사면체수

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요
2. 공식
- 2.1. 공식 증명
- 2.2. 재귀적 관계
3. 일반화
4. 기하학적 해석
5. 사면체근
6. 성질
7. 파스칼의 삼각형
8. 대중 문화
참조

1. 개요

사면체수는 정사면체 모양으로 구를 쌓는 데 필요한 구의 개수를 나타내는 수로, n번째 사면체수는 1부터 n까지의 삼각수의 합으로 계산된다. 사면체수는 이항 계수를 사용하여 나타낼 수 있으며, 파스칼의 삼각형에서 네 번째 열에 위치한다. 사면체수는 삼각수 및 제곱 피라미드수와 밀접한 관련이 있으며, 재귀적 관계와 일반화된 공식을 통해 다양한 수학적 성질을 갖는다. 또한, 사면체수는 기하학적 해석과 대중문화에서도 활용되며, 특히 크리스마스 캐롤 "크리스마스 열두 날"과 카드 게임 "키포지"와 연관되어 있다.

더 읽어볼만한 페이지

도형수 - 세제곱수
세제곱수는 정수를 세 번 곱한 수로, 단위 길이 변을 가진 정육면체를 쌓아 더 큰 정육면체를 만들 수 있는 수이며, 모든 정수는 9개 이하의 세제곱수의 합으로 표현 가능하다는 특징이 있다.
도형수 - 삼각수
삼각수는 1부터 n까지의 자연수 합으로, n(n+1)/2로 계산되며, 삼각형 모양으로 표현되고 조합론적 문제 해결에 활용되는 수이다.

사면체수
개요
종류	다면체
면의 모양	삼각형
변의 개수	6
꼭짓점의 개수	4
쌍대다면체	자기 자신
성질	볼록
수열
수열 이름	삼각뿔수, 사면체수
수식	$inom{n+2}{3} = rac{n(n+1)(n+2)}{6}$
생성 함수	$rac{x}{(1-x)^4}$
속성	모든 사면체수의 역수의 합은 3/2이다.
처음 10개의 사면체수	1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220 (A000292)

2. 공식

n번째 사면체수 Te_n의 공식은 n의 3번째 상승 계승을 3의 계승으로 나눈 것으로 나타낸다.

:

Te_n= \sum_{k=1}^n T_k = \sum_{k=1}^n \frac{k(k+1)}{2} = \sum_{k=1}^n \left(\sum_{i=1}^k i\right)=\frac{n(n+1)(n+2)}{6} = \frac{n^{\overline 3}}{3!}

사면체수는 또한 이항 계수로 나타낼 수 있다.

:

Te_n=\binom{n+2}{3}.

따라서 사면체수는 파스칼의 삼각형에서 왼쪽 또는 오른쪽에서 네 번째 위치에서 찾을 수 있다.

2. 1. 공식 증명

이 증명은 n번째 삼각수가 다음 식으로 주어진다는 사실을 사용한다.

:

T_n=\frac{n(n+1)}{2}.

증명은 수학적 귀납법으로 진행한다.

'''기저 사례'''

:

Te_1 = 1 = \frac{1\cdot 2\cdot 3}{6}.

'''귀납 단계'''

:

\begin{align}Te_{n+1} \quad&= Te_n + T_{n+1} \\&= \frac{n(n+1)(n+2)}{6} + \frac{(n+1)(n+2)}{2}  \\&= (n+1)(n+2)\left(\frac{n}{6}+\frac{1}{2}\right) \\&= \frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{6}.\end{align}

이 공식은 고스퍼 알고리즘으로도 증명할 수 있다.

2. 2. 재귀적 관계

사면체수와 삼각수는 다음의 재귀식을 통해 연관된다.

:

\begin{align}& Te_n = Te_{n-1} + T_n &(1)\\& T_n = T_{n-1} + n &(2)\end{align}

식

(2)

를 이용하면 식

(1)

은 다음과 같이 변형된다.

:

\begin{align}& Te_n = Te_{n-1} + T_{n-1} + n\end{align}

또한, 식

(1)

에서

n

대신

n-1

을 대입하면 다음 식을 얻는다.

:

\begin{align}& Te_{n-1} = Te_{n-2} + T_{n-1}\end{align}

위 두 식(

Te_n = Te_{n-1} + T_{n-1} + n

와

Te_{n-1} = Te_{n-2} + T_{n-1}

)으로부터

T_{n-1}

을 소거하면,

n

번째 사면체수는 다음의 재귀 방정식을 만족함을 알 수 있다.

:

\begin{align}& Te_{n} = 2Te_{n-1} - Te_{n-2} + n\end{align}

3. 일반화

삼각수의 패턴 $\sum_{n_1=1}^{n_2}n_1=\binom{n_2+1}{2}$ 와 사면체수의 패턴 $\sum_{n_2=1}^{n_3}\sum_{n_1=1}^{n_2}n_1=\binom{n_3+2}{3}$ 는 더 높은 차원으로 일반화될 수 있다. 이를 통해 다음과 같은 일반화된 공식을 얻을 수 있다.^[1]

$\sum_{n_{k-1}=1}^{n_k}\sum_{n_{k-2}=1}^{n_{k-1}}\ldots\sum_{n_2=1}^{n_3}\sum_{n_1=1}^{n_2}n_1=\binom{n_k+k-1}{k}$

4. 기하학적 해석

사면체수는 구(sphere)를 쌓아 정사면체 모형으로 만들 때 필요한 구의 개수로 해석할 수 있다. 예를 들어, 다섯 번째 사면체수 Te₅ = 35는 35개의 당구공을 이용해 모형을 만들 수 있다. 먼저 15개의 공을 삼각형 모양으로 배열하고(표준 삼각 당구공 프레임 사용 가능), 그 위에 10개의 공, 다시 그 위에 6개, 3개, 마지막으로 맨 위에 하나의 공을 올려 정사면체 형태를 완성한다.

또한, Te_n개의 구로 만들어진 차수-n 사면체를 단위로 사용할 때, n ≤ 4인 경우에는 이러한 단위를 이용한 공간 타일링이 가장 조밀한 구 쌓기를 달성할 수 있다고 알려져 있다.^[2]

5. 사면체근

세제곱근과 마찬가지로, ''x''의 (실수) 사면체근은 ''Te''_''n'' = ''x''를 만족하는 수 ''n''으로 정의할 수 있다.

$n = \sqrt[3]{3x+\sqrt{9{x^2}-\frac{1}{27}}} +\sqrt[3]{3x-\sqrt{9{x^2}-\frac{1}{27}}} -1$

이는 카르다노 공식에서 유도된다. 동등하게, ''x''의 실수 사면체근 ''n''이 정수이면, ''x''는 ''n''번째 사면체수이다.

6. 성질

두 개의 연속하는 사면체수의 합은 제곱 피라미드 수이다. 즉, $Te_n + Te_{n-1} = \sum_{k=1}^n k^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + n^2$ 이다.
홀수 번째 사면체수는 홀수의 제곱합으로, 짝수 번째 사면체수는 짝수의 제곱합으로 나타낼 수 있다.
홀수: $Te_{2n+1} = \sum_{k=1}^{n+1} (2k-1)^2 = 1^2 + 3^2 + \dots + (2n+1)^2$
짝수: $Te_{2n} = \sum_{k=1}^n (2k)^2 = 2^2 + 4^2 + \dots + (2n)^2$
제곱수이면서 사면체수인 수는 1, 4, 19600 세 개뿐이다. 이는 1878년 A. J. Meyl이 증명했다.
$Te_1 = 1^2 = 1$
$Te_2 = 2^2 = 4$
$Te_{48} = 140^2 = 19600$
프레데릭 폴록 경은 모든 양의 정수는 최대 5개의 사면체수의 합으로 표현될 수 있다고 추측했다. 이를 폴록 사면체수 추측이라 한다.
사면체수이면서 제곱 피라미드 수(사각뿔수)인 수는 1뿐이다. (Beukers, 1988)
완전 세제곱수이면서 사면체수인 수는 1뿐이다.
사면체수의 역수의 무한 합은 $\frac{3}{2}$ 이며, 이는 텔레스코핑 급수를 이용하여 계산할 수 있다.

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{Te_n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{6}{n(n+1)(n+2)} = 3 \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{n} - \frac{2}{n+1} +\frac{1}{n+2}\right) = \frac{3}{2}

사면체수의 패리티는 홀수-짝수-짝수-짝수 패턴으로 반복된다.
다섯 번째 사면체수는 앞의 네 사면체수의 합과 같다: $Te_5 = Te_4 + Te_3 + Te_2 + Te_1$ (35 = 20 + 10 + 4 + 1)
삼각수이면서 사면체수인 수는 다음 이항 계수 방정식을 만족하며, 5개만이 존재한다.

T_n=\binom{n+1}{2}=\binom{m+2}{3}=Te_m

$Te_1 = T_1 = 1$
$Te_3 = T_4 = 10$
$Te_8 = T_{15} = 120$
$Te_{20} = T_{55} = 1540$
$Te_{34} = T_{119} = 7140$

세 번째 사면체수(10)는 네 번째 삼각수(10)와 같다. 이는 ''n''번째 ''k''-단순체 수가 ''k''번째 ''n''-단순체 수와 같다는 사실, 그리고 파스칼의 삼각형의 대칭성 및 대각선이 단순체 수라는 점에서 비롯된다. 비슷하게, 다섯 번째 사면체수(35)는 네 번째 오포체 수(35)와 같다.

$Te_n$ 은 ''p'' + ''q'' = ''n'' + 1을 만족하는 모든 순서쌍 (''p'', ''q'')의 곱 ''p'' × ''q''의 합과 같다.
$Te_n$ 은 이진법으로 표현했을 때 1을 두 개 포함하는 (''n'' + 2)비트 수의 개수와 같다.
정수 $a, b$ 에 대해 $2^a+3^b+1$ 형태로 표현될 수 있는 가장 큰 사면체수는 8436이다. ( $Te_{36} = 8436 = 2^2 + 3^8 + 1$ )

파스칼의 삼각형에서 왼쪽 위(또는 오른쪽 위)에서 네 번째 대각선에 있는 수들이 사면체수 수열 $1, 4, 10, 20, 35, \dots, \binom{n+2}{3} = Te_n$ 을 이룬다. 이는 세 번째 대각선에 있는 삼각수 수열 $1, 3, 6, 10, 15, \dots, \binom{n+1}{2} = T_n$ 의 부분합이기도 하다.

7. 파스칼의 삼각형

사면체수는 이항 계수로 다음과 같이 나타낼 수 있다.

: $Te_n=\binom{n+2}{3}.$

이 식은 파스칼의 삼각형에서 각 행의 네 번째(k=3, 0부터 시작) 값에 해당한다. 따라서 사면체수는 파스칼의 삼각형에서 왼쪽 또는 오른쪽에서 네 번째 대각선 위에 배열된 수들과 같다.

파스칼의 삼각형에 있는 수열은 왼쪽 위(또는 오른쪽 위)에 있는 대각선부터 차례대로 다음과 같이 나타난다.

첫 번째 대각선 (k=0): 모나드(단수)의 수열: 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,…, ${}_{n-1}{\rm C}_{0} \,$ ,…
두 번째 대각선 (k=1): 자연수의 수열: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,…, ${}_{n}{\rm C}_{1} \,$ ,…
세 번째 대각선 (k=2): 삼각수의 수열: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45,…, ${}_{n+1}{\rm C}_{2} \,$ ,…
네 번째 대각선 (k=3): 사면체수의 수열: 1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165,…, ${}_{n+2}{\rm C}_{3} \,$ ,…

왼쪽 위에 있는 대각선의 수열은 그 오른쪽 아래에 있는 대각선 수열의 계차수열이다. 즉, 모나드 수열은 자연수 수열의 계차수열이고, 자연수 수열은 삼각수 수열의 계차수열이며, 삼각수 수열은 사면체수 수열의 계차수열이 된다.

8. 대중 문화

''Te''₁₂ = 364는 캐롤 "크리스마스 열두 날"의 12절 전체에서 "나의 진실한 사랑이 나에게 보낸" 선물들의 총 개수이다.^[3] 각 절 이후의 누적 선물 총 개수 또한 절 ''n''에 대한 ''Te''_''n''이다.

가능한 키포지 세 가문의 조합 수는 또한 사면체수로, 여기서 ''n''은 가문의 수를 나타내며 ''Te''_''n''−2이다.

참조

_[1] 논문 Die {{math|''k''}}-dimensionale Champagnerpyramide https://epub.uni-bay[...] 2018-12-12
_[2] 웹사이트 Tetrahedra http://www.pisquared[...] 2000-05-21
_[3] 뉴스 The Twelve Days of Christmas and Tetrahedral Numbers https://mathlesstrav[...] 2006-12-21

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com