십육원수

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1. 개요
2. 산술
3. 응용
참조

1. 개요

십육원수는 16개의 기저 원소를 갖는 초복소수 체계로, 실수 선형 결합으로 표현된다. 덧셈과 뺄셈은 계수별로 이루어지며, 곱셈은 분배 법칙을 따르지만 교환 및 결합 법칙은 성립하지 않는다. 십육원수는 멱결합성과 유연 등식을 만족하며 영인자를 포함하므로 나눗셈 대수가 아니다. 십육원수의 곱셈표는 35개의 삼중항으로 표현되며, 이는 오쿼터니언의 케일리-딕슨 구성을 통해 생성된다. 십육원수의 노름이 1인 쌍의 곱이 0인 공간은 예외적 리 군 G₂와 위상 동형이며, 렙톤과 쿼크를 표현하고 머신 러닝 응용 분야에 활용될 수 있다.

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십육원수
개요
이름	세데니온
종류	초복소수 대수
단위	e₀, ..., e₁₅
항등원	e₀
성질	멱결합성 분배법칙
수학적 특성
기호	⟨math⟩S⟨/math⟩
차원	16
구성	세데니온은 실수의 16차원 초복소수 대수이다. 세데니온은 팔원수의 케일리-딕슨 대수이다. 즉, ⟨math⟩S⟨/math⟩ = 팔원수⊗팔원수이다.
성질 (추가)	비결합적 비교환적 분할 대수가 아님 (영인자를 가짐)
참고
관련 개념	복소수 사원수 팔원수 초복소수

2. 산술

모든 십육원수는 실수 스칼라 계수를 가지는 16개의 단위 십육원수 $e_0, e_1, e_2, \dots, e_{15}$ 의 선형 결합으로 표현될 수 있다. 여기서 $e_0 = 1$ 은 곱셈에 대한 항등원이다. 이 단위 십육원수들은 십육원수 전체가 이루는 실수체 위의 16차원 벡터 공간의 기저를 형성한다. 따라서 임의의 십육원수 $x$ 는 다음과 같은 형태로 유일하게 나타낼 수 있다.

: $x = x_0 e_0 + x_1 e_1 + x_2 e_2 + \cdots + x_{14} e_{14} + x_{15} e_{15}$

여기서 $x_0, x_1, \dots, x_{15}$ 는 실수 계수이다.

십육원수의 덧셈과 뺄셈은 각 기저 원소에 해당하는 계수별로 수행된다. 즉, 두 십육원수 $x = \sum_{i=0}^{15} x_i e_i$ 와 $y = \sum_{i=0}^{15} y_i e_i$ 에 대해 합과 차는 다음과 같이 정의된다.

: $x + y = \sum_{i=0}^{15} (x_i + y_i) e_i$

: $x - y = \sum_{i=0}^{15} (x_i - y_i) e_i$

십육원수의 곱셈은 덧셈에 대해 분배 법칙을 만족한다. 두 십육원수의 곱은 각 기저 원소 사이의 곱셈 결과를 이용하여 계산된다. 기저 원소 간의 구체적인 곱셈 규칙과 십육원수 곱셈의 상세한 성질(예: 결합 법칙 불성립, 영인자 존재 등)은 하위 섹션에서 자세히 다룬다.

케일리-딕슨 구성에 따라 십육원수는 그 구성 과정에서 사용된 하위 차원의 대수들을 포함한다. 구체적으로 십육원수는 팔원수( $e_0$ 부터 $e_7$ 까지로 생성됨)를 포함하며, 따라서 사원수( $e_0$ 부터 $e_3$ 까지), 복소수( $e_0, e_1$ ), 그리고 실수( $e_0$ )도 자연스럽게 포함하게 된다.

2. 1. 곱셈

십육원수의 곱셈은 덧셈에 대해 분배 법칙을 만족한다. 두 십육원수의 곱은 각 십육원수를 구성하는 기저 원소

e_i

(

i=0, \dots, 15

) 사이의 곱셈 결과를 선형 결합으로 확장하여 계산된다. 여기서

e_0 = 1

은 곱셈에 대한 항등원이다.

십육원수의 곱셈은 팔원수의 곱셈과 마찬가지로 교환 법칙과 결합 법칙을 만족하지 않는다. 또한, 팔원수와는 달리 교대성도 만족하지 않는다. 그러나 십육원수는 멱결합성과 유연성이라는 성질을 가진다. 멱결합성은 임의의 십육원수

x

에 대해 거듭제곱

x^n

이 모순 없이 잘 정의됨을 의미한다.

십육원수는 곱셈에 대한 항등원

e_0 = 1

을 가지며, 많은 원소가 곱셈에 대한 역원을 가지지만, 체를 이루지는 못한다. 이는 십육원수가 영인자를 포함하기 때문인데, 영인자란 0이 아닌 두 원소를 곱했을 때 결과가 0이 되는 경우를 말한다. 예를 들어,

(e_3 + e_{10})(e_6 - e_{15}) = 0

이다. 케일리-딕슨 구성을 통해 십육원수로부터 만들어지는 더 높은 차원의 초복소수 체계들은 모두 영인자를 가진다.

십육원수의 기저 원소

e_0, e_1, \dots, e_{15}

사이의 곱셈 규칙은 다음 표와 같다.

'''기저 원소 곱셈표'''
×	$e_0$	$e_1$	$e_2$	$e_3$	$e_4$	$e_5$	$e_6$	$e_7$	$e_8$	$e_9$	$e_{10}$	$e_{11}$	$e_{12}$	$e_{13}$	$e_{14}$	$e_{15}$
$e_0$	$e_0$	$e_1$	$e_2$	$e_3$	$e_4$	$e_5$	$e_6$	$e_7$	$e_8$	$e_9$	$e_{10}$	$e_{11}$	$e_{12}$	$e_{13}$	$e_{14}$	$e_{15}$
$e_1$	$e_1$	$-e_0$	$e_3$	$-e_2$	$e_5$	$-e_4$	$-e_7$	$e_6$	$e_9$	$-e_8$	$-e_{11}$	$e_{10}$	$-e_{13}$	$e_{12}$	$e_{15}$	$-e_{14}$
$e_2$	$e_2$	$-e_3$	$-e_0$	$e_1$	$e_6$	$e_7$	$-e_4$	$-e_5$	$e_{10}$	$e_{11}$	$-e_8$	$-e_9$	$-e_{14}$	$-e_{15}$	$e_{12}$	$e_{13}$
$e_3$	$e_3$	$e_2$	$-e_1$	$-e_0$	$e_7$	$-e_6$	$e_5$	$-e_4$	$e_{11}$	$-e_{10}$	$e_9$	$-e_8$	$-e_{15}$	$e_{14}$	$-e_{13}$	$e_{12}$
$e_4$	$e_4$	$-e_5$	$-e_6$	$-e_7$	$-e_0$	$e_1$	$e_2$	$e_3$	$e_{12}$	$e_{13}$	$e_{14}$	$e_{15}$	$-e_8$	$-e_9$	$-e_{10}$	$-e_{11}$
$e_5$	$e_5$	$e_4$	$-e_7$	$e_6$	$-e_1$	$-e_0$	$-e_3$	$e_2$	$e_{13}$	$-e_{12}$	$e_{15}$	$-e_{14}$	$e_9$	$-e_8$	$e_{11}$	$-e_{10}$
$e_6$	$e_6$	$e_7$	$e_4$	$-e_5$	$-e_2$	$e_3$	$-e_0$	$-e_1$	$e_{14}$	$-e_{15}$	$-e_{12}$	$e_{13}$	$e_{10}$	$-e_{11}$	$-e_8$	$e_9$
$e_7$	$e_7$	$-e_6$	$e_5$	$e_4$	$-e_3$	$-e_2$	$e_1$	$-e_0$	$e_{15}$	$e_{14}$	$-e_{13}$	$-e_{12}$	$e_{11}$	$e_{10}$	$-e_9$	$-e_8$
$e_8$	$e_8$	$-e_9$	$-e_{10}$	$-e_{11}$	$-e_{12}$	$-e_{13}$	$-e_{14}$	$-e_{15}$	$-e_0$	$e_1$	$e_2$	$e_3$	$e_4$	$e_5$	$e_6$	$e_7$
$e_9$	$e_9$	$e_8$	$-e_{11}$	$e_{10}$	$-e_{13}$	$e_{12}$	$e_{15}$	$-e_{14}$	$-e_1$	$-e_0$	$-e_3$	$e_2$	$-e_5$	$e_4$	$e_7$	$-e_6$
$e_{10}$	$e_{10}$	$e_{11}$	$e_8$	$-e_9$	$-e_{14}$	$-e_{15}$	$e_{12}$	$e_{13}$	$-e_2$	$e_3$	$-e_0$	$-e_1$	$-e_6$	$-e_7$	$e_4$	$e_5$
$e_{11}$	$e_{11}$	$-e_{10}$	$e_9$	$e_8$	$-e_{15}$	$e_{14}$	$-e_{13}$	$e_{12}$	$-e_3$	$-e_2$	$e_1$	$-e_0$	$-e_7$	$e_6$	$-e_5$	$e_4$
$e_{12}$	$e_{12}$	$e_{13}$	$e_{14}$	$e_{15}$	$e_8$	$-e_9$	$-e_{10}$	$-e_{11}$	$-e_4$	$e_5$	$e_6$	$e_7$	$-e_0$	$-e_1$	$-e_2$	$-e_3$
$e_{13}$	$e_{13}$	$-e_{12}$	$e_{15}$	$-e_{14}$	$e_9$	$e_8$	$e_{11}$	$-e_{10}$	$-e_5$	$-e_4$	$e_7$	$-e_6$	$e_1$	$-e_0$	$e_3$	$-e_2$
$e_{14}$	$e_{14}$	$-e_{15}$	$-e_{12}$	$e_{13}$	$e_{10}$	$-e_{11}$	$e_8$	$e_9$	$-e_6$	$-e_7$	$-e_4$	$e_5$	$e_2$	$-e_3$	$-e_0$	$e_1$
$e_{15}$	$e_{15}$	$e_{14}$	$-e_{13}$	$-e_{12}$	$e_{11}$	$e_{10}$	$-e_9$	$e_8$	$-e_7$	$e_6$	$-e_5$	$-e_4$	$e_3$	$e_2$	$-e_1$	$-e_0$

2. 2. 십육원수의 성질

PG(3,2) 구조 그림. 세데니언의 곱셈 규칙을 나타낸다. 동일한 선 위의 세 점(세 개의 세데니언 허수 단위) 중 두 개의 곱은 부호를 무시하면 세 번째 점이 된다.

십육원수의 기저 원소들 사이의 곱셈은 다음과 같은 규칙을 따른다.

모든 $i$ 에 대해 $e_0 e_i = e_i e_0 = e_i$ 이다. (즉, $e_0$ 는 곱셈 항등원 1이다.)
$i \neq 0$ 일 때, $e_i e_i = -e_0 = -1$ 이다.
$i, j \neq 0$ 이고 $i \neq j$ 일 때, $e_i e_j = -e_j e_i$ 이다. (즉, 0이 아닌 서로 다른 기저 원소는 반교환한다.)

팔원수와 마찬가지로 십육원수의 곱셈은 교환 법칙과 결합 법칙을 만족하지 않는다. 팔원수와 달리 십육원수는 교대대수도 되지 않는다. 그러나 십육원수는 멱결합성을 가지므로, 임의의 십육원수

x

에 대해 거듭제곱

x^n

은 잘 정의된다. 또한 유연 등식(

(xy)x = x(yx)

)을 만족한다.

임의의 십육원수는 실수를 계수로 하는 16개의 단위 십육원수

e_0 = 1, e_1, e_2, \dots, e_{15}

의 선형 결합으로 표현될 수 있다. 즉, 십육원수 전체 '''S'''는 실수체 '''R''' 위의 16차원 벡터 공간을 이룬다.

십육원수는 곱셈에 대한 항등원(

e_0

)을 가지고 많은 원소가 곱셈 역원을 가지지만, 체를 이루지는 못한다. 이는 0이 아니면서 곱하면 0이 되는 영인자가 존재하기 때문이다. 예를 들어,

(e_3 + e_{10})(e_6 - e_{15}) = 0

이다. 케일리-딕슨 구성을 통해 십육원수로부터 만들어지는 모든 초복소수계는 영인자를 포함한다.

단위 십육원수의 곱셈표는 다음과 같다.

style="font-weight:bold; font-size:larger;" | 기저 원소의 곱셈표
×	1	e₁	e₂	e₃	e₄	e₅	e₆	e₇	e₈	e₉	e₁₀	e₁₁	e₁₂	e₁₃	e₁₄	e₁₅
1	1	e₁	e₂	e₃	e₄	e₅	e₆	e₇	e₈	e₉	e₁₀	e₁₁	e₁₂	e₁₃	e₁₄	e₁₅
e₁	e₁	−1	e₃	−e₂	e₅	−e₄	−e₇	e₆	e₉	−e₈	−e₁₁	e₁₀	−e₁₃	e₁₂	e₁₅	−e₁₄
e₂	e₂	−e₃	−1	e₁	e₆	e₇	−e₄	−e₅	e₁₀	e₁₁	−e₈	−e₉	−e₁₄	−e₁₅	e₁₂	e₁₃
e₃	e₃	e₂	−e₁	−1	e₇	−e₆	e₅	−e₄	e₁₁	−e₁₀	e₉	−e₈	−e₁₅	e₁₄	−e₁₃	e₁₂
e₄	e₄	−e₅	−e₆	−e₇	−1	e₁	e₂	e₃	e₁₂	e₁₃	e₁₄	e₁₅	−e₈	−e₉	−e₁₀	−e₁₁
e₅	e₅	e₄	−e₇	e₆	−e₁	−1	−e₃	e₂	e₁₃	−e₁₂	e₁₅	−e₁₄	e₉	−e₈	e₁₁	−e₁₀
e₆	e₆	e₇	e₄	−e₅	−e₂	e₃	−1	−e₁	e₁₄	−e₁₅	−e₁₂	e₁₃	e₁₀	−e₁₁	−e₈	e₉
e₇	e₇	−e₆	e₅	e₄	−e₃	−e₂	e₁	−1	e₁₅	e₁₄	−e₁₃	−e₁₂	e₁₁	e₁₀	−e₉	−e₈
e₈	e₈	−e₉	−e₁₀	−e₁₁	−e₁₂	−e₁₃	−e₁₄	−e₁₅	−1	e₁	e₂	e₃	e₄	e₅	e₆	e₇
e₉	e₉	e₈	−e₁₁	e₁₀	−e₁₃	e₁₂	e₁₅	−e₁₄	−e₁	−1	−e₃	e₂	−e₅	e₄	e₇	−e₆
e₁₀	e₁₀	e₁₁	e₈	−e₉	−e₁₄	−e₁₅	e₁₂	e₁₃	−e₂	e₃	−1	−e₁	−e₆	−e₇	e₄	e₅
e₁₁	e₁₁	−e₁₀	e₉	e₈	−e₁₅	e₁₄	−e₁₃	e₁₂	−e₃	−e₂	e₁	−1	−e₇	e₆	−e₅	e₄
e₁₂	e₁₂	e₁₃	e₁₄	e₁₅	e₈	−e₉	−e₁₀	−e₁₁	−e₄	e₅	e₆	e₇	−1	−e₁	−e₂	−e₃
e₁₃	e₁₃	−e₁₂	e₁₅	−e₁₄	e₉	e₈	e₁₁	−e₁₀	−e₅	−e₄	e₇	−e₆	e₁	−1	e₃	−e₂
e₁₄	e₁₄	−e₁₅	−e₁₂	e₁₃	e₁₀	−e₁₁	e₈	e₉	−e₆	−e₇	−e₄	e₅	e₂	−e₃	−1	e₁
e₁₅	e₁₅	e₁₄	−e₁₃	−e₁₂	e₁₁	e₁₀	−e₉	e₈	−e₇	e₆	−e₅	−e₄	e₃	e₂	−e₁	−1

십육원수 대수 '''S'''는 켤레 연산( $*$ )을 갖는 대수이다. 십육원수 $x = \sum_{i=0}^{15} x_i e_i$ 에 대해 켤레원 $x^*$ 는 $x^* := x_0 e_0 - \sum_{i=1}^{15} x_i e_i$ 로 정의된다. 이를 이용하여 노름 $N(x)$ 를 $N(x) := x x^* = \sum_{i=0}^{15} x_i^2$ 로 정의할 수 있다. (또는 $\|x\| := \sqrt{x x^*}$ ). 십육원수 대수 ('''S''', ''N'')는 이차 대수이지만, 노름이 곱셈적이지 않아 합성 대수는 아니다.

2. 3. 사원수 부분대수

십육원수 곱셈표는 35개의 삼중항(triplet)으로 표현될 수 있다. 이 삼중항들은 팔원수로부터 케일리-딕슨 구성을 사용하여 만들어진다. 팔원수 자체는 굵게 표시된 7개의 삼중항 집합으로 표현되는데, 이는 복소수에서 사원수를 구성하고, 다시 사원수로부터 케일리-딕슨 구성을 통해 팔원수를 만드는 과정에 기반한다. 팔원수를 구성하는 7개의 삼중항 집합은 480가지 경우가 가능하다.

각 삼중항을 구성하는 세 인덱스의 이진수 표현은 비트 XOR 연산을 하면 0이 되는 특징이 있다. 35개의 삼중항은 다음과 같다.

{ '''{1, 2, 3}''', '''{1, 4, 5}''', '''{1, 7, 6}''', {1, 8, 9}, {1, 11, 10}, {1, 13, 12}, {1, 14, 15},

'''{2, 4, 6}''', '''{2, 5, 7}''', {2, 8, 10}, {2, 9, 11}, {2, 14, 12}, {2, 15, 13}, '''{3, 4, 7}''',

'''{3, 6, 5}''', {3, 8, 11}, {3, 10, 9}, {3, 13, 14}, {3, 15, 12}, {4, 8, 12}, {4, 9, 13},

{4, 10, 14}, {4, 11, 15}, {5, 8, 13}, {5, 10, 15}, {5, 12, 9}, {5, 14, 11}, {6, 8, 14},

{6, 11, 13}, {6, 12, 10}, {6, 15, 9}, {7, 8, 15}, {7, 9, 14}, {7, 12, 11}, {7, 13, 10} }

2. 4. 영인자

십육원수는 곱셈에 대한 항등원

e_0

과 곱셈의 역원을 가지지만, 영인자(zero divisor)가 존재하기 때문에 나눗셈 대수는 아니다. 즉, 0이 아닌 두 십육원수를 곱하여 0이 되는 경우가 존재한다. 예를 들어,

(e_3 + e_{10})(e_6 - e_{15}) = 0

이다.

케일리-딕슨 구성을 통해 십육원수로부터 만들어지는 모든 초복소수 시스템 역시 영인자를 포함한다.

십육원수에는

(e_a + e_b) \circ (e_c + e_d) = 0

을 만족하는 84개의 영인자 집합

\{e_a, e_b, e_c, e_d\}

이 존재한다. 그 목록은 다음과 같다.

\begin{array}{c}\text{십육원수 영인자 } \{ e_a, e_b, e_c, e_d \} \\\text{여기서 } (e_a + e_b) \circ (e_c + e_d) = 0 \\\begin{array}{ccc}1 \leq a \leq 6, & c > a, & 9 \leq b \leq 15 \\\end{array} \\\\\begin{array}{lccr}\{ 9 \leq d \leq 15 \} & \{ -9 \geq d \geq -15 \} &\{ 9 \leq d \leq 15 \} & \{ -9 \geq d \geq -15 \}\\\end{array} \\\\\begin{array}{lccr}\{e_1, e_{10}, e_5, e_{14}\} & \{e_1, e_{10}, e_4, -e_{15}\} &\{e_1, e_{10}, e_7, e_{12}\} & \{e_1, e_{10}, e_6, -e_{13}\} \\\{e_1, e_{11}, e_4, e_{14}\} & \{e_1, e_{11}, e_6, -e_{12}\} &\{e_1, e_{11}, e_5, e_{15}\} & \{e_1, e_{11}, e_7, -e_{13}\} \\\{e_1, e_{12}, e_2, e_{15}\} & \{e_1, e_{12}, e_3, -e_{14}\} &\{e_1, e_{12}, e_6, e_{11}\} & \{e_1, e_{12}, e_7, -e_{10}\} \\\{e_1, e_{13}, e_6, e_{10}\} & \{e_1, e_{13}, e_2, -e_{14}\} &\{e_1, e_{13}, e_7, e_{11}\} & \{e_1, e_{13}, e_3, -e_{15}\} \\\{e_1, e_{14}, e_2, e_{13}\} & \{e_1, e_{14}, e_4, -e_{11}\} &\{e_1, e_{14}, e_3, e_{12}\} & \{e_1, e_{14}, e_5, -e_{10}\} \\\{e_1, e_{15}, e_3, e_{13}\} & \{e_1, e_{15}, e_2, -e_{12}\} &\{e_1, e_{15}, e_4, e_{10}\} & \{e_1, e_{15}, e_5, -e_{11}\} \\\\\{e_2, e_9,    e_4, e_{15}\} & \{e_2, e_9,    e_5, -e_{14}\} &\{e_2, e_9,    e_6, e_{13}\} & \{e_2, e_9,    e_7, -e_{12}\} \\\{e_2, e_{11}, e_5, e_{12}\} & \{e_2, e_{11}, e_4, -e_{13}\} &\{e_2, e_{11}, e_6, e_{15}\} & \{e_2, e_{11}, e_7, -e_{14}\} \\\{e_2, e_{12}, e_3, e_{13}\} & \{e_2, e_{12}, e_5, -e_{11}\} &\{e_2, e_{12}, e_7, e_9   \} & \{e_2, e_{13}, e_3, -e_{12}\} \\\{e_2, e_{13}, e_4, e_{11}\} & \{e_2, e_{13}, e_6, -e_9   \} &\{e_2, e_{14}, e_5, e_9   \} & \{e_2, e_{14}, e_3, -e_{15}\} \\\{e_2, e_{14}, e_7, e_{11}\} & \{e_2, e_{15}, e_4, -e_9   \} &\{e_2, e_{15}, e_3, e_{14}\} & \{e_2, e_{15}, e_6, -e_{11}\} \\\\\{e_3, e_9,    e_6, e_{12}\} & \{e_3, e_9,    e_4, -e_{14}\} &\{e_3, e_9,    e_7, e_{13}\} & \{e_3, e_9,    e_5, -e_{15}\} \\\{e_3, e_{10}, e_4, e_{13}\} & \{e_3, e_{10}, e_5, -e_{12}\} &\{e_3, e_{10}, e_7, e_{14}\} & \{e_3, e_{10}, e_6, -e_{15}\} \\\{e_3, e_{12}, e_5, e_{10}\} & \{e_3, e_{12}, e_6, -e_9   \} &\{e_3, e_{14}, e_4, e_9   \} & \{e_3, e_{13}, e_4, -e_{10}\} \\\{e_3, e_{15}, e_5, e_9   \} & \{e_3, e_{13}, e_7, -e_9   \} &\{e_3, e_{15}, e_6, e_{10}\} & \{e_3, e_{14}, e_7, -e_{10}\} \\\\\{e_4, e_9,    e_7, e_{10}\} & \{e_4, e_9,    e_6, -e_{11}\} &\{e_4, e_{10}, e_5, e_{11}\} & \{e_4, e_{10}, e_7, -e_9   \} \\\{e_4, e_{11}, e_6, e_9   \} & \{e_4, e_{11}, e_5, -e_{10}\} &\{e_4, e_{13}, e_6, e_{15}\} & \{e_4, e_{13}, e_7, -e_{14}\} \\\{e_4, e_{14}, e_7, e_{13}\} & \{e_4, e_{14}, e_5, -e_{15}\} &\{e_4, e_{15}, e_5, e_{14}\} & \{e_4, e_{15}, e_6, -e_{13}\} \\\\\{e_5, e_{10}, e_6, e_9   \} & \{e_5, e_9,    e_6, -e_{10}\} &\{e_5, e_{11}, e_7, e_9   \} & \{e_5, e_9,    e_7, -e_{11}\} \\\{e_5, e_{12}, e_7, e_{14}\} & \{e_5, e_{12}, e_6, -e_{15}\} &\{e_5, e_{15}, e_6, e_{12}\} & \{e_5, e_{14}, e_7, -e_{12}\} \\\\\{e_6, e_{11}, e_7, e_{10}\} & \{e_6, e_{10}, e_7, -e_{11}\} &\{e_6, e_{13}, e_7, e_{12}\} & \{e_6, e_{12}, e_7, -e_{13}\}\end{array}\end{array}

3. 응용

노름이 1인 십육원수 중에서 곱해서 0이 되는 쌍들의 공간이 예외적 리 군 G₂의 콤팩트 형태와 위상동형이라는 연구가 있다. 여기서 '영 인자'는 곱이 0이 되는 원소의 쌍을 의미한다.

또한, 불변 게이지 대칭 SU(3)_c × U(1)_em과 관련된 3세대 렙톤과 쿼크를 복소화된 십육원수의 대수 ℂ ⊗ S를 사용하여 나타낼 수 있다는 연구가 있다. 이 연구에 따르면, 특정 원시 멱등원 사영자 ρ₊ = 1/2(1 + ie₁₅) (여기서 e₁₅는 파노 평면에서 팔원수 𝕆의 e₇과 유사한 허수 단위)를 사용하여 십육원수의 표준 기저에 작용시키면, 대수가 복소화된 팔원수 ℂ ⊗ 𝕆에 대한 세 개의 분할 기저 원소 집합으로 나뉘고, 이들의 왼쪽 작용은 세 개의 클리포드 대수 Cl(6) 복사본을 생성한다. 이 클리포드 대수는 불변 SU(3)_c × U(1)_em 게이지 대칭을 가진 단일 세대의 페르미온을 설명하는 최소 왼쪽 아이디얼을 포함한다. 연구자들은 이 세 개의 복소화된 팔원수 부분 대수가 쿼크 혼합을 설명하는 CKM 행렬과 중성미자 진동을 설명하는 PMNS 행렬의 이론적 기반을 형성할 수 있다고 언급했다.

십육원수를 이용한 신경망은 머신러닝 응용 분야에서 효율적이고 간결한 표현을 제공하며, 여러 시계열 및 교통 예측 문제를 해결하는 데 사용된 사례가 있다.^[4]^[5]

참조

_[1] 웹사이트 Ensembles de nombre https://mathsci.kais[...] Forum Futura-Science 2011-09-06
_[2] 논문 THE BASIC SUBALGEBRA STRUCTURE OF THE CAYLEY-DICKSON ALGEBRA OF DIMENSION 32 (TRIGINTADUONIONS) https://arxiv.org/ab[...] 2009
_[3] 서적 2002
_[4] 논문 Metacognitive Sedenion-Valued Neural Network and its Learning Algorithm 2020
_[5] 간행물 Traffic4cast at NeurIPS 2020 – yet more on the unreasonable effectiveness of gridded geo-spatial processes https://proceedings.[...] PMLR 2021-08-07

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