 성립한다.)

이에 따라, 주 아이디얼 정역 위의 가군

M

의 사영 차원과 평탄 차원은 다음과 같다.

	사영 차원 $\operatorname{pd}_RM$	평탄 차원 $\operatorname{fd}_RM$
영가군 $0$	−∞	−∞
영가군이 아닌 자유 가군	0	0
자유 가군이 아닌 평탄 가군	1	0
평탄 가군이 아닌 가군	1	1

특히, 체가 아닌 주 아이디얼 정역의 대역 차원은 1이다.

정수환 $\mathbb Z$ 위의 가군은 아벨 군 $G$ 이다. 정수환 위의 사영 가군 및 평탄 가군은 자유 아벨 군이며, 정수환 위의 단사 가군은 나눗셈군이다.

마찬가지로, 대역 차원이 1이므로, 주 아이디얼 정역 위의 모든 가군의 단사 차원은 다음과 같다.

	단사 차원 $\operatorname{id}_RM$
영가군	−∞
영가군이 아닌 단사 가군	0
단사 가군이 아닌 가군	1

4. 3. 자명환

자명환

0

위의 모든 가군은 자명군이다. 따라서, 그 대역 차원과 평탄 대역 차원은

-\infty

이다.

4. 4. 다항식환

'''힐베르트 삭망 정리'''(Hilbert’s syzygy theorem^영어)에 따르면,

R

가 뇌터 가환환이며, 그 대역 차원이 유한하다면, 다항식환

R[x]

의 대역 차원은

\operatorname{gd}R[x]=\operatorname{gd}R+1

이다.

뇌터 가환환 위의 다항식환 역시 뇌터 가환환이므로, 이 정리를 반복해서 적용하면 변수가

n

개인 다항식환

R[x_1,x_2,\dotsc,x_n]

의 대역 차원은 다음과 같이 주어진다.

:

\operatorname{gd}R[x_1,x_2,\dotsc,x_n] = \operatorname{gd}R+n

특히, 체

K

위의

n

개의 변수를 갖는 다항식환

A = K[x_1,\dots,x_n]

의 대역 차원은

n

이다. 이는 다항식환의 호몰로지적 성질에 대한 다비트 힐베르트의 기초적인 연구 결과이며, 힐베르트의 시지기 정리와 관련이 깊다. 이 경우, 모든

A

-가군은 길이가

n

이하인 자유 가군으로 구성된 사영 분해를 갖는다.

더 일반적으로,

R

이 유한 대역 차원

k

를 갖는 뇌터 환이고

A = R[x]

가

R

위의 한 변수를 갖는 다항식환이면,

A

의 대역 차원은

k + 1

과 같다.

4. 5. 반단순환, 유전환, 바일 대수 (영어 문서)

환의 전역 차원이 0인 것은 그 환이 반단순환일 필요충분 조건이다.
환 ''A''의 전역 차원이 1 이하인 것은 ''A''가 유전환일 필요충분 조건이다. 특히, 체가 아닌 가환 주 아이디얼 정역은 전역 차원이 1이다. 예를 들어, 정수환 $\mathbb{Z}$ 는 전역 차원이 1이다.
첫 번째 바일 대수 ''A''₁은 전역 차원이 1인 비가환 뇌터 정역이다.

4. 6. 삼각 행렬환 (영어 문서)

삼각 행렬환

\begin{bmatrix}\mathbb Z&\mathbb Q \\0&\mathbb Q \end{bmatrix}

는 오른쪽 전역 차원이 1이고, 약 전역 차원이 1이지만, 왼쪽 전역 차원은 2이다. 이 환은 오른쪽 뇌터 환이지만 왼쪽 뇌터 환은 아니다.

5. 역사

힐베르트 삭망 정리는 체의 경우 다비트 힐베르트가 1890년에 증명하였다.^[4]

이후 세르(Serre)는 가환 노에터리안 국소환 ''A''가 유한 전역 차원을 가질 경우에만 정칙 국소환이며, 이때 전역 차원은 ''A''의 크룰 차원과 일치함을 증명했다. 이 정리는 가환대수에 호몰로지 방법론을 적용하는 길을 열었다는 평가를 받는다.

참조

_[1] 논문 On the dimension of modules and algebras. III. Global dimension http://projecteuclid[...] 1955
_[2] 서적 An introduction to homological algebra http://www.math.rutg[...] Cambridge University Press 1994
_[3] 논문 Homological dimension in local rings 1957
_[4] 논문 Ueber die Theorie der algebraischen Formen http://resolver.sub.[...]

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com