H-공간

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 쌍대 H-공간
3. 예와 성질
4. 역사
참조

1. 개요

H-공간은 위상 공간 X와 연속 함수 μ: X × X → X, 항등원 e ∈ X로 구성되며, 이 함수는 곱셈 연산을 정의한다. H-공간은 항등원을 갖는 마그마와 유사하지만, 일반적으로 역원이 존재하지 않고 결합 법칙이 성립하지 않을 수 있다. H-공간은 호몰로지 군과 코호몰로지 군에 구조를 부여하며, 기본군은 아벨 군이다. H-공간은 호모토피류의 연산을 정의하는 데 사용될 수 있으며, 쌍대 H-공간과 밀접한 관련이 있다. 프랭크 아담스의 호프 불변량 1 정리는 구체적으로 S0, S1, S3, S7이 H-공간인 유일한 n-구라고 명시한다. 이 개념은 장피에르 세르에 의해 개발되었으며, 하인츠 호프의 이름을 따서 명명되었다.

2. 정의

H-공간은 위상 공간 $X$ , $X$ 의 원소 $e$ (항등원), 그리고 연속 함수 $\mu \colon X \times X \to X$ 로 구성된다. H-공간은 다음 조건을 만족시킨다.

$\mu(e,e) = e$
$x \mapsto \mu(x, e)$ 와 $x \mapsto \mu(e, x)$ 는 모두 $e$ 를 $e$ 로 보내는 사상을 통해 항등 함수와 호모토픽하다.^[2]

이는 기저점을 보존하는 호모토피에서 기저점이 항등원인 연속 곱셈을 갖는 점 있는 위상 공간으로 생각할 수 있다.

위상 공간

X

에 대해

(X, e, \mu)

가 H-공간이 되도록 하는

e

와

\mu

가 존재하면,

X

를 H-공간이라고 한다.^[3] H-공간은 호모토피가 기저점

e

를 고정할 필요가 없도록 정의하거나, 호모토피를 고려하지 않고

e

를 정확한 항등원으로 요구하여 정의할 수도 있다.^[4] CW 복합체의 경우 이 세 가지 정의는 동일하다.^[5]

H-공간은 항등원이 있는 마그마이지만, 역원이 존재하지 않고 결합 법칙이 성립하지 않는 경우가 일반적이다. 군의 공리를 만족하는 H-공간은 '''H-군'''(H-group^영어)이라고 부른다.

2. 1. 쌍대 H-공간

쌍대 H-공간은 다음과 같은 데이터로 구성된다.

연속 함수 $\mu \colon X \to X \vee X$
항등원 $e \in X$

3. 예와 성질

H-공간과 유향 위상 공간 사이에 유향 호모토피 동치가 있으면, 후자의 공간에도 자연스럽게 H-공간 구조가 생긴다.^[8] 따라서 어떤 공간에 H-공간 구조가 존재하는지는 그 공간의 유향 호모토피 유형에만 달려있다.

H-공간의 곱셈 구조는 호몰로지 군과 코호몰로지 군에도 영향을 준다. 예를 들어 유한하게 생성되고 자유 코호몰로지 군을 갖는 경로 연결 H-공간의 코호몰로지 링은 호프 대수가 된다.^[9] H-공간의 호몰로지 군에는 폰트랴긴 곱을 정의할 수도 있다.^[10]

H-공간의 기본군은 아벨 군이다. 이를 확인하기 위해 항등원 ''e''를 갖는 H-공간 ''X''를 생각하고, ''e''에서 시작하는 고리 ''f''와 ''g''를 생각하자. 함수 ''F'': [0,1] × [0,1] → ''X''를 ''F''(''a'',''b'') = ''f''(''a'')''g''(''b'')로 정의하면, ''F''(''a'',0) = ''F''(''a'',1) = ''f''(''a'')''e''는 ''f''와 호모토피하고, ''F''(0,''b'') = ''F''(1,''b'') = ''eg''(''b'')는 ''g''와 호모토피하다. 따라서 [''f''][''g'']에서 [''g''][''f'']로의 호모토피를 쉽게 정의할 수 있다.

3. 1. 위상군

위상군

G

와 그 연산

G \times G \to G

는 그 자체로 H-군을 이룬다.^[6] 기본군의 표준 정의는 이것이 군이라는 사실과 함께 고리 공간이 유향 위상 공간의 연쇄 및 반전의 표준 연산을 갖춘 H-군의 구조를 갖는다고 다시 말할 수 있다.^[7] 또한, 유향 위상 공간의 연속적인 밑점 보존 사상은 해당 고리 공간의 H-준동형을 유도하며, 이는 연속 사상에 의해 유도된 기본군에 대한 군 준동형을 반영한다.^[8]

3. 2. 초구

초구의 경우 H-공간이 되는 것은

\mathbb S^0

,

\mathbb S^1

,

\mathbb S^3

,

\mathbb S^7

뿐이다.

\mathbb S^7

을 제외한 나머지 3개는 모두 H-군이며 리 군을 이룬다.

프랭크 아담스의 호프 불변량 1 정리에 따르면, ''S''⁰, ''S''¹, ''S''³, ''S''⁷이 H-공간인 유일한 n-구이다. 이들은 각각 실수, 복소수, 사원수, 팔원수의 노름이 1인 원소들의 부분 집합으로 볼 수 있으며, 이 대수들에서의 곱셈 연산을 통해 H-공간을 형성한다. 실제로 ''S''⁰, ''S''¹, ''S''³은 이러한 곱셈을 갖는 군(리 군)이다. 그러나 ''S''⁷은 팔원수 곱셈이 결합 법칙을 만족하지 않으므로, 군이 될 수 있는 다른 연속적인 곱셈이 존재하지 않아 이러한 방식으로 군이 될 수 없다.

3. 3. 현수 공간과 고리 공간

일반적으로 임의의 점을 가진 공간

X

에 대하여 그 축소 현수

\Sigma X

는 쌍대 H-공간을 이룬다.

\Sigma X = X\wedge\mathbb S^1 = (X\times\mathbb S^1)/(X\vee\mathbb S^1)

위에서 연산은 다음과 같이 정의한다.

:

(\operatorname{id}_X\wedge w_1)\colon X\wedge\mathbb S^1\to X\wedge(\mathbb S^1\vee\mathbb S^1)\cong(X\wedge\mathbb S^1)\vee(X\wedge\mathbb S^1)

여기서

\wedge

는 분쇄곱,

\vee

는 쐐기합이고,

w_1

은 위 초구의 쌍대 H-공간에서 정의한 연산이다. 초구의 경우

\Sigma \mathbb S^{n-1}\simeq\mathbb S^n

이므로, 초구의 쌍대 H-공간 구조는 현수의 쌍대 H-공간 구조의 특수한 경우이다.

거꾸로 고리 공간

\Omega X

는 H-공간을 이룬다. 구체적으로,

\Omega X

위의 곱셈은 다음과 같다.

:

m\colon (\gamma,\gamma')\mapsto (\gamma\vee\gamma')\circ w_1

여기서

:

\gamma,\gamma'\colon\mathbb S^1\to X

:

\gamma\vee\gamma'\colon\mathbb S^1\vee\mathbb S^1\to X

:

w_1\colon\mathbb S^1\to\mathbb S^1\vee\mathbb S^1

이다.

기본군의 표준 정의는 이것이 군이라는 사실과 함께 고리 공간이 유향 위상 공간의 연쇄 및 반전의 표준 연산을 갖춘 H-군의 구조를 갖는다고 다시 말할 수 있다.^[6] 또한, 유향 위상 공간의 연속적인 밑점 보존 사상은 해당 고리 공간의 H-준동형을 유도하며, 이는 연속 사상에 의해 유도된 기본군에 대한 군 준동형을 반영한다.^[7]

3. 4. 에일렌베르크-매클레인 공간과 피터슨 공간

아벨 군

G

및 자연수

n

에 대하여, 에일렌베르크-매클레인 공간

K(G,n)

는 다른 공간의 고리 공간이다.

:

K(G,n) \simeq \Omega K(G,n+1)

그러므로 에일렌베르크-매클레인 공간

K(G,n)

은 H-공간을 이룬다.

마찬가지로 유한 생성 아벨 군

G

및

n \ge 3

의 경우 피터슨 공간

P(G,n)

는 다른 공간의 축소 현수 공간이다.

:

P(G,n) \simeq \Sigma P(G,n-1)

그러므로 피터슨 공간

P(G,n)

은 쌍대 H-공간을 이룬다.

3. 5. 호모토피류의 연산

호모토피 군은 초구에서 공간

X

로 가는 호모토피류

[\mathbb S^n,X]_\bullet

로, 그 위에서의 연산은 호모토피 합성함수

h \colon \mathbb S^n \vee \mathbb S^n \to \mathbb S^n

에 의해 정의된다.

:

[f] \cdot [g] \colon x \mapsto (f \vee g)(h(x))

일반적으로, 쌍대 H-공간

(X, \mu)

에서 공간

Y

로 가는 호모토피류

[X,Y]_\bullet

위의 이항 연산은 다음과 같이 정의할 수 있다.

:

[f] \cdot [g] \colon x \mapsto (f \vee g)(\mu(x))

반대로 공간

X

에서 H-공간

(Y, \mu)

로 가는 호모토피류의 연산은 다음과 같이 정의할 수 있다.

:

[f]\cdot[g] \colon x \mapsto \mu(f(x),g(x))

위에서 각각이 (쌍대) H-군의 구조를 가질 경우

[X,Y]_\bullet

은 군의 구조를 가진다.

에크만-힐튼 쌍대성에 의해 축소 현수

\Sigma

와 고리 공간

\Omega

는 서로 수반 함자를 이루므로, 이에 의한 호모토피류의 군 구조도 서로 일치한다.

:

[X,\Omega Y]_\bullet \cong [\Sigma X,Y]_\bullet

특히,

\Sigma \mathbb S^{n-1} \cong \mathbb S^n

이므로 호모토피 군에 대해

\pi_{n-1}(\Omega X) \cong \pi_n(X)

가 성립한다. 기본군의 표준 정의는 이것이 군이라는 사실과 함께 고리 공간이 유향 위상 공간의 연쇄 및 반전의 표준 연산을 갖춘 H-군의 구조를 갖는다고 다시 말할 수 있다.^[6] 또한, 유향 위상 공간의 연속적인 밑점 보존 사상은 해당 고리 공간의 H-준동형을 유도하며, 이는 연속 사상에 의해 유도된 기본군에 대한 군 준동형을 반영한다.^[7]

4. 역사

장피에르 세르가 하인츠 호프의 이론에 영향을 받아 만들었고, 호프의 이름 머리글자인 H를 붙였다.^[11]

참조

_[1] 서적 A Short History of H-spaces 1999
_[2] 서적
_[3] 서적
_[4] 서적 1970
_[5] 서적
_[6] 서적
_[7] 서적
_[8] 서적
_[9] 서적
_[10] 서적
_[11] 서적 A Short History of H-spaces 1999

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