갈루아 확대
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1. 개요
갈루아 확대는 체의 확대의 한 종류로, 대수적 확대이면서 정규 확대이며 분해 가능한 확대이다. 유한 확대 E/F가 갈루아 확대가 되기 위한 필요충분 조건은 정규 확대이자 분리 가능한 확대이거나, F를 계수로 하는 분리 가능한 다항식의 분해체이거나, 자기 동형 사상의 개수가 확대의 차수와 같다는 것이다. 갈루아 확대는 갈루아 이론의 기본 정리를 만족하며, 체론에서 중요한 개념으로 다항식의 근의 성질과 체의 구조를 연결하는 데 기여한다. 예시로, 유리수체에 2의 제곱근을 결합한 확대는 갈루아 확대이지만, 2의 세제곱근을 결합한 확대는 갈루아 확대가 아니다.
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- 갈루아 이론 - 갈루아 군
갈루아 군은 체의 확대에 대한 자기 동형군으로, 갈루아 이론의 기본 정리에 따라 체론과 군론을 연결하며, 사유한군 구조를 가지고 갈루아 코호몰로지와 관련된다. - 갈루아 이론 - 프로베니우스 사상
표수가 소수 p인 가환환 R에서 프로베니우스 사상은 r을 r^p로 보내는 환 준동형으로, 환의 표수가 p인 환의 범주에 대한 항등 함자에서 자체로의 자연 변환을 나타내며, 체 K가 표수가 0이거나 양의 표수를 갖고 프로베니우스 사상이 자기 동형 사상인 경우 완전체라고 한다. - 대수적 수론 - 아이디얼
아이디얼은 유사환에서 환의 원소와의 곱셈에 대해 닫혀 있는 부분군으로, 왼쪽, 오른쪽, 양쪽 아이디얼로 나뉘며 가환환에서는 세 개념이 일치하고, 환 준동형사상의 핵으로 나타나 잉여환을 정의하는 데 사용되며, 아이디얼 수 개념에서 유래하여 추상대수학의 주요 개념으로 확장되었다. - 대수적 수론 - 밀너 환
밀너 환은 체 위의 가역원군으로 정의되는 등급환으로, 각 등급 성분인 밀너 K군은 대수적 K-이론, 고차 류체론, 갈루아 코호몰로지, 에탈 코호몰로지, 이차 형식 등 여러 수학 분야와 연결되는 심오한 추측들과 연관된다.
| 갈루아 확대 | |
|---|---|
| 기본 정보 | |
| 분야 | 체론 |
| 하위 분야 | 추상대수학 |
| 명명 유래 | 에바리스트 갈루아 |
| 정의 | |
| 정의 | 대수적 확대: 대수적 확대 $L/K$에 대해, $L$이 $K$ 위에서 분해 가능하고 정규 확대이면 $L/K$를 갈루아 확대라고 한다. 분해 가능 확대: 대수적 확대 $L/K$의 모든 원소가 $K$ 위에서 분해 가능하면 $L/K$를 분해 가능 확대라고 한다. 정규 확대: 대수적 확대 $L/K$에 대해, $K$ 위에서 기약인 모든 다항식이 $L$ 안에서 완전히 분해되면 $L/K$를 정규 확대라고 한다. |
| 갈루아 군 | 갈루아 확대 $L/K$의 갈루아 군은 $K$를 고정하는 $L$의 자기 동형사상들의 군이다. |
| 갈루아 대응 | 갈루아 확대 $L/K$에 대해, $L$의 중간체 $F$와 갈루아 군 $Gal(L/K)$의 부분군 $H$ 사이에 갈루아 대응이 존재한다. |
| 고정체 | 갈루아 군 $Gal(L/K)$의 부분군 $H$에 대한 고정체는 $H$의 모든 원소에 의해 고정되는 $L$의 원소들의 집합이다. |
| 조건 | |
| 필요충분조건 | 유한 확대 $L/K$가 갈루아 확대일 필요충분조건은 $L$의 자기 동형사상으로 $K$를 고정하는 것들의 개수가 확대차 $[L:K]$와 같은 것이다. |
| 특징 | $K$의 표수가 0이면, 모든 유한 확대는 분해 가능하다. 따라서, $K$의 표수가 0인 경우, 유한 확대 $L/K$가 정규 확대이기 위한 필요충분조건은 갈루아 확대인 것이다. 유한체에 대해서, 모든 대수적 확대는 분해 가능하다. |
| 관련 항목 | |
| 관련 항목 | 갈루아 이론 갈루아 군 체의 확대 기약 다항식 분해 가능 다항식 정규 확대 |
2. 정의
'''갈루아 확대'''는 다음 세 조건을 만족시키는 체의 확대이다.
- 대수적 확대이다.
- 정규 확대이다. 즉, 기약 다항식 의 근 가운데 적어도 하나가 에 포함된다면, 의 모든 근들이 에 포함된다.
- 분해 가능 확대이다. 즉, 모든 에 대한 최소 다항식의 각 기약 인자들의 근들이 서로 겹치지 않는다.
에밀 아르틴의 중요한 정리에 따르면, 유한 확대 에 대해 다음 각 명제는 가 갈루아 확대라는 명제와 동치이다.
다른 동치 명제는 다음과 같다.
- 의 기약 다항식 중 에 적어도 하나의 근을 갖는 다항식은 에서 분해되고 분리가능하다.
- , 즉 자기 동형 사상의 개수는 확대의 차수 이상이다.
- 는 의 부분군의 고정체이다.
- 는 의 고정체이다.
- 의 부분체와 의 부분군 사이에는 일대일 대응이 존재한다.
무한 체 확대 는 가 (무한) 인덱스 집합 에 의해 인덱싱된 유한 갈루아 부분 확대 의 합집합인 경우에만 갈루아 확대이다. 즉, 이고 갈루아 군은 역극한 인데, 여기서 역 시스템은 체 포함 에 의해 정렬된다.
3. 성질
에밀 아르틴이 증명한 정리에 따르면, 유한 확대 에 대하여 다음 조건들은 서로 동치이다.
- 는 갈루아 확대이다.
- 는 정규 분해 가능 확대이다.
- 은 근이 겹치지 않는 (즉, 분해 가능한) 어떤 다항식 의 분해체이다.
- 이다. 즉, 체의 확대의 차수 는 체의 확대의 자기동형군의 크기와 같다.
에밀 아르틴의 중요한 정리는 유한 확대 에 대해 다음 명제가 가 갈루아 확대라는 명제와 동치임을 나타낸다.
다른 동치 명제는 다음과 같다.
- 의 기약 다항식 중 에 적어도 하나의 근을 갖는 다항식은 에서 분해되고 분리가능하다.
- 이다. 즉, 자기 동형 사상의 개수는 확대의 차수 이상이다.
- 는 의 부분군의 고정체이다.
- 는 의 고정체이다.
- 의 부분체와 의 부분군 사이에는 일대일 대응이 존재한다.
4. 예
- 유리수체 \(\mathbb Q\)의 확대에 대해 알아보자.
- * \(\mathbb Q(\sqrt2)\)는 갈루아 확대이다.
- * \(\mathbb Q(\sqrt[3]2)\)는 정규 확대가 아니므로 갈루아 확대가 아니다. 이는 \(x^3-2\in\mathbb Q[x]\)의 세 근 가운데 오직 하나만을 포함하기 때문이다.
- * \(\mathbb Q(\pi)\)는 대수적 확대가 아니므로 갈루아 확대가 아니다. 이는 원주율 \(\pi\)가 초월수이기 때문이다.
- 갈루아 확장을 만드는 두 가지 기본적인 방법은 다음과 같다.
- * 임의의 체 \(E\)와 \(\operatorname{Aut}(E)\)의 유한 부분군을 택하고, \(F\)를 고정된 체로 둔다.
- * 임의의 체 \(F\)와 \(F[x]\)의 분리 가능한 다항식을 택하고, \(E\)를 그 분해체로 둔다.
- 유리수체에 2의 제곱근을 결합하면 갈루아 확대가 되지만, 2의 세제곱근을 결합하면 비-갈루아 확장이 된다. 이 두 확장은 모두 분리 가능한데, 이는 표수가 0이기 때문이다. 전자는 \(x^2 -2\)의 분해체이고, 후자는 복소수 단위근을 포함하는 정규 확대를 가지므로 분해체가 아니다. 실제로, 이 확장은 항등원 외에는 자기 동형 사상을 갖지 않는데, 이는 실수에 포함되어 있고 \(x^3 -2\)는 단 하나의 실근을 갖기 때문이다. 더 자세한 예시는 갈루아 이론의 기본 정리 페이지를 참조하라.
- 임의의 체 \(K\)의 대수적 폐포 \(\bar K\)는 \(K\)가 완전체일 경우에만 \(K\)에 대한 갈루아 확장이 된다.
5. 추가 설명
에밀 아르틴의 중요한 정리에 따르면, 유한 확대 에 대해 다음 명제들은 가 갈루아 확대라는 것과 동치이다.[1]
다른 동치 명제는 다음과 같다.[1]
- 의 기약 다항식 중 에 적어도 하나의 근을 갖는 다항식은 에서 분해되고 분리가능하다.
- 즉, 자기 동형 사상의 개수는 확대의 차수 이상이다.
- 는 의 부분군의 고정체이다.
- 는 의 고정체이다.
- 의 부분체와 의 부분군 사이에는 일대일 대응이 존재한다.
무한 체 확대 는 가 유한 갈루아 부분 확대 의 합집합인 경우에만 갈루아 확대이다.
갈루아 확장의 예시를 구성하는 두 가지 기본적인 방법은 다음과 같다.[1]
- 임의의 체 와 의 유한 부분군을 택하고, 를 고정된 체로 둔다.
- 임의의 체 와 의 분리 가능한 다항식을 택하고, 를 그 분해체로 둔다.
유리수체에 2의 제곱근을 결합하면 갈루아 확장이 되지만, 2의 세제곱근을 결합하면 비-갈루아 확장이 된다. 이 두 확장은 모두 분리 가능한데, 이는 그들이 표수가 0이기 때문이다.
임의의 체 의 대수적 폐포 는 가 완전체일 경우에만 에 대한 갈루아 확장이 된다.[1]
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