단위분수

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1. 개요
2. 산술
- 2.1. 기초 연산
- 2.2. 모듈러 산술
3. 조합
4. 행렬
5. 응용
참조

1. 개요

단위분수는 분자가 1인 분수를 의미하며, 산술, 조합, 무한 급수, 행렬 등 다양한 수학적 맥락에서 나타난다. 두 단위분수의 곱은 단위분수이지만, 더하거나 빼거나 나누는 경우에는 일반적으로 단위분수가 되지 않는다. 단위분수는 모듈러 산술, 이집트 분수, 삼각군, 조화 급수, π에 대한 라이프니츠 공식 등 다양한 수학적 개념과 연결되며, 공정한 분배, 확률, 조합 최적화, 물리학 등 다양한 분야에 응용된다.

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분수 - 연분수
연분수는 유클리드 호제법에서 비롯되어 실수를 유리수로 근사하는 데 쓰이는 $x = b_0 + \cfrac{a_1}{b_1 + \cfrac{a_2}{b_2 + \cfrac{a_3}{b_3 + \cfrac{a_4}{b_4 + \ddots\,}}}}$ 형태의 식이며, 유리수와 무리수의 표현, 디오판토스 근사, 수렴, 선형 분수 변환, 초월 함수 전개, 원주율 및 네이피어 수 표현, 거듭제곱근 계산 등에 활용된다.
분수 - 작은 수의 이름
작은 수의 이름은 한자 수사, 국제단위계 접두어, 롱 스케일과 숏 스케일 등 다양한 방식으로 표현되며, 현대에는 SI 접두어를 사용하는 것이 일반적이다.
1 - 단위
단위는 특정 양을 측정하거나 수량을 세는 기준을 의미하며, 불교 용어에서 유래하였으나 수학, 과학, 의학 등 다양한 분야에서 각기 다른 의미와 기준으로 사용된다.
1 - 항등 함수
항등 함수는 집합 X의 각 원소를 자기 자신에게 대응시키는 함수로서, 정의역과 공역이 같은 집합 X에서 단사 함수이자 전사 함수이며, 함수 합성에서 항등원의 역할을 수행하는 중요한 개념이다.

단위분수
일반 정보
1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5을 나타내는 원형 다이어그램
종류	분수
형태	( n은 자연수)
예시	, , , , , …
활용
이집트 분수	유한한 단위 분수들의 합으로 표현
잉여류 환산	정수의 나눗셈을 잉여류 환산으로 취급
참고 자료
관련 항목	조화수

2. 산술

단위분수 두 개를 곱하면 항상 단위분수가 되지만, 더하거나 빼거나 나누면 일반적으로 단위분수가 되지 않는다.

2. 1. 기초 연산

두 단위분수를 곱하면 단위분수가 된다. 따라서 단위분수들의 집합은 곱셈에 닫혀있다.

:

\frac{1}{x} \times \frac{1}{y} = \frac{1}{xy}

하지만 단위분수 두 개를 더하거나, 빼거나, 나누면 일반적으로 단위분수가 되지 않는다.

:

\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{x+y}{xy}

:

\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{y-x}{xy}

:

\frac{1}{x} \div \frac{1}{y} = \frac{y}{x}

단위분수는 분자가 1이기 때문에, 곱셈을 제외한 다른 연산에서는 일반적으로 단위분수가 나올 수 없다.

2. 2. 모듈러 산술

모듈러 산술에서, 임의의 단위 분수는 확장 유클리드 알고리즘을 사용하여 동등한 정수로 변환될 수 있다. 이 변환은 모듈러 나눗셈을 수행하는 데 사용될 수 있다. 즉, x로, 모듈로 y로 나누는 것은 단위 분수 1/x를 모듈로 y에 대한 동등한 정수로 변환한 다음 그 숫자로 곱함으로써 수행할 수 있다.

더 자세히 설명하면, x가 y와 서로소라고 가정한다(그렇지 않으면 x로 나눗셈은 모듈로 y로 정의되지 않는다). 최대공약수에 대한 확장 유클리드 알고리즘을 사용하여 베주 항등식을 만족하는 정수 a와 b를 찾을 수 있다.

:`ax + by = \gcd(x,y)=1.`

모듈로-y 산술에서, 항 by는 모듈로 y가 0이므로 제거할 수 있다. 이로 인해

:`ax \equiv 1 \pmod y.`

즉, a는 x의 모듈러 역수이며, x로 곱하면 1을 생성하는 숫자이다. 동등하게,

:`a \equiv \frac1x \pmod y.`

따라서 x로 나눗셈(모듈로 y)은 대신 정수 a를 곱하여 수행할 수 있다.

최대공약수 계산에서 합동식의 나눗셈 계산을 줄이기 위해 단위분수는 중요한 역할을 한다. 구체적으로, 법을 y로 하고 값 x로 나눗셈을 하고자 한다. x로 나누려면 x와 y는 서로소여야 한다. 다음으로 최대공약수를 위한 Extended Euclidean algorithm|확장 유클리드 호제법^영어에 의해,

:`\displaystyle ax + by = 1`

을 만족하는 a, b를 찾는다. 그런 다음,

:`\displaystyle ax \equiv 1 \pmod y`

를 알 수 있다. 또는 같은 것이지만,

:`a \equiv \frac1x \pmod y`

이다. 따라서, (y를 법으로 하여) x로 나누기 위해서는 대신 a를 곱하면 된다.

3. 조합

수학에서 여러 구성은 여러 단위 분수를 결합하는 것을 포함하며, 종종 더함으로써 이루어진다.

기하학적 군론에서 삼각군은 관련된 단위 분수의 합이 1보다 큰지, 1과 같은지, 1보다 작은지에 따라 각각 구면, 유클리드, 쌍곡면으로 분류된다.^[31]

3. 1. 유한 합

모든 양의 유리수는 여러 가지 방법으로 서로 다른 단위 분수의 합으로 표현될 수 있다. 예를 들어 다음과 같다.

:

\frac45=\frac12+\frac14+\frac1{20}=\frac13+\frac15+\frac16+\frac1{10}

이러한 합을 이집트 분수라고 하는데, 고대 이집트 문명에서 일반적인 유리수를 나타내는 표기법으로 사용했기 때문이다. 오늘날에도 고대인들이 분수를 표현하기 위해 사용했던 방법들을 분석하고 이러한 표현을 사용하여 계산하는 것에 대한 관심이 여전히 존재한다. 이집트 분수에 대한 연구는 현대 수론에서도 관심을 받고 있다. 예를 들어 에르되스-그레이엄 문제, 에르되스-스트라우스 추측은 단위 분수의 합에 관한 것이며, 오어의 조화수의 정의 역시 이와 관련이 있다.^[31]

3. 2. 무한 급수

많은 잘 알려진 무한 급수는 단위 분수를 항으로 갖는다. 여기에는 다음이 포함된다.

모든 양의 단위 분수의 합인 조화 급수. 이 합은 발산하며, 부분합

:

\frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n}

는

n

의 자연 로그와 오일러-마스케로니 상수에 가깝게 근사한다. 매 합마다 빼기로 바꾸면 교대 조화 급수가 생성되며, 이는 2의 자연 로그로 합산된다.

:

\sum_{n = 1}^\infty \frac{(-1)^{n + 1}}{n} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \cdots = \ln 2.

π에 대한 라이프니츠 공식

:

1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \cdots = \frac{\pi}{4}.

바젤 문제는 제곱 단위 분수의 합에 관한 것이다.

:

1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{16} + \cdots = \frac{\pi^2}{6}.

마찬가지로, 아페리 상수는 세제곱 단위 분수의 합인 무리수이다.

이진 기하 급수

:

1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \cdots = 2.

3. 3. 인접성

두 분수

\frac{a}{b}

와

\frac{c}{d}

(기약 분수)가

ad-bc=\pm1

이면 '''인접'''한다고 하며, 이는 서로 단위 분수만큼 차이가 난다는 것을 의미한다.

:

\left|\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right|=\frac

{bd}=\frac{1}{bd}.

예를 들어,

\tfrac12

와

\tfrac35

는 인접 분수이다.

1\cdot 5-2\cdot 3=-1

이고

\tfrac35-\tfrac12=\tfrac1{10}

이기 때문이다. 그러나 차이가 단위 분수인 일부 분수 쌍은 이러한 의미에서 인접하지 않다. 예를 들어,

\tfrac13

과

\tfrac23

은 단위 분수만큼 차이가 나지만,

ad-bc=3

이므로 인접하지 않다.

이 용어는 포드 원 연구에서 유래되었다. 포드 원은 주어진 분수에서 수직선에 접하고 분수의 제곱된 분모를 지름으로 하는 원의 시스템이다. 분수

a/b

와

c/d

에 해당하는 포드 원이 접원일 때, 그리고 그 때만 두 분수는 인접한다.

두 분수의 차가 단위 분수가 될 때, 두 분수는 '''인접'''(''adjacent'')한다고 한다.^[34]^[35]

4. 행렬

힐베르트 행렬은 ''i''번째 반대각선의 모든 원소가 단위 분수 $1/i$ 와 같은 정방 행렬이다. 힐베르트 행렬의 원소는 다음과 같다.

: $B_{i,j} = \frac1{i+j-1}.$

예를 들어, 다음 행렬은 힐베르트 행렬이다.

$\begin{bmatrix}1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{3} \\\frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \frac{1}{4} \\\frac{1}{3} & \frac{1}{4} & \frac{1}{5}\end{bmatrix}$

이 행렬은 역행렬의 모든 원소가 정수라는 특징을 가지고 있다.^[32]

이와 유사하게, 다음과 같이 정의된 행렬도 있다.

: $C_{i,j} = \frac1{F_{i+j-1}},$

여기서 ''F''_i는 ''i''번째 피보나치 수를 나타낸다. 이 행렬은 필버트 행렬(Filbert matrix)이라고 불리며, 힐베르트 행렬과 마찬가지로 역행렬의 모든 원소가 정수가 된다.^[33]

5. 응용

수학교육에서 단위 분수는 전체의 동일한 부분으로 시각적으로 설명하기 쉽기 때문에 다른 종류의 분수보다 먼저 소개되는 경우가 많다.^[1] 여러 사람 사이에 음식을 똑같이 나누는 것은 단위 분수의 흔한 실용적인 사용 예시이다.^[2]

이산 균등 분포에서 모든 확률은 동일한 단위 분수이다. 무차별 원리 때문에, 이러한 형태의 확률은 통계적 계산에서 자주 발생한다.^[36]

단위 분수와 관련된 불균등 확률은 지프의 법칙에서 발생한다. 지프의 법칙은 순서가 지정된 시퀀스에서 항목을 선택하는 많은 관찰 현상에 대해, n번째 항목이 선택될 확률이 단위 분수 1/n에 비례한다고 설명한다.^[37]

조합 최적화 문제 연구에서 빈 포장 문제는 부분 크기를 가진 항목의 입력 시퀀스를 포함하며, 각 항목은 용량(각 빈에 배치된 항목의 총 크기)이 1인 빈에 배치되어야 한다. 이러한 문제에 대한 연구에는 항목 크기가 단위 분수인 제한된 빈 포장 문제 연구가 포함된다.

로그 척도 상의 수소 스펙트럼 시리즈. 방출선의 주파수는 단위 분수의 쌍의 차이에 비례한다.

수소 원자가 흡수하거나 방출할 수 있는 광자의 에너지 준위는 리드베리 공식에 따르면 두 단위 분수의 차이에 비례한다. 보어 모델은 수소 원자 내 원자 궤도의 에너지 준위는 제곱 단위 분수에 반비례하며, 광자의 에너지는 두 준위의 차이로 양자화된다고 설명한다.^[1]

5. 1. 공정한 분배 및 수학교육

수학교육에서 단위 분수는 전체의 동일한 부분으로 시각적으로 설명하기 쉽기 때문에 다른 종류의 분수보다 먼저 소개되는 경우가 많다.^[1] 여러 사람 사이에 음식을 똑같이 나누는 것은 단위 분수의 흔한 실용적인 사용 예시이며, 이러한 종류의 공정한 분배를 수행하는 연습은 학생들에게 단위 분수를 가르치는 표준적인 교실 예시이다.^[2]

5. 2. 확률 및 통계

이산 균등 분포에서 모든 확률은 동일한 단위 분수이다. 무차별 원리 때문에, 이러한 형태의 확률은 통계적 계산에서 자주 발생한다.^[36]

단위 분수와 관련된 불균등 확률은 지프의 법칙에서 발생한다. 지프의 법칙은 순서가 지정된 시퀀스에서 항목을 선택하는 많은 관찰 현상에 대해, n번째 항목이 선택될 확률이 단위 분수 1/n에 비례한다고 설명한다.^[37]

5. 3. 조합 최적화

조합 최적화 문제 연구에서 빈 포장 문제는 부분 크기를 가진 항목의 입력 시퀀스를 포함하며, 각 항목은 용량(각 빈에 배치된 항목의 총 크기)이 1인 빈에 배치되어야 한다. 이러한 문제에 대한 연구에는 항목 크기가 단위 분수인 제한된 빈 포장 문제 연구가 포함된다.

이것의 한 가지 동기는 더 일반적인 빈 포장 방법에 대한 테스트 사례로서이다. 또 다른 동기는 일종의 핀휠 스케줄링과 관련이 있는데, 여기서 동일한 길이의 메시지 모음은 제한된 수의 통신 채널에서 반복적으로 방송되어야 하며, 각 메시지는 반복 방송 시작 시간 사이에 최대 지연 시간을 갖는다. 지연 시간이 메시지 길이의

k

배인 항목은 할당된 채널의 시간 슬롯의 최소

1/k

의 부분을 차지해야 하므로, 스케줄링 문제의 해는 채널을 빈으로, 분수

1/k

를 항목 크기로 하는 단위 분수 빈 포장 문제의 해에서만 나올 수 있다.

5. 4. 물리학

수소 원자가 흡수하거나 방출할 수 있는 광자의 에너지 준위는 리드베리 공식에 따르면 두 단위 분수의 차이에 비례한다. 보어 모델은 수소 원자 내 원자 궤도의 에너지 준위는 제곱 단위 분수에 반비례하며, 광자의 에너지는 두 준위의 차이로 양자화된다고 설명한다.^[1]

아서 에딩턴은 미세 구조 상수가 단위 분수라고 주장했다. 그는 처음에는 1/136이라고 생각했지만, 나중에 자신의 이론을 1/137로 변경했다. 현재 미세 구조 상수의 추정치가 (유효 숫자 6자리까지) 1/137.036이므로, 이 주장은 사실이 아닌 것으로 판명되었다.^[2]

참조

_[1] 간행물 Euler and the zeta function https://www.maa.org/[...] 2023-03-22
_[2] 서적 Algebra for Today, First Year Ginn
_[3] 간행물 Windows scheduling as a restricted version of bin packing
_[4] 간행물 Partial sums of the harmonic series
_[5] 서적 Modern Computer Arithmetic https://maths-people[...] Cambridge University Press
_[6] 간행물 From whole numbers to invert and multiply 2014-02
_[7] 간행물 Tricks or treats with the Hilbert matrix
_[8] 간행물 On a coloring conjecture about unit fractions
_[9] 서적 Eddington's Search for a Fundamental Theory: A Key to the Universe Cambridge University Press
_[10] 간행물 Counting the number of solutions to the Erdős–Straus equation on unit fractions https://terrytao.fil[...]
_[11] 간행물 From ''Elements of Algebra'' 1983-09
_[12] 간행물 Fractions: how to fair share 2011-11
_[13] 간행물 Fractions
_[14] 간행물 On Riemann's rearrangement theorem for the alternating harmonic series http://eprints.gla.a[...]
_[15] 서적 Unsolved problems in number theory Springer-Verlag
_[16] 간행물 SIGACT news online algorithms column 20: The power of harmony https://www.uni-sieg[...] 2012-06
_[17] 간행물 Egyptian fractions – representations as sums of unit fractions 2014-Fall
_[18] 서적 Noneuclidean Tesselations and their Groups https://books.google[...] Academic Press
_[19] 서적 Introduction to Algorithms
_[20] 서적 Algorithm Design and Applications Wiley
_[21] 간행물 On the averages of the divisors of a number
_[22] 간행물 Young-children and fractions 1935-05
_[23] 간행물 The Filbert matrix http://www.fq.math.c[...]
_[24] 간행물 The discovery of the series formula for {{mvar|π}} by Leibniz, Gregory and Nilakantha https://www.maa.org/[...] 2023-03-22
_[25] 서적 The Math We Need to Know and Do in Grades 6 9: Concepts, Skills, Standards, and Assessments https://books.google[...] Corwin Press
_[26] 간행물 Unit fractions as superheroes for instruction 2020-04
_[27] 간행물 A proof that Euler missed ... Apéry's proof of the irrationality of $\zeta(3)$ http://www.maths.mq.[...]
_[28] 서적 Aspects of Statistical Inference John Wiley and Sons
_[29] 서적 Modern Atomic and Nuclear Physics World Scientific
_[30] 서적 Theory of Zipf's Law and Beyond Springer-Verlag
_[31] 서적 Unsolved problems in number theory Springer-Verlag
_[32] 간행물 Tricks or treats with the Hilbert matrix
_[33] 간행물 The Filbert matrix http://www.fq.math.c[...]
_[34] PlanetMath Adjacent Fraction
_[35] MathWorld Adjacent Fraction
_[36] 서적 Aspects of statistical inference John Wiley and Sons
_[37] 서적 Theory of Zipf's Law and Beyond Springer-Verlag

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