기본 표현

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1. 개요
2. 기본 표현의 성질
3. 단순 리 군의 기본 표현 (예시)
4. 기본 표현의 다른 용도
참조

1. 개요

기본 표현은 리 대수의 표현 이론에서 사용되는 개념으로, 모든 표현을 구성하는 데 기초가 된다. 기본 표현은 기본 무게를 우세 무게로 가지며, 단순 리 군의 경우, 기본 표현의 개수는 리 군의 계수와 같다. 일반 선형군, 특수 유니터리 군, 스핀 군, 심플렉틱 군과 같은 다양한 군에서 기본 표현의 구체적인 형태가 정의되며, 예외 리 군의 경우 특정 차원의 표현으로 나타난다. 리 대수 밖에서는 가장 작은 차원의 충실한 표현을 가리키는 데 사용되기도 한다.

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기본 표현

2. 기본 표현의 성질

모든 표현은 일련의 무게들로 나타낼 수 있다. 계수(rank|랭크^영어, 카르탕 부분 대수의 차원)가 $k$ 인 반단순 리 대수의 표현은 $k$ 개의 무게를 가진다. 즉, 무게들은 $k$ 차원 실수 벡터 공간의 원소다. 여기에 임의로 정분면(orthant|오선트^영어)을 골라, 순서를 매길 수 있다. 그 가운데, 선택한 양근에 의하여 결정되는 단순 쌍대근의 쌍대 기저를 '''기본 무게'''(基本-, fundamental weight|펀더멘털 웨이트^영어)라고 한다. 기본 무게를 우세 무게로 가지는 표현을 '''기본 표현'''이라고 한다. 이에 따라 임의의 표현은 기본 표현들의 텐서곱의 최고 무게 성분으로 나타낼 수 있다. 기본 표현은 무게 공간의 기저를 이루므로, 기본 표현의 개수는 리 군의 계수와 같다.^[1]

단순 연결된 콤팩트 군 리 군의 기약 표현은 최고 무게로 색인된다. 이러한 무게는 우세한 정수 무게로 구성된 리 군의 무게 격자에서 정역 ''Q''₊의 격자점이다. 딘킨 도표의 꼭짓점으로 색인된 일련의 "기본 무게"가 존재하여 모든 우세한 정수 무게가 기본 무게의 음이 아닌 정수 선형 결합임을 증명할 수 있다. 해당 기약 표현은 리 군의 '''기본 표현'''이다. 기본 무게 측면에서 우세한 무게의 확장에서 해당 기본 표현의 텐서 곱을 가져와서 해당 우세한 무게에 해당하는 기약 표현의 복사본 하나를 추출할 수 있다.^[2]

3. 단순 리 군의 기본 표현 (예시)

단순 리 군(simple Lie group)은 더 작은 리 군으로 쪼갤 수 없는 리 군이다.

하위 섹션에서 일반 선형군, 특수 유니터리 군, 스핀 군, 심플렉틱 군 및 예외 리 군의 기본 표현에 대한 내용이 자세하게 다루어지고 있으므로, 이 섹션에서는 해당 내용의 중복을 피하기 위해 단순 리 군의 기본 표현에 대한 간략한 정의만을 제시한다.

3. 1. 일반 선형군 (General Linear Group)

일반 선형군의 경우, 모든 기본 표현은 정의 모듈의 외대수이다.^[1]

3. 2. 특수 유니터리 군 (Special Unitary Group, SU(n))

특수 유니터리 군 SU(''n'')의 경우, ''n'' − 1 개의 기본 표현은 ''k'' = 1, 2, ..., ''n'' − 1에 대해 교대 텐서로 구성된 외적

\operatorname{Alt}^k\ {\mathbb C}^n

이다.^[1] SU(n+1) (A_n) (또는 그 복소화인

SL(n+1,\mathbb C)

)의 경우, 기본 표현은

k

차 완전 반대칭 텐서

\bigwedge^k\mathbb C^{n+1}

(

k=1,\dots,n

)이다. 이 경우, 기본 무게는

(1,0,0,\dots,0)

,

(1,1,0,\dots,0)

…,

(1,1,1,\dots,1)

의 꼴이다.^[2]

3. 3. 스핀 군 (Spin Group)

B_n = Spin(2n+1)의 경우, 기본 표현은

2^n

차원 디랙 스피너와

\bigwedge^k\mathbb C^{2n+1}

(

k=1,\dots,n-1

)이다. 이 경우, 기본 무게는

(1/2,1/2,\dots,1/2)

(스피너)와

(1,0,\dots,0,0)

, …,

(1,1,\dots,1,0)

이다.^[1]

D_n = Spin(2n)의 경우, 기본 표현은

2^{n-1}

차원 바일 스피너 두 개와

\bigwedge^k\mathbb C^{2n}

(

k=1,\dots,n-2

)이다. 이 경우, 기본 무게는

(1/2,1/2,\dots,1/2,\pm1/2)

와

(1,0,\dots,0,0.0)

, …,

(1,1,\dots,1,0,0)

이다.^[1]

스핀 표현은 홀수 직교군의 두 배 덮개(double cover), 홀수 스핀 군의 스핀 표현과 짝수 직교군의 두 배 덮개인 짝수 스피너 군의 두 개의 반스핀(half-spin) 표현은 텐서 공간에서 실현될 수 없는 기본 표현이다.^[1]

3. 4. 심플렉틱 군 (Symplectic Group)

USp(2n)의 경우, 기본 표현은

\bigwedge^k\mathbb C^{2n}

(

k=1,\dots,n

)의 최고 무게 기약 성분이다. 이는

\binom{2n}k-\binom{2n}{k-2}

(

k\ge2

)차원이다.

k=1

인 경우는

2n

차원이다.

3. 5. 예외 리 군 (Exceptional Lie Group)

F₄의 기본 표현은 26, 52, 273, 1274차원 표현이다. 여기서 52차원 표현은 딸림표현이다.^[1]

G₂의 기본 표현은 7차원 표현과 14차원 표현이다. 여기서 14차원 표현은 딸림표현이다.^[1]

E₆의 기본 표현은 27, 27′, 78, 351, 351′, 2925차원 표현이다. 여기서 78차원 표현은 딸림표현이다.^[1]

E₇의 기본 표현은 56, 133, 912, 1539, 8645, 27664, 365750차원 표현이다. 여기서 133차원 표현은 딸림표현이다.^[1]

E₈의 기본 표현은 각각 248, 3875, 30380, 147250, 2450240, 6696000, 146325270, 6899079264차원 표현이다. 여기서 248차원 표현은 E₈ (수학) 형식의 단순 리 군의 딸림표현이며, 기본 표현이다.^[1]^[2]

4. 기본 표현의 다른 용도

리 대수 밖에서 "기본 표현"이라는 용어는 때때로 가장 작은 차원의 충실한 표현(faithful representation)을 가리키는 데 사용되기도 한다. 이는 종종 "표준" 또는 "정의" 표현이라고도 불리지만, 이는 잘 정의된 수학적 의미보다는 역사와 더 관련이 있다.

참조

_[1] 서적 Proposition 8.35
_[2] 서적 See the proof of Proposition 6.17 in the case of SU(3)

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