슈바르치안

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1. 개요

슈바르치안은 복소 변수의 유리형 함수에 대해 정의되는 미분 연산자이다. 함수가 뫼비우스 변환일 경우 슈바르치안은 0이 되며, 뫼비우스 변환이 아닌 정도를 측정하는 지표로 사용된다. 슈바르치안은 미분 방정식, 기하학적 해석, 테히뮐러 공간, 원의 미분 동형 사상 군, 그리고 다양한 일반화와도 관련이 있다. 19세기 후반 헤르만 아만두스 슈바르츠에 의해 처음 소개되었다.

2. 정의

복소해석 함수 f의 슈바르치안 미분은 다음과 같이 정의된다. z는 복소 변수이다.

: $(Sf)(z) = \left( \frac{f''(z)}{f'(z)}\right)' - \frac{1}{2}\left(\frac{f''(z)}{f'(z)}\right)^2= \frac{f'''(z)}{f'(z)}-\frac{3}{2}\left(\frac{f''(z)}{f'(z)}\right)^2.$

위 공식은 C³ 함수의 슈바르치안 미분을 정의할 때도 쓰인다. 이 함수는 실변수 함수이며, f^영어, z^영어 = (Sf)(z) 와 같은 표기법도 자주 사용된다.

2. 1. 기본 정의

임의의 유리형 함수

f\colon\mathbb C\to\mathbb C

를 생각하자. 그렇다면 그 슈바르치안

Sf

는 다음과 같이 정의한다.

:

Sf=\frac{f'''}{f'}-\frac32\left(\frac{f''}{f'}\right)^2.

만약

f

가 뫼비우스 변환이라면,

Sf=0

이다. 반대로, 만약

Sf=0

이라면

f

는 뫼비우스 변환이다.

복소해석 함수 f의 슈바르치안 미분은 다음과 같이 정의된다. z는 복소 변수이다.

:

(Sf)(z)  = \left( \frac{f''(z)}{f'(z)}\right)'  - \frac{1}{2}\left(\frac{f''(z)}{f'(z)}\right)^2= \frac{f'''(z)}{f'(z)}-\frac{3}{2}\left(\frac{f''(z)}{f'(z)}\right)^2.

동일한 공식은 또한 C³ 함수의 슈바르치안 미분을 정의한다. 이 함수는 실변수 함수이다. 다음 표기법도 자주 사용된다.

:

\{f,z\} = (Sf)(z)

2. 2. 유리형 함수를 이용한 정의

임의의 유리형 함수

f\colon\mathbb C\to\mathbb C

를 생각하자. 그렇다면 그 슈바르치안

Sf

는 다음과 같이 정의한다.

:

Sf=\frac{f'''}{f'}-\frac32\left(\frac{f''}{f'}\right)^2.

만약

f

가 뫼비우스 변환이라면,

Sf=0

이다. 반대로, 만약

Sf=0

이라면

f

는 뫼비우스 변환이다.

복소해석 함수 의 슈바르치안 미분은 다음과 같이 정의된다. 복소 변수이다.

:

(Sf)(z)  = \left( \frac{f''(z)}{f'(z)}\right)'  - \frac{1}{2}\left(\frac{f''(z)}{f'(z)}\right)^2= \frac{f'''(z)}{f'(z)}-\frac{3}{2}\left(\frac{f''(z)}{f'(z)}\right)^2.

동일한 공식은 또한 C³ 함수의 슈바르치안 미분을 정의한다. 이 함수는 실변수 함수이다. 다음 표기법도 자주 사용된다.

:

\{f,z\} = (Sf)(z)

3. 성질

뫼비우스 변환의 슈바르치안 도함수는 0이며, 이는 뫼비우스 변환의 고유한 성질이다. 따라서 슈바르치안 도함수는 함수가 뫼비우스 변환에서 얼마나 벗어나는지를 측정하는 척도로 사용된다.^[1]

만약 g|g^영어가 뫼비우스 변환이라면, 합성 g∘f|g∘f^영어는 f|f^영어와 동일한 슈바르치안 도함수를 갖는다. 반면에, f∘g|f∘g^영어의 슈바르치안 도함수는 연쇄 법칙에 의해 다음과 같이 주어진다.

: $(S(f \circ g))(z) = (Sf)(g(z)) \cdot g'(z)^2.$

더 일반적으로, 충분히 미분 가능한 함수 f|f^영어와 g|g^영어에 대해

: $S(f \circ g) = \left( (Sf)\circ g\right ) \cdot(g')^2 + Sg.$

f|f^영어와 g|g^영어가 매끄러운 실수 값 함수일 때, 이는 음수(또는 양수) 슈바르치안을 가진 함수의 모든 반복이 음수(또는 양수)로 유지됨을 의미하며, 이는 일차원 동역학계 연구에 유용하다.^[2]

두 복소 변수 함수 F(z,w)|F(z,w)^영어를 도입하면,^[3]

: $F(z,w)= \log \left ( \frac{f(z)-f(w)}{z-w} \right ),$

이 함수의 두 번째 혼합 편미분은 다음과 같이 주어진다.

: $\frac{\partial^2 F(z,w)}{\partial z \, \partial w} = {f^\prime(z)f^\prime(w)\over(f(z)-f(w))^2}-{1\over(z-w)^2},$

슈바르치안 도함수는 다음 공식으로 표현된다.

: $(Sf)(w)= \left. 6 \cdot {\partial^2 F(z,w)\over \partial z \, \partial w}\right\vert_{z=w}.$

슈바르치안 도함수는 종속 변수와 독립 변수를 교환하는 간단한 역 공식을 갖는다.

: $(Sw)(v) = -\left(\frac{dw}{dv}\right)^2 (Sv)(w)$

더 명시적으로 표현하면, $Sf + (f')^2 ((Sf^{-1})\circ f) = 0$ 이다. 이는 연쇄 법칙에서 유도된다.

3. 1. 뫼비우스 변환과의 관계

임의의 유리형 함수

f\colon\mathbb C\to\mathbb C

의 슈바르치안

Sf

는 다음과 같이 정의된다.

:

Sf=\frac{f'''}{f'}-\frac32\left(\frac{f''}{f'}\right)^2.

만약

f

가 뫼비우스 변환이라면,

Sf=0

이다. 반대로,

Sf=0

이라면

f

(S(f \circ g))(z) = (Sf)(g(z)) \cdot g'(z)^2.

일반적으로, 충분히 미분 가능한 함수 f|^영어와 g|^영어에 대해

:

S(f \circ g) = \left( (Sf)\circ g\right ) \cdot(g')^2 + Sg.

f|^영어와 g|^영어가 매끄러운 실수 값 함수일 때, 이는 음수(또는 양수) 슈바르치안을 가진 함수의 모든 반복이 음수(또는 양수)로 유지됨을 의미하며, 이는 일차원 동역학계 연구에 유용하다.^[2]

3. 2. 합성함수의 슈바르치안 미분

어떤 뫼비우스 변환의 슈바르치안 도함수는 0이다. 반대로, 뫼비우스 변환은 이러한 성질을 가진 유일한 함수이다. 따라서 슈바르치안 도함수는 함수가 뫼비우스 변환이 되지 못하는 정도를 정확하게 측정한다.^[1]

만약 g^영어가 뫼비우스 변환이라면, 합성 g^영어 o f^영어는 f^영어와 동일한 슈바르치안 도함수를 갖는다. 반면에, f^영어 o g^영어의 슈바르치안 도함수는 연쇄 법칙에 의해 다음과 같이 주어진다.

:

(S(f \circ g))(z) = (Sf)(g(z)) \cdot g'(z)^2.

더 일반적으로, 충분히 미분 가능한 함수 f^영어와 g^영어에 대해

:

S(f \circ g) = \left( (Sf)\circ g\right ) \cdot(g')^2 + Sg.

f^영어와 g^영어가 매끄러운 실수 값 함수일 때, 이는 음수(또는 양수) 슈바르치안을 가진 함수의 모든 반복이 음수(또는 양수)로 유지됨을 의미하며, 이는 일차원 동역학계 연구에 유용하다.^[2]

두 복소 변수의 함수를 도입하면^[3]

:

F(z,w)= \log \left ( \frac{f(z)-f(w)}{z-w} \right ),

그것의 두 번째 혼합 편미분은 다음과 같이 주어진다.

:

\frac{\partial^2 F(z,w)}{\partial z \, \partial w} = {f^\prime(z)f^\prime(w)\over(f(z)-f(w))^2}-{1\over(z-w)^2},

그리고 슈바르치안 도함수는 다음과 같은 공식으로 주어진다.

:

(Sf)(w)= \left. 6 \cdot {\partial^2 F(z,w)\over \partial z \, \partial w}\right\vert_{z=w}.

슈바르치안 도함수는 종속 변수와 독립 변수를 교환하는 간단한 역 공식을 갖는다. 다음과 같다.

:

(Sw)(v) = -\left(\frac{dw}{dv}\right)^2 (Sv)(w)

또는 더 명시적으로,

Sf + (f')^2 ((Sf^{-1})\circ f) = 0

. 이는 위의 연쇄 법칙에서 따른다.

3. 3. 역함수와의 관계

뫼비우스 변환

:

g(z) = \frac{az + b}{cz + d}

의 슈바르치안 도함수는 0이다. 반대로, 뫼비우스 변환은 이러한 성질을 가진 유일한 함수이다. 따라서 슈바르치안 도함수는 함수가 뫼비우스 변환이 되지 못하는 정도를 정확하게 측정한다.^[1]

슈바르치안 도함수는 종속 변수와 독립 변수를 교환하는 간단한 역 공식을 갖는다.

:

(Sw)(v) = -\left(\frac{dw}{dv}\right)^2 (Sv)(w)

더 명시적으로 표현하면,

Sf + (f')^2 ((Sf^{-1})\circ f) = 0

이다. 이는 연쇄 법칙에서 유도된다.

4. 기하학적 해석

윌리엄 서스턴은 슈바르치안 미분을 등각 사상이 뫼비우스 변환에서 얼마나 벗어나는지를 측정하는 척도로 해석한다.^[1] $f$ 를 $z_0\in \mathbb C$ 의 근방에서의 등각 사상이라고 하자. 그러면 $M, f$ 가 $z_0$ 에서 0, 1, 2차 도함수를 갖는 고유한 뫼비우스 변환 $M$ 이 존재한다.

이제 $(M^{-1} \circ f)(z-z_0) = z_0 + (z-z_0) + \tfrac16 a(z-z_0)^3 + \cdots.$ 와 같이 표현 가능하다. 여기서 $a$ 를 명시적으로 구하기 위해서는 $z_0 = 0$ 인 경우를 푸는 것으로 충분하다. $M^{-1}(z) = (Az+B)/(Cz + 1)$ 이라고 하고, $M^{-1}\circ f$ 의 처음 세 계수를 $0, 1, 0$ 으로 만드는 $A, B, C$ 를 구한다. 이것을 네 번째 계수에 대입하면 $a = (Sf)(z_0)$ 를 얻는다.

복소 평면의 평행 이동, 회전, 크기 조절 후에, $(M^{-1} \circ f )(z) = z + z^3 + O(z^4)$ 는 0의 근방에서 성립한다. 3차까지 이 함수는 반경 $r$ 의 원을 $(r\cos\theta + r^3 \cos 3\theta, r\sin\theta + r^3 \sin 3\theta)$ 로 정의되는 매개변수 곡선에 매핑하며, 여기서 $\theta \in [0, 2\pi]$ 이다. 이 곡선은 4차까지, 장축이 $r+r^3$ 이고 단축이 $|r-r^3|$ 인 타원이다.

$\begin{align}\frac{(r\cos\theta + r^3 \cos 3\theta)^2}{(r+r^3)^2}+ \frac{(r\sin\theta + r^3 \sin 3\theta)^2}{(r - r^3)^2}&= \frac{1 + 8r^4 \sin^2(2\theta) + O(r^6)}{(1-r^4)^2} \\&\rightarrow 1 + 8r^4 \sin^2(2\theta) + O(r^6)\end{align}$

$r \rightarrow 0.$

뫼비우스 변환은 항상 원을 원이나 직선으로 매핑하므로, 이심률은 $f$ 가 뫼비우스 변환에서 벗어나는 정도를 측정한다.

5. 미분 방정식과의 관계

슈바르치안은 미분 방정식과 밀접하게 관련되어 있다. 특히, 2차 선형 상미분 방정식 해의 비율을 통해 슈바르치안을 표현할 수 있다.^[4]

5. 1. 일반적인 2차 선형 상미분 방정식

다음과 같은 선형 2차 상미분 방정식을 고려해 보자.

:

x''(t) + p(t)x(t)=0

여기서

x

는 실수 매개변수

t

의 실수 값을 갖는 함수이다.

X

를 해의 2차원 공간으로 나타내자.

t\in\mathbb R

에 대해,

\operatorname{ev}_t:X\to\mathbb R

을 평가 범함수

\operatorname{ev}_t(x) = x(t)

로 하자. 맵

t\mapsto \operatorname{ker}(\operatorname{ev}_t)

는

X

의 정의역의 각 점

t

에 대해

X

의 1차원 선형 부분 공간을 제공한다. 즉, 커널은 실수선에서 실수 사영 직선으로의 매핑을 정의한다. 이 매핑의 슈바르치안은 잘 정의되어 있으며, 실제로

2p(t)

와 같다.

슈바르치안의 이러한 해석에 따르면, 공통 열린 구간을

\mathbb{RP}^1

으로의 두 개의 미분 동형 사상이 같은 슈바르치안을 갖는 경우, 이들은 같은 미분 방정식의 해의 2차원 벡터 공간에 작용하는 일반 선형 그룹의 원소, 즉

\mathbb{RP}^1

의 분수 선형 변환에 의해 (국소적으로) 관련된다.

또는, 복소 평면에서 2차 선형 상미분 방정식을 고려해 보자.^[4]

:

\frac{d^2f}{dz^2}+ Q(z) f(z)=0.

f_1(z)

와

f_2(z)

를 두 개의 선형 독립적인 정칙 해라고 하자. 그러면 비율

g(z)=f_1(z)/f_2(z)

는 다음을 만족한다.

:

(Sg)(z) = 2Q(z)

f_1(z)

와

f_2(z)

가 정의되고,

f_2(z) \ne 0.

인 도메인에서 이의 역도 마찬가지이다. 그러한

g

가 존재하고, 단순 연결된 도메인에서 정칙이라면, 두 개의 해

f_1

과

f_2

를 찾을 수 있으며, 더욱이, 이것들은 공통 스케일 인자를 최대 갖는 고유한 해이다.

선형 2차 상미분 방정식을 위 형식으로 가져올 수 있을 때, 결과적인

Q

는 때때로 방정식의 '''Q-값'''이라고 불린다.

가우스 초기하 미분 방정식은 위 형식으로 가져올 수 있으며, 따라서 초기하 방정식의 해의 쌍은 이런 식으로 관련된다.

5. 2. 복소 평면에서의 2차 선형 상미분 방정식

복소 평면에서의 2차 선형 상미분 방정식을 고려해 보자.^[4]

:

\frac{d^2f}{dz^2}+ Q(z) f(z)=0.

f_1(z)

와

f_2(z)

를 두 개의 선형 독립적인 정칙 해라고 하자. 그러면 비율

g(z)=f_1(z)/f_2(z)

는 다음을 만족한다.

:

(Sg)(z) = 2Q(z)

f_1(z)

와

f_2(z)

가 정의되고,

f_2(z) \ne 0.

인 도메인에서 이의 역도 마찬가지이다. 그러한 가 존재하고, 단순 연결된 도메인에서 정칙이라면, 두 개의 해

f_1

과

f_2

를 찾을 수 있으며, 더욱이, 이것들은 공통 스케일 인자를 최대 갖는 고유한 해이다.

선형 2차 상미분 방정식을 위 형식으로 가져올 수 있을 때, 결과적인 는 때때로 방정식의 '''Q-값'''이라고 불린다.

가우스 초기하 미분 방정식은 위 형식으로 가져올 수 있으며, 따라서 초기하 방정식의 해의 쌍은 이런 식으로 관련된다.

6. 단사성 조건

만약 f^영어가 단위 원판 '''D'''^영어에서 정칙 함수이면, W. Kraus (1932)와 네하리 (1949)는 f^영어가 단사일 필요충분조건은 다음과 같다고 증명했다.^[5]

: $|S(f)| \le 6(1-|z|^2)^{-2}.$

반대로 만약 f(z)^영어가 '''D'''^영어에서 정칙 함수이고 다음을 만족하면

: $|S(f)(z)| \le 2(1-|z|^2)^{-2},$

네하리는 f^영어가 단사 함수임을 증명했다.^[6]

특히, 단사성을 위한 충분 조건은 다음과 같다.^[7]

: $|S(f)|\le 2.$

7. 등각 사상에의 응용

슈바르치안 미분과 관련된 2계 상미분 방정식은 복소 평면에서 원호 또는 직선으로 이루어진 경계를 가진 임의의 유계 다각형과 상반평면 또는 단위 원 사이의 리만 사상을 결정하는 데 사용될 수 있다. 1890년에 펠릭스 클라인은 라메 미분 방정식의 관점에서 사각형의 경우를 연구했다.^[8]^[9]^[10]

이때, 직선으로만 이루어진 다각형의 경우는 슈바르츠-크리스토펠 사상을 이용해 해석할 수 있는데, 이 경우는 슈바르치안 미분을 사용하지 않고도 유도가 가능하다.

7. 1. 슈바르츠-크리스토펠 사상

슈바르츠-크리스토펠 사상은 복소 평면에서 원호 또는 직선으로 이루어진 경계를 가진 임의의 유계 다각형과 상반평면 또는 단위 원 사이의 리만 사상을 결정하는 데 사용되는 슈바르치안 미분과 관련된 2계 상미분 방정식에서 유도된다. 직선으로 이루어진 다각형의 경우, 이는 슈바르츠-크리스토펠 사상으로 축소되며, 슈바르치안 미분을 사용하지 않고 직접 유도할 수 있다.^[8]^[9]^[10]

\Delta

를 시계 방향으로 각도가

\pi\alpha_1, \ldots, \pi\alpha_n

인 원호 다각형이라고 하고, 경계 사이의 사상으로 연속적으로 확장되는 정칙 사상

f : \mathbf{H} \rightarrow \Delta

를 생각해보자. 꼭짓점은 실수 축의 점

a_1, \ldots, a_n

에 해당한다. 그러면

p(x) = S(f)(x)

는

x

가 실수이고 모든 점

a_i

와 다를 때 실수 값을 가진다. 슈바르츠 반사 원리에 의해

p(x)

는

a_i

에서 이중 극점을 갖는 복소 평면의 유리 함수로 확장된다.

:

p(z)=\sum_{i=1}^n \frac{(1-\alpha_i^2)}{2(z-a_i)^2} + \frac{\beta_i}{z-a_i}.

여기서 실수

\beta_i

는 '부수 매개변수'라고 불리며, 이들은 세 가지 선형 제약 조건을 받는다.

:

\sum \beta_i=0

:

\sum 2a_i \beta_i + \left ( 1-\alpha_i^2 \right ) =0

:

\sum a_i^2 \beta_i + a_i \left ( 1-\alpha_i^2 \right ) =0

이는

p(z)

를

z = \infty

주변에서 전개했을 때

z^{-1}, z^{-2}

및

z^{-3}

의 계수가 사라지는 것에 해당한다. 그러면 사상

f(z)

는 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

f(z) = {u_1(z)\over u_2(z)},

여기서

u_1(z)

와

u_2(z)

는 선형 독립적인 2계 상미분 방정식의 정칙 해이다.

:

u^{\prime\prime}(z) + \tfrac{1}{2} p(z)u(z)=0.

n-3

개의 선형 독립적인 부수 매개변수가 있으며, 이는 실제로 결정하기 어려울 수 있다.

삼각형의 경우,

n = 3

일 때, 부수 매개변수는 없다. 상미분 방정식은 초기하 미분 방정식과 동일하며

f(z)

는 슈바르츠 삼각형 함수이며, 이는 초기하 함수의 관점에서 쓸 수 있다.

사각형의 경우 부수 매개변수는 하나의 독립 변수

\lambda

에 의존한다. 적절한

q(z)

를 선택하여

U(z) = q(z)u(z)

라고 쓰면, 상미분 방정식은 다음과 같은 형태를 취한다.

:

a(z) U^{\prime\prime}(z) + b(z) U^\prime(z) +(c(z)+\lambda)U(z)=0.

따라서

q(z) u_i(z)

는 구간

[a_i,a_{i+1}]

에 대한 슈트름-리우빌 방정식의 고유 함수이다. 슈트름 분리 정리에 의해,

u_2(z)

가 0이 아니면

\lambda

는 최저 고유값이어야 한다.

7. 2. 부수 매개변수

Schwarzian^영어 미분과 관련된 2계 상미분 방정식은 복소 평면에서 원호 또는 직선으로 이루어진 경계를 가진 임의의 유계 다각형과 상반평면 또는 단위 원 사이의 리만 사상을 결정하는 데 사용될 수 있다. 직선으로 이루어진 다각형의 경우, 이는 슈바르츠-크리스토펠 사상으로 축소되며, Schwarzian^영어 미분을 사용하지 않고 직접적으로 유도될 수 있다. 적분 상수로서 발생하는 '부수 매개변수'는 2계 미분 방정식의 고유값과 관련이 있다. 이미 1890년에 펠릭스 클라인은 라메 미분 방정식의 관점에서 사각형의 경우를 연구했다.^[8]^[9]^[10]

\Delta

를 시계 방향으로 각도가

\pi\alpha_1, \ldots, \pi\alpha_n

인 원호 다각형이라고 하자. 경계 사이의 사상으로 연속적으로 확장되는 정칙 사상

f : \mathbf{H} \rightarrow \Delta

를 생각해보자. 꼭짓점은 실수 축의 점

a_1, \ldots, a_n

에 해당한다. 그러면

p(x) = S(f)(x)

는

x

가 실수이고 모든 점

a_i

와 다를 때 실수 값을 가진다. 슈바르츠 반사 원리에 의해

p(x)

는

a_i

에서 이중 극점을 갖는 복소 평면의 유리 함수로 확장된다.

:

p(z)=\sum_{i=1}^n \frac{(1-\alpha_i^2)}{2(z-a_i)^2} + \frac{\beta_i}{z-a_i}.

실수

\beta_i

는 '부수 매개변수'라고 불린다. 이들은 세 가지 선형 제약 조건을 받는다.

:

\sum \beta_i=0

:

\sum 2a_i \beta_i + \left ( 1-\alpha_i^2 \right ) =0

:

\sum a_i^2 \beta_i + a_i \left ( 1-\alpha_i^2 \right ) =0

이것은

p(z)

를

z = \infty

주변에서 전개했을 때

z^{-1}, z^{-2}

및

z^{-3}

의 계수가 사라지는 것에 해당한다. 그러면 사상

f(z)

는 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

f(z) = {u_1(z)\over u_2(z)},

여기서

u_1(z)

와

u_2(z)

는 선형 독립적인 2계 상미분 방정식의 정칙 해이다.

:

u^{\prime\prime}(z) + \tfrac{1}{2} p(z)u(z)=0.

n-3

개의 선형 독립적인 부수 매개변수가 있으며, 이는 실제로 결정하기 어려울 수 있다.

삼각형의 경우,

n = 3

일 때, 부수 매개변수는 없다. 상미분 방정식은 초기하 미분 방정식과 동일하며

f(z)

는 슈바르츠 삼각형 함수이며, 이는 초기하 함수의 관점에서 쓸 수 있다.

사각형의 경우 부수 매개변수는 하나의 독립 변수

\lambda

에 의존한다. 적절한

q(z)

를 선택하여

U(z) = q(z)u(z)

라고 쓰면, 상미분 방정식은 다음과 같은 형태를 취한다.

:

a(z) U^{\prime\prime}(z) + b(z) U^\prime(z) +(c(z)+\lambda)U(z)=0.

따라서

q(z) u_i(z)

는 구간

[a_i,a_{i+1}]

에 대한 슈트름-리우빌 방정식의 고유 함수이다. 슈트름 분리 정리에 의해,

u_2(z)

가 0이 아니면

\lambda

는 최저 고유값이어야 한다.

8. 테히뮐러 공간의 복소 구조

립만 베르스는 슈바르치안 도함수를 사용하여 사상을 정의하였으며, 이는 보편 테히뮐러 공간을 균등 노름을 가진 단위 원판 상의 유계 정칙 함수 공간의 열린 부분 집합에 임베딩한다. 프레데릭 게링은 1977년에 이 열린 부분 집합이 일가 함수(univalent function)의 슈바르치안 도함수의 닫힌 부분 집합의 내부임을 보였다.^[11]^[12]^[13]

1보다 큰 종수를 갖는 콤팩트 리만 곡면의 경우, 그 보편 피복 공간은 단위 원판이며, 여기서 기본군은 뫼비우스 변환에 의해 작용한다. 테히뮐러 공간은 보편 테히뮐러 공간에서 불변인 부분 공간과 동일시될 수 있다. 정칙 함수는

: $g(z) \, dz^2$

가 에 불변이라는 속성을 가지므로, 상의 이차 미분을 결정한다. 이러한 방식으로, 의 테히뮐러 공간은 상의 이차 미분의 유한 차원 복소 벡터 공간의 열린 부분 공간으로 실현된다.

균질 공간는 자연스럽게 보편 테히뮐러 공간의 부분 공간이며, 이 구조와 다른 자연스러운 기하학적 구조는 테히뮐러 공간의 구조와 호환된다.

9. 원의 미분 동형 사상 군

슈바르치안 미분은 원의 미분 동형 사상 군에서 2차 밀도 모듈을 계수로 하는 연속적인 1-코사이클 또는 교차 준동형 사상으로 해석될 수 있다.^[14] 을 위의 차수 의 텐서 밀도의 공간이라고 하면, 원의 방향을 보존하는 미분 동형 사상 군 은 푸시포워드를 통해 에 작용한다.

군 코호몰로지 관점에서, 이 매핑은 계수가 인 에 대한 1-코사이클이다. 실제로,

: $H^1(\text{Diff}(\mathbf{S}^1);F_2 (\mathbf{S}^1)) = \mathbf{R}$

이며, 코호몰로지를 생성하는 1-코사이클은 이다. 1-코호몰로지의 계산은 더 일반적인 결과의 특수한 경우이다.

: $H^1(\text{Diff}(\mathbf{S}^1);F_\lambda (\mathbf{S}^1)) = \mathbf{R}\,\, \mathrm{for} \,\, \lambda=0,1,2\,\, \mathrm{and} \,\,(0) \,\,\mathrm{otherwise.}$

가 군이고 이 - 모듈인 경우, 에서 으로의 교차 준동형 사상 를 정의하는 항등식은 군의 표준 준동형 사상으로 표현할 수 있다.

가 콤팩트 군이고 가 가 연속적으로 작용하는 위상 벡터 공간인 경우, 상위 코호몰로지 군은 로 사라진다 (). 특히,

: $\chi(xy) = \chi(x) + x\cdot \chi(y),$

에 대한 1-코사이클 에 대해, 에 대한 평균화는 에서 하르 측도의 좌측 불변성을 사용하여

: $\chi(x) = m - x\cdot m,$

로 나타낼 수 있으며,

: $m=\int_K \chi(y)\,dy.$

따라서 평균화를 통해 가 정규화 조건 을 만족한다고 가정할 수 있다.

이 결과의 무한소 버전은 매끄러운 벡터장의 리 대수, 즉 에 대한 1-코사이클이 주어지며, 따라서 삼각 다항식 벡터장의 부분 대수인 비트 대수에 대한 1-코사이클도 주어진다.

: $s\left(f\, {d\over d\theta}\right) = {d^3f\over d\theta^3}\,(d\theta)^2$

이것은 다음 항등식을 만족한다.

: $s([X,Y])=X\cdot s(Y) -Y\cdot s(X).$

리 대수 경우, 경계 맵은 의 형태를 갖는다. 두 경우 모두, 1-코호몰로지는 경계 모듈로 교차 준동형 사상의 공간으로 정의된다.

: $H^1(\operatorname{Diff}(\mathbf{S}^1);F_\lambda (\mathbf{S}^1)) \hookrightarrow H^1(\operatorname{Vect}(\mathbf{S}^1);F_\lambda (\mathbf{S}^1)),$

이러한 방식으로 계산은 리 대수 코호몰로지로 축소될 수 있다. 연속성에 의해, 이는 비트 대수에서 로의 교차 준동형 사상 의 계산으로 축소된다. 군 교차 준동형 사상에 대한 정규화 조건은 에 대해 다음과 같은 추가 조건을 암시한다.

: $\varphi(\operatorname{Ad}(x) X) = x\cdot \varphi(X),\,\, \varphi(d/d\theta) = 0$

의 규칙에 따라, 비트 대수의 기저는 다음과 같다.

: $d_n = i e^{in\theta} \,{d\over d\theta}$

따라서 이다. 의 복소화의 기저는 다음과 같다.

: $v_n=e^{in\theta} \, (d\theta)^\lambda,$

따라서

: $d_m \cdot v_n = -(n+\lambda m)v_{n+m},\,\, g_\zeta \cdot v_n = \zeta^{n} v_n,$

이는 을 강요한다. 교차 준동형 사상 조건 는 에 대한 재귀 관계를 제공한다.

: $(m-n) a_{m+n} = (m+\lambda n) a_m-(n+\lambda m)a_n.$

조건 은 임을 의미한다. 이 조건과 재귀 관계로부터, 스칼라 배수를 제외하면, 이는 가 0, 1 또는 2와 같을 때 고유한 비영 해를 가지며 그렇지 않으면 영 해만 가진다. 에 대한 해당 리 대수 1-코사이클은 스칼라 배수를 제외하고 다음과 같이 주어진다.

: $\varphi_\lambda\left(F {d\over d\theta}\right) = {d^{\lambda+1} F\over d\theta^{\lambda +1}} \, (d\theta)^\lambda.$

9. 1. 중심 확장

Schwarzian^영어 미분은 다음과 같은 변환 속성을 갖는다.^[14]

:

S(f \circ g) = \left( S(f)\circ g\right ) \cdot(g')^2+S(g).

이러한 변환 속성은 Schwarzian^영어 미분을 원의 미분 동형 사상 군에서 2차 밀도 모듈을 계수로 하는 연속적인 1-코사이클 또는 교차 준동형 사상으로 해석할 수 있게 한다.^[14]

이는 군의 표준 준동형 사상으로 표현할 수 있으며,

M\rtimes G

로의 준동형 사상에 인코딩되어 있다. 여기서

M\rtimes G

에서 로의 투영의 합성은 항등 사상이다.

교차 준동형 사상은 차례로 과 그 리 대수 의 중심 확대, 즉 소위 비라소로 대수를 생성한다.

9. 2. 공역 작용

Schwarzian derivative^영어은 다음 변환 속성을 갖는다.^[14]

:

S(f \circ g) = \left( S(f)\circ g\right ) \cdot(g')^2+S(g).

이러한 변환 속성을 통해 슈바르치안 미분을 원의 미분 동형 사상 군에서 2차 밀도 모듈을 계수로 하는 연속적인 1-코사이클 또는 교차 준동형 사상으로 해석할 수 있다.^[14]

가 의 원소인 경우, 다음 매핑을 고려한다.

:

f \to S(f^{-1}).

군 코호몰로지의 언어로, 위의 체인 규칙은 이 매핑이 계수가 인 에 대한 1-코사이클이라고 말한다.

의 공역 작용은 슈바르치안 미분을 호출한다. 미분 동형 사상 의 역은 힐 연산자를 다음으로 보낸다.

:

{d^2\over d\theta^2} + f^\prime(\theta)^2 \,q\circ f(\theta) + \tfrac{1}{2} S(f)(\theta).

10. 유사군 및 접속

유사군 이론은 1910년대 엘리 카르탕이 처음 연구한 무한 차원 군 및 리 대수의 국소적 설명을 제공하며, 이는 슈바르치안 미분과 관련이 있다.^[16]
C 상의 정칙 유사군 Γ는 다음 성질을 갖는 쌍정형 사상 f의 모음이다.

각 열린 집합 U에 대한 항등 사상 포함
열린 집합에 대한 제한에 닫힘
합성에 닫힘 (가능한 경우)
역을 취하는 데 닫힘
Γ 내에 국소적으로 존재하는 쌍정형 사상은 Γ에 속함

유사군 Γ는 C 내의 z와 w에 대해 f(z) = w를 만족하는 쌍정형 사상 f가 Γ 내에 존재하면 *추이적*이라고 한다. 모든 복소 변환 T_b(z) = z + b를 포함하는 추이적 유사군은 *평탄*하다고 한다.

형식적 멱급수 변환 F(z) = a₁z + a₂z² + ... (a₁ ≠ 0)의 군을 G라고 할 때, 정칙 유사군 Γ는 0에 대한 테일러 급수로 정의된 부분군 A를 정의한다. 평탄한 Γ는 A에 의해 고유하게 결정된다. f의 형식적 멱급수는 z를 z − a로 대체한 A의 원소로 주어지며, 간단히 말해 f의 모든 제트는 A에 속한다.^[16]

군 G는 k-제트의 군 G_k로의 자연스러운 준동형 사상을 갖는다. G_k는 k차 다항식 공간에서 충실하게 작용하며, 잘라내기는 G_k에서 G_k-1로의 준동형 사상을 정의한다. G_k는 가해군이다.

평탄 유사군 Γ는 A에서 G_k로의 준동형 사상이 충실하고 그 이미지가 닫힌 부분군이 되도록 하는 유한 정수 k가 존재하면 *미분 방정식에 의해 정의된다*고 한다. 가장 작은 k를 Γ의 *차수*라고 한다.

G_k에서 A의 이미지가 복소 부분군이고 G₁이 C^*라는 추가적인 가정을 만족하는 부분군 A에 대한 완전한 분류가 존재한다. 이는 유사군이 크기 조정 변환 S_a(z) = az (a ≠ 0)를 포함한다는 것을 의미한다.

이 경우 유일한 가능성은 k = 1이고 A = {az: a ≠ 0}이거나, k = 2이고 A = {az/(1−bz) : a ≠ 0}이다. 전자는 복소 뫼비우스 군의 아핀 부분군에 의해 정의된 유사군이고, 후자는 전체 복소 뫼비우스 군에 의해 정의된 유사군이다.^[17]

이 분류는 형식적 리 대수 문제로 축소될 수 있다. 리 괄호는 [d_m,d_n] = (n − m)d_m+n로 주어진다. A의 리 대수를 a로 나타내면, 이는 G_k의 리 대수의 부분 대수와 동형이며, d₀를 포함하고 Ad(S_a)에 대해 불변이다. 유일한 가능성은 기저 d₀ 또는 기저 d₀, d_n (n ≥ 1)을 갖는 것이다. n = 2인 경우에만 부분군 A의 형태와 모순되지 않는다.^[17]

슈바르치안 미분은 복소 뫼비우스 군에 대한 유사군과 관련이 있다. f가 V에서 정의된 쌍정형 사상이면, Φ₂(f) = S(f)는 V상의 2차 미분 형식이다. 항등식 S(f∘g) = g_*S(f) + S(g)는 정칙 2차 미분 형식을 계수로 갖는 쌍정형 사상의 유사군에 대한 1-코사이클의 유사체이다. 마찬가지로, φ₀(f) = log f′ 및 φ₁(f) = f″/f′은 정칙 함수 및 정칙 미분을 값으로 갖는 동일한 유사군에 대한 1-코사이클이다.^[18]

일반적으로 1-코사이클은 임의의 차수의 정칙 미분에 대해 정의될 수 있으며, φ(f∘g) = g_*φ(f) + φ(g)를 만족한다. 정칙 벡터장에 의해 정의된 국소 정칙 흐름을 취하면, 국소 쌍정형 사상의 정칙 유사군은 정칙 벡터장에 의해 생성된다. 1-코사이클 φ가 연속성 또는 해석성 조건을 만족하면, 정칙 벡터장의 1-코사이클을 유도하며, 이는 제한과 호환된다. 이는 C상의 정칙 벡터장에 대한 1-코사이클을 정의한다.^[18]

φ([X,Y]) = Xφ(Y) − Yφ(X).

다항식 벡터장의 리 대수로 제한하면, 리 대수 코호몰로지를 사용하여 결정될 수 있다. 스칼라 배수를 제외하고 고유한 0, 1 및 2차 미분에 대해 0이 아닌 1-코사이클이 있으며, 동일한 미분 공식을 사용하여 제공된다.

φ_k(p(z) d/dz) = p^(k+1)(z) (dz)^k

여기서 p(z)는 다항식이다.

1-코사이클은 Φ_k(f) = 0에 의해 세 개의 유사군을 정의한다. 이는 크기 조정 그룹(k = 0), 아핀 그룹(k = 1), 전체 복소 뫼비우스 군(k = 2)을 제공한다. 따라서 이러한 1-코사이클은 유사군을 정의하는 특수한 상미분 방정식이다. 이들을 사용하여 해당 아핀 구조 또는 사영 구조와 리만 곡면에 대한 연결을 정의할 수 있다. Γ가 Rⁿ상의 매끄러운 사상의 유사군이라면, 위상 공간 M이 Γ-구조를 갖는다고 하며, 이는 M 내의 열린 집합 V_i에서 Rⁿ 내의 열린 집합 U_i로의 동형 사상인 차트 f의 모음을 가지며, 모든 비어 있지 않은 교차점에 대해, f_i(U_i ∩ U_j)에서 f_j(U_i ∩ U_j)로의 자연 사상은 Γ에 속한다. Γ가 국소 미분 동형 사상으로 구성되어 있고, n = 2이고, Γ가 쌍정형 사상으로 구성되어 있는 경우, 매끄러운 n-다양체의 구조를 정의하고, 리만 곡면을 정의한다. Γ가 아핀 유사군이면, M이 아핀 구조를 갖는다고 하며, Γ가 뫼비우스 유사군이면, M이 사영 구조를 갖는다고 한다. 따라서 어떤 격자 Λ ⊂ C에 대해 C/Λ로 주어진 종수 1 표면은 아핀 구조를 가지며, 푸크시안 군에 의해 상반 평면 또는 단위 원반의 몫으로 주어진 종수 p > 1 표면은 사영 구조를 갖는다.^[19]

거닝은 1966년에 이 과정을 반전시킬 수 있음을 보였다. 즉, 종수 p > 1에 대해 슈바르치안 미분 Φ₂를 사용하여 정의하고 코호몰로지에 대한 표준 결과를 사용하여 증명된 사영 연결의 존재는 보편 피복 표면을 상반 평면 또는 단위 원반으로 식별하는 데 사용할 수 있다(아핀 연결 및 Φ₁을 사용하여 종수 1에 대해서도 유사한 결과가 적용된다).^[19]

11. 일반화

등각 다양체의 매핑에 적용할 수 있는 일반화에서는 슈바르치안 미분이 다양체에서 대칭 텐서가 된다. $M$ 을 부드러운 계량 텐서 $g$ 를 가진 $n$ 차원 부드러운 다양체라고 할 때, 부드러운 미분 동형 사상 $F:M\to M$ 은 어떤 부드러운 함수 $\varphi$ 에 대해 $F^*g = e^{2\varphi}g$ 인 경우 등각이다. 슈바르치안은 다음과 같이 정의된다.

$S_g(\varphi) = \nabla^2\varphi - d\varphi\otimes d\varphi - \frac{1}{n}\left(\Delta\varphi - g(\nabla\varphi,\nabla\varphi)\right)$

여기서 $\nabla$ 는 $g$ 의 레비-치비타 접속, $\nabla^2$ 는 접속에 대한 헤시안, $\Delta\varphi$ 는 라플라스-벨트라미 연산자( $g$ 에 대한 헤시안의 대각합으로 정의됨)이다.

슈바르치안은 코사이클 법칙을 만족한다.

$S_g(\varphi + \psi) = S_g(\varphi) + S_{e^{2\varphi}g}(\psi).$

뫼비우스 변환은 슈바르치안이 사라지는 등각 인수를 가진 등각 미분 동형 사상이다. $M$ 의 뫼비우스 변환의 집합은 $M$ 의 등각 군의 닫힌 리 부분군이다. 유클리드 공간에서 $S_g(\varphi)=0$ 의 해는 $\varphi$ 가 상수이거나, 구형 계량 $\log[(1+|\mathbf x|^2)^{-1}]$ 을 제공하는 등각 인자이거나, 공 또는 반공간 $\log|(1-|\mathbf x|^2)^{-1}|$ 또는 $\log|x_n^{-1}|$ (각각)에 대한 쌍곡선 푸앵카레 계량의 등각 인자일 때 정확히 일치한다.

또 다른 일반화는 라그랑지안 그래스만 다양체의 양의 곡선에 적용된다. $(X,\omega)$ 가 $\mathbb R$ 에 대한 차원 $2n$ 의 심플렉틱 벡터 공간이라고 가정하고, 상호 보완적인 라그랑지안 부분 공간 쌍 $A,B\subset X$ 를 고정한다. $A$ 에 상호 보완적인 라그랑지안 부분 공간의 집합은 $\omega$ 에 대해 대칭인 매핑 $H:A\to B$ 의 공간으로 매개변수화된다( $\omega(a,H(a)) = \omega(H(a),a)$ 는 모든 $a\in A$ 에 대해). $A$ 에 상호 보완적인 모든 라그랑지안 부분 공간은 어떤 텐서 $H$ 에 대해 $\{a + H(a)|a\in A\}$ 로 주어진다. 따라서 곡선은 대칭 텐서의 일 매개변수족 $H(u)$ 로 지역적으로 지정된다. 곡선은 $H'(u)$ 가 양의 정부호인 경우 양수이다. 그러면 라그랑지안 슈바르치안은 다음과 같이 정의된다.

$S(H) = (H')^{-1/2}\left(H''' - \tfrac32 H''(H')^{-1}H''\right)(H')^{-1/2}.$

이것은 곡선 $H(u)$ 와 $G(u)$ 를 관련시키는 심플렉틱 변환이 있는 경우에만 $S(H) = S(G)$ 라는 속성을 갖는다.

라그랑지안 슈바르치안은 다음과 같은 2차 미분 방정식과 관련이 있다.

$\frac{d^2x}{dt^2}+Q(t)x=0,$

여기서 $Q(t)$ 는 실수 변수 $t$ 에 의존하고 $x$ 는 $\mathbb R^n$ 의 곡선인 대칭 텐서이다. $X$ 를 미분 방정식의 해의 $2n$ 차원 공간이라고 하자. $Q$ 는 대칭이므로 $\omega(x,y) = x(t)\cdot y'(t) - x'(t)\cdot y(t)$ 로 주어진 $X$ 에 대한 형식은 $t$ 와 독립적이므로 $X$ 에 심플렉틱 구조를 제공한다. $\operatorname{ev}_t:X\to\mathbb R$ 를 평가 함수라고 하면, $X$ 의 도메인에 있는 모든 $t$ 에 대해 $\operatorname{ev}_t$ 의 커널은 $X$ 의 라그랑지안 부분 공간이므로 커널은 $(X,\omega)$ 의 라그랑지안 그래스만 다양체의 곡선을 정의한다. 이 곡선의 라그랑지안 슈바르치안은 $2Q(t)$ 이다.

12. 역사

헤르만 아만두스 슈바르츠가 도입하였다.

참조

_[1] 논문 Zippers and univalent functions
_[2] 웹사이트 Schwarzian Derivative http://mathworld.wol[...]
_[3] 서적
_[4] 서적
_[5] 서적
_[6] 서적
_[7] 서적
_[8] 서적
_[9] 서적
_[10] 서적
_[11] 서적
_[12] 서적
_[13] 서적
_[14] 서적
_[15] 서적
_[16] 서적
_[17] 서적
_[18] 서적
_[19] 서적

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