F₄

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 역사
참조

1. 개요

F₄는 여러 방법으로 정의되는 예외적인 리 군이다. 예외적 요르단 대수와 스핀 군 Spin(9)을 사용하여 정의할 수 있으며, 8차원 초구를 사용한 구성도 알려져 있다. F₄는 세 개의 실수 형식을 가지며, 군론적 성질, 위상수학적 성질, 근계, 표현론, 대수기하학적 성질 등을 갖는다. F₄는 빌헬름 킬링과 엘리 카르탕에 의해 발견되었으며, 클로드 슈발레에 의해 유한체 위에서도 정의될 수 있음이 밝혀졌다.

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F₄
개요
F4의 킬링 폼
종류	단순 리 군
복소 차원	52
랭크	4
킬링 폼	킬링 폼은 부호가 definite한 부호수를 가진다.
F4 딘킨 도표
근계	단순 리 대수 f4의 근계
Weyl 군	1152 원소를 가진다.
기본 표현	26차원 52차원
관련 개념
연관된 리 대수	f₄
연관된 리 군	F₄(ℂ) F₄(ℝ) 컴팩트 형태 F₄

2. 정의

F₄는 예외적 요르단 대수를 사용하거나 극대 부분군 Spin(9)를 사용하여 정의할 수 있다.

2. 1. 예외적 요르단 대수를 통한 정의

F₄의 실수 콤팩트 형식은 예외적 요르단 대수(3×3 팔원수 에르미트 행렬

\mathcal H_3(\mathbb O)

)들의 대수의 자기동형사상군이다.^[4]^[3] 예외적 요르단 대수는 27차원이고, F₄는 그 위에 작용하게 되므로 F₄의 27차원 표현이 존재한다. 이 가운데 대각합 부분을 제외하면 26차원 표현을 얻는다. 이는 F₄의 가장 작은 자명하지 않은 복소 표현이다.

구체적으로,

M\in\mathcal H_3(\mathbb O)

이 3×3 팔원수 에르미트 행렬이라고 하면, F₄는 다음을 보존시키는 SO(27)의 부분군이다.

:

\operatorname{tr}(M),\operatorname{tr}(M^2),\operatorname{tr}(M^3)

3×3 팔원수 에르미트 행렬 M은 다음과 같다.

:

M = \begin{bmatrix}x & \overline{Z} & Y \\Z & y & \overline{X} \\\overline{Y} & X & z\end{bmatrix}

여기서 ''x'', ''y'', ''z''는 실수 값을 가지며, ''X'', ''Y'', ''Z''는 팔원수 값을 가진다.

2. 2. Spin(9)를 통한 정의

F₄는 Spin(9)를 극대 부분군으로 갖는다. 이 경우, F₄의 딸림표현 '''52'''는

:'''52''' → '''36''' ⊕ '''16'''

으로 분해된다. 여기서 '''36'''은 Spin(9)의 딸림표현이고, '''16'''은 Spin(9)의 스피너 표현이다.

따라서, F₄의 실수 콤팩트 리 대수

\mathfrak f_4

는 벡터 공간으로서 다음과 같다.

:

\mathfrak f_4=\mathfrak{so}(9)\oplus\Gamma(\mathbb R^9)

여기서

\Gamma(\mathbb R^9)

는 16차원 마요라나 스피너 벡터 공간이다. 이들은 다음과 같은 자연스러운 교환 관계를 가진다.

:

[J_{ij},J_{kl}]=\delta_{jk}J_{il}-\delta_{jl}J_{ik}-\delta_{ik}J_{jl}+\delta_{il}J_{jk}

(

\mathfrak{so}(9)

리 괄호)

:

[J_{ij},Q_a] = \frac14 (\gamma_i\gamma_j-\gamma_j\gamma_i)_{ab} Q_b

(

\mathfrak{so}(9)

의 스피너 작용)

여기서

\gamma_i

는 9차원에서의 디랙 행렬들이다.

여기에 나머지 스피너 교환자

:

[Q_a,Q_b]=\gamma^{[i}_{ac}\gamma^{j]}_{cb} J_{ij}

를 추가하면, 야코비 항등식이 만족됨을 알 수 있다.

이 정의가 성립하려면, Spin(9)의 실수 형식에서 마요라나 스피너가 존재해야 한다. 9차원에서 마요라나 스피너가 존재할 수 있는 부호수는 (9,0), (8,1), (5,4) 세 가지이며, 이들은 각각 F₄의 세 실수 형식 F₄(-52)(콤팩트), F₄(-20), F₄(4)(분할)에 대응한다.

2. 3. 기타 정의

이 밖에도, 8차원 초구를 사용한 구성 또한 알려져 있다.^[5]

2. 4. 실수 형식

F₄는 세 가지 실수 형식(real form)을 갖는다.^[6] 이들은 다음과 같다(중심이 없는 형태).

기호	다른 기호	설명	기본군	외부자기동형군
F_4(-52)		콤팩트 형식	1	1
F₄₍₄₎	FⅠ	분할(split) 형식	$\mathbb Z/2\mathbb Z$	1
F_4(-20)	FⅡ		$\mathbb Z/2\mathbb Z$	1

3. 성질

F₄는 48개의 근으로 구성된 근계를 가지며, 24개의 긴 근과 24개의 짧은 근으로 이루어져 있다. 이들은 4차원에서 서로 쌍대인 두 개의 정이십사포체(24-cell)를 이룬다.^[1]

F₄의 4차원 근계를 2차원으로 사영한 모습. 긴 근은 적색, 짧은 근은 황색으로 나타내었다.

F₄의 근은 다음과 같이 표현된다.

(±1, ±1, 0, 0) 형태의 긴 근 24개 (좌표축 치환)
(±1, 0, 0, 0) 형태의 짧은 근 8개 (좌표축 치환)
(±½, ±½, ±½, ±½) 형태의 짧은 근 16개

F₄는 4개의 단순근을 가지며, 그 예시는 다음과 같다.

:

\begin{pmatrix}0&1&-1&0 \\0&0&1&-1 \\0&0&0&1 \\\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\end{pmatrix}

이에 해당하는 카르탕 행렬은 다음과 같다.

:

\begin{pmatrix}2&-1&0&0\\

1&2&-2&0\\

0&-1&2&-1\\0&0&-1&2\end{pmatrix}

F₄의 바일 군은 크기가

2^7\times3^2=1152

인 가해군이며, 4차원 정이십사포체의 대칭군이다.

F₄의 딘킨 도표는 네 개의 꼭짓점을 가진 선형이며, 2번째와 3번째 사이의 변은 2겹 화살표로 연결되어 있다.

F₄의 기약 표현 차원은 다음과 같다: 1, 26, 52, 273, 324, 1053 (두 개), 1274, 2652, 4096, 8424, 10829 등.^[8] 이 중 52차원 표현은 딸림표현이고, 26차원 표현은 27차원 예외적 요르단 대수 작용에서 대각합을 제외한 것이다. 기본 표현은 26, 52, 273, 1274차원 표현이며, 딘킨 도표의 네 노드에 대응한다.

F₄의 바일 군은 원소

v\mapsto-v

를 포함하므로 모든 표현은 스스로의 켤레와 동형이다. F₄는 사원수 표현이 없고, 모든 표현은 실수 표현이다.

콤팩트 형태의 F₄의 21차 이하 호모토피 군은 다음과 같다.^[7]

차수	호모토피 군
3	$\pi_3(F_4) \cong \operatorname{Cyc}(\infty)$
8	$\pi_8(F_4) \cong \operatorname{Cyc}(2)$
9	$\pi_9(F_4) \cong \operatorname{Cyc}(2)$
11	$\pi_{11}(F_4) \cong \operatorname{Cyc}(\infty) \oplus \operatorname{Cyc}(2)$
14	$\pi_{14}(F_4) \cong \operatorname{Cyc}(2)$
15	$\pi_{15}(F_4) \cong \operatorname{Cyc}(\infty)$
16	$\pi_{16}(F_4) \cong \operatorname{Cyc}(2) \oplus \operatorname{Cyc}(2)$
17	$\pi_{17}(F_4) \cong \operatorname{Cyc}(2)$
18	$\pi_{18}(F_4) \cong \operatorname{Cyc}(720) \oplus \operatorname{Cyc}(3)$
19	$\pi_{19}(F_4) \cong \operatorname{Cyc}(2)$
21	$\pi_{21}(F_4) \cong \operatorname{Cyc}(3) \oplus \operatorname{Cyc}(3)$

여기서 $\operatorname{Cyc}(k)$ 는 $k$ 차 순환군이다. 21차 이하에서 위에 언급되지 않은 호모토피 군은 자명군이다.

$\mathfrak f_4$ 의 불변 다항식 차수는 2, 6, 8, 12이다. 즉, 그 유리수 계수 코호몰로지 환은 3차 · 11차 · 15차 · 23차 생성원으로 생성되는 외대수이다.

3. 1. 군론적 성질

F₄ 콤팩트 형식의 주요 극대 부분군은 다음과 같다.^[3]

Spin(9)^[3]
(USp(2) × USp(6))/(ℤ/2)^[3]
(SU(3) × SU(3))/(ℤ/3)^[3]

F₄는 E₆의 부분군이다.^[3] 이는 E₆의 딘킨 도표를 ℤ/2 대칭을 따라 접어서 얻는다.

3. 2. 위상수학적 성질

콤팩트 형태의 F₄의 21차 이하 호모토피 군은 다음과 같다.^[7]

차수	호모토피 군
3	$\pi_3(F_4) \cong \operatorname{Cyc}(\infty)$
8	$\pi_8(F_4) \cong \operatorname{Cyc}(2)$
9	$\pi_9(F_4) \cong \operatorname{Cyc}(2)$
11	$\pi_{11}(F_4) \cong \operatorname{Cyc}(\infty) \oplus \operatorname{Cyc}(2)$
14	$\pi_{14}(F_4) \cong \operatorname{Cyc}(2)$
15	$\pi_{15}(F_4) \cong \operatorname{Cyc}(\infty)$
16	$\pi_{16}(F_4) \cong \operatorname{Cyc}(2) \oplus \operatorname{Cyc}(2)$
17	$\pi_{17}(F_4) \cong \operatorname{Cyc}(2)$
18	$\pi_{18}(F_4) \cong \operatorname{Cyc}(720) \oplus \operatorname{Cyc}(3)$
19	$\pi_{19}(F_4) \cong \operatorname{Cyc}(2)$
21	$\pi_{21}(F_4) \cong \operatorname{Cyc}(3) \oplus \operatorname{Cyc}(3)$

여기서 $\operatorname{Cyc}(k)$ 는 $k$ 차 순환군이다. 위에 수록되지 않은 21 이하 차수의 호모토피 군은 자명군이다.

$\mathfrak f_4$ 의 불변 다항식 차수는 2, 6, 8, 12이다. 즉, 그 유리수 계수 코호몰로지 환은 3차 · 11차 · 15차 · 23차 생성원으로 생성되는 외대수이다.

3. 3. 근계 (Root System)

F₄의 근계는 48개의 근으로 구성되며, 24개의 긴 근과 24개의 짧은 근으로 이루어져 있다. 4차원에서 정이십사포체(24-cell)가 존재하며, F₄의 긴 근과 짧은 근은 각각 서로 쌍대인 두 개의 정이십사포체를 이룬다.^[1]

F₄의 근은 다음과 같다.

(±1, ±1, 0, 0) 꼴의 긴 근 24개 (좌표축 치환)
(±1, 0, 0, 0) 꼴의 짧은 근 8개 (좌표축 치환)
(±½, ±½, ±½, ±½) 꼴의 짧은 근 16개

F₄는 4개의 단순근을 가지며, 단순근을 고르는 한 방법은 다음과 같다.

:

\begin{pmatrix}0&1&-1&0 \\0&0&1&-1 \\0&0&0&1 \\\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\end{pmatrix}

이에 따른 카르탕 행렬은 다음과 같다.

:

\begin{pmatrix}2&-1&0&0\\

1&2&-2&0\\

0&-1&2&-1\\0&0&-1&2\end{pmatrix}

F₄의 바일 군은 크기가

2^7\times3^2=1152

인 가해군이며, 4차원 정이십사포체의 대칭군이다.

F₄의 딘킨 도표는 네 개의 꼭짓점을 가진 선형이며, 2번째와 3번째 사이의 변은 2겹 화살표로 연결되어 있다.

3. 4. 표현론 (Representation Theory)

F₄의 기약 표현의 차원은 1, 26, 52, 273, 324, 1053 (두 개), 1274, 2652, 4096, 8424, 10829 등이다.^[8] 이 가운데 52차원 표현은 딸림표현이며, 26차원 표현은 27차원 예외적 요르단 대수 위의 작용에서 대각합을 제외한 것이다. 기본 표현은 26, 52, 273, 1274차원 표현들이며, 이는 딘킨 도표의 네 노드에 대응한다.

F₄의 바일 군은 원소

v\mapsto-v

를 포함하며, 따라서 모든 표현은 스스로의 켤레와 동형이다. F₄는 사원수 표현을 갖지 않으며, 모든 표현은 실수 표현이다.

52차원 표현은 리 대수의 수반 표현이고, 26차원 표현은 27차원 알베르트 대수에 대한 F₄의 작용에서 무자취 부분이다.

1053, 160056 등의 차원을 갖는 두 개의 비동형 기약 표현이 있다.

3. 5. 대수기하학적 성질

슈발레 기저를 사용하여 정수 계수의 리 대수

\mathfrak f_4(\mathbb Z)

및 군

F_4(\mathbb Z)

을 정의할 수 있다. 이는 임의의 가환환

R

에 대하여 대수군으로 정의할 수 있다.

특히, 유한체

\mathbb F_q

에 대한 계수의 슈발레 군

F_4(\mathbb F_q)

의 크기는 다음과 같다.

:

|F_4(\mathbb F_q)|=q^{24}(q^{12}-1)(q^8-1)(q^6-1)(q^2-1)

이는 모든 유한체에 대하여 유한 단순군을 이룬다. 이 가운데 가장 작은 것들의 크기는 다음과 같다.

:

|F_4(\mathbb F_2)|\approx3.31\times10^{15}

:

|F_4(\mathbb F_3)|\approx5.73\times10^{24}

:

|F_4(\mathbb F_4)|\approx1.90\times10^{31}

F₄는 표수가 2인 체 위에서 추가 대칭을 갖는다. 체의 크기가

2^{2n+1}

꼴인 경우, 이 대칭을 체의 프로베니우스 자기 동형으로 뒤틀어 대수군

{}^2F_4(\mathbb F_{2^{2n+1}})

을 정의할 수 있다. 이 군들은 발견자 이임학^[12]의 이름을 따 '''이임학 군'''(Ree group^영어)이라고 한다. 이 군들의 크기는 다음과 같다.

:

|{}^2F_4(\mathbb F_q)|= q^{12}(q^6+1)(q^4-1)(q^3+1)(q-1)\qquad(q=2^{2n+1})

이들은

q=2

인 경우를 제외하면 모두 유한 단순군을 이룬다.

q=2

일 경우 이는 단순군이 아니지만, 그 교환자 부분군

{}^2F_4(\mathbb F_2)'

은 지표가 2인 단순 부분군을 이룬다. 이 단순군은 발견자 자크 티츠^[13]의 이름을 따 '''티츠 군'''(Tits group^영어)이라고 한다. 티츠 군의 크기는 다음과 같다.

:

|{}^2F_4(\mathbb F_2)'|=\frac12|{}^2F_4(\mathbb F_2)|=2^{11}\times3^3\times5^2\times13=17\,971\,200

4. 역사

리 대수 $\mathfrak f_4$ 는 빌헬름 킬링이 복소수 단순 리 대수를 분류하면서 두 번 독립적으로 발견하였다. 그러나 킬링은 이 두 리 대수가 서로 동형이라는 것을 알아차리지 못했다.^[9] 이후 엘리 카르탕이 1894년에 복소수 단순 리 군을 분류하면서 그 존재와 유일함을 엄밀히 증명하였다.^[10]

이후 클로드 슈발레가 1955년에 F₄를 비롯한 다른 모든 단순 리 군을 유한체 위에서 정의할 수 있음을 보였다.^[11] 표수 3의 체 위의 뒤틀린 F₄는 이임학이 1961년에 발견하였다.^[12] 티츠 군은 자크 티츠가 1964년에 발견하였다.^[13]

참조

_[1] arXiv Minimal Faithful Permutation Degrees for Irreducible Coxeter Groups and Binary Polyhedral Groups 2014
_[2] 서적 Lectures on exceptional Lie groups http://press.uchicag[...] 시카고 대학교 2013-03-17
_[3] 저널 Exceptional Lie groups 2009-02
_[4] 저널 The octonions http://math.ucr.edu/[...] 2002
_[5] 저널 A geometric construction of the exceptional Lie algebras F₄ and E₈ 2008-11
_[6] 저널 Satake diagrams, Iwasawa decompositions, and representations of the exceptional Lie group ''F''₄(−20) 1985
_[7] 저널 The homotopy groups of Lie groups of low rank 1967
_[8] 저널 Group theory for unified model building http://citeseerx.ist[...] 1981-12
_[9] 저널 Old and new on the exceptional group ''G''₂ http://www.ams.org/n[...] 2008-09
_[10] 저널 Sur la structure des groupes de transformations finis et continus https://archive.org/[...] Librairie Nony et C^ie 1894
_[11] 저널 Sur certains groupes simples 1955
_[12] 저널 A family of simple groups associated with the simple Lie algebra of type (F₄) 1961
_[13] 저널 Algebraic and abstract simple groups 1964

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