복소다양체

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 개복소다양체를 통한 정의
3. 복소 구조의 함의
4. 예시
- 4.1. 단일 연결 복소다양체
5. கிட்டத்தட்ட 복소 구조 (Almost Complex Structure)
6. 켈러 다양체와 칼라비-야우 다양체
참조

1. 개요

복소다양체는 위상 공간, 열린 덮개, 위상 동형 사상으로 구성된 수학적 구조이다. 복소다양체는 정칙 함수를 사용하여 정의되며, 매끄러운 다양체와는 다른 특성을 보인다. 복소다양체는 콤팩트 공간에서 대수적 다양체에 가깝고, 슈타인 다양체, 리만 곡면, 칼라비-야우 다양체 등이 존재한다. 또한 복소다양체는 almost complex 구조를 가지며, 뉴랜더-니렌버그 정리에 의해 복소 구조를 갖는지 여부를 판별할 수 있다.

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복소다양체
복소다양체
정의	복소수 좌표를 사용하여 정의되는 다양체
관련 분야	복소해석학, 대수기하학, 미분기하학
상세 정보
구조	복소 구조를 가짐
성질	복소 함수를 정의하고 연구하는 데 사용
종류	리만 곡면 칼라비-야우 다양체 스타인 다양체
응용
물리학	끈 이론, 초중력 이론
수학	대수기하학, 복소해석학
예시
리만 곡면	구면, 타원 곡선, 쌍곡면
사영 공간	복소 사영 공간 (CPn)
토러스	복소수 토러스

2. 정의

'''복소다양체''' $(M,\{U_\alpha\},\{\phi_\alpha\}\})$ 는 다음과 같은 데이터로 이루어진다.

위상 공간 $M$
$M$ 의 열린 덮개 $\{U_\alpha\}_{\alpha\in I}$
각 $U_\alpha$ 에 대하여, $\mathbb C^n$ 의 열린집합 $\phi_\alpha (U_\alpha)$ 으로의 위상동형사상 $\phi_\alpha\colon U_\alpha\to\phi_\alpha (U_\alpha)$ . 여기서 정수 $n$ 은 복소다양체의 '''차원'''이다. 함수족 $\{\phi_\alpha\}_{\alpha\in I}$ 를 '''좌표근방계'''(atlas^영어)라고 한다.

좌표근방계는 다음 조건을 만족하여야 한다.

$U_\alpha\cap U_\beta\ne\varnothing$ 인 $\alpha,\beta$ 에 대하여, 함수 $\phi_{\alpha\beta}=\phi_\beta\circ\phi_\alpha^{-1}\colon \phi_\alpha(U_\alpha\cap U_\beta)\to \phi_\beta(U_\alpha\cap U_\beta)$ 가 정칙 함수이어야 한다. 이 함수들을 '''추이 사상'''(推移寫像, transition map^영어)이라고 한다.

정칙 함수는 실수 위에서의 매끄러운 함수보다 강한 조건을 만족하기 때문에 미분 가능 다양체의 이론과 복소 다양체의 이론 사이에는 큰 차이가 있다. 또한, 콤팩트한 복소 다양체는 미분 가능 다양체보다 대수다양체에 매우 가까운 다양체이다.

좌표 변환은 쌍정칙적이므로 복소 다양체는 미분 가능하며, 표준적으로 방향성을 갖는다(복소 다양체라면, 방향 가능하다: '''C'''ⁿ (의 부분 집합)으로의 쌍정칙 사상은 방향성을 보존한다).

2. 1. 개복소다양체를 통한 정의

개복소다양체의 특수한 경우로 복소다양체의 개념을 정의할 수 있다. 모든 개복소다양체

M

위에는 네이엔하위스 텐서장이라는 (1,2)차 텐서장 (접다발 값의 2차 미분 형식)

N_J

이 존재한다. 네이엔하위스 텐서장이 0인 개복소다양체를 '''복소다양체'''라고 한다.

뉴랜더-니렌버그 정리에 따르면, 개복소다양체가 복소다양체가 되기 위한 조건은 개복소구조의 부분번들이 '''대합적'''(involutive), 즉 벡터장의 리 브라켓 아래에서 닫혀 있을 때이다. 이러한 개복소다양체를 가적분이라고 한다.

3. 복소 구조의 함의

정칙 함수는 매끄러운 함수보다 훨씬 엄격한 조건을 만족시키기 때문에, 매끄러운 다양체와 복소다양체의 이론은 매우 다른 특성을 갖는다. 콤팩트 복소다양체는 미분 가능한 다양체보다 대수적 다양체에 훨씬 가깝다.

복소다양체의 분류는 미분 가능한 다양체의 분류보다 훨씬 더 미묘하다. 예를 들어, 4차원을 제외한 다른 차원에서는 주어진 위상적 다양체가 많아야 유한 개의 매끄러운 구조를 갖는 반면, 복소구조를 지원하는 위상적 다양체는 무수히 많은 복소구조를 지원할 수 있으며, 종종 그렇게 한다. 리만 곡면, 즉 복소구조가 갖춰진 2차원 다양체는 종수에 의해 위상적으로 분류되며, 이러한 현상의 중요한 예이다. 주어진 가향 곡면에 대한 복소구조 집합은 쌍정칙 동치에 대해, 그 자체가 모듈라이 공간이라고 불리는 복소 대수적 다양체를 형성하며, 그 구조는 여전히 활발한 연구 분야로 남아 있다.

3. 1. 슈타인 다양체

휘트니 매립 정리에 따르면, 모든 ''n''차원 매끄러운 다양체는 '''R'''^2''n''의 매끄러운 부분 다양체로 매립될 수 있다. 그러나 복소다양체가 '''C'''^''n''에 정칙적으로 매립되는 것은 드물다. 예를 들어, 임의의 콤팩트 공간 연결 복소다양체 ''M''을 생각할 때, 최대 절댓값 원리에 의해, 이에 대한 모든 정칙 함수는 상수이다. ''M''을 '''C'''^''n''에 정칙적으로 매립하면, '''C'''^''n''의 좌표 함수는 ''M''에 대한 비상수 정칙 함수로 제한되어 콤팩트성에 모순된다. 단, ''M''이 점인 경우는 예외이다. '''C'''^''n''에 매립될 수 있는 복소다양체를 슈타인 다양체^[5]라고 하며, 예를 들어 매끄러운 복소 아핀 대수적 다양체를 포함하는 매우 특별한 종류의 다양체를 형성한다.

3. 2. 복소 구조와 매끄러운 구조의 비교

정칙 함수는 매끄러운 함수보다 훨씬 엄격한 조건을 만족시키기 때문에, 매끄러운 다양체와 복소다양체의 이론은 매우 다른 특성을 갖는다. 콤팩트 복소다양체는 미분 가능한 다양체보다는 대수적 다양체에 훨씬 가깝다.

예를 들어, 휘트니 매립 정리에 따르면 모든 매끄러운 ''n''차원 다양체는 '''R'''^2''n''의 매끄러운 부분 다양체로 매립될 수 있지만, 복소다양체가 '''C'''^''n''에 정칙적으로 매립되는 것은 드물다. 예를 들어, 임의의 콤팩트 연결 복소다양체 ''M''을 생각해 보자. 최대 절댓값 원리에 의해, 이에 대한 모든 정칙 함수는 상수이다. 이제 ''M''을 '''C'''^''n''에 정칙적으로 매립하면, '''C'''^''n''의 좌표 함수는 ''M''에 대한 비상수 정칙 함수로 제한되어 콤팩트성에 모순된다. 단, ''M''이 점인 경우는 예외이다. '''C'''^''n''에 매립될 수 있는 복소다양체를 슈타인 다양체라고 하며,^[5] 예를 들어 매끄러운 복소 아핀 대수적 다양체를 포함하는 매우 특별한 종류의 다양체를 형성한다.

복소다양체의 분류는 미분 가능한 다양체의 분류보다 훨씬 더 미묘하다. 예를 들어, 4차원을 제외한 다른 차원에서는 주어진 위상적 다양체가 많아야 유한 개의 매끄러운 구조를 갖는 반면, 복소구조를 지원하는 위상적 다양체는 무수히 많은 복소구조를 지원할 수 있으며, 종종 그렇게 한다. 리만 곡면, 즉 복소구조가 갖춰진 2차원 다양체는 종수에 의해 위상적으로 분류되며, 이러한 현상의 중요한 예이다. 주어진 가향 곡면에 대한 복소구조 집합은 쌍정칙 동치에 대해, 그 자체가 모듈라이 공간이라고 불리는 복소 대수적 다양체를 형성하며, 그 구조는 여전히 활발한 연구 분야로 남아 있다.

차트 간의 전이 사상은 쌍정칙이므로, 복소다양체는 특히 매끄럽고 자연스럽게 방향을 갖는다(단순히 가향 가능할 뿐만 아니라, 쌍정칙 사상은 ('''C'''^''n''의 부분 집합으로) 방향을 제공하며, 쌍정칙 사상은 방향을 보존한다).

3. 3. 다양체의 방향성

좌표 변환은 쌍정칙적이므로 복소다양체는 미분 가능하며, 표준적으로 방향성을 갖는다(복소다양체라면, 방향 가능하다: '''C'''ⁿ (의 부분 집합)으로의 쌍정칙 사상은 방향성을 보존한다).^[5]

4. 예시

복소 유클리드 공간 $\mathbb C^n$ 은 $n$ 차원 복소다양체이다.
리만 곡면은 1차원 복소다양체이다.
에르미트 다양체, 켈러 다양체, 칼라비-야우 다양체 등은 복소다양체의 특수한 경우다.
$GL(n,\mathbb C)$ 나 $Sp(n,\mathbb C)$ 와 같은 복소 리 군도 복소다양체이다.
복소수 사영 공간 $\mathbb CP^n$ 도 복소다양체를 이룬다.
두 복소다양체의 데카르트 곱
정칙 사상의 임계점이 아닌 값의 역상
매끄러운 복소 대수다양체^[6]는 복소다양체이며, 복소 벡터 공간, 복소 사영 공간^[7], 복소그래스만 다양체|글래스만 다양체^영어 등이 있다.
마찬가지로, 이들의 사원수 유사체도 복소다양체가 된다.

4. 1. 단일 연결 복소다양체

단순 연결 1차원 복소다양체는 다음 중 하나와 동형이다.

Δ, '''C'''의 단위 원판
'''C''', 복소 평면
'''Ĉ''', 리만 구

이들 사이에는 Δ ⊆ '''C''' ⊆ '''Ĉ'''과 같은 포함 관계가 있지만, 리우빌의 정리에 의해 다른 방향으로의 비상수 정칙 함수는 존재하지 않는다.

5. கிட்டத்தட்ட 복소 구조 (Almost Complex Structure)

실수 2n-다양체에 대한 almost complex 구조는 접다발에 선형 복소 구조가 있는 것으로, 제곱이 −''I''인 접다발의 자기 사상 ''J''로 표현된다. 이는 허수 ''i''를 곱하는 것과 유사하다. almost complex 다양체는 짝수 차원이다.

almost complex 구조는 복소 구조보다 "약하다". 모든 복소 다양체는 almost complex 구조를 가지지만, 모든 almost complex 구조가 복소 구조에서 나오는 것은 아니다. 모든 짝수 차원 실수 다양체는 국소 좌표 차트에서 국소적으로 정의된 almost complex 구조를 갖지만, 이 almost complex 구조를 전역적으로 정의할 수 있는지 여부가 문제가 된다. 복소 구조에서 파생된 almost complex 구조는 적분 가능하다고 하며, 적분 가능한 복소 구조의 경우 Nijenhuis 텐서가 사라진다. Nijenhuis 텐서는 벡터장 ''X'', ''Y''의 쌍에 대해 다음과 같이 정의된다.^[3]

: $N_J(X,Y) = [X,Y] + J[JX,Y] + J[X,JY]-[JX,JY]\ .$

예를 들어, 6차원 구 '''S'''⁶는 팔원수의 단위 구에서 ''i''의 직교 여공간이라는 사실에서 비롯된 자연스러운 almost complex 구조를 갖지만, 이는 복소 구조가 아니다. almost complex 구조를 사용하면 정칙 사상을 이해하고 다양체에서 정칙 좌표의 존재 여부를 물을 수 있는데, 정칙 좌표의 존재는 다양체가 복소수임을 의미한다.

접다발을 복소수로 텐서 곱하면 ''복소화된'' 접다발을 얻게 되며, 여기서 복소수 곱셈이 의미를 갖는다. almost complex 구조의 고유값은 ±''i''이며, 고유 공간은 ''T''^0,1''M'' 및 ''T''^1,0''M''으로 표시된 부분 다발을 형성한다. Newlander-Nirenberg 정리는 almost complex 구조가 이러한 부분 다발이 실제로 ''involutive'', 즉 벡터장의 리 괄호 아래에서 닫힐 때, 그리고 이러한 almost complex 구조를 적분 가능이라고 할 때 정확히 복소 구조임을 보여준다.

6. 켈러 다양체와 칼라비-야우 다양체

에르미트 다양체, 켈러 다양체, 칼라비-야우 다양체 등은 복소다양체의 특수한 경우다.^[8]

복소다양체에 대한 리만 계량의 유사체를 정의할 수 있는데, 이를 에르미트 계량이라고 한다. 리만 계량과 마찬가지로 에르미트 계량은 접선 다발에서 매끄럽게 변화하는 양의 정부호 내적로 구성되며, 각 점에서 접선 공간의 복소 구조에 대해 에르미트적이다. 리만 경우와 마찬가지로, 이러한 계량은 모든 복소다양체에서 항상 풍부하게 존재한다. 이러한 계량의 반대칭 부분이 심플렉틱, 즉 닫혀 있고 비퇴화되면, 해당 계량은 Kähler라고 한다. Kähler 구조는 얻기가 훨씬 더 어렵고 훨씬 더 엄격하다.^[8]

Kähler 다양체의 예로는 매끄러운 사영 대수다양체와 더 일반적으로 Kähler 다양체의 모든 복소 부분 다양체가 있다. 호프 다양체는 Kähler가 아닌 복소다양체의 예이다. 이를 구성하려면, 원점을 제외한 복소 벡터 공간을 취하고, 이 공간에서 exp(''n'')으로 곱하여 정수 그룹의 작용을 고려한다. 몫은 첫 번째 베티 수가 1인 복소다양체이므로, 호지 이론에 의해 Kähler가 될 수 없다.^[8]

칼라비-야우 다양체는 콤팩트한 리치 평탄 Kähler 다양체 또는 동등하게 첫 번째 천 클래스가 사라지는 다양체로 정의할 수 있다.^[8]

참조

_[1] 문서 복소수 n차원 공간과 단위 열린 원반 비교
_[2] 문서 복소 사영 공간의 방향가능성
_[3] 논문 On the history of the Hopf problem
_[4] 문서 모델 공간으로서의 단위 열린 원반
_[5] 문서 다변수 복소 함수의 제한
_[6] 문서 다양체와 곡선의 영어 및 일본어 용어 비교
_[7] 문서 복소 사영 공간의 방향가능성
_[8] 문서 호프 다양체의 미분 동형

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